2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析(1094)

陆良县第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设i 是虚数单位，是复数z 的共轭复数，若z =2（+i ），则z=（ ）
A ．﹣1﹣i
B ．1+i
C ．﹣1+i
D ．1﹣i
2． 如图F 1、F 2是椭圆C 1：
+y 2=1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在
第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3． 已知函数f （x ）=x 2﹣6x+7，x ∈（2，5]的值域是（ ） A ．（﹣1，2] B ．（﹣2，2]
C ．[﹣2，2]
D ．[﹣2，﹣1）
4． 在等比数列{a n }中，已知a 1=3，公比q=2，则a 2和a 8的等比中项为（ ）
A ．48
B ．±48
C ．96
D ．±96
5． 已知a 为常数，则使得成立的一个充分而不必要条件是（ ）
A ．a ＞0
B ．a ＜0
C ．a ＞e
D ．a ＜e
6． 执行右面的程序框图，如果输入的[1,1]t ∈-，则输出的S 属于（ ） A.[0,2]e - B. (,2]e -? C.[0,5] D.[3,5]e -
【命题意图】本题考查程序框图、分段函数等基础知识，意在考查运算能力和转化思想的运用．
7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S4=﹣2，S5=0，则S6=（）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（）
A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
9．设函数，则有（）
A．f（x）是奇函数，B．f（x）是奇函数，y=b x
C．f（x）是偶函数D．f（x）是偶函数，
10．已知命题p：∃x∈R，cosx≥a，下列a的取值能使“￢p”是真命题的是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2
11．若将函数y=tan（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan
（ωx+）的图象重合，则ω的最小值为（）
A．B．C．D．
12．江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距（ ）
A ．10米
B ．100米
C ．30米
D ．20米
二、填空题
13．设函数f （x ）=
，则f （f （﹣2））的值为 ．
14．已知圆O ：x 2+y 2=1和双曲线C ：
﹣
=1（a ＞0，b ＞0）．若对双曲线C 上任意
一点A （点A 在圆O 外），均存在与圆O 外切且顶点都在双曲线C 上的菱形ABCD ，则
﹣
= ．
15．在（x 2﹣）9的二项展开式中，常数项的值为 ． 16．已知f （x ），g （x ）都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：
①f （x ）=a x g （x ）（a ＞0，a ≠1）；
②g （x ）≠0；
③f （x ）g'（x ）＞f'（x ）g （x ）；
若，则a= ．
17．已知过球面上 ,,A B C 三点的截面和球心的距离是球半径的一
半，且2AB BC CA ===，则 球表面积是_________.
18．已知复数
，则1+z 50+z 100
= ．
三、解答题
19．在平面直角坐标系xOy 中，过点(2,0)C 的直线与抛物线2
4y x =相交于点A 、B 两点，设
11(,)A x y ，22(,)B x y ．
（1）求证：12y y 为定值；
（2）是否存在平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程
和弦长，如果不存在，说明理由．
20．（本小题满分12分）
ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，(sin ,5sin 5sin )m B A C =+，
(5sin 6sin ,sin sin )n B C C A =--垂直.
（1）求sin A 的值；
（2）若a =ABC ∆的面积S 的最大值.
21．设{a n }是公比小于4的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a 1=1，且a 1+3，3a 2，a 3+4构成等差数列．
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）令b n =lna 3n+1，n=12…求数列{b n }的前n 项和T n ．
22．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是等腰梯形，AB=CD=AD=1，BC=2，E，M，N分别是所在棱的中点．
（1）证明：平面MNE⊥平面D1DE；
（2）证明：MN∥平面D1DE．
23．某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米．池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米．（Ⅰ）求底面积并用含x的表达式表示池壁面积；
（Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？
24．已知S n为数列{a n}的前n项和，且满足S n=2a n﹣n2+3n+2（n∈N*）
（Ⅰ）求证：数列{a n+2n}是等比数列；
（Ⅱ）设b n=a n sinπ，求数列{b n}的前n项和；
（Ⅲ）设C n=﹣，数列{C n}的前n项和为P n，求证：P n＜．
陆良县第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考
答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：设z=a+bi（a，b∈R），则=a﹣bi，
由z=2（+i），得（a+bi）（a﹣bi）=2[a+（b﹣1）i]，
整理得a2+b2=2a+2（b﹣1）i．
则，解得．
所以z=1+i．
故选B．
【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．
2．【答案】D
【解析】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，
∴2a=4，b=1，c=；
∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①
又四边形AF1BF2为矩形，
∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②
由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C
的实轴长为2m，焦距
2
为2n，
则2m=|AF
|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2c=2，
2
∴双曲线C2的离心率e===．
故选D．
【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．
3．【答案】C
【解析】解：由f（x）=x2﹣6x+7=（x﹣3）2﹣2，x∈（2，5]．
∴当x=3时，f（x）min=﹣2．
当x=5时，．
∴函数f（x）=x2﹣6x+7，x∈（2，5]的值域是[﹣2，2]．
故选：C．
4．【答案】B
【解析】解：∵在等比数列{a n}中，a1=3，公比q=2，
∴a2=3×2=6，
=384，
∴a
和a8的等比中项为=±48．
2
故选：B．
5．【答案】C
【解析】解：由积分运算法则，得
=lnx=lne﹣ln1=1
因此，不等式即即a＞1，对应的集合是（1，+∞）
将此范围与各个选项加以比较，只有C项对应集合（e，+∞）是（1，+∞）的子集
∴原不等式成立的一个充分而不必要条件是a＞e
故选：C
【点评】本题给出关于定积分的一个不等式，求使之成立的一个充分而不必要条件，着重考查了定积分计算公式和充要条件的判断等知识，属于基础题．
6．【答案】B
7．【答案】D
【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，
则S4=4a1+d=﹣2，S5=5a1+d=0，
联立解得，
∴S6=6a1+d=3
故选：D
【点评】本题考查等差数列的求和公式，得出数列的首项和公差是解决问题的关键，属基础题．
8．【答案】A
【解析】解：=i，则=i（1﹣i）=1+i，
可得z=1﹣i．
故选：A．
9．【答案】C
【解析】解：函数f（x）的定义域为R，关于原点对称．
又f（﹣x）===f（x），所以f（x）为偶函数．
而f（）===﹣=﹣f（x），
故选C．
【点评】本题考查函数的奇偶性，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．
10．【答案】D
【解析】解：命题p：∃x∈R，cosx≥a，则a≤1．
下列a的取值能使“￢p”是真命题的是a=2．
故选；D．
11．【答案】D
【解析】解：y=tan（ωx+），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x﹣）+]=tan
（ωx+）
∴﹣ω+kπ=
∴ω=k+（k∈Z），
又∵ω＞0
∴ωmin=．
故选D．
12．【答案】C
【解析】解：如图，过炮台顶部A作水平面的垂线，垂足为B，设A处观测小船C的俯角为45°，
设A处观测小船D的俯角为30°，连接BC、BD
Rt△ABC中，∠ACB=45°，可得BC=AB=30米
Rt△ABD中，∠ADB=30°，可得BD=AB=30米
在△BCD中，BC=30米，BD=30米，∠CBD=30°，
由余弦定理可得：
CD2=BC2+BD2﹣2BCBDcos30°=900
∴CD=30米（负值舍去）
故选：C
【点评】本题给出实际应用问题，求炮台旁边两条小船距的距离．着重考查了余弦定理、空间线面的位置关系等知识，属于中档题．熟练掌握直线与平面所成角的定义与余弦定理解三角形，是解决本题的关键．
二、填空题
13．【答案】﹣4．
【解析】解：∵函数f（x）=，
∴f（﹣2）=4﹣2=，
f（f（﹣2））=f（）==﹣4．
故答案为：﹣4．
14．【答案】1．
【解析】解：若对双曲线C上任意一点A（点A在圆O外），
均存在与圆O外切且顶点都在双曲线C上的菱形ABCD，
可通过特殊点，取A（﹣1，t），
则B（﹣1，﹣t），C（1，﹣t），D（1，t），
由直线和圆相切的条件可得，t=1．
将A（﹣1，1）代入双曲线方程，可得﹣=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查双曲线的方程和运用，同时考查直线和圆相切的条件，属于基础题．15．【答案】84．
【解析】解：（x2﹣）9的二项展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x18﹣3r，
令18﹣3r=0，求得r=6，可得常数项的值为T7===84，
故答案为：84．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
16．【答案】．
【解析】解：由得，
所以．
又由f（x）g'（x）＞f'（x）g（x），即f（x）g'（x）﹣f'（x）g（x）＞0，也就是
，说明函数是减函数，
即，故．
故答案为
【点评】本题考查了应用导数判断函数的单调性，做题时应认真观察．
17．【答案】64 9
【解析】111]
考点：球的体积和表面积.
【方法点晴】本题主要考查了球的表面积和体积的问题，其中解答中涉及到截面圆圆心与
球心的连线垂直于截面，球的性质、球的表面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记球的截面圆圆心的性质，求出球的半径是解答的关键. 18．【答案】 i ．
【解析】解：复数
，
所以z 2=i ，又i 2=﹣1，所以1+z 50+z 100=1+i 25+i 50
=1+i ﹣1=i ；
故答案为：i ．
【点评】本题考查了虚数单位i 的性质运用；注意i 2
=﹣1．
三、解答题
19．【答案】（1）证明见解析；（2）弦长为定值，直线方程为1x =. 【解析】
（2）根据两点间距离公式、点到直线距离公式及勾股定理可求得弦长为
，进而得1a =时为定值.
试题解析：（1）设直线AB 的方程为2my x =-，由22,
4,
my x y x =-⎧⎨=⎩
得2
480y my --=，∴128y y =-，
因此有128y y =-为定值．111]
（2）设存在直线：x a =满足条件，则AC 的中点11
2(
,)22
x y E +，AC =
因此以AC 为直径圆的半径12r AC ===，E 点到直线
x a =的距离12
||2
x d a +=-，
所以所截弦长为==
=
当10a -=，即1a =时，弦长为定值2，这时直线方程为1x =．
考点：1、直线与圆、直线与抛物线的位置关系的性质；2、韦达定理、点到直线距离公式及定值问题.
20．【答案】（1）4
5
；（2）4． 【解析】
试题分析：（1）由向量垂直知两向量的数量积为0，利用数量积的坐标运算公式可得关于sin ,sin ,sin A B C 的等式，从而可借助正弦定理化为边的关系，最后再余弦定理求得
cos A ，
由同角关系得sin A ；（2）由于已知边及角A ，因此在（1）中等式222
65
bc
b c a +-=中由基本不等式可求得10bc ≤，从而由公式 1
sin 2
S bc A =可得面积的最大值． 试题解析：（1）∵(sin ,5sin 5sin )m B A C =+，(5sin 6sin ,sin sin )n B C C A =--垂
直，
∴2
2
2
5sin 6sin sin 5sin 5sin 0m n B B C C A ∙=-+-=，
考点：向量的数量积，正弦定理，余弦定理，基本不等式．111] 21．【答案】
【解析】解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ＜4，∵a 1+3，3a 2，a 3+4构成等差数列．
∴2×3a 2=a 1+3+a 3+4，∴6q=1+7+q 2
，解得q=2．
（2）由（1）可得：a n =2n ﹣1
．
b n =lna 3n+1=ln23n =3nln2．
∴数列{b n }的前n 项和T n =3ln2×（1+2+…+n ） =
ln2．
22．【答案】
【解析】证明：（1）由等腰梯形ABCD 中，
∵AB=CD=AD=1，BC=2，N 是AB 的中点，∴NE ⊥DE ，
又NE⊥DD1，且DD1∩DE=D，
∴NE⊥平面D1DE，
又NE⊂平面MNE，
∴平面MNE⊥平面D1DE．…
（2）等腰梯形ABCD中，
∵AB=CD=AD=1，BC=2，N是AB的中点，∴AB∥DE，∴AB∥平面D1DE，
又DD1∥BB1，则BB1∥平面D1DE，
又AB∩BB1=B，∴平面ABB1A1∥平面D1DE，
又MN⊂平面ABB1A1，∴MN∥平面D1DE．…
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设水池的底面积为S1，池壁面积为S2，
则有（平方米），
可知，池底长方形宽为米，则
（Ⅱ）设总造价为y，则
当且仅当，即x=40时取等号，
所以x=40时，总造价最低为297600元．
答：x=40时，总造价最低为297600元．
24．【答案】
【解析】（I）证明：由S n=2a n﹣n2+3n+2（n∈N*），∴当n≥2时，
，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1﹣2n+4，
变形为a n+2n=2[a n﹣1+2（n﹣1）]，当n=1时，a1=S1=2a1﹣1+3+2，解得a1=﹣4，∴a1+2=﹣2，∴数列{a n+2n}是等比数列，首项为﹣2，公比为2；
（II）解：由（I）可得a n=﹣2×2n﹣1﹣2n=﹣2n﹣2n．
∴b n=a n sinπ=﹣（2n+2n），∵==（﹣1）n，
∴b n=（﹣1）n+1（2n+2n）．
设数列{b n}的前n项和为T n．
当n=2k（k∈N*）时，T2k=（2﹣22+23﹣24+…+22k﹣1﹣22k）+2（1﹣2+3﹣4+…+2k﹣1﹣2k）
=﹣2k=﹣n．
当n=2k﹣1时，T2k﹣1=﹣2k﹣（﹣22k﹣4k）
=+n+1+2n+1=+n+1．
（III）证明：C n=﹣=，当n≥2时，c n．
∴数列{C n}的前n项和为P n＜==，
当n=1时，c1=成立．
综上可得：∀n∈N*，．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“放缩法”、三角函数的诱导公式、递推式的应用，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。