四川省成都外国语2021-2022高二数学5月月考试题 理(含解析)

四川省成都外国语2021-2022高二数学5月月考试题 理（含解析）
一.选择题(共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案集中填写在答题卷上.) 1.已知集合{}
11A x x =->，{}1,0,2,3B =-，则()U C A B =( )
A. {}0,2
B. {}0,1,2
C. {}1,3-
D.
{}1,0,1,2,3-
【答案】A 【解析】 【分析】
先化简集合A ，求出U C A ，再和集合B 求交集，即可得出结果. 【详解】因为{}{}
1120A x x x x x =->=><或， 所以{}
02U C A x x =≤≤， 又{}1,0,2,3B =-，所以{}(0,2)U C A B =.
故选A
【点睛】本题主要考查集合的混合运算，熟记概念即可，属于基础题型. 2.设1i
2i 1i
z +=+-，则z =( ) A. 2 B. 3
C. 4
D. 5
【答案】B 【解析】 【分析】
利用复数的除法运算求出z ，进而可得到z .
【详解】
()()()()1i 1i 1i 2i
i 1i 1i 1i 2
+++===--+，则3i z =，故3z =，选B. 【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了复数的模，属于基础题。

3.已知向量(5,)a m =，(2,2)b =-，若()a b b -⊥，则m =( ) A. 1- B. 1
C. 2
D. 2-
【答案】B 【解析】 【分析】
由(5,)a m =，(2,2)b =-，表示出a b -，再由()a b b -⊥，即可得出结果. 【详解】因为(5,)a m =，(2,2)b =-，所以(3,2)a b m -=+， 又()a b b -⊥，所以()0a b b -⋅=， 即322(2)0m ⨯-+=，解得1m =. 故选B
【点睛】本题主要向量数量积的坐标运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.
4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若44a =，972S =，则10a =( ) A. 20 B. 23
C. 24
D. 28
【答案】D 【解析】 【分析】
将已知条件转化为1a d ,的形式，列方程组，解方程组求得1a d ,的值，进而求得10a 的值.
【详解】由于数列是等差数列，故419
134
93672a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得18,4a d =-=，故
101983628a a d =+=-+=.故选D.
【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的基本量1a d ,、通项公式和前n 项和.基本元的思想是在等差数列中有5个基本量1,,,,n n a d a S n ，利用等差数列的通项公式或前n 项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列1a d ,，进而求得数列其它的一些量的值.
5.为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图，如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是( )
A. 是否倾向选择生育二胎与户籍有关
B. 是否倾向选择生育二胎与性别有关
C. 倾向选择生育二胎的人群中，男性人数与女性人数相同
D. 倾向选择不生育二胎的人群中，农村户籍人数少于城镇户籍人数 【答案】C 【解析】 【分析】
由题意，通过阅读理解、识图，将数据进行比对，通过计算可得出C 选项错误．
【详解】由比例图可知，是否倾向选择生育二胎与户籍、性别有关，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，
倾向选择生育二胎的人员中，男性人数为0.812096⨯=人，女性人数为0.68048⨯=人，男性人数与女性人数不相同，故C 错误，故选：C ．
【点睛】本题主要考查了条形图的实际应用，其中解答中认真审题，正确理解条形图所表达的含义是解答的关键，着重考查了阅读理解能力、识图能力，属于基础题.
6.“1m >”是“方程22
115
y x m m +=--表示焦点在y 轴上的双曲线”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
解得方程22
115
y x m m +=--表示焦点在y 轴上的双曲线的m 的范围即可解答.
【详解】22
115y x m m +=--表示焦点在y 轴上的双曲线⇔1050
m m ->⎧⎨
-<⎩,解得1<m<5, 故选：B.
【点睛】本题考查双曲线的方程，是基础题，易错点是不注意2
.5
x m -前是加号
7.已知π1
cos 25
α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=( )
A.
725
B. 725
-
C.
2325
D. 2325
-
【答案】C 【解析】 【分析】
由已知根据三角函数的
诱导公式，求得sin α，再由余弦二倍角，即可求解． 【详解】由π1
cos α25⎛⎫-= ⎪⎝⎭
，得1sin α5=，又由2123cos2α12sin α122525=-=-⨯=． 故选：C ．
【点睛】本题主要考查了本题考查三角函数的化简求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式及余弦二倍角公式的应用是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．
8.已知()1
3ln2a =，()1
3ln3b =，2log 0.7c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A. a b c << B. c a b << C. b a c << D. c b a <<
【答案】B 【解析】 【分析】
结合0,1进行a,b,c 的大小比较，即可。

【详解】22log 0.7log 10c =<=,()()11
330ln 21ln 3a b <=<<=,故c a b <<,故选B. 【点睛】本道题考查了对数、指数比较大小，关键可以结合0,1进行大小比较，难度中等。

9.如图，框图的功能是求满足111135111n ⨯⨯⨯⨯>的最小正整数n ，则空白处应填入的是
( )
A. 输出2i +
B. 输出i
C. 输出1i -
D. 输出2i -
【答案】D 【解析】 【分析】
根据框图，写出每一次循环的结果，进而做出判断. 【详解】根据程序框图得到循环是：1,3,M i == M=13,5,i ⨯=
135,7,M i =⨯⨯= 1357,9M i =⨯⨯⨯=
……
()13 5......2,M n i n =⨯⨯-=之后进入判断，不符合题意时，输出，输出的是i-2.
故答案为：D.
【点睛】这个题目考查了循环结构的程序框图，这种题目一般是依次写出每一次循环的结果，直到不满足或者满足判断框的条件为止.
10.在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC 是边长为23的等边三角形，
7PA PB ==，则该三棱锥外接球的表面积为( )
A.
654
π
B. 16π
C.
6516
π
D.
494
π
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意，求得所以ABC ∆外接圆的半径为2，且3CE =，所以1ED =，又由平面PAB ⊥平面ABC ，得PE ⊥平面ABC ，且2PE =，进而利用在直角PCD ∆中，由正弦定理求得求得半径，利用球的表面积公式，即可求解.
【详解】由题意，如图所示，因为ABC ∆是边长为23的等边三角形， 所以ABC ∆外接圆的半径为
3
232⨯=，且3CE =，所以1ED =， 又由平面PAB ⊥平面ABC ，7PA PB ==， 在等腰PAB ∆中，可得PE ⊥平面ABC ，且2PE =，
在直角PCE ∆中，22223213PC CE PE =+=+=,且213
sin PE PCE PC ∠==
, 在直角PED ∆中，2222125PD ED PE =
+=+=,
在直角PCD ∆中，由正弦定理得652sin PD R PCD =
=
∠，即球的半径为65
R =， 所以球的表面积为2656544(
)4
R π
ππ=⨯=
，故选A.
【点睛】本题考查了有关球的组合体问题，以及球的表面积的计算问题，解答时要认真审题，
正确认识组合体的结构特征，注意组合体的性质的合理运用，合理求解球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.
11.设1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，若在直线2
a x c =（其中
222c b a +=）上存在点P ，使线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是
( )
A. 0,2⎛ ⎝⎦
B. 0,3⎛ ⎝⎦
C. 3⎫
⎪⎢⎪⎣⎭
D. 2⎫
⎪⎪⎣⎭
【答案】C 【解析】 【
分析】
由题意得 ()1,0)F c -，2F (),0c ，设点2,a P m c ⎛⎫
⎪⎝⎭
，由中点公式可得线段1PF 的中点221
(,22
a c K m c - )，可得线段1PF 的斜率与2KF 的斜率之积等于1-，可得
2222221
0021302m m a a m c c a a c c c c c c c
-⎛⎫⎛⎫-⋅=-=-+⋅-≥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭+-，，可得e 的范围.
【详解】解：由题意得 ()1,0)F c -，2F (),0c ，
设点2,a P m c ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 则由中点公式可得线段1PF 的中点221(,22
a c K m c - )，
∴线段1PF 的斜率与2KF 的斜率之积等于1-，
即2
221
212m m a a c c c c c
--⋅=--+-，
222
30a a m c c c c ⎛⎫⎛⎫
∴=-+⋅-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
4224230a a c c ∴--≤，
423210e e ∴+-≥，2
13
e ∴≥
，或2
1(e ≤-舍去)，
e ∴≥
． 又椭圆的离心率 01e <<，
1e ≤<， 故选：C ．
【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的相关问题，根据题意列出不等式是解题的关键.
12.若对于函数()()2ln 1f x x x =++图象上任意一点处的切线1l ，在函数
()
sin cos 22
x x
g x x =-的图象上总存在一条切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围
为( )
A. ()
,-∞⋃+∞
B. ⎡-⎢⎣⎦
C. 121,,22⎛⎡⎤
--∞+∞ ⎢⎥ ⎝⎦
⎣⎦
D. 1,12⎤⎢⎥⎣⎦
【答案】A 【解析】 【分析】
求得f （x ）的导数，可得切线l 1的斜率k 1，求得g （x ）的导数，可得切线l 2的斜率k 2，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合正弦函数的值域和条件可得，∀x 1，∃x 2使得等式
成立，即（
12，0）⊆[﹣12-|a |，﹣12
+a |]，解得a 的范围即可． 【详解】解：函数f （x ）＝1n （x +1）+x 2， ∴f ′（x ）1
1
x =
++2x ，（ 其中x ＞﹣1），
函数g （x
）=
sin 2x cos 2x -
x =
sin x ﹣x ， ∴g ′（x
）2
=
a cos x ﹣1； 要使过曲线f （x ）上任意一点的切线为l 1，
总存在过曲线g （x ）＝上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2， 则[
111x ++2x 1）
（2
a cos x 2﹣1）＝﹣1，
2a cos x 2﹣1111
121
x x -=++，
∵
111x ++2x 111
1
x =++2（x 1+1）﹣2≥
2 ∵∀x 1，∃x 2使得等式成立，
∴（
12，0）⊆[﹣
12-|a |，﹣
12
+|a |]， 解得|a
|≥
即a 的取值范围为
a ≥
a ≤．
故选：A ．
【点睛】本题考查导数的应用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及转化思想的运用，区间的包含关系，考查运算能力，属于中档题．
二.填空题(共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填写在答题卷上.) 13.在ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ．若a b >
2sin b A =，则
B =_____．
【答案】
4
π
【解析】 【分析】
首先利用正弦定理边化角，然后结合大边对大角确定B ∠的值即可.
2bsinA =
2sin sin A B A =
，故sin B =， 由a b >可得A B ∠>∠，故B ∠为锐角，则3
B π
=
故答案为：
3
π． 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14.
若二项式261)x x
+的展开式中的常数项为m ，则2
13m x dx =⎰_____________. 【答案】124 【解析】 【分析】
先根据二项展开式求得常数项项数，即得常数项，再根据定积分得结果.
【详解】因为6621231661r
r
r
r
r
r r T C x C x x ---+⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
，
所以由1230r -=
得2
4
64,5r m C ===⎝⎭
,
因此
1
1
2
2335533|51=1241
m x dx x dx x ⎰=⎰==-. 【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.
15.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：222430x y x y +---=与x 轴交于A ，B 两点，若动直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且CMN △的面积为4，若P 为MN 的中点，则PAB △的面积最大值为_____． 【答案】8 【解析】
【分析】
根据题意求出点A 、B 的坐标，然后根据△CMN 的面积为4求得MN 的长以及高PD 的长，再利用面积公式，求得结果.
【详解】当y=0时，2230x x --=解得x=-1或x=3， 即A （-1,0），B （3,0）
圆的标准方程：2
2
(1)(2)8x y -+-= 圆心C （1,2）半径r=12
x x
△CMN 的面积为4
即1
42
S MCN =
⨯∠= 则sin 1MCN ∠=，即90MCN ∠=
1
4,22
MN CP MN ===
= 要使△PAB 的面积最大，则⊥CP AB 此时三角形的高PD=2+2=4，AB=3-(-1)=4 则△PAB 的面积1
4482
S =⨯⨯= 故答案为8
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及面积公式等综合知识，解题的关键是在于能否知道直线与圆的相交关系，属于中档题.
16.已知定义在R 上的可导函数()f x ，对于任意实数x 都有()()2f x f x +-=，且当
(,0]x ∈-∞时，都有()1f x '<，若()1f m m >+，则实数m 的取值范围为________．
【答案】(),0-∞ 【解析】 分析】
令()()()1g x f x x =-+，则()()1g x f x ''=-，得()g x 在(]
,0-∞上单调递减，且()g x 关于()0,1对称，在()0,∞+上也单调递减，又由()01f =，可得()00g =，则()1f m m >+，即()()0g m g >，即可求解.
【详解】由题意，知()()2f x f x +-=，可得()f x 关于()0,1对称， 令()()()1g x f x x =-+，则()()1g x f x ''=-，
因为()'1f x <，可得()g x 在(]
,0-∞上单调递减，且()g x 关于()0,1对称， 则
()0,∞+上也单调递减，
又因为()01f =，可得()00g =，则()1f m m >+，即()()0g m g >，解得0m <， 即实数m 的取值范围是(,0)-∞.
【点睛】本题主要考查了函数性质的综合应用，以及不等关系式的求解，其中解答中令函数
()()()1g x f x x =-+，利用导数求得函数的单调性和对称性质求解不等式是解答的关键，
着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
三.解答题(共6题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.请将解答过程写在答题卷相应题号的下面.)
17.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θ
θ=+⎧⎨=⎩
（θ为参数），以坐标原点为极
点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()4
R π
θρ=∈．
(1)求直线l 与曲线1C 公共点的极坐标；
(2)设过点31,22P ⎛⎫
⎪⎝⎭
的直线l '交曲线1C 于A ，B 两点，且AB 的中点为P ，求直线l '的斜率．
【答案】(1) 直线l 与曲线1C 公共点的极坐标为(0,0)，)4
π
(2)-1
【解析】 【分析】
(1)写出直线l 和曲线1C 的直角坐标方程，然后联立求交点坐标，化成极坐标即可;(2)写出直线l '的参数方程代入曲线1C 中，利用弦中点参数的几何意义即可求解. 【详解】（1）曲线1C 的普通方程为()2
211x y -+=， 直线l 的普通方程为y x =
联立方程()2
211
x y y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩
，解得00x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩
所以，直线l 与曲线1C 公共点的极坐标为()0,0
，4π⎫
⎪⎭
（2）依题意，设直线l '的参数方程为32
12x tcos y tsin αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（α为倾斜角，t 为参数），
代入()2
211x y -+=，整理得：()2
1
cos sin 02
t t αα++-
=. 因为AB 的中点为P ，则120t t +=. 所以，cos sin 0αα+=即tan 1α=-. 直线l '的斜率为-1.
【点睛】本题考查直线和圆的参数方程，考查参数的几何意义的应用，属于基础题型.
18.已知函数3
2
()39.f x x x x a =-+++ (1)求()f x 的单调减区间
(2)若()f x 在区间[2,2]-上的最大值为20，求它在该区间上的最小值. 【答案】(1) （－∞，－1），（3，＋∞）(2)-7 【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求出函数f （x ）的导函数f′（x ），然后令f′（x ）＜0，解得的区间即为函数f （x ）的单调递减区间；
（Ⅱ）先求出端点的函数值f （﹣2）与f （2），比较f （2）与f （﹣2）的大小，然后根据函数f （x ）在[﹣1，2]上单调递增，在[﹣2，﹣1]上单调递减，得到f （2）和f （﹣1）分别是f （x ）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，建立等式关系求出a ，从而求出函数f （x ）在区间[﹣2，2]上的最小值． 解：（Ⅰ）f′（x ）=﹣3x 2+6x+9． 令f′（x ）＜0，解得x ＜﹣1或x ＞3，
所以函数f （x ）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）． （Ⅱ）因为f （﹣2）=8+12﹣18+a=2+a ，f （2）=﹣8+12+18+a=22+a ，
所以f （2）＞f （﹣2）．
因为在（﹣1，3）上f′（x ）＞0，所以f （x ）在[﹣1，2]上单调递增， 又由于f （x ）在[﹣2，﹣1]上单调递减，
因此f （2）和f （﹣1）分别是f （x ）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=﹣2．
故f （x ）=﹣x 3
+3x 2
+9x ﹣2，因此f （﹣1）=1+3﹣9﹣2=﹣7， 即函数f （x ）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣7．
点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．以及在闭区间上的最值问题等基础知识，同时考查了分析与解决问题的综合能力．
19.在10件产品中,有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件．求： （1）取出的3件产品中一等品件数X 的分布列；
（2）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率． 【答案】（1）详见解析；（2）31
120
. 【解析】 【分析】
（1）试验包含的所有事件总数为C 103，满足条件的事件是从10件产品中任取3件，其中恰有
k 件一等品的结果数为C 3k C 73﹣k ，写出概率，列出分布列即可；
（2）事件包括三种情况，一是恰好取出1件一等品和2件三等品，二是恰好取出2件一等品，三是恰好取出3件一等品，这三种情况是互斥的，根据互斥事件的概率，得到结果即可． 【详解】（1）题意知 X 的所有可能取值为 0，1，
2，3，且 X 服从参数为 10N =，3M =，3n = 的超几何分布，
因此 ()()337
3
10C C 0,1,2,3C k k
P X k k -===． 所以 ()03373
10C C 357
0C 12024
P X ====；
()1237
310C C 63211C 12040P X ====；
()21373
10C C 217
2C 12040P X ====； ()3037
310C C 13C 120
P X ===．
故 X 的分布列为 :
（2）设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A ，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件1A ，
“恰好取出2件一等品”为事件2A ，“恰好取出3件一等品”为事件3A ， 由于事件1A ，2A ，3A 彼此互斥，且123A A A A =++，
而()1233
13
10C C 3C 40P A ==，()()27240P A P X ===，()()313120
P
A P X ===， 所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为：
()()()()123371314040120120
P A P A P A P A =++=
++=． 【点睛】本题考查离散型随机变量的超几何分布列，互斥事件概率的计算，属于中档题.
20.如图，四棱锥中P ABCD -，四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，2
PA PD AD ==，平面PAD ⊥平面ABCD .
（1）求证：AD PB ⊥；
（2）求二面角A PC D --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）105
【解析】 【分析】
（1）取AD 中点O 连结PO ，BO ，先证明AD ⊥平面BOP ，即可证明AD PB ⊥； （2）先证明,,OA OB OP 两两垂直.以O 为原点，分别以,,OA OB OP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -.求出平面PAC 与平面PCD 的法向量，代入公式
即可得到结果.
【详解】（1）证明：取AD 中点O 连结PO ，BO ，
PA PD =，PO AD ∴⊥.
又四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，故ABC ∆是正三角形， 又点O 是AD 的中点，BO AD ∴⊥. 又PO BO O ⋂=，PO BO ⊂、平面BOP ，
AD ∴⊥平面BOP ，又PB ⊂平面BOP . AD PB ∴⊥.
（2）解：
PA PD =，点O 是OD 的中点，PO AD ∴⊥.
又平面PAD ⊥平面ABCD .
平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，
PO ∴⊥平面ABCD ，又,AO BO ⊂平面ABCD . PO AO ∴⊥，PO BO ⊥.又AO BO ⊥，
所以,,OA OB OP 两两垂直.
以O 为原点，分别以,,OA OB OP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系
O xyz -.
设2AB =，则各点的坐标分别为()()
1,0,0,3,0A B ，()
()3,0,1,0,0C D --，
()0,0,1P .
故()
3,0AC =-，()1,0,1AP =-，()
3,1PC =--，()1,0,1PD =--， 设()1111,,n x y z =，()2222,,n x y z =分别为平面PAC ，平面PCD 的一个法向量，
由11•0•0n AC n AP ⎧=⎪⎨=⎪⎩可得1111330
x y x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令11z =，则11x =，13y =()
11,3,1n =. 由22•0•0n PC n PD ⎧=⎪⎨=⎪⎩可得222222300x y z x z ⎧-+-=⎪⎨--=⎪⎩，令21z =，则21x =-，233y =-，故
231,,13n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭
.
()
1233,1?1,105cos ,135
131?11
33
n n ⎛⎫
- ⎪
-⎝⎭=
==++++.
又由图易知二面角A PC D --是锐二面角，
所以二面角A PC D --【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
21.已知椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>经过点12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且右焦点)
2
F ．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)若直线:l y kx =+E 交于A ，B 两点，当AB 最大时，求直线l 的方程．
【答案】(1)2214x y +=；(2)y x =±+【解析】 【分析】
（Ⅰ）由右焦点F 20），得c ，利用椭圆定义可求 a ，从而得解； （Ⅱ）由直线与椭圆联立，利用弦长公式表示弦长，换元成二次函数求最值．
【详解】解：()Ⅰ设椭圆E 的左焦点()
1F ，则12242a PF PF a =+=⇒=
又2
2
2
1c b a c =⇒=-=，所以椭圆E 的方程为2
214
x y +=
()
Ⅱ由(
)
22
22
144044
y kx k x x y ⎧=+⎪⇒+++=⎨+=⎪⎩，设()()1122,,,A x y B x y
由()
2
2
21128161404k k
k ∆=-+>⇒>
，且1212224
,1414x x x x k k
+=-=++
AB ==.
设2114t k =+，则10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，AB ==≤
当112t =
，即2k =±AB 有最大值6，此时:2
l y x =±. 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，考查了弦长公式，计算能力，属中档题．
22.已知函数()ln e x
f x a x =-，a R ∈．
（1）试讨论函数()f x 的极值点的个数；
（2）若a N *∈，且()0f x <恒成立，求a 的最大值． 参考数据：
【答案】（1）见解析；（2）10 【解析】 【分析】
（1）求出函数f （x ）的导数，按①当a ≤0时，②当a ＞0时，分类讨论求解即可； （2）由于()0f x <恒成立，利用() 1.6
1.6ln1.6e 0f a =-<，16
e 10.5ln1.6
a <≈．
；
()17
1.7ln1.7e
0f a =-<．，17e 10.3ln1.7a <≈．；()18
1.8ln1.8e 0f a =-<．，18e 10.3ln1.8
a <≈．；因为
a N *∈，猜想：a 的最大值是10，再证明a ＝10符合题意即可.
【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+．()'
e x
a f x x
=
-， ①当0a ≤时，()'
0f
x <，()f x 在定义域()0,∞+单调递减，()f x 没有极值点；
②当0a >时，()'
e x
a f x x
=
-在()0,∞+单调递减且图像连续，
()'1e 0a f a =-<，0x →时
()'f x →+∞，∴存在唯一正数0x ，使得()'00f x =，
函数()f x 在00,x 单调递增，在0,x 单调递减，∴函数()f x 有唯一极大值点0x ，没
有极小值点，
综上：当0a ≤时，()f x 没有极值点；当0a >时，()f x 有唯一极大值点，没有极小值点． （2）由于()0f x <恒成立，∴() 1.6
1.6ln1.6e 0f a =-<，16
e 10.5ln1.6
a <≈．
；
()17
1.7ln1.7e
0f a =-<．，17e 10.3ln1.7a <≈．；()18
1.8ln1.8e 0f a =-<．，18e 10.3ln1.8
a <≈．；
∵a N *∈，∴猜想：a 的最大值是10．下面证明10a =时，()10ln e 0x f x x =-<． ()'10e x f x x
=
-，且()'
f x 在()0,∞+单调递减，由于()'1.740f >，()'1.80f <， ∴存在唯一()0 1.74,1.8x ∈，使得()0'
0010e 0x f x x =-=，
∴()()()0
0000max
0010110ln e 10ln1010ln10x f x f x x x x x x ⎡⎤
⎛⎫==-=--=-+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
．
令()110ln10u x x x ⎡⎤
⎛
⎫=-+
⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
，()1.74,1.8x ∈，易知()u x 在()1.74,1.8单调递减， ∴()()()11.7410ln10 1.74102.303 2.3101.74u x u ⎡⎤
⎛⎫<=-+
<-< ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣
⎦
， ∴()()00max 0110ln100f x f x x x ⎡⎤⎛⎫==-+<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣
⎦，即10a =时，()10ln e 0x
f x x =-<．
∴a 的最大值是10．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值、最值，考查恒成立问题的求解方法，体现了分类讨论的数学思想方法，属于难题．。