高考数学压轴专题2020-2021备战高考《函数与导数》全集汇编及答案解析

【最新】数学《函数与导数》专题解析(1)
一、选择题
1．函数()2log ,0,2,0,
x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩则函数()()()2
384g x f x f x =-+的零点个数是（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．6
【答案】A 【解析】 【分析】
通过对()g x 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数． 【详解】 函数()()()2
384g x f x f x =-+=()()322f x f x --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的零点
即方程()2
3
f x =和()2f x =的根， 函数()2lo
g ,0,2,0
x
x x f x x ⎧>=⎨
≤⎩的图象如图所示：
由图可得方程()2
3
f x =和()2f x =共有5个根， 即函数()()()2
384g x f x f x =-+有5个零点,
故选：A. 【点睛】
本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．
2．已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()ln 1f x x x =+，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为（ ） A ．y x =- B ．2y x =-+
C ．y x =
D ．2y x =-
【答案】A 【解析】 【分析】
首先根据函数的奇偶性，求得当0x <时，()f x 的解析式，然后求得切点坐标，利用导数求得斜率，从而求得切线方程. 【详解】
因为0x <，()()ln()1f x f x x x =-=--+，()11f -=，()ln()1f x x '=---，
(1)1f '-=-，所以曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为()11y x -=-+，即y x =-.
故选：A 【点睛】
本小题主要考查根据函数奇偶性求函数解析式，考查利用导数求切线方程，属于基础题.
3．三个数0.20.4
0.44,3,log 0.5的大小顺序是 （ ） A ．0.40.2
0.43<4log 0.5<
B ．0.40.2
0.43<log 0.5<4
C ．0.4
0.20.4log 0.534<<
D ．0.2
0.40.4log 0.54
3<<
【答案】D 【解析】
由题意得，120.2
0.4
5
5
0.4
0log
0.514
43
3<<<==== D.
4．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为（ ） A ．ln 2 B ．1
C ．1ln2-
D ．1ln2+
【答案】D 【解析】
由ln y x x =得'ln 1y x =+，设切点为()00,x y ，则0
ln 1k x =+，000
002
ln y kx y x x =-⎧⎨=⎩，0002ln kx x x ∴-=，00
2
ln k x x ∴=+
，对比0ln 1k x =+，02x ∴=，ln 21k ∴=+，故选D.
5．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,∞+上单调递增，则（ ） A ．()()()0.6
33log 132f f f -<-<
B ．()()()0.6
332log 13f f f -<<-
C ．()()()0.6
3
2
log 133f f f <-<- D ．()()()0.6
3
2
3log 13f f f <-<
【答案】C 【解析】 【分析】
利用指数函数和对数函数单调性可得到0.6
32log 133<<，结合单调性和偶函数的性质可
得大小关系.
【详解】
()f x Q 为R 上的偶函数，()()33f f ∴-=，()()33log 13log 13f f -=，
0.633322log 9log 13log 273<=<<=Q 且()f x 在()0,∞+上单调递增，
()()()0.632log 133f f f ∴<<，()()()0.632log 133f f f ∴<-<-.
故选：C . 【点睛】
本题考查函数值大小关系的比较，关键是能够利用奇偶性将自变量转化到同一单调区间内，由自变量的大小关系，利用函数单调性即可得到函数值的大小关系.
6．函数()x
e f x x
=的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】
函数()x
e f x x
=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，排除选项A ；
当0x >时，()0f x >，且()2
(1)'x
x e f x x
-= ，故当()0,1x ∈时，函数单调递减，当()1,x ∈+∞时，函数单调递增，排除选项C ；
当0x <时，函数()0x
e f x x
=<，排除选项D ，选项B 正确．选B ．
点睛：函数图象的识别可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；
(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
7．已知函数()2
f x x x =+，且()1
231ln
log 223a f b f c f -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，，，则a b c ，，的大小关系为（ ）
A ．a c b <<
B ．b c a <<
C ．c a b <<
D ．b a c <<
【答案】A 【解析】 【分析】
由函数()2
f x x x =+，可得()()f x f x -=，得到函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，又由由二次函数的性质可得，函数()f x 在[0,)+∞上为单调递增函数，则函数
()f x 在(,0)-∞上为单调递减函数，再根据对数函数的性质，结合图象，即可求解．
【详解】
由题意，函数()2
f x x x =+，满足()()2
2
()f x x x x x f x -=-+-=+=，
所以函数()f x 为定义域上的偶函数，图象关于y 轴对称，
又当0x ≥时，()2
f x x x =+，由二次函数的性质可得，函数()f x 在[0,)+∞上为单调递
增函数，则函数()f x 在(,0)-∞上为单调递减函数，
又由31ln 22<=，113222log log 1<=-，1
122
-=，
根据对称性，可得11
323(ln )(2)(log )2
f f f -<<，即a c b <<，故选A ．
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的应用，其中解答中得到函数的单调性与奇偶性，以及熟练应用对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
8．函数log (3)1a y x =-+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线
10mx ny +-=上，其中·0m n >，则
41
m n
+的最小值为（） A ．16 B ．24
C ．50
D ．25
【答案】D 【解析】
【分析】
由题A （4，1），点A 在直线上得4m+n ＝1，用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值． 【详解】
令x ﹣3＝1，解得x ＝4，y ＝1，
则函数y ＝log a （x ﹣3）+1（a ＞0且a≠1）的图象恒过定点A （4，1）， ∴4m+n ＝1， ∴
41m n +=（41m n +）（4m+n ）＝16+14n 4m m n
++
=17+8＝25，当且仅当m ＝n 15=时取等号，
故则
41
m n +的最小值为25， 故选D ． 【点睛】
本题考查均值不等式，在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．
9．设奇函数()f x 在[]11-，上为增函数，且()11f =，若[]11x ∃∈-，，使[]11a ∀∈-，，
不等式()2
21f x t at ≤--成立，则t 的取值范围是（ ）
A ．22t -≤≤
B ．11
22
t -
≤≤ C ．2t ≥或2t ≤-或0t = D ．1
2
t ≥
或12t ≤-或0t =
【答案】C 【解析】 【分析】
()f x 在[]11x ∈-，上为增函数,[]11x ∃∈-，，使[]11a ∀∈-，,不等式()221f x t at ≤--成
立,只需对于[]11a ∀∈-，,()2
121f t at -≤--即可.
【详解】
∵奇函数()f x 在[]11x ∈-，上为增函数，且()11f =， ∴函数在[]11x ∈-，上的最小值为()()111f f -=-=-，
又∵[]11x ∃∈-，，使[]11a ∀∈-，，不等式()2
21f x t at ≤--成立，
∴()2
2111t at f --≥-=-，
即220t at -≥， ①0t =时，不等式成立；
②0t >时，()2
220t at t t a -=-≥恒成立，从而2t a ≥，解得2t ≥；
③0t <时，()2
220t at t t a -=-≥恒成立，从而2t a ≤，解得2t ≤-
故选：C. 【点睛】
本题考查了含参数不等式恒成立问题，需要将不等式问题转化为函数最值问题，考查了理解辨析能力、运算求解能力和分类讨论思想，是中档题.
10．函数()3ln x
f x x
=
的部分图象是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
根据奇偶性排除B ，当1x >时，()3ln 0x
f x x
=>，排除CD ，得到答案. 【详解】
()()()33ln ln ,x x
f x f x f x x x
=
-==--， ()f x 为奇函数，排除B 当1x >时，()3ln 0x
f x x
=>恒成立，排除CD
故答案选A 【点睛】
本题考查了函数图像的判断，通过奇偶性，特殊值法排除选项是解题的关键.
11．已知函数()ln x
f x x
=，则使ln ()()()f x g x a f x =-有2个零点的a 的取值范围（ ） A ．(0,1) B ．10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭
【答案】B 【解析】 【分析】 令()ln x
t f x x
==，利用导数研究其图象和值域，再将ln ()()()f x g x a f x =
-有2个零点，转化为ln t
a t
=在[),e +∞上只有一解求解. 【详解】 令()ln x t f x x ==
，当01x <<时，()0ln x
t f x x
==
<， 当1x >时，()
2
ln 1
()ln x t f x x -''==
，
当1x e <<时，0t '<，当x e >时，0t '>， 所以当x e =时，t 取得最小值e ，所以t e ≥， 如图所示：
所以ln ()()()f x g x a f x =-有2个零点，转化为ln t
a t
=在[),e +∞上只有一解， 令ln t m t =
，2
1ln 0t m t -'=≤，所以ln t
m t
=在[),e +∞上递减， 所以1
0m e
<≤， 所以10a e <≤，当1
a e
=时，x e =，只有一个零点，不合题意， 所以10a e
<< 故选：B 【点睛】
本题主要考查导数与函数的零点，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
12．若函数()()sin x
f x e x a =+在区间,22ππ
⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递增，则实数a 的取值范围是
（） A ．)
2,⎡+∞⎣ B ．[
)1,+∞ C ．()1,+∞
D ．()
2,-+∞
【答案】B 【解析】 【分析】
将问题转化为()0f x '≥在,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上恒成立；根据导函数解析式可知问题可进一步转化
为2sin 04x a π⎛⎫++≥ ⎪⎝
⎭在,22ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭上恒成立；利用正弦型函数值域求法可求得(
2sin 1,24x a a a π⎛
⎫⎤++∈-++ ⎪⎦⎝
⎭，则只需10a -+?即可，解不等式求得结果. 【详解】
由题意得：()()sin cos 2sin 4x
x x f x e
x a e x e x a π⎛
⎫⎛
⎫'=++=++ ⎪
⎪⎝⎭⎭
()f x Q 在,22ππ
⎛⎫- ⎪⎝
⎭
上单调递增 ()0f x '∴≥在,22
ππ
⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
上恒成立
又0x e > 2sin 04x a π⎛
⎫
∴+
+≥ ⎪⎝
⎭
在,22ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭上恒成立 当,22x ππ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
时，3,
444x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭ 2sin ,142x π⎛⎤⎛
⎫∴+∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦
(
2sin 1,24x a a a π⎛
⎫⎤∴++∈-++ ⎪⎦⎝⎭
10a ∴-+≥，解得：[)1,a ∈+∞ 本题正确选项：B 【点睛】
本题考查根据函数在一段区间内的单调性求解参数范围问题，涉及到正弦型函数值域的求解问题；本题解题关键是能够将问题转化为导函数在区间内恒大于等于零的问题，从而利用三角函数的最值来求得结果.
13．已知函数
在区间
上有最小值，则函数
在区间
上一定（ ）
A ．有最小值
B ．有最大值
C ．是减函数
D ．是增函数
【答案】D 【解析】 【分析】 由二次函数
在区间
上有最小值得知其对称轴
，再由基本初等函数的单调性或单调性的性质可得出函数在区间
上的单调性.
【详解】 由于二次函数
在区间
上有最小值，可知其对称轴
，
.
当时，由于函数
和函数在上都为增函数，
此时，函数在上为增函数；
当时，
在
上为增函数；
当时，由双勾函数的单调性知，函数
在
上单调递
增，
，所以，函数
在
上为增函数.
综上所述：函数在区间
上为增函数，故选D.
【点睛】
本题考查二次函数的最值，同时也考查了
型函数单调性的分析，解题时要注意对
的符号进行分类讨论，考查分类讨论数学思想，属于中等题.
14．函数()(
)2
ln 43f x x x =+-的单调递减区间是（ ）
A ．3,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
B ．32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
，
C ．31,2
⎛⎤- ⎥⎝
⎦
D ．342⎡⎫⎪⎢⎣⎭
，
【答案】D 【解析】 【分析】
先求函数定义域，再由复合函数单调性得结论． 【详解】
由2430x x +->得14x -<<，即函数定义域是(1,4)-，
2232543()24
u x x x =+-=--+在3(1,]2-上递增，在3
[,4)2上递减，
而ln y u =是增函数，
∴()f x 的减区间是3[,4)2
． 故选：D ． 【点睛】
本题考查对数型复合函数的单调性，解题时先求出函数的定义域，函数的单调区间应在定义域内考虑．
15．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a 元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为( ) A ．17(1)a r + B ．17[(1)(1)]a
r r r +-+
C ．18(1)a r +
D ．18[(1)(1)]a
r r r
+-+
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意可得：孩子18岁生日时将所有存款（含利息）全部取回，可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和，再由等比数列前n 项和公式求解即可. 【详解】 解：根据题意，
当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为17(1)a r +， 同理：孩子在2周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为16(1)a r +， 孩子在3周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为15(1)a r +，
⋯⋯
孩子在17周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为(1)a r +，
可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和， 此时将存款（含利息）全部取回， 则取回的钱的总数：
1717
16
18(1)[(1)1](1)(1)(1)[(1)(1)]11a r r a
S a r a r a r r r r r
++-=++++⋯⋯++==+-++-；
故选：D ． 【点睛】
本题考查了不完全归纳法及等比数列前n 项和，属中档题.
16．已知函数f （x ）＝2x －1，()2
cos 2,0?
2,0
a x x g x x a x +≥⎧=⎨
+<⎩（a ∈R ），若对任意x 1∈[1，＋∞），总存在x 2∈R ，使f （x 1）＝g （x 2），则实数a 的取值范围是（） A ．1,
2⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
B ．2,3⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
C ．[]1,
1,22⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭U D ．371,,224⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
U 【答案】C 【解析】 【分析】
对a 分a=0,a ＜0和a ＞0讨论，a ＞0时分两种情况讨论，比较两个函数的值域的关系，即得实数a 的取值范围. 【详解】
当a =0时，函数f （x ）＝2x －1的值域为[1,+∞），函数()g x 的值域为[0,++∞），满足题意. 当a ＜0时，y =2
2(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）, y =()cos 20a x x +≥的值域为[a +2,-a +2],
因为a +2-2a =2-a >0,所以a +2＞2a , 所以此时函数g (x )的值域为（2a ,+∞）, 由题得2a ＜1，即a ＜
1
2
，即a ＜0. 当a ＞0时，y =2
2(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）,y =()cos 20a x x +≥的值域为[-a +2,a +2],
当a ≥2
3时，-a +2≤2a ,由题得21,1222a a a a -+≤⎧∴≤≤⎨
+≥⎩
. 当0＜a ＜
23时，-a +2＞2a ，由题得2a ＜1，所以a ＜12.所以0＜a ＜1
2
. 综合得a 的范围为a ＜1
2
或1≤a ≤2， 故选C . 【点睛】
本题主要考查函数的图象和性质，考查指数函数和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
17．如图，记图中正方形介于两平行线x y a +=与1x y a +=+之间的部分的面积为
()S S a =，则()S a 的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】
根据函数的部分特征，利用排除法，即可得到本题答案. 【详解】
①当011a ≤+<时，即10a -≤<，21
()(1)2
S a a =
+；
②当11a +=时，即0a =，1()2
S a =
. 由此可知，当10a -≤<时，21()(1)2S a a =+且1
(0)2
S =，所以,,A B C 选项不正确. 故选：D 【点睛】
本题主要考查根据函数的性质选择图象，排除法是解决此题的关键.
18．函数2ln x x y x
=
的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】
根据函数为偶函数排除B ,当0x >时,利用导数得()f x 在1(0,)e
上递减,在1
(,)e +∞上递增,根
据单调性分析,A C 不正确,故只能选D . 【详解】
令2ln ||()||x x f x x =
,则2()ln ||
()()||
x x f x f x x ---==-,
所以函数()f x 为偶函数,其图像关于y 轴对称,故B 不正确,
当0x >时,2ln ()ln x x
f x x x x
==,()1ln f x x '=+,
由()0f x '>,得1
x e >
,由()0f x '<,得10x e
<<, 所以()f x 在1(0,)e
上递减,在1
(,)e +∞上递增,
结合图像分析,,A C 不正确.
故选:D 【点睛】
本题考查了利用函数的奇偶性判断函数的图象,考查了利用导数研究函数的单调性,利用单调性判断函数的图象,属于中档题.
19．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（ ）.（取
lg30.4771≈，lg 20.3010≈）
A ．16
B ．17
C ．24
D ．25
【答案】D 【解析】 【分析】
由折线长度变化规律可知“n 次构造”后的折线长度为43n
a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此得到410003n
⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
，利用运算法则可知3
2lg 2lg 3
n ≥⨯-，由此计算得到结果.
【详解】
记初始线段长度为a ，则“一次构造”后的折线长度为
4
3
a ，“二次构造”后的折线长度为2
43a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，以此类推，“n 次构造”后的折线长度为43n
a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
若得到的折线长度为初始线段长度的1000倍，则410003n a a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即410003n
⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， ()()44lg lg lg 4lg32lg 2lg3lg1000333n
n n n ⎛⎫
∴==-=-≥= ⎪⎝⎭，
即3
24.0220.30100.4771n ≥
≈⨯-，∴至少需要25次构造.
故选：D . 【点睛】
本题考查数列新定义运算的问题，涉及到对数运算法则的应用，关键是能够通过构造原则得到每次构造后所得折线长度成等比数列的特点.
20．已知函数()2ln 2
x
x f x e x =+-的极值点为1x ，函数()2x
g x e x =+-的零点为2x ，
函数()ln 2x
h x x
=
的最大值为3x ，则（ ） A ．123x x x >> B ．213x x x >>
C ．312x x x >>
D ．321x x x >>
【答案】A 【解析】 【分析】
根据()f x '在()0,∞+上单调递增，且11024f f ⎛⎫⎛⎫
''⋅<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，可知导函数零点在区间
11,42⎛⎫
⎪⎝⎭内，即()f x 的极值点111,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；根据()g x 单调递增且11024g g ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知
211,42x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
；通过判断()()12g x g x >，结合()g x 单调性可得12x x >；利用导数可求得
()max 1124h x e =
<，即31
4
x <，从而可得三者的大小关系. 【详解】
()1
x f x e x x
'=+-Q 在()0,∞+上单调递增
且1213022f e ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，1
4115044f e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭ 111,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭且11
1
10x e x x +-= Q 函数()2x g x e x =+-在()0,∞+上单调递增
且1213022g e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，1
4112044g e ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭
211,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ 又()()1
111121111
2220x g x e x x x g x x x ⎛⎫=+-=-+-=->= ⎪⎝⎭
且()g x 单调递增 12x x ∴> 由()2
1ln 2x h x x -'=
可得：()()max
12h x h e e ==，即311
24x e =< 123x x x ∴>>
本题正确选项：A 【点睛】
本题考查函数极值点、零点、最值的判断和求解问题，涉及到零点存在定理的应用，易错点是判断12,x x 大小关系时，未结合()g x 单调性判断出()()12g x g x >，造成求解困难.。