中国人民大学附属中学选修1-1第一章《常用逻辑用语》测试题(含答案解析)

一、选择题
1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ）
A ．任意一个无理数，它的平方不是有理数
B ．任意一个无理数，它的平方是有理数
C ．存在一个无理数，它的平方是有理数
D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 2．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是（ ）
A ．p ：a c b d +>+，q ：a b >且c d >
B ．p ：1a >， 1b >，q ：()x f x a b =-(0a >且1a ≠)的图像不过第二象限
C ．p ：1x =，q ：2x x =
D ．p ：1a >，q ：()log a f x x =(0a >且1a ≠)在()0,∞+上为增函数
3．命题“0x ∀>，1ln 1x x ≥-
”的否定是（ ） A ．0x ∃>，1ln 1x x <-
B ．0x ∃>，1ln 1x x ≥-
C ．0x ∃≤，1ln 1x x <-
D ．0x ∃≤，1ln 1x x
≥- 4．已知命题3:0,0,p x x x ∀>+>则命题p 的否定为（ ）
A ．30,0x x x ∀≤+≤
B ．30000,0x x x ≤+≤∃
C ．30,0x x x ∀>+≤
D ．30000,0x x x >+≤∃ 5．“∀x ∈R ，e x -x +1≥0”的否定是（ ）
A ．∀x ∈R ，e x -x +1<0
B ．∃x ∈R ，e x -x +1<0
C ．∀x ∈R ，e x -x +1≤0
D ．∃x ∈R ，e x -x +1≤0 6．设x 、y R ∈，则“0x >，0y >”是“0xy >”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 7．设有两个命题：①关于x 的不等式2240x ax ++>对一切R x ∈恒成立；②函数()(52)x f x a =--是减函数.若命题中有且只有一个是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(,2]-∞-
B ．(,2)-∞
C ．[2,)+∞
D ．(2,2)- 8．设α，β为两个不同的平面，l ，m 为两条不同的直线，且m α⊥，l β//，则“//l m ”是“αβ⊥”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 9．若0a >，0b >，则“a b >”是“ln ln a b b a ->-”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
10．“1a =”是“直线()
20a a x y ++=和直线210x y ++=互相平行”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要
条件 11．命题p ：存在0x R ∈，且使得0sin 1x =的否定形式为（ ）
A ．存在0x R ∈，且使得0sin 1x ≠
B ．不存在0x R ∈，且使得0sin 1x ≠
C ．对于任意x ∈R ，都有sin 1x =
D ．对于任意x ∈R ，都有sin 1x ≠ 12．下列说法错误的是（ ）
A ．“1a >”是“11a
<”的充分不必要条件 B ．“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”
C ．命题p ：x ∃∈R ，使得210x x ++<，则p ⌝：x ∀∈R ，均有210x x ++≥
D ．若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题
二、填空题
13．命题“若1x -，则ln()0x -”的逆否命题为__________．
14．命题“若0x >，则220x y +≠”的逆否命题为___________．
15．已知原命题为“若01x <<，则21x <”，则它的逆否命题是__________（填写”真命题”或”假命题”）．
16．命题“R x ∃∈，sin 1x ≤”的否定是___________.
17．命题“020,log 20x R x ∃∈+<”的否定是__________．
18．已知命题p ：0R x ∃∈，使得2
0010ax ax +-≥．若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围为________．
19．已知命题“x R ∀∈，240x x a -+>”的否定是______.
20．给出以下几个结论：
①若0a b >>，0c <，则c c a b
<； ②如果b d ≠且,b d 都不为0，则11
1221n n n n n n n
d b d d b d b db b d b ++----+++⋅⋅⋅++=-，*n N ∈；
③若1e ，2e 是夹角为60的两个单位向量，则122a e e ，1232b e e 的夹角为60；
④在ABC 中，三内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则
()22cos cos c a B b A a b -=-；
其中正确结论的序号为______．
三、解答题
21．设命题p :实数x 满足()224300x mx m m -+<>；命题q :实数x 满足214x
>-.若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.
22．已知命题p ：2680x x -+<，命题q ：21m x m -<<+.
(1)若p 为假命题，求实数x 的取值范围；
(2)若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围.
23．已知p ：x 2-(3+a )x +3a ＜0，其中a ＜3；q ：x 2+4x -5＞0．
（1）若p 是¬q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围；
（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
24．已知命题p ：指数函数(2)x
y a =-是R 上的增函数，命题q ：方程22122
x y a a +=-+表示双曲线.
（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；
（2）若命题“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围. 25．已知函数()a f x x =和()2
4g x x ax a =++. （1）命题p ：()f x 是[)0,+∞上的增函数，命题q ：关于的方程()0g x =有实根，若p q ∧为真，求实数a 的取值范围；
（2）若“[]
1,2x ∈”是“()0g x ≤”的充分条件，求实数a 的取值范围.
26．已知命题:p 实数x 满足2650x x -+≤,命题:q 实数x 满足11m x m -≤≤+
（1）当5m =时,若“p 且q ”为真,求实数x 的取值范围；
（2）若q 是p 的充分条件,求实数m 的取值范围．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
特称命题否定为全称命题，改量词否结论
【详解】
解：命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”，
故选：A
2．A
解析：A
【分析】
一一分析每个选项中,p q 的充分必要性即可.
【详解】
A 选项中，由不等式的性质可知,q p p q ⇒⇒，故p 是q 的必要不充分条件；
B 选项中，若:()(0x q f x a b a =->且1)a ≠的图象不过第二象限，则1,1a b >≥，故p 是q 的充分不必要条件；
C 选项中，若q ：2x x =，则1x =或0，故p 是q 的充分不必要条件；
D 选项中，若:()log (0a q f x x a =>,且1)a ≠在(0,)+∞上为增函数，则1a >，故p 是q 的充要条件；
故选：A.
3．A
解析：A
【分析】
利用全称命题的否定是特称命题，即可直接得解.
【详解】
因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“0x ∀>，11lnx x ≥-
”的否定为“0x ∃>，1ln 1x x
<-”. 故选：A.
【点睛】
关键点点睛：本题考查了全称命题的否定，正确解题的关键是清楚全称命题的否定是特称命题，以及其形式. 4．D
解析：D
【分析】
利用全程命题的否定直接写出答案.
【详解】
由于“∀”的否定为“∃”，则排除A 与C 选项；命题的否定是对该命题的真值取否定. 故选:D
【点睛】
全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题．
5．B
解析：B
【分析】
由全称命题的否定即可得解.
【详解】
因为命题“∀x ∈R ，e x -x +1≥0”为全称命题，
所以该命题的否定为：∃x ∈R ，e x -x +1<0.
故选：B.
6．A
解析：A
【分析】
利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】
充分性：若0x >且0y >，则0xy >，充分性成立；
必要性：若0xy >，则00x y >⎧⎨>⎩或00
x y <⎧⎨<⎩，必要性不成立. 因此，“0x >，0y >”是“0xy >”的充分不必要条件.
故选：A.
7．A
解析：A
【分析】
先根据①为真得22a -<<，②为真得2a <，再根据只有一个真命题分类讨论求解即可.
【详解】
解：若①为真，则24160a ∆=-<，即22a -<<.
若②为真，则521a ->，即2a <.
所以当①真②假时，无解；当①假②真时，2a ≤-.
故选：A.
【点睛】
本题考查根据命题的真假求参数范围，解题的关键在于根据已知条件求解两个命题均为真命题的时候的取值范围，在分类讨论求解，是中档题.
8．A
解析：A
【分析】
根据充分条件的定义，结合线面关系的性质、定理判断推出关系，即可知“//l m ”与“αβ⊥”的充分、必要关系.
【详解】
由m α⊥，//l m ，则l α⊥，而l β//，所以αβ⊥；
由l β//，αβ⊥，m α⊥，不能确定//l m .
∴“//l m ”是“αβ⊥”的充分不必要条件.
故选：A
9．C
解析：C
【分析】
构造函数()ln f x x x =+，根据,a b 的范围结合函数的单调性以及充分条件和必要条件的定义即可得正确答案.
【详解】
设()ln f x x x =+，则()f x 在()0,∞+上单调递增，
因为a b >，所以()()f a f b >即ln ln a a b b +>+，可得ln ln a b b a ->-， 所以由“a b >”可以得出“ln ln a b b a ->-”
若ln ln a b b a ->-则ln ln a a b b +>+，即()()f a f b >，
因为()ln f x x x =+在()0,∞+上单调递增，所以a b >，
所以由ln ln a b b a ->-可以得出a b >，
所以若0a >，0b >，则“a b >”是“ln ln a b b a ->-”的充要条件，
故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是构造函数()ln f x x x =+，将ln ln a b b a ->-转化为ln ln a a b b +>+，利用函数的单调性比较大小.
10．A
解析：A
【分析】
根据两直线平行，可求得a 的值，根据充分、必要条件的定义，即可求得答案.
【详解】
若直线()
20a a x y ++=和直线210x y ++=互相平行， 则21021
a a +=≠，解得1a =或2a =-， 所以“1a =”是“1a =或2a =-”的充分不必要条件.
故选：A
11．D
解析：D
【分析】
根据含存在性量词的命题的否定，直接得出结论.
【详解】
存在0x R ∈，且使得0sin 1x =的否定形式为:
对于任意x ∈R ，都有sin 1x ≠,
故答案为：D
12．D
解析：D
【分析】
根据充分条件和必要条件的定义可判断选项A ，根据逆否命题的定义可判断选项B ，根据
特称命题的否定是全称命题即可判断选项C ，根据复合命题的真假判断命题的真假可判断选项D ，进而可得正确选项.
【详解】
对于选项A ：1a >可得11a <，但11a <可得1a >或0a <，所以“1a >”是“11a
<”的充分不必要条件，所以选项A 说法是正确的，
对于选项B ：“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠” 所以选项B 说法是正确的，
对于选项C ：命题p ：x ∃∈R ，使得210x x ++<，则p ⌝：x ∀∈R ，均有
210x x ++≥，
所以选项C 说法是正确的，
对于选项D ：若p q ∧为假命题，则p 和q 至少有一个为假命题，不一定都是假命题，所以选项D 说法是错误的，
故选：D.
二、填空题
13．若则【分析】根据逆否命题的定义即可得结果【详解】依题意原命题的逆否命题为若则故答案为：若则
解析：若ln()0x -<，则1x >-
【分析】
根据逆否命题的定义即可得结果.
【详解】
依题意，原命题的逆否命题为“若ln()0x -<，则1x >-”．
故答案为：若ln()0x -<，则1x >-
14．若则【分析】直接根据逆否命题的概念即可得结果【详解】依题意原命题的逆否命题为若则故答案为：若则
解析：若220x y +=，则0x ≤
【分析】
直接根据逆否命题的概念即可得结果.
【详解】
依题意，原命题的逆否命题为“若220x y +=，则0x ≤”，
故答案为：若220x y +=，则0x ≤.
15．真命题【分析】先判断原命题的真假再由逆否命题与原命题是等价命题判断【详解】因为命题若则是真命题且逆否命题与原命题是等价命题所以它的逆否命题是真命题故答案为：真命题
解析：真命题
【分析】
先判断原命题的真假，再由逆否命题与原命题是等价命题判断.
【详解】
因为命题“若01x <<，则21x <”是真命题，且逆否命题与原命题是等价命题, 所以它的逆否命题是真命题，
故答案为：真命题
16．【分析】由特称命题的否定为全称命题即可得解【详解】命题为特称命题由特称命题的否定为全称命题所以命题的否定是：故答案为：
解析：x R ∀∈，sin 1x >
【分析】
由特称命题的否定为全称命题，即可得解.
【详解】
命题“R x ∃∈，sin 1x ≤”为特称命题，由特称命题的否定为全称命题
所以命题“R x ∃∈，sin 1x ≤”的否定是：x R ∀∈，sin 1x >
故答案为：x R ∀∈，sin 1x >
17．【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解【详解】因为命题是存在量词命题所以其否定是全称量词命题即：故答案为：
解析：2,log 20x x ∀∈+R
【分析】
利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.
【详解】
因为命题“020,log 20x R x ∃∈+<”是存在量词命题，
所以其否定是全称量词命题即：2,log 20x x ∀∈+R ，
故答案为：2,log 20x x ∀∈+R ，
18．【分析】由得出然后分和讨论即可得结果【详解】解：由于则当时显然满足题意；当时解得综上可知：实数a 的取值范围是
解析：(]1,0-
【分析】
由p 得出p ⌝，然后分0a =和0a ≠讨论即可得结果.
【详解】
解：由于2000:,210p x R ax ax ∃∈+-≥，则200020:,1p x R ax ax ∀∈+-<⌝， 当0a =时，10-<，显然满足题意；
当0a ≠时，20440a a a <⎧⎨∆=+<⎩
，解得10a -<<， 综上可知：实数a 的取值范围是(]1,0-.
19．【分析】由全称命题的否定即可得解【详解】因为命题为全称命题所以该
命题的否定为故答案为：
解析：x R ∃∈，240x x a -+≤
【分析】
由全称命题的否定即可得解.
【详解】
因为命题“x R ∀∈，240x x a -+>”为全称命题，
所以该命题的否定为“x R ∃∈，240x x a -+≤”.
故答案为：x R ∃∈，240x x a -+≤.
20．②④【分析】根据不等式性质知①错误；根据等比数列求和公式知②正确；根据平面向量数量积和夹角的运算知③错误；利用余弦定理化简知④正确【详解】对于①由知：又①错误；对于②数列是以为公比的等比数列②正确；
解析：②④
【分析】
根据不等式性质知①错误；根据等比数列求和公式知②正确；根据平面向量数量积和夹角的运算知③错误；利用余弦定理化简知④正确.
【详解】
对于①，由0a b >>知：11a b <，又0c <，c c a b
∴>，①错误； 对于②，数列1221,,,,,n n n n n d d b d b db b ---⋅⋅⋅是以
1b b d d ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭为公比的等比数列， 11
1112211n n n n n n n n n n n b d b d b d b d d d d b d b db b b d b d b d d
++++-----⋅-+++⋅⋅⋅++===-∴--，②正确；
对于③，121cos 602
e e ⋅==， ()()221212112217232626222a b e e e e e e e e ∴⋅=+⋅
-+=-+⋅+=-++=-，()2221211
2224442a e e e e e e =+=+⋅+=+= (22111223912496b e e e e e =-=-⋅+=-
1cos ,2a b
a b a b ⋅∴<>==-⋅，,120a b ∴<>=，③错误； 对于④，由余弦定理得：
222222222222
22222a c b b c a a c b b c a c a b a b ac bc ⎛⎫+-+-+---+⋅-⋅==- ⎪⎝⎭
，④正确. 故答案为：②④.
【点睛】
本题考查命题真假性的判断，涉及到不等式的性质、等比数列求和、平面向量夹角的计算、余弦定理化简等知识，考查学生对于上述四个部分知识的掌握的熟练程度，属于综合型考题.
三、解答题
21．4,23
m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 【分析】
解一元二次不等式以及分式不等式可得命题p :3m x m <<；命题q ：24x <<，再由命题的等价性可得q 是p 的充分不必要条件，从而可得234m m ≤⎧⎨
>⎩或234m m <⎧⎨≥⎩
，解不等式组即可求解.
【详解】
由22430x mx m -+<，得()()30x m x m --<，
又0m >，所以3m x m << ， 由
214x >-，可得()()2210024044
x x x x x -->⇒<⇒--<--，即24x << 因为p ⌝是q ⌝的充分不必要条件， 所以q 是p 的充分不必要条件.
设(),3A m m =，()2,4B =，
则B 是A 的真子集，
故234m m ≤⎧⎨>⎩或234m m <⎧⎨≥⎩
即4,23
m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 22．(1)(][),24,-∞-⋃+∞；（2）{}34m m ≤≤.
【分析】
(1)求解一元二次不等式即可求出实数x 的取值范围；
(2)把p 是q 的充分条件，转化为集合的包含关系，列不等式组求解．
【详解】
解：(1)∵p 为假命题，则2680x x -+≥成立，
解2680x x -+≥得2x ≤或4x ≥，
∴实数x 的取值范围是(][),24,-∞-⋃+∞.
(2)∵p 是q 的充分条件，
又∵p ：24x <<，q ：21m x m -<<+， ∴{}{}2421x x x m x m <<⊆-<<+，
∴2241
m m -≤⎧⎨≤+⎩. 解得34m ≤≤.
∴实数m 的取值范围是{}34m m ≤≤.
【点睛】
结论点睛：有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：
(1)若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；
(2)若p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；
(3)若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；
(4)若p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对应集合与p 对应集合互不包含．
23．(1) a ∈(-∞，-5) (2) a ∈[1，3)
【分析】
（1）先求解不等式，记p 的解集为A,q 的解集为B,再根据p 是¬q 的必要不充分条件，转化为集合的包含关系
R B ⫋A,求解即可； （2）由p 是q 的充分不必要条件，可得A ⫋
B ，从而可得解. 【详解】
（1）因为x 2-(3+a)x+3a ＜0，a ＜3，
所以a ＜x ＜3，记A ＝(a ，3)， 又因为x 2+4x-5＞0，所以x ＜-5或x ＞1，记()()51B -∞-⋃+∞＝，
，， 又p 是¬q 的必要不充分条件，所以有¬q ⇒
p ，且p 推不出¬q ， 所以R B ⫋A ，即[-5，1]⫋(a ，3)，所以实数a 的取值范围是()5a ∈-∞-，
． （2）因为p 是q 的充分不必要条件，则有p ⇒
q ，且q 推不出p ， 所以A ⫋B ，所以有()()()351a -∞-⋃+∞，，
，，即a≥1， 所以实数a 的取值范围是[)13a ，∈．
【点睛】
根据充分必要条件求参数的取值时，可转化为集合间的包含关系进行处理，然后把包含关系转为不等式求解，属于基础题.
24．（1）1a <（2）(-∞，2][1-，2)
【分析】
（1）若命题p 为真命题，结合指数函数的性质即可求实数a 的取值范围；
（2）根据复合命题真假关系进行求解即可．
【详解】
（1）命题p 为真命题时，21a ->，即1a <．
（2）若命题q 为真命题，则(2)(2)0a a -+<，所以22a -<<，
因为命题“p q ∨”为真命题，则p ，q 至少有一个真命题，
“p q ∧”为假命题，则p ，q 至少有一个假命题，
所以p ，q 一个为真命题，一个为假命题
当命p 为真命题，命题q 为假命题时，122
a a a <⎧⎨-⎩或，则2a -； 当命题p 为假命题，命题q 为真命题时，122a a ⎧⎨
-<<⎩，则12a <． 综上，实数a 的取值范围为(-∞，2][1-，2)．
【点睛】
本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．
25．（1）14a ≥
；（2）4,9⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 【分析】
（1）首先计算p 真，p 真时a 的范围，再根据p q ∧为真得到不等式组，即可得到答案. （2）首先根据题意得到()()
11502490g a g a ⎧=+≤⎪⎨
=+≤⎪⎩，再解不等式组即可. 【详解】
（1）因为()a f x x =是[)0,+∞上的增函数，所以0a >，即p 真：0a >， 方程()0g x =有实根，则21640a a -≥，14a ≥或0a ≤.即q 真：14
a ≥或0a ≤. 因为p q ∧为真，所以0104a a a >⎧⎪⎨≥≤⎪⎩
或，解得14a ≥. （2）因为“[]
1,2x ∈”是“()0g x ≤”的充分条件， 所以()()11502490g a g a ⎧=+≤⎪⎨=+≤⎪⎩，解得49a . 所以实数a 的取值范围：4,9⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦
. 【点睛】
本题主要考查了根据复合命题的真假求参数，同时考查了充分条件，属于中档题. 26．(1) 45x ≤≤；(2) 24m ≤≤
【分析】
（1）先由题意得到:p 15x ≤≤,:q 46x ≤≤，再由“p 且q ”为真，即可得出结果；
（2）根据q 是p 的充分条件，得到{}|11x m x m -≤≤+是{}x |15x ≤≤的子集,列出不等式求解，即可得出结果.
【详解】
解：()1由题意:p 15x ≤≤,:q 46x ≤≤,
“p 且q ”为真,
p ∴, q 都为真命题,得45x ≤≤
()2又q 是p 的充分条件,则{}|11x m x m -≤≤+是{}x |15x ≤≤的子集,
1115m m -≥⎧∴⎨+≤⎩
24m ∴≤≤
【点睛】
本题主要考查由命题的真假求参数的问题，熟记复合命题真假的判断即可，属于常考题型.。