盘龙区一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

盘龙区一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．在△ABC中，若2cosCsinA=sinB，则△ABC的形状是（）
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形
2．已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P 的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）
A．B．C．D．
3．过直线3x﹣2y+3=0与x+y﹣4=0的交点，与直线2x+y﹣1=0平行的直线方程为（）
A．2x+y﹣5=0 B．2x﹣y+1=0 C．x+2y﹣7=0 D．x﹣2y+5=0
4．函数f（x）=sinωx+acosωx（a＞0，ω＞0）在x=处取最小值﹣2，则ω的一个可能取值是（）
A．2 B．3 C．7 D．9
5．命题“∃x∈R，使得x2＜1”的否定是（）
A．∀x∈R，都有x2＜1 B．∃x∈R，使得x2＞1
C．∃x∈R，使得x2≥1 D．∀x∈R，都有x≤﹣1或x≥1
6．已知a=，b=20.5，c=0.50.2，则a，b，c三者的大小关系是（）
A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a
7．已知命题p：“∀x∈R，e x＞0”，命题q：“∃x0∈R，x0﹣2＞x02”，则（）
A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题
C．命题p∧（￢q）是真命题D．命题p∨（￢q）是假命题
8．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（）
A ．向右平移个单位长度
B ．向右平移个单位长度
C ．向左平移
个单位长度 D ．向左平移
个单位长度
9． 已知命题p ：对任意x ∈R ，总有3x ＞0；命题q ：“x ＞2”是“x ＞4”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）
A ．p ∧q
B ．￢p ∧￢q
C ．￢p ∧q
D ．p ∧￢q
10．函数f （x ﹣）=x 2+，则f （3）=（ ） A ．8
B ．9
C ．11
D ．10
11．487被7除的余数为a （0≤a ＜7），则展开式中x ﹣3
的系数为（ ）
A ．4320
B ．﹣4320
C ．20
D ．﹣20
12．椭圆=1的离心率为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．若函数f （x ）=
﹣m 在x=1处取得极值，则实数m 的值是 ．
14．如图，正方形''''O A B C 的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的 周长为 ．
1111]
15．若不等式组表示的平面区域是一个锐角三角形，则k 的取值范围是 ．
16．设平面向量()1,2,3,i a i =，满足1i
a =且120a a ⋅=，则12a a += ，123a a a ++的最大
值为 .
【命题意图】本题考查平面向量数量积等基础知识，意在考查运算求解能力.
17．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 和CN 所成角的余弦值为 ．
18．设R m ∈，实数x ，y 满足23603260y m x y x y ≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩
，若182≤+y x ，则实数m 的取值范围是___________．
【命题意图】本题考查二元不等式（组）表示平面区域以及含参范围等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力．
三、解答题
19．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为1()16
t a
y -=（a 为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）写出从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室。

那么药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？
20．已知定义在[]3,2-的一次函数()f x 为单调增函数，且值域为[]2,7． （1）求()f x 的解析式；
（2）求函数[()]f f x 的解析式并确定其定义域．
21．已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B=2sinAsinC ． （Ⅰ）若a=b ，求cosB ； （Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC 的面积．
22．某校为选拔参加“央视猜灯谜大赛”的队员，在校内组织猜灯谜竞赛．规定：第一阶段知识测试成绩不小于160分的学生进入第二阶段比赛．现有200名学生参加知识测试，并将所有测试成绩绘制成如下所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）估算这200名学生测试成绩的中位数，并求进入第二阶段比赛的学生人数；
（Ⅱ）将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛．现甲、乙两队在比赛中均已获得120分，进入最后抢答阶段．抢答规则：抢到的队每次需猜3条谜语，猜对1条得20分，猜错1条扣20分．根据经验，甲队猜对每条
谜语的概率均为，乙队猜对前两条的概率均为，猜对第3条的概率为．若这两队抢到答题的机会均等，您做为场外观众想支持这两队中的优胜队，会把支持票投给哪队？
23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E为PA的中点，M在PD上．
（I）求证：AD⊥PB；
（Ⅱ）若，则当λ为何值时，平面BEM⊥平面PAB？
（Ⅲ）在（II）的条件下，求证：PC∥平面BEM．
24．如图，平面ABB1A1为圆柱OO1的轴截面，点C为底面圆周上异于A，B的任意一点．（Ⅰ）求证：BC⊥平面A1AC；
（Ⅱ）若D为AC的中点，求证：A1D∥平面O1BC．
盘龙区一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：∵A+B+C=180°，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+sinCcosA=2cosCsinA，
∴sinCcosA﹣sinAcosC=0，即sin（C﹣A）=0，
∴A=C 即为等腰三角形．
故选：D．
【点评】本题考查三角形形状的判断，考查和角的三角函数，比较基础．
2．【答案】D
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图，
则对应的区域为△AOB，
由，解得，即B（4，﹣4），
由，解得，即A（，），
直线2x+y﹣4=0与x轴的交点坐标为（2，0），
则△OAB的面积S==，
点P的坐标满足不等式x2+y2≤2区域面积S=，
则由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为=，
故选：D
【点评】本题考查的知识点是几何概型，二元一次不等式（组）与平面区域，求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据几何概型的概率公式进行求解．
3．【答案】A
【解析】解：联立，得x=1，y=3，
∴交点为（1，3），
过直线3x﹣2y+3=0与x+y﹣4=0的交点，
与直线2x+y﹣1=0平行的直线方程为：2x+y+c=0，
把点（1，3）代入，得：2+3+c=0，
解得c=﹣5，
∴直线方程是：2x+y﹣5=0，
故选：A．
4．【答案】C
【解析】解：∵函数f（x）=sinωx+acosωx（a＞0，ω＞0）在x=处取最小值﹣2，
∴sin+acos=﹣=﹣2，∴a=，∴f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+）．
再根据f（）=2sin（+）=﹣2，可得+=2kπ+，k∈Z，∴ω=12k+7，∴k=0时，ω=7，则ω的可能值为7，
故选：C．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
5．【答案】D
【解析】解：命题是特称命题，则命题的否定是∀x∈R，都有x≤﹣1或x≥1，
故选：D．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
6．【答案】A
【解析】解：∵a=0.50.5，c=0.50.2，
∴0＜a＜c＜1，b=20.5＞1，
∴b＞c＞a，
故选：A．
7．【答案】C
【解析】解：命题p：“∀x∈R，e x＞0”，是真命题，
命题q：“∃x0∈R，x0﹣2＞x02”，即﹣x0+2＜0，
即：+＜0，显然是假命题，
∴p∨q真，p∧q假，p∧（￢q）真，p∨（￢q）假，
故选：C．
【点评】本题考查了指数函数的性质，解不等式问题，考查复合命题的判断，是一道基础题．8．【答案】A
【解析】解：根据函数的图象：A=1
又
解得：T=π
则：ω=2
当x=，f（）=sin（+φ）=0
解得：
所以：f（x）=sin（2x+）
要得到g（x）=sin2x的图象只需将函数图象向右平移个单位即可．
故选：A
【点评】本题考查的知识要点：函数图象的平移变换，函数解析式的求法．属于基础题型
9．【答案】D
【解析】解：p：根据指数函数的性质可知，对任意x∈R，总有3x＞0成立，即p为真命题，
q：“x＞2”是“x＞4”的必要不充分条件，即q为假命题，
则p∧￢q为真命题，
故选：D
【点评】本题主要考查复合命题的真假关系的应用，先判定p，q的真假是解决本题的关键，比较基础10．【答案】C
【解析】解：∵函数=，∴f（3）=32+2=11．
故选C．
11．【答案】B
解析：解：487=（49﹣1）7=﹣+…+﹣1，
∵487被7除的余数为a（0≤a＜7），
∴a=6，
∴展开式的通项为T r+1=，
令6﹣3r=﹣3，可得r=3，
∴展开式中x﹣3的系数为=﹣4320，
故选：B．.
12．【答案】D
【解析】解：根据椭圆的方程=1，可得a=4，b=2，
则c==2；
则椭圆的离心率为e==，
故选D．
【点评】本题考查椭圆的基本性质：a2=b2+c2，以及离心率的计算公式，注意与双曲线的对应性质的区分．
二、填空题
13．【答案】
﹣2
【解析】解：函数f（x）=﹣m的导数为f′（x）=mx2+2x，
由函数f（x）=﹣m在x=1处取得极值，
即有f′（1）=0，
即m+2=0，解得m=﹣2，
即有f′（x）=﹣2x2+2x=﹣2（x﹣1）x，
可得x=1处附近导数左正右负，为极大值点．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查导数的运用：求极值，主要考查由极值点求参数的方法，属于基础题．
14．【答案】8cm
【解析】
考点：平面图形的直观图．
15．【答案】（﹣1，0）．
【解析】解：作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A（0，5），B（2，7），C（2，2k+5）
△ABC的形状随着直线AC：y=kx+5斜率的变化而变化，
将直线AC 绕A 点旋转，可得
当C 点与C 1（2，5）重合或与C 2（2，3）重合时，△ABC 是直角三角形， 当点C 位于B 、C 1之间，或在C 1C 2的延长线上时，△ABC 是钝角三角形， 当点C 位于C 1、C 2之间时，△ABC 是锐角三角形， 而点C 在其它的位置不能构成三角形
综上所述，可得3＜2k+5＜5，解之得﹣1＜k ＜0 即k 的取值范围是（﹣1，0） 故答案为：（﹣1，0）
【点评】本题给出二元一次不等式组，在表示的图形为锐角三角形的情况下，求参数k 的取值范围，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
16．【答案】2，21+. 【解析】∵22
2
12112221012a a a a a a +=+⋅+=++=，∴122a a +=，
而2
2
2
123
121233123()2()2221cos ,13a a a a a a a a a a a a ++=+++⋅+=+⋅⋅<+>+≤+，
∴12321a a a ++≤，当且仅当12a a +与3a 1.
17．【答案】
．
【解析】解：如图，将AM 平移到B 1E ，NC 平移到B 1F ，则∠EB 1F 为直线AM 与CN 所成角
设边长为1，则B
1E=B 1F=，EF=
∴cos ∠EB 1F=，
故答案为
【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
18．【答案】[3,6]-. 【
解
析
】
三、解答题
19．【答案】（1）0.110,00.11(),0.116
t t t y x -≤≤⎧⎪
=⎨>⎪⎩；（2）至少经过0.6小时才能回到教室。

【解析】
试题分析：（1）由题意：当00.1t ≤≤时，y 与t 成正比，观察图象过点()0,0，(0.1,1)，所以可以求出解析
式为10y t =，当110t ≥
时，y 与t 的函数关系为1()16t a y -=，观察图象过点1(,1)10，代入得：0.111()16
a
-=，所以0.1a =，则解析式为0.11()16t y -=，所以含药量y 与t 的函数关系为：0.110,00.1
1(),0.116
t t t y x -≤≤⎧⎪
=⎨>⎪⎩；（2）观
察图象可知，药物含量在[]0,0.1段时间内逐渐递增，在0.1t =时刻达到最大值1毫克，在0.1t >时刻后，药
物含量开始逐渐减少，当药物含量到0.25毫克时，有0.111()0.25164
t -==，所以0.10.5t -=，所以0.6t =，所以至少要经过0.6小时，才能回到教室。

试题解析：（1）依题意，当，可设y 与t 的函数关系式为y ＝kt ，
易求得k ＝10，∴ y ＝10t ，
∴ 含药量y 与时间t 的函数关系式为
（2）由图像可知y 与t 的关系是先增后减的，在时，y 从0增加到1； 然后
时，y 从1开始递减。

∴
，解得t ＝0.6，
∴至少经过0.6小时，学生才能回到教室
考点：1.分段函数；2.指数函数；3.函数的实际应用。

20．【答案】（1）()5f x x =+，[]3,2x ∈-；（2）[]()10f f x x =+，{}3x ∈-. 【
解
析
】
试
题解析：
（1）设()(0)f x kx b k =+>，111] 由题意有：32,27,k b k b -+=⎧⎨
+=⎩解得1,
5,k b =⎧⎨=⎩
∴()5f x x =+，[]3,2x ∈-． （2）(())(5)10f f x f x x =+=+，{}3x ∈-． 考点：待定系数法．
21．【答案】
【解析】解：（I ）∵sin 2
B=2sinAsinC ，
由正弦定理可得：
＞0，
代入可得（bk ）2
=2ak •ck ， ∴b 2
=2ac ，
∵a=b ，∴a=2c ，
由余弦定理可得：cosB=
==．
（II ）由（I ）可得：b 2
=2ac ，
∵B=90°，且a=，
∴a 2
+c 2=b 2
=2ac ，解得a=c=
．
∴S △ABC =
=1．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设测试成绩的中位数为x ，由频率分布直方图得， （0.0015+0.019）×20+（x ﹣140）×0.025=0.5，
解得：x=143.6．
∴测试成绩中位数为143.6．
进入第二阶段的学生人数为200×（0.003+0.0015）×20=18人．
（Ⅱ）设最后抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为ξ、η，
则ξ～B（3，），
∴E（ξ）=．
∴最后抢答阶段甲队得分的期望为[]×20=30，
∵P（η=0）=，
P（η=1）=，
P（η=2）=，
P（η=3）=，
∴Eη=．
∴最后抢答阶段乙队得分的期望为[]×20=24．
∴120+30＞120+24，
∴支持票投给甲队．
【点评】本小题主要考查概率、概率与统计等基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识，考查或然与必然的思想，属中档题．
23．【答案】
【解析】（I）证明：∵平面PAB⊥平面ABCD，AB⊥AD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
∴AD⊥平面PAB．又PB⊂平面PAB，
∴AD⊥PB．
（II）解：由（I）可知，AD⊥平面PAB，又E为PA的中点，
当M为PD的中点时，EM∥AD，
∴EM⊥平面PAB，∵EM⊂平面BEM，
∴平面BEM⊥平面PAB．
此时，．
（III）设CD的中点为F，连接BF，FM
由（II）可知，M为PD的中点．
∴FM∥PC．
∵AB∥FD，FD=AB，
∴ABFD为平行四边形．
∴AD∥BF，又∵EM∥AD，
∴EM∥BF．
∴B，E，M，F四点共面．
∴FM⊂平面BEM，又PC⊄平面BEM，
∴PC∥平面BEM．
【点评】本题考查了线面垂直的性质，线面平行，面面垂直的判定，属于中档题．
24．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）因为AB为圆O的直径，点C为圆O上的任意一点
∴BC⊥AC …
又圆柱OO1中，AA1⊥底面圆O，
∴AA1⊥BC，即BC⊥AA1…
而AA1∩AC=A
∴BC⊥平面A1AC …
（Ⅱ）取BC中点E，连结DE、O1E，
∵D为AC的中点
∴△ABC中，DE∥AB，且DE=AB …
又圆柱OO1中，A1O1∥AB，且
∴DE∥A1O1，DE=A1O1
∴A1DEO1为平行四边形…
∴A1D∥EO1…
而A1D⊄平面O1BC，EO1⊂平面O1BC
∴A1D∥平面O1BC …
【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；考查学生的空间想象能力及推理论证能力．。