2021-2022年高三第二次模拟考试数学(理)试题 含答案(I)

2021-2022年高三第二次模拟考试数学（理）试题 含答案(I)
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知集合{}(){}
2210,log 2,M x x N y y x x M =-<==+∈,则 ( )
A.(0，1)
B.(1，1)
C.(1，0)
D. 2.复数的虚部是 （ ）
A. B. C. D. 3.设随机变量服从正态分布， 若，则的值是（ ）
A.0.2
B.0.3
C.0.4
D.0.6
4.已知某几何体的三视图如右上图所示，其中正视图，侧视图均是由三角形和半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（ ）
A. B. C. D. 5.设m ，n 是空间两条直线，是空间两个平面， 则下列选项中不正确的是（ ）
A.当时，是的必要不充分条件
B.当时，是的充分不必要条件
C.当时，是成立的充要条件
D.当时，是的充分不必要条件
6.执行如右图所示的程序框图，输出i 的值为（ ）
A.5
B.6
C.7
D.8
7.在三角形ABC 中，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点， 且,，则( )
A. B. C. D.
8.若变量满足约束条件6321a b a b a +≤⎧⎪
-≤-⎨⎪≥⎩
，，则取最小值时，二项式的展开式中的常数
项为（ ）
A. 80
B.80
C.40
D.20
9.已知函数满足，且当时，，设(1),(2),(3)a f b f c f ===，则（ ）
A. B. C. D.
10.若函数()sin 3cos ,f x x x x R ωω=+∈，又，且的最小值为，则正数的值为（ ）
A. B. C. D. 11.奇函数、偶函数
的图象分别如右图1、2所示， 方程的实数根个数分别为，则（ ）
A.14
B. 10
C. 7
D. 3
12.等轴双曲线的右焦点为，方程的实数根分别为，则三边长分别为的三角形中，长度为2的边的对角是（ ）
A.锐角
B. 直角
C. 钝角
D. 不能确定
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.设数列的前项和，则的值为 . 14.中，，点为边的中点，，则的最大值为 .
15.已知点分别是双曲线的左右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围为 . 16.曲线2(1)1
()(0)2
x f f x e f x x e '=-+在点的切线方程为 .
三、解答题: 本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
17．（本题满分12分）设△的三边为满足．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的取值范围．
18．（本题满分12分）我校社团联即将举行一届象棋比赛，规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为，且各局比赛胜负互不影响.
（Ⅰ）求比赛进行局结束，且乙比甲多得分的概率；
（Ⅱ）设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望．
19．（本题满分12分）如图，四棱锥的底面是直角梯形，
，，和
是两个边长为2的正三角形，，
P
为的中点，为的中点．
E
(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值．
20．（本题满分12分）已知椭圆的离心率为，且过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点C（-1，0）且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点，试问在轴上是否存在点，使是与无关的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
21．(本小题满分12分)已知函数()ln 3(R)f x a x ax a =--∈ （1）讨论函数的单调性；
（2）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，对于任意的 ，函数
32()[()]2
m
g x x x f x '=++
在区间 上总不是单调函数，求实数的取值范围；
22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，是直角三角形，，以为直径的圆交于点，点是边的中点，连接交圆于
点.
（1）求证：、、、四点共圆；
（2）求证：AB DM AC DM DE ⋅+⋅=22
23.（本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆的参数方程为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求圆的极坐标方程；
（Ⅱ）
直线的极坐标方程是(sin )ρθθ=射线与圆的交点为,与直线的交点为，求线段的长．
O
A
B
D
C
E
M
24.（本小题满分10分)选修4—5：不等式
已知(),0,1f x p q p q =>+=且， 求证：1212()()()pf x qf x f px qx +≤+.
数学（理科）参考答案
一、选择题
1—5ABBCA 6—10AAADB 11—12BC 二、填空题
13. ； 14. ； 15. ； 16. ；
17．【解析】：（1）， 1分
所以sin sin sin cos sin cos B C A B A C +=+， 2分 所以sin()sin()sin cos sin cos A C A B A B A C +++=+， 3分 所以sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos sin cos A C A C A B A B A B A C +++=+ 所以cos sin cos sin 0A C A B +=， 4分 即 5分 所以，所以 6分
（2）（2）= 7分
=
其中 9分
因为，
所以 11分
分
18．解（Ⅰ）由题意知，乙每局获胜的概率皆为. 比赛进行局结束，且乙比甲多得分即头两局乙胜一局，3,4局连胜，则. ………4分 （Ⅱ）由题意知，的取值为. ………5分
则22215
(2)()()339
P ξ==+= …………6分
1
212
2
212212120(4)()()33333381
P C C ξ==+= …………7分 1
22
1216
(6)()3381
P C ξ=== …………9分 所以随机变量的分布列为
………10分
则52016266
2469818181E ξ=⨯+⨯+⨯= (12)
19 （Ⅰ）证明：设为的中点，连接，则
∵，，，∴四边形为正方形，
∵为的中点，∴为的交点， ∵， ， ∵， ∴，，
在三角形中，，∴， ∵，∴平面；
A
D
O
C
P
B
E
(Ⅱ) 设平面的法向量为，直线与平面所成角， 则，即，
解得，令，则平面的一个法向量为，
又则sin cos ,
3θn CB =<>=
=， ∴直线与平面所成角的正弦值为.
20．【解析】：（1）∵椭圆离心率为，∴，∴. 1分 又椭圆过点（，1），代入椭圆方程，得. 2分 所以. 4分 ∴椭圆方程为，即. 5分
（2）在x 轴上存在点M ，使是与K 无关的常数. 6分 证明：假设在x 轴上存在点M （m,0）,使是与k 无关的常数， ∵直线L 过点C （-1，0）且斜率为K,∴L 方程为， 由 得0536)13(2222=-+++k x k x k . 7分
分
∵1122MA (x m,y ),MB (x m,y ),=-=- ∴25MA MB 3k ⋅+
分
=()()()()21212251131
x m x m k x x k --++++
+
=()()()2212212122
5
131
k x x k m x x m k k ++-++++
+
=()()22222222235
65
1313131k k k k m m k k k k --++-++++++ =22222
26331k mk m k m k -++++ 10分 设常数为t ，则. 11分 整理得222(3m 6m 13t)k m t 0+--+-=对任意的k 恒成立， 解得，
即在x 轴上存在点M （）， 使是与K 无关的常数. 12
分
21.1）根据题意，由于()ln 3(R)f x a x ax a =--∈，在可知导数为1-x ()()(R)a f x a a a x x
=-=∈， 因为定义域为x>0，那么对于参数a 讨论可知： ，
当时，↓∞+↑），，（）在（11
,0)(x f 当时，函数无单调区间,3)(-=x f
当时，↑∞+↓），，（）在（11
,0)(x f 2）32ln 2)(,2,12
,1)2('-+-=∴-=∴=-∴=x x x f a a a f x x m x m x x x x g 2)22
()222()(2323-++=++-+= 2)4(3)(2'-++=x m x x g ，
令024)4(,02)2(3,0)(22'>++=∆=-++∴=m x m x x g 。

有一正一负的两个实根0)(,03
2'21=∴<-=x g x x 又， 上只有一个正实根。

在上不单调，在)3,(0)()3,()('t x g t x g =∴
2)4(3)(2
'-++=x m x x g ，⎩⎨⎧>-⨯++<-++⇒⎩⎨⎧><∴023)4(2702)4(30)3(0)(2''m t m t g t g []⎪⎩
⎪⎨⎧->-<+∴∈⎪⎩⎪⎨⎧->->+⇒3373242,1,33732)4(2m t t m t m t t m 恒成立，又 ，可证，
933733754-<<-⇒⎪⎩
⎪⎨⎧->-<+m m m
22.证明：.（1）连接、，则
又是BC 的中点，所以
又， 所以.。

3分
所以 所以、、、四点共圆 。

5分
（2）延长交圆于点 因为
.。

7分 所以
所以。

10分
23.(Ⅰ)圆的普通方程是，又;
所以圆的极坐标方程是. (Ⅱ)设为点的极坐标，则有1112cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩ 解得1113ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩. 设为点的极坐标，则有2222(sin 3)333ρθθπθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩
解得2233ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩ 由于，所以，所以线段的长为2.
24.若证1212()()()pf x qf x f px qx +≤+， 只需证1212p x q x px qx +
只需证2212122p x q x px qx ++≤+，
只需证12(1)(1)20px p qx q -+-+≤，
只需证1220pqx pqx --+≤，
只需证，
只需证，
上式显然成立，
所以原不等式成立。

M31822 7C4E 籎630398 76BE 皾36372 8E14 踔634417 8671 虱S33524 82F4 苴28250 6E5A 湚gw25125 6225 戥r。