(253)2015年天津高考文科数学试题及答案(Word版)

2015年高考天津市文科数学真题
一、选择题 1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U ，集合{2,3,5}A ，集合{1,3,4,6}B ，则集合A U C B
（ ）
A ．{3}
B ．{2,5}
C ．{1,4,6}
D ．{2,3,5}
2．设变量,y x 满足约束条件
20
20280
x x y
x y ，则目标函数的最大值为3y z x （ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．14 3．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
4．设R x
，则“12x ”是“|2|1x ”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．已知双曲线222
2
1(0,0)x y a b a b 的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆2
2
2y 3x 相切，
则双曲线的方程为（ ）
A ．
221913x y B ．2
2
1139x y C ．
2
2
13
x y
D ．22
13
y x
6．如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N ，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE 的长为（ ）
A ．
83
B ．3
C ．
103
D ．
52
7．已知定义在R 上的函数||
()21(m )x
m f x 为实数为偶函数，
记0.5(log 3),a f 2b (log 5),c
(2)f f m ，则,b,c a ,的大小关系为（ ）
A ．b c a
B ．b c
a
C ．b a
c
D ．c b a
8．已知函数2
2||,2()(2),2
x x f x x x ，函数()3
(2)g x f x ，则函数y
()()f x g x 的零点的个数为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
二、填空题
9．i 是虚数单位，计算
122i
i
-+ 的结果为 ． 10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 ．
11．已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ，其中a 为实数，()f x '为()f x 的导函数，若()13f '= ，则a 的值为 ．
12．已知0,0,8,a b ab >>= 则当a 的值为 时()22log log 2a b ⋅取得最大值。

13．在等腰梯形ABCD 中，已知AB DC ，2,1,60,AB Bc ABC ==∠= 点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上，且21
,,36
BE BC DF DC =
= 则AE AF ⋅的值为
．
14．已知函数()()sin cos 0,,f x x x x ωωω=+>∈R 若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增，且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称，则ω的值为 ． 三、解答题
15．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18，先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛。

（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；
（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为123456,,,,,A A A A A A ，从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛。

（i ）用所给编号列出所有可能的结果；
（ii ）设A 为事件“编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到”，求事件A 发生的概率。

16．△ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC
的面积为12,cos ,4
b c A -==- （Ⅰ）求a 和sinC 的值； （Ⅱ）求cos 26A π⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
的值。

17．如图，已知1AA ⊥平面ABC ，11,BB AA AB=AC=3
，1BC AA =
，1BB = 点E ，F 分别
是BC ，1A C 的中点，
（Ⅰ）求证：EF 平面11A B BA ；（Ⅱ）求证：平面1AEA ⊥平面1BCB 。

（Ⅲ）求直线11A B 与平面1BCB 所成角的大小。

18．已知n a 是各项均为正数的等比数列，n b 是等差数列，且1
123
31,2a b b b a ,
52
37a b .
（Ⅰ）求n a 和n b 的通项公式； （Ⅱ）设*,n n n c a b n
N ,求数列n c 的前n 项和.
19．已知椭圆2
22
2
1(a b 0)x y a b 的上顶点为
B ，左焦点为F ,离心率为
5
. （Ⅰ）求直线BF 的斜率；
（Ⅱ）设直线BF 与椭圆交于点P （P 异于点B ），故点B 且垂直于BF 的直线与椭圆交于点Q （Q 异于点B ）直线PQ 与x 轴交于点M ，|PM|=|MQ|. （i ）求
的值；
（ii ）若7|PM|sin BQP=9
.
20．已知函数4()
4,,f x x x x
R 其中*n N ，且n 2.
（Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）设曲线()y f x 与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x ，求证：对于任意的实
数x ，都有()()f x g x ;
（Ⅲ）若方程()=()f x a a 为实数有两个正实数根12x x ，，且1
2x x ，求证：1
321
-43
a x x .
2015年高考天津市文科数学真题
一、选择题 1．答案：B 解析过程：
{2,3,5}A ，2,5U C B
，则{}()2,5U A C B =，选B
2．答案： C 解析过程：
51
3(2)(28)9922
z x y x x y =+=-++-+≤
当2,3x y ==时取得最大值9，选C 3．答案：C
解析过程：
由程序框图可知：2,8i S ==；3,5i S ==；4,1i S ==，选C 4．答案：A 解析过程：
由2112113x x x -<⇔-<-<⇔<<, 可知“12x ”是“|2|1x ”的充分而不必要条件,选A.
5．答案：D 解析过程：
双曲线的渐近线为0bx ay -=
=，
又2c ==，解得1a =
，b = D
6．答案：A 解析过程：
由相交弦定理可得
18,33
CM MD CM MD CN NE AB AB NE CN ⨯⨯=⨯=
⨯⇒== 选A. 7．答案：B
解析过程：
由()f x 为偶函数得0m =,所以2,4,0a b c ===,选B. 8．答案：A
解析过程：
当0x <时，()2
2f x x -=，
此时方程()()2
1f x g x x x -=--+
的小于零的零点为x =； 当02x ≤≤时，()222f x x x -=--=， 方程()()22f x g x x x -=-+=无零点；
当2x >时，()2224f x x x -=--=-，
方程()()()2
22733f x g x x x x x -=-+-=--大于2的零点有一个 选A
二、填空题 9．答案：-i 解析过程：
()2i i 212i i 2i i 2i 2i 2i
-+---===-+++ 10．答案：
8
3
π 解析过程：
该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2圆柱组合而成, 所以该几何体的体积为3
18π2π1π2(m )33
⨯⨯⨯+⨯= 11．答案：3 解析过程：
因为()()1ln f x a x '=+ ,所以()13f a '==. 12．答案：4 解析过程：
()()2222log log 2log log 22a b a b +⎛⎫
⋅≤ ⎪⎝⎭
()221log 24ab =
()2
21log 1644
== 当2a b =时取等号,结合0,0,8,a b ab >>= 可得4, 2.a b == 13．答案：
2918
解析过程：
在等腰梯形ABCD 中,由AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=
得12AD BC ⋅=
,1AB AD ⋅=,1
2
DC AB = , 所以()()
AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+
21312AB BC AD AB ⎛⎫⎛⎫
=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2211
31218AB AD BC AD AB BC AB =⋅+⋅++⋅
111291331818
=++-=
14
解析过程：
由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称, 可得π
2ωω
≤
,且(
)222πsin cos sin 14f ωωωω⎛
⎫=+=
+= ⎪⎝
⎭,
所以2
ππ422
ωω+
=⇒= 15．答案：见解析 解析过程：
（I ）应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2； （II ）（i ）从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛,所有可能的结果为
{}12,A A ,{}13,A A ,{}14,A A ,{}15,A A ,{}16,A A , {}23,A A ,{}24,A A ,{}25,A A ,{}26,A A ,{}34,A A , {}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共15种.
（ii ）编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到的结果为
{}15,A A ,{}16,A A , {}25,A A ,{}26,A A , {}35,A A , {}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共9种,
所以事件A 发生的概率()93
.155
P A =
= 16．△ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC
的面积为12,cos ,4
b c A -==- （Ⅰ）求a 和sinC 的值； （Ⅱ）求cos 26A π⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
的值。

答案：见解析 解析过程：
（Ⅰ）ABC ∆中，由1cos 4
A =-
，得sin A =，
由
1
sin 2
bc A =24bc =， 又由2b c -=，解得6,4b c ==。

由2222cos a b c bc A =+-，可得8a =.
由
sin sin a c A C
=
，得sin 8C =
（Ⅱ）cos(2)cos2cos
sin 2sin
6
6
6
A A A π
π
π
+
=-
21)sin cos 2A A A =
-
-16
= 17．答案：见解析
解析过程：
（I ）证明：如图,连接1A B ,
在△1A BC 中,因为E 和F 分别是BC ,1A C 的中点, 所以1EF
BA ,又因为EF ⊄ 平面11A B BA ,
所以EF 平面11A B BA .
（II ）因为AB =AC ,E 为BC 中点,所以AE BC ⊥, 因为1AA ⊥平面ABC ,1
1,BB AA
所以1BB ⊥平面ABC ,从而1BB AE ⊥, 又1BC
BB B = ,所以AE ⊥平面1BCB ,
又因为AE ⊂平面1AEA ,所以平面1AEA ⊥平面1BCB .
（Ⅲ）取1BB 中点M 和1B C 中点N ，连接1A M ，1A N ，
因为N 和E 分别为1B C ，BC 中点， 所以1//NE BB ，11
2
NE BB =
， 故1//NE AA ，1NE AA =， 所以1//A N AE ，1A N AE =，
又因为AE ⊥平面1BCB ，所以1A N ⊥平面1BCB ， 从而11A B N ∠就是直线11A B 与平面1BCB 所成角， 在ABC ∆中，可得2AE =，所以12A N AE ==，
因为1//BM AA ，1BM AA =，所以1//A M AB ，1A M AB =， 又由1AB BB ⊥，有11A M BB ⊥， 在11Rt A MB ∆中，可得114A B =， 在11Rt A NB ∆中，11111
sin 2
A N A
B N A B ∠=
=， 因此0
1130A B N ∠=，所以，直线11A B 与平面1BCB 所成角为030. 18．答案：见解析 解析过程：
（I ）设n a 的公比为q ,n b 的公差为d ,
由题意0q > ,由已知,有24232,
310,
q d q d ⎧-=⎨-=⎩
消去d 得4
2
280,q q --= 解得2,2q d == , 所以n a 的通项公式为1
2
,n n a n -*=∈N ,
n b 的通项公式为21,n b n n *=-∈N .
（II ）由（I ）有()1
212n n c n -=- ,设n c 的前n 项和为n S ,
则()0
1
2
1
123252212,n n S n -=⨯+⨯+⨯+
+-⨯
()1232123252212,n n S n =⨯+⨯+⨯+
+-⨯
两式相减得()()2
3
12222122323,n n n n S n n -=+++
+--⨯=--⨯-
所以()2323n
n S n =-+ .
19．答案：见解析 解析过程：
（I ）(),0F c - ,
由已知c a =及222,a b c =+
可得,2a b c =
= ,又因为()0,B b ,
故直线BF 的斜率()020b b
k c c
-=
==-- .
（II ）设点()()
(),,,,,P P Q Q M M P x y Q x y M x y ,
（i ）由（I ）可得椭圆方程为22
221,54x y c c
+=
直线BF 的方程为22y x c =+ ,
两方程联立消去y 得2
350,x cx += 解得53
P c x =-
. 因为BQ BP ⊥,所以直线BQ 方程为1
22
y x c =-
+ , 与椭圆方程联立消去y 得221400x cx -= , 解得4021Q c
x =
.又因为PM MQ
λ= , 及0M x = 得7.8
M P P
Q M
Q x x x x x x λ-=
=
=- （ii ）由（i ）得
7
8
PM MQ
=, 所以
77
7815
PM PM MQ ==++,即157PQ PM = , 又因为7||sin =
9
PM BQP , 所以=||sin BP PQ BQP =
15
55
||sin 7
3
PM BQP .
又因为4223
P P y x c c =+=-
,
所以3
BP ==,
因此,1,33c c == 所以椭圆方程为22 1.54
x y +
= 20．答案：见解析 解析过程： （I ）由4()
4f x x x ,可得3()44f x x ,
当()0f x '> ,即1x < 时,函数()f x 单调递增； 当()0f x '< ,即1x > 时,函数()f x 单调递减.
所以函数()f x 的单调递增区间是(),1-∞ ,单调递减区间是()1,+∞. （II ）设()0,0P x ,则13
04x = ,()012,f x '=-
曲线()y f x = 在点P 处的切线方程为()()00y f x x x '=- , 即()()()00g x f x x x '=-,令()()()F x f x g x =-
即()()()()0F x f x f x x x '=-- 则()()()0F x f x f x '''=-. 由于3()
44f x x 在(),-∞+∞ 单调递减,
故()F x '在(),-∞+∞ 单调递减,又因为()00F x '=,
所以当()0,x x ∈-∞时,()0F x '>,当()0,x x ∈+∞时,()0F x '<, 所以()F x 在()0,x -∞单调递增,在()0,x +∞单调递减, 所以对任意的实数x ,()()00F x F x ≤= , 对于任意的正实数x ,都有()
()f x g x .
（Ⅲ）由（II ）知13
()12(4)g x x =--，
设方程()g x a =的根为2x '，可得1
32412
a
x '=-+，
因为()g x 在(),-∞+∞单调递减，
又由（II ）知222()()()g x f x a g x '≥==，所以22x x '≤。

类似的，设曲线()y f x =在原点处的切线为()y h x =，可得()4h x x =， 对任意的(),x ∈-∞+∞，有()()4
0f x h x x -=-≤即()()f x h x ≤。

设方程()h x a =的根为1x '，可得14
a x '=
， 因为()4h x x =在(),-∞+∞单调递增，且()
()()111h x a f x h x '==≤，
因此，11x x '≤，所以1
3212143
a
x x x x ''-≤-=-+。