高数极限运算法则

例如，y x2 9 是初等函数，x0 3 是其定义域内
一点，所以
lim x2 9 32 9 3 2.
x3
（2）极限的四则运算法则可以推广至有限个函数的情形；
（3）在作除法运算时，分母的极限不能为0.
例1
求
lim
xx0
a0 xn
a1xn1
an1x
an
.
解
lim
x x0
x
x0,
lim
x x0
xn
x0n ,
原式
lim
xx0
a0 xn
lim xx0
a1xn1
lim
xx0
an1x an.
a0x0n a1x0n1 an1x0 an.
am bn
为非负常数 )
分子、分母同除以x的最高次幂, 就可得到上式.
例7
求
lim
x
3x2 2x 1 x3 3x2 2x .
解 分子是2次多项式, 分母是3次多项式, 故
原式=0.
例8
求
lim
x
8x5 4x3
6x 3x2
1. 2x
解 分子是 5 次多项式, 分母是 3 次多项式, 故
原式= .
例9
求
(2x 1)20 (3x 5)30
lim
x
(5x 7)50
.
解 分子是50次多项式, 最高次幂的系数 a0=220·330 分母是50次多项式,最高次幂的系数的 b0=550
故
原式
a0 b0
220 330 550
.
例10 求 lim x ( x2 1 x) x
解 此题当 x 时，为 ( ) 的类型，
例5 . 求
解:
(“ 抓大头” 法)
分子分母同除以 x2 , 则
“ 抓大头”
原式
lim
x
4
3
1 x
9
1 x2
5
2
1 x
1 x2
例6 . 求
解:
时, 分母
分子分母同除以 x2 , 则
分子
I lim
4 x
9 x2
x
5
2 x
1 x2
一般有如下结果：
lim
x
a0 xm b0 xn
a1xm1 b1xn1
例17
是多项式 , 且 求
解: 利用前一极限式可令
f (x) 2x3 2x2 a x b
再利用后一极限式 , 得
3 lim f (x) lim (a b)
x0 x
x0
x
可见
故
综上可得:
定理3 如果 y f (x)是初等函数， x0是其定义域内
一点，则
lim
xx0
f (x)
f (x0 ).
n n2 )
lim
n
1
2
n
2
n
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
lim 1 (1 1) 1 . n 2 n 2
二、复合函数的极限
定理2. 对于复合函数 y f u, u x, 如果
lim
x x0
x
u0
,
lim f u A, 且
u u0
u u0 时, 则有
lim f [(x)] lim f u A.
方法 2
lim (x 1)( x 1) lim( x 1)
x1 x 1
x1
2
例16 设
具有极限 l, 试求a和l .
解 因为
故必有 于是有 4 – a = 0, 即 a = 4, 将a = 4代回原极限式, 有
解得
l = 10.
作业
P49 1 (2),(4),(6),(8),(10); 2 (2),(4),(6),(8),(10),(12); 3
极限运算法则
由极限定义来求极限是不可取的，往往也是行不通 的，因此需寻求一些方法来求极限。
本节介绍极限的四则运算法则及复合函数的极限运 算法则，利用这些法则可以求某些函数的极限.
一、极限的四则运算法则
二、复合函数的极限
一、极限的四则运算法则
下面的定理，仅就函数极限的情形给出，所得的结论 对数列极限也成立.
lim
x3
u
1 6
.
因此
lim
x3
x3 x3 9
lim
u1
u
1. 6
6
如果函数 y f (u ) 在 u0 有定义，且 f (u0 ) A,则
lim
xx0
f
[(x) ]
A
f (u0 )
f (lim (x)) xx0
表明此时符号“lim”与“f ”可以对换.
例如
lim
x3
x3 x2 9
lim
例2.
32 2 11
31 4
例3.
lim (x 3)(x 1) lim x 1
x3 (x 3)(x 3) x3 x 3
x = 3 时分母为 0
例4 . 求
解: x = 1 时分母 = 0 , 分子≠0 , 但因
lim x2 5x 4 12 5 1 4 0
x1 2x 3
21 3
x3
x3 x2 9
lim 1 x3 x 3
1 6 66
Байду номын сангаас 例13.
e e lim x2 1 x1 x1
2
例14. 求 解: 由于
原式=
则令
例15 . 求
解: 方法 1 令 u x , 则 lim u 1,
x1
x 1 u2 1 u 1 x 1 u 1
∴ 原式 lim(u 1) 2
u 1
定理1 . 若 lim f (x) A, lim g(x) B ,则有
( B≠0 )
推论 1 . lim[C f (x)] C lim f (x) 推论 2 . lim[ f (x)]n [ lim f (x) ] n
( C 为常数 ) ( n 为正整数 )
注 （1）参与运算的函数必须个个极限都存在；
xx0
uu0
注：在定理中, 若把 xx0 换成 x 或把 u0 换成 结论仍然是成立的.
lim f [(x)] lim f (u) A
x x0
u
例12
求
lim
x3
x3 x2 9.
解 可以把 y f (x)
x3 x2 9
看成是由 y
u与u
x3 x2 9
复合而成.
由于
lim
x3
x3 x2 9
不能直接计算，将分子分母同乘（ x2 1 x ）就
可以将原式化为
原式= lim
x
lim
1
1
x x2 1 x
x
1
1 x2
1
2
例11 求 lim ( 1 2 n ).
n n 2 n 2
n2
解 n 时，此题是无限个无穷小之和，不能直接求
极限，先变形化简再计算：
1
lim (
n
n
2
2 n2