高三数学专题复习计划函数性质及应用

函数的性质及其应用
函数的根本性质与函数的综合运用是高考对函数内容考查的重中之重，其中函数单调
性与奇偶性是高考命题的必考内容之一，有具体函数，还会涉及抽象函数。

函数单调性是函
数在定义域内某个区间上的性质，函数奇偶性是函数在整个定义域上的性质。

研究根本性质，
不可忽略定义域对函数性质的影响。

函数定义域表达了函数图像左右方向的延伸程度，而值
域又表现了函数图像在上下方向上的延伸程度。

对函数单调性要深入复习，
深刻理解单调性
定义，熟练运用单调性定义证明或判断一个函数的单调性，掌握单调区间的求法，掌握单调
性与奇偶性之间的联系。

掌握单调性的重要运用，如求最值、解不等式、求参数范围等，掌
握抽象函数单调性的判断方法等等。

要充分重视运用方程与函数、等价转换、分类讨论及数
形结合等数学思想，运用别离变量方法解决函数相关问题，并围绕函数单调性分析解决函数
综合问题。

一、函数与反函数
例1．〔1〕A={1，2，3}，B={4，5}，那么以A为定义域，B为值域的函数共有
个．
2〕、〔2021?徐汇区一模〕函数f〔x〕=x2﹣1的定义域为D，值域为{﹣1，0，1}，试
确定这样的集合D最多有个．
〔3〕〔2021?上海〕对区间I上有定义的函数g〔x〕，记g〔I〕={y|y=g〔x〕，x∈I}．定义域为[0，3]的函数y=f〔x〕有反函数y=f﹣1〔x〕，且f﹣1〔[0，1〕〕=[1，2〕，
﹣1
f 〔〔2，4]〕=[0，1〕．假设方程f〔x〕﹣x=0有解x0，那么x0= ．
例2、〔1〕〔2021?上海〕设g〔x〕是定义在
R上，以1为周期的函
数，假设函数
f
〔x〕
=x+g〔x〕在区间[0，1]上的值域为[﹣2，5]
，那么f〔x〕在区间[0，3]上的值域为．
〔2〕〔2021?黄浦区二模〕，假设存在区间
[a，b]?〔0，+∞〕，
使得{y|y=f 〔x 〕，x∈[a，b]}=[ma ，mb]，那么实数m 的取值范围是
．
〔3〕．〔2021?虹口区一模〕函数
f 〔x 〕=2x+a ，
g 〔x 〕=x 2
﹣6x+1，对于任意的都能找到，
使得g 〔x2〕=f 〔x1〕，那么实数a 的取值范围是
．
三、函数单调性与奇偶性
例3、〔1〕〔2021?资阳一模〕函数
2
．
假设f 〔2m+1〕＞f 〔m ﹣2〕，那么实数m 的取值范围是
〔2〕是R 上的增函数，那么
a 的取值范围是
．
〔3〕〔2021?上海〕 y=f 〔x 〕是奇函数，假设 g 〔x 〕=f 〔x 〕+2且g 〔1〕=1，那么g 〔﹣1〕
=
．
〔4〕f 〔x 〕为R 上的偶函数，g 〔x 〕为R 上的奇函数且过〔﹣
那么f 〔2021〕+f 〔2021〕=
．
1，3〕，g 〔x 〕=f 〔x ﹣1〕，
四、函数的周期性
例4、〔1〕奇函数满足的值为 。

〔2〕设函数 y=f 〔x 〕是定义在 R 上的奇函数，且满足 f 〔x ﹣2〕=﹣f 〔x 〕对一切
3
都成立，又当
x∈[﹣1，1]时，f 〔x 〕=x ，那么以下四个命题：①函数 y=f 〔x 〕是
以
x∈R 4为周
期的周期函数；②当
x∈[1，3]时，f 〔x 〕=〔2﹣x 〕3
；③函数y=f 〔x 〕的图象关于 x=1
对称；④函数 y=f 〔x 〕的图象关于〔
2，0〕对称．其中正确
的命题是 ．
五、函数图像的对称性
例5、〔1〕函数
y f (2x
1)为偶函
数，那么
函
数
y f
(2x)
图像关于直线
对称，函数y f(x)图像关于直
线对称。

〔2〕设．那么．
〔3〕函数f〔x〕的定义域为R，
那么以下命题中：①假设f〔x﹣2〕是偶函数，那么函数
〔x〕的图象关于直线x=2对称；②
假设f〔x+2〕=﹣f〔x﹣2〕，那么函数f〔x〕的图象关于
原点对称；③函数y=f〔2+x〕与函数
y=f〔2﹣x〕的图象关于直线
x=2对称；④
函数
y=f〔x﹣2〕与函数y=f〔2﹣x〕的图象关于直线
x=2对称．其中正确的命题序号是．
f
六、函数性质的综合应用
例6、〔2021?上海春季〕真命题：“函数y=f〔x〕的图象关于点P〔a，b〕成
中心对称图形〞的充要条件为“函数y=f〔x+a〕﹣b是奇函数〞．
〔1〕将函数g〔x〕=x3﹣3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，
求此时图象
对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g〔x〕图象对称中心的
坐标；
2〕求函数h〔x〕=图象对称中心的坐标；
3〕命题：“函数y=f〔x〕的图象关于某直线成轴对称图象〞的充要条件为
“存在实数a和b，使得函数y=f〔x+a〕﹣b是偶函数〞．判断该命题的真假．如
果是真命题，请给
予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使
之成为真命题〔不必证明〕．
例7、函数f〔x〕=ax2+bx+1，a，b为实数，a≠0，x∈R，F〔x〕=，
〔1〕假设f〔﹣1〕=0，且函数f〔x〕的值域为[0，+∞〕，求F〔x〕
的表达式；
〔2〕在〔1〕的条件下，当x∈[﹣1，1]时，g〔x〕=f〔x〕+kx是
单调函数，求实数
值范围；
k的取
（〔3〕设mn＜0，m+n＞0，a＞0，且函数f〔x〕为偶函数，判断F〔m〕+F〔n〕是否大于0．
（
（
（
（
（
（
（例8、〔2021?上海〕f〔x〕=lg〔x+1〕
（1〕假设0＜f〔1﹣2x〕﹣f〔x〕＜1，求x的取值范围；
（2〕假设g〔x〕是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g〔x〕=f〔x〕，求函数y=g〔x〕
（x∈[1，2]〕的反函数．
例9、〔2021?卢湾区二模〕对于定义域为D的函数y=f〔x〕，假设有常数M，使得对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D满足等式，那么称M为函数y=f〔x〕的“均值〞．
〔1〕判断1是否为函数f〔x〕=2x+1〔﹣1≤x≤1〕的“均值〞，请说明理由；
〔2〕假设函数f〔x〕=ax2﹣2x〔1＜x＜2，a为常数〕存在“均值〞，求实数a的取值范围；
〔3〕假设函数f〔x〕是单调函数，且其值域为区间I．试探究函数f〔x〕的“均值〞情况〔是
否存在、个数、大小等〕与区间I之间的关系，写出你的结论〔不必证明〕．
例10、函数y=f〔x〕，x∈R满足f〔x+1〕=af〔x〕，a是不为0的实常数．〔1〕假设当0≤x≤1时，f〔x〕=x〔1﹣x〕，求函数y=f〔x〕，x∈[0，1]的值域；
2〕在〔1〕的条件下，求函数y=f〔x〕，x∈[n，n+1〕，n∈N的解析式；
3〕假设当0＜x≤1时，f〔x〕=3x，试研究函数y=f〔x〕在区间〔0，+∞〕上是否可能是单调函数？假设可能，求出a的取值范围；假设不可能，请说明理由．
七、实战演练
一．填空题
1、〔2021?上海〕将函数〔x∈[0，6]〕的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ〔0≤θ≤α〕，
得到曲线C．假设对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图象，那么α的最大值为．
2、〔2021?上海〕对区间I上有定义的函数g〔x〕，记g〔I〕={y|y=g〔x〕，x∈I}．定
义域为[0，3]的函数y=f〔x〕有反函数y=f﹣1〔x〕，且f﹣1〔[0，1〕〕=[1，2〕，f﹣1〔〔2，
4]〕=[0，1〕．假设方程f〔x〕﹣x=0有解x
，
那么x=．00
3、〔2021?湖南〕设函数y=f〔x〕存在反函数y=f﹣1〔x〕，且函数y=x﹣f〔x〕的图象
过点〔1，
2〕，那么函数y=f﹣1〔x〕﹣x的图
象一定过点．
3、〔2021?上海〕设g〔x〕是定义在R上，以1为周期的函数，假设函数f〔x〕=x+g
〔x〕在
区间[0，1]上的值域为[﹣2，5]
，那么f〔x〕在区间[0，3]上
的值域为．
4、〔2021?闸北区二模〕设f〔x〕是R上的奇函数，g〔x〕是R上的偶函数，假设函数
f〔x〕+g〔x〕的值域为[1，3〕，那么f〔x〕﹣g〔x〕的值
域为．
5、在直角坐标系中，如果两点A〔a，b〕，B〔﹣a，﹣b〕在函数y=f〔x〕的图象
上，那么
称[A，B]为函数f〔x〕的一组关于原点的中心对称点〔[A，B]与[B，A]看作一
组〕．函数g
〔x〕=关于原点的中心对称点的组
数为．
6．〔2021?上海〕设a为实常数，y=f〔x〕是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f〔x〕=9x++7．假设
f〔x〕≥a+1
对一切x≥0成立，那么a的取
值范围为．
7．〔2021?上海〕假设f〔x〕=为奇函数，那么实数
m
=．
8．〔2021?上海〕函数
f〔x〕=e|x﹣a|〔a为常数〕．假设f〔x〕在区间[1，+∞〕上是增函
数，那么a的取值
范围是．
9．〔2021?上海〕y=f〔x〕+x2是奇函数，且
f〔1〕=1，假设g〔x〕=f〔x〕+2，
那么g
〔﹣1〕=．
10．〔2021?四川〕f〔x〕是定义域为R的偶
函数，当
x≥0时，f〔x〕=x2﹣4x，
那么，
不等式f〔x+2〕＜5的
解集是．
11．〔2021?黄浦区二模〕，假设存在区间，使得{y|y=f
〔x〕，x?[a，b]}=[ma，mb]，那么
实数m的取值范
围是．
12．f〔x〕为R上的偶函数，g〔x〕为R上的奇函数且过〔﹣1，3〕，g〔x〕=f〔x﹣
1〕，那么
f〔2021〕+f
〔2021〕=．
13．设函数f〔x〕，g〔x〕的定义域分别为D，D，且D?
D．假设对于任意x∈D，都有g〔x〕
f f
g f
=f〔x〕，那么称函数g〔x〕为f〔x〕在D上的一个延拓函数．设
2
f〔x〕=x+2x，x∈〔﹣
∞，
g
0]，g〔x〕为f〔x〕在R上的一个延拓函数，且g〔x〕是偶函数，那么g
〔x〕=．
14．〔2021?普陀区一模〕函数，设a＞b≥0，假设f〔a〕=f〔b〕，那么b?f
〔a〕的取值范
围是．
15．f〔x〕是定义在R上的函数，且对任意x∈R，都有f〔x+3〕≤f〔x〕+3
和
f〔x+2〕≥f〔x〕+2，假设f〔998〕=1002，那么f 〔2021〕=．
16．〔2021?西城区一模〕设函数f〔x〕的定义域为D．假设存在非零实数
l使得对
于任意
x∈
M．有
x+l∈D，且f〔x+l〕≥f〔x〕，那么称f〔x〕为M上的l高调函数，
如果定义域是
[﹣1，+∞〕的函数f〔x〕=x2为[﹣1，+∞〕上的m高调函数．那么实数m的取值范围是----．
2
〔m 〕+2[f 〔n 〕]
2
17．定义在R 上的函数f 〔x 〕满足f 〔m+n 〕=f
，其中m ，n ∈R，且
f 〔1〕≠0．那么f 〔2021〕=
．
18．〔2021?浙江模拟〕定义域为
[a ，b]的函数y=f 〔x 〕图象的两个端点为A 、B ，M
〔x ，y 〕 是f 〔x 〕图象上任意一点，其中
x=λa+〔1﹣λ〕b∈[a，b]，向量，假设不等式恒
成立，
那么称函数f 〔x 〕在[a ，b]上“k 阶线性近似〞．假设函数在 [1，2]上“k 阶线性近似〞，那么实
数k 的取值范围为------
二．解答题
19．〔2021?交大附中〕假设函数
f 〔x 〕定义域为R ，满足对任意
x ，x∈R，有f 〔x+x 〕
≤f
2
2
〔x1〕+f 〔x2〕，那么称f 〔x 〕为“V 形函数〞；假设函数g 〔x 〕定义域为R ，g 〔x 〕恒大于 0，
且对任意
x1，x2∈R，有lgg 〔x1+x2〕≤lgg〔x1〕+lgg 〔x2〕，那么称g 〔x 〕为“对数 V
形函数〞．
〔1〕当f 〔x 〕=x 2
时，判断f 〔x 〕是否为V 形函数，并说明理由；
+2时，证明：g 〔x 〕是对数V 形函数；
〔2〕当g 〔x 〕=x
〔3〕假设f 〔x 〕是V 形函数，且满足对任意
x∈R，有f 〔x 〕≥2，问f 〔x 〕是否为对数V
形函数？证明你的结论．
20．〔2021?杨浦区一模〕假设函数 y=f〔x〕，如果存在给定的实数对〔a，b〕，使得
f〔a+x〕?f〔a﹣x〕=b恒成立，那么称y=f〔x〕为“Ω函数〞．
〔1〕判断以下函数，是否为“Ω函数〞，并说明理由；①f〔x〕=x3②f〔x〕=2x〔2〕函数f〔x〕=tanx是一个“Ω函数〞，求出所有的有序实数对〔a，b〕．
（
（
（
（
（
（
（
（
（
（
（
（
（22．给出函数封闭的定义：假设对于定义域D内的任意一个自变量x0，都有函数值f〔x0〕∈D，
（那么称函数y=f〔x〕在D上封闭．
（〔1〕假设定义域 D1=〔0，1〕，判断以下函数中哪些在D1上封闭〔写出推理过程〕：f1〔x〕=2x
（1，f2〔x〕=﹣﹣+1，f3〔x〕=2x﹣1；
（2〕假设定义域D2=〔1，2〕，是否存在实数a，使得函数f〔x〕=在D2上封闭？假设存在，求出a的值，并给出证明；假设不存在，请说明理由．
（
（
（
（
（
（
（
（
（
（
（
（
（
（
（
（
（23．假设函数f〔x〕在定义域D内某区间I上是增函数，而在I上是减函数，那么称y=f〔x〕
（在I上是“弱增函数〞
（1〕请分别判断f〔x〕=x+4，g〔x〕=x2+4x在x∈〔1，2〕是否是“弱增函数〞，并简要说明理由．
（2〕证明函数h〔x〕=x2+a2x+4〔a是常数且a∈R〕在〔0，1]上是“弱增函数〞．
函数的性质及其应用
教师用
函数的根本性质与函数的综合运用是高考对函数内容考查的重中之重，其中函数单调
性与奇偶性是高考命题的必考内容之一，
有具体函数，还会涉及抽
象函数。

函数单调
性是函
数在定义域内某个区间上的性质，函数奇偶性是函数在整个定义域上的性质。

研究根本性质，
不可忽略定义域对函数性质的影响。

函数定义域表达了函数图像左右方向
的延伸程度，
而
值
域又表现了函数图像在上下方向上的延伸程度。

对函数单调性要深
入复习，
深刻理解
单调性
定义，熟练运用单调性定义证明或判断一个函数的单调性，
掌握单调区间的
求法，
掌
握单调
性与奇偶性之间的联系。

掌握单调性的重要运用，如求最值、解不等式、求参数范围等，掌
握抽象函数单调性的判断方法等等。

要充分重视运用方程
与函数、
等价转换、分类讨
论及数
形结合等数学思想，运用别离变量方法解决函数相关问题，并围绕函数单调性分析
解决函数
综合问题。

一、函数与反函数
例1．〔1〕A={1，2，3}，B={4，5}，那么以A为定义域，B为值域的
函数共有6
个．
解：从A到B建立映射共有
3
个，其中由2个映射的像集是{4}和{5}，把
这2
个
映2
=8
射去掉，其它映射的像集都是
{4，5}，函数的本质是一个数集到另一个数集的映射，
所以，构成以A为定义域，
B为值域的不同的
函数共有
8﹣2=6个，故答案为
6．
〔2〕、〔2021?徐汇区一模〕函数f〔x〕=x2﹣1的定义域为D，值域为{﹣1，0，
1}，试
确定这样的集合D最多有9 个．
2
解：∵f〔x〕=x﹣1，∴f〔0〕=﹣1，f〔±1〕=0，f〔±〕=1
因此，定义域D有：{0，1，}，{0，﹣1，﹣}，{0，﹣1，}，{0，1，﹣}，{0，﹣1，
1，}，{0，﹣1，1，﹣}，{0，1，，﹣}，
{0，﹣1，，﹣}，{0，﹣1，1，，﹣}共9种情况，故答案为：9
〔3〕〔2021?上海〕对区间I上有定义的函数g〔x〕，记g〔I〕={y|y=g〔x〕，
x∈I}．定义域为[0，3]的函数y=f〔x〕有反函数y=f﹣1〔x〕，且f﹣1〔[0，1〕〕=[1，2〕，f﹣1〔〔2，4]〕=[0，1〕．假设方程f〔x〕﹣x=0有解x0，那么x0=2．
解：因为g〔I〕={y|y=g〔x〕，x∈I}，f﹣1〔[0，1〕〕=[1，2〕，f﹣1〔2，4]〕
=[0，1〕，所以对于函数f〔x〕，当x∈[0，1〕时，f〔x〕∈〔2，4]，所以方程f〔x〕﹣x=0即f〔x〕=x无解；当x∈[1，2〕时，f〔x〕∈[0，1〕，所以方程f〔x〕﹣x=0
即f〔x〕=x无解；所以当x∈[0，2〕时方程f〔x〕﹣x=0即f〔x〕=x无解，又因为方
程f〔x〕﹣x=0有解x0，且定义域为[0，3]，故当x∈[2，3]时，f〔x〕的取值应
属于集合〔﹣∞，0〕∪[1，2]∪〔4，+∞〕，故假设f〔x0〕=x0，只有x0=2，故答案为：2．
二、函数值域及最值求法
例2、〔1〕〔2021?上海〕设g〔x〕是定义在R上，以1为周期的函数，假设函数f〔x〕=x+g
〔x〕在区间[0，1]上的值域为[﹣2，5]，那么f〔x〕在区间[0，3]上的值域为
[﹣2，7] ．
解：g〔x〕为R上周期为1的函数，那么g〔x〕=g〔x+1〕函数f 〔x〕=x+g〔x〕在区
间[0，1]【正好是一个周期区间长度】的值域是[﹣2，5]，令x+1=t，当x∈[0，1]
，t=x+1∈[1，2]，此，f 〔t 〕=t+g 〔t 〕=〔x+1〕+g 〔x+1〕=〔x+1〕+g 〔x 〕
=[x+g 〔x 〕]+1 ，所以，在 t∈[1，2]
，f 〔t 〕∈[1，6]⋯〔1〕
同理，令x+2=t ，在当x∈[0，1]，t=x+2∈[2，3]
此，f 〔t 〕=t+g 〔t 〕=〔x+2〕+g 〔x+2〕=〔x+2〕+g 〔x 〕=[x+g 〔x 〕]+2
所以，当t∈[2，3]，f 〔t 〕∈[0，7]⋯〔2〕
由条件及〔
1〕〔2〕得到，f 〔x 〕在区[0，3]上的域[2，7]
故答案：[2，7]．
〔2〕〔2021?黄浦区二模〕，假设存在区
[a ，b]?〔0，+∞〕，使得
{y|y=f 〔x 〕，x∈[a，b]}=[ma ，mb]，数m 的取范是
〔0，4〕．
解：∵f〔x 〕=4在〔0，+∞〕是增函数，∴
f 〔x 〕在x∈[a，b]上
域
[f 〔a 〕，f 〔b 〕]，所以f 〔a 〕=ma 且f 〔b 〕=mb ，即4=ma 且4=mb ，
2
2
2
必有两个不相等的正
根，故
所以ma4a+1=0且mb4b+1=0，所以mx4x+1=0 m≠0，∴，解得
0＜m ＜4．
∴数m 的取范是〔0，4〕．故答案：〔0，4〕．
〔3〕．〔2021?虹口区一模〕函数
f 〔x 〕=2x+a ，
g 〔x 〕=x 26x+1，于任意的都能找
到，
使得g 〔x2〕=f 〔x1〕，数a 的取范是
[2，6]
．
2
1，1]，f 〔x 〕的域就是
解：∵函数f 〔x 〕=2x+a ，g 〔x 〕=x6x+1，∴x∈[
1
[a2，a+2]，要使上述范内能找到
足g〔x〕=f
〔x
〕，即g〔x〕
的域要22
包含[a2，a+2]，∵g〔x〕是一个二次函数，在
[1，1]上减，∴域[4，8]，因此，解得2≤a≤6．故答案：[2，6]．
三、函数性与奇偶性
例3、〔1〕〔2021?阳一模〕函数
〔1，
3〕．
假设f〔2m+1〕＞f〔m2〕，数m的取范是
解：∵x≤1，函数y=x
2+2x+1=〔x1〕2+2，在
〔∞，1]上增；x＞1
，函数y=x3+1在〔1，+∞〕上增，又x≤1，x2+2x+1≤2，x＞1，
x3+1＞2，∴函数，∴
函数在R上增，
（2m+1＞m22，∴m22m3＜0，∴1＜m＜3，故答案：〔1，3〕
（2〕是R上的增函数，那么a的取范是
（1，3〕．
解：∵是R上的增函数，
∴∴a∈〔1，3〕故答案：〔1，3〕
〔3〕〔2021?上海〕y=f〔x〕是奇
函数，假设
g〔x〕=f〔x〕
+2且g〔1〕
=1，
g〔1〕
=
3
．
解：由意y=f〔x〕是奇函数，g〔x〕=f〔x〕+2
g〔x〕+g〔x〕=f〔x〕+2+f〔x〕+2=4，又g〔1〕=1
∴1+g〔1〕=4，解得g〔1〕=3，故答案 3
〔4〕f〔x〕R上的偶函数，g〔x〕R上的奇函数且〔1，3〕，g〔x〕=f〔x1〕，f 〔2021〕+f〔2021〕=3．
解：由f〔x〕R上的偶函数，g〔x〕R上的奇函数，得f〔x〕=f〔x〕，g〔x〕=g 〔x〕，且g〔0〕=0，由g〔x〕=f〔x1〕，得f〔x〕=g〔x+1〕=g〔x1〕=f〔x2〕=f
〔x+2〕，即f〔x〕=f〔x+2〕，所以f〔x+4〕=f〔x+2〕=[f〔x〕]=f〔x〕，故f〔x〕是周期4的周期函数，所以f〔2021〕=f〔4×503〕=f
0〕=g〔1〕=g〔1〕=3，f〔2021〕=f〔4×503+1〕=f〔1〕=f〔1〕=g〔0〕
=0，所以f〔2021〕+f〔2021〕= 3，故答案：3．
四、函数的周期性
例4、〔1〕奇函数足的。

解：
〔2〕函数y=f〔x〕是定在R上的奇函数，
且足f〔x 2〕= f〔x〕一切x∈R都
成立，又当x∈[1，1]，f〔x〕=x3，以下四个
命：①函数y=f〔x〕是以4周期3
称；④函数y=f〔x〕的象关于〔2，0〕
称．其中正确的命是①②③④．
解：∵函数y=f〔x〕是定在R上的奇函数，
∴f〔x〕= f〔x〕，
∵f〔x 2〕= f〔x〕一切x∈R都成立，∴f
〔x 4〕=f〔x〕，∴函数y=f〔x〕是
以4周期的周期函数，故①正确．当x∈[1，3]，x2∈∈[1，1]，
f〔x2〕=〔x2〕3=f〔x〕，∴f〔x〕=〔2x〕3，故②正确．∵f〔x2〕
=f〔x〕，
f〔1+x〕=f〔1x〕，∴函数y=f〔x〕的象关于x=1称，故③正
确．∵当x∈[1，3]，f〔x〕=〔2x〕3，∴f〔2〕=0，∵f〔x2〕=f
〔x〕，
f〔x2〕=f〔x〕=f〔x〕=f〔x2〕，∴f〔x+2〕=f〔x2〕，∴函数
y=f〔x〕的象关于〔2，0〕称．故正确的命有①②③④，故答
案①②③④．
2 * 2
〔2〕假设f〔n〕n+1〔n∈N〕的各位数字之和，如14+1=197，1+9+7=17 f〔14〕
=17，f1〔n〕=f〔n〕，f2〔n〕=f[f 1〔n〕]，⋯，fk+1〔n〕=f[f k〔n〕]k∈N*，
f2021〔8〕= 8 ．
解：f〔18〕=f〔8〕=64+1=656+5=11，f〔28〕=f[f〔18〕]=f〔11〕=121+1=122=1+2+2=5f3〔8〕=f[f2〔8〕]=f〔5〕=25+1=26=8，f4〔8〕=f[f3〔8〕]=f〔8〕
⋯所以f2021〔8〕=f3〔8〕=8，故答案：8
五、函数像的称性
例5、〔1〕函数yf(2x1)偶函数，
函
数y f(2x)像关于直
称，函数y
f(x)像关于
直
称。

解y
f像关于
x1y
f
x
：(2x)直
称，
函数(x)
像关于
直称。

2
1
（2〕．1006．
解
：假设
a+b=
1，
f〔a〕+f〔b〕==
===1，
所以
=[f〔〕+f〔〕]+[f 〔〕+f〔〕]+⋯+[f〔〕+f〔〕]
=1+1+⋯+1=1006．故答案：1006．
〔3〕函数f〔x〕的定域R，以下命中：
①假设f〔x 2〕是偶函数，函数f〔x〕的象关于直x=2称；②假设f〔x+2〕
= f
〔x 2〕，函数f〔x〕的象关于原点称；③函数y=f〔2+x〕与函数
y=f〔2 x〕的
象关于直x=2称；④函数y=f〔x 2〕与函数y=f〔2 x〕的
象关于直x=2
称．其中正确的命序号是④．
解：①不正确．因f〔x 2〕的象是由f〔x〕的象向右平移两个位而得到，合f〔x 2〕是偶函数知，f〔x〕的象关于x= 2称，
②由f〔x+2〕= f〔x 2〕形得f〔x+8〕=f〔x〕是
周期函数．不能得出函数 f
〔x〕的象关于原点称，故不正确．③不正确，因函数y=f
〔2+x〕是由f〔x〕
向左平移2个单位，函数y=f〔2﹣x〕的图象是由f〔﹣x〕的图象向右平移2个单位，
故两函数的图象仍然关于原点对称．
④如下列图，正确．故答案为：④
．六、函数性质的综合应用
例6、〔2021?上海春季〕真命题：“函数y=f〔x〕的图象关于点P〔a，b〕成中心对称图形〞的充要条件为“函数y=f〔x+a〕﹣b是奇函数〞．
〔1〕将函数g〔x〕=x3﹣3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象
对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g〔x〕图象对称中心的坐标；
2〕求函数h〔x〕=图象对称中心的坐标；
3〕命题：“函数y=f〔x〕的图象关于某直线成轴对称图象〞的充要条件为“存在实数a和b，使得函数y=f〔x+a〕﹣b是偶函数〞．判断该命题的真假．如果是真命题，
请给
予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题〔不必证明〕．
解：〔1〕平移后图象对应的函数解析式为y=〔x+1〕3﹣3〔x+1〕2+2，整理得y=x3﹣3x，
3
由于函数y=x﹣3x是奇函数，由题设真命题知，函数g〔x〕图象对称中心的坐标是
〔2〕设h〔x〕=的对称中心为P〔a，b〕，由题设知函数 h〔x+a〕﹣b是奇函数．设
〔x〕=h〔x+a〕﹣b那么f〔x〕=﹣b，即f〔x〕=．由不等式的解集关于原点对称，得
a=2．
此时f〔x〕=﹣b，x∈〔﹣2，2〕．
任取x∈〔﹣2，2〕，由f〔﹣x〕+f〔x〕=0，得b=1，
所以函数h〔x〕=图象对称中心的坐标是〔2，1〕．
〔3〕此命题是假命题．举反例说明：函数f〔x〕=x的图象关于直线y=﹣x成轴对称
图象，但是对任意实数a和b，函数y=f〔x+a〕﹣b，即y=x+a﹣b总不是偶函数．
修改后的真命题：“函数y=f〔x〕的图象关于直线x=a成轴对称图象〞的充要条件是
“函数y=f〔x+a〕是偶函数〞．
例7、函数f〔x〕=ax2+bx+1，a，b为实数，a≠0，x∈R，F〔x〕=，
〔1〕假设f〔﹣1〕=0，且函数f〔x〕的值域为[0，+∞〕，求F〔x〕的表达式；
〔2〕在〔1〕的条件下，当x∈[﹣1，1]时，g〔x〕=f〔x〕+kx是单调函数，求实数k的取
值范围；
〔3〕设mn＜0，m+n＞0，a＞0，且函数
f〔x〕为偶函
数，判断
F〔m〕+F〔n〕是否
大于0．
解：〔1〕依题意，有，解得，∴
f
〔x〕=x2+2x+1，
∴
2〕由〔1〕得g〔x〕=f〔x〕+kx=x2+2x+1+kx=x2+〔k+2〕x+1，
∴函数g〔x〕的对称轴x=，∵g〔x〕在区间[﹣1，1]上是单调函数，∴．解得k≥0，或k≤﹣4．
∴实数k的取值范围为〔﹣∞，﹣4]∪[0，+∞〕，
〔3〕∵f〔x〕=ax2+bx+1为偶函数，∴b=0，即f〔x〕=ax2+1〔a＞0〕，∴
∵mn＜0，m+n＞0，a＞0，不妨设n＜0＜m，那么有0＜﹣n＜m，
∴m﹣n＞0，m+n＞0．∵F〔m〕+F〔n〕=am2+1﹣an2﹣1=a〔m+n〕〔m﹣n〕，F〔m〕+F〔n〕＞0．
例8、〔2021?上海〕f〔x〕=lg〔x+1〕
〔1〕假设0＜f〔1﹣2x〕﹣f〔x〕＜1，求x的取值范围；
2〕假设g〔x〕是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g〔x〕=f〔x〕，求函数y=g〔x〕
x∈[1，2]〕的反函数．
解：〔1〕由解得：﹣1＜x＜1．
由0＜lg〔2﹣2x〕﹣lg〔x+1〕=lg＜1得：1＜＜10，∵x+1＞0，∴x+1＜2﹣2x＜10x+10，
∴．由得：．
〔2〕当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，∴y=g〔x〕=g〔x﹣2〕=g〔2﹣x〕=f〔2﹣x〕
y
=lg〔3﹣x〕，由单调性可知y∈[0，lg2]，又∵x=3﹣10，
x
∴所求反函数是y=3﹣10，x∈[0，lg2]．
例9、〔2021?卢湾区二模〕对于定义域为D
的函数y=f〔x〕，假设有常数M，使得对任意的
x1∈D，存在唯一的x2∈D满足等式，那么称M
为函数y=f〔x〕的“均值〞．〔1〕判断1是否
为函数
〔x〕=2x+1〔﹣1≤x≤1〕的“均值〞，请
说明理由；
〔2〕假设函数f〔x〕=ax2﹣2x〔1＜x＜
2，a为常数〕存在“均值〞，求实数a的取
值范围；
〔3〕假设函数f〔x〕是单调函数，且其值
域为区间I．试探究函数f〔x〕的“均值〞情
况〔是
否存在、个数、大小等〕与区间I之间的关
系，写出你的结论〔不必证明〕．
解：〔1〕对任意的x1∈[﹣1，1]，有﹣
x1∈[﹣1，1]，
当且仅当x2=﹣x1时，有，
故存在唯一x2∈[﹣1，1]，满足，
所以1是函数f〔x〕=2x+1〔﹣1≤x≤1〕
的“均值〞．
〔2〕当a=0时，f〔x〕=﹣2x〔1＜x＜2〕
存在“均值〞，且“均值〞为﹣3；
2
2
都有唯一的x2与之对应，从而有f〔x〕=ax﹣2x〔1＜x＜2〕单调，故有或，解得a≥1
或a＜0或，综上，a的取值范围是或a≥1．
3〕①当I=〔a，b〕或[a，b]时，函数f〔x〕存在唯一的“均值〞．这时函数f〔x〕的“均值〞为；
②当I为〔﹣∞，+∞〕时，函数f〔x〕存在无数多个“均值〞．
这时任意实数均为函数f〔x〕的“均值〞；
③当I=〔a，+∞〕或〔﹣∞，a〕或[a，+∞〕或〔﹣∞，a]或[a，b〕或〔a，b]时，
函数f〔x〕不存在“均值〞．
①当且仅当I形如〔a，b〕、[a，b]其中之一时，函数f〔x〕存在唯一的“均值〞．
这时函数f〔x〕的“均值〞为；
②当且仅当I为〔﹣∞，+∞〕时，函数f〔x〕存在无数多个“均值〞．
这时任意实数均为函数f〔x〕的“均值〞；
③当且仅当I形如〔a，+∞〕、〔﹣∞，a〕、[a，+∞〕、〔﹣∞，a]、[a，b〕、〔a，b]其中之一时，函数f〔x〕不存在“均值〞．
例10、函数y=f〔x〕，x∈R满足f〔x+1〕=af〔x〕，a是不为0的实常数．〔1〕假设当0≤x≤1时，f〔x〕=x〔1﹣x〕，求函数y=f〔x〕，x∈[0，1]的值域；〔2〕在〔1〕的条件下，求函数y=f 〔x〕，x∈[n，n+1〕，n∈N的解析式；
〔3〕假设当0＜x≤1时，f〔x〕=3x，试研究函数y=f〔x〕在区间〔0，+∞〕上是否可能是单调函数？假设可能，求出a的取值范围；假设不可能，请说明理由．
解：〔1〕∵，∴．
2〕当n≤x≤n+1〔n≥0，n∈Z〕时，fn〔x〕=afn﹣1〔x﹣1〕=a2fn﹣1〔x﹣2〕
n n
═af1〔x﹣n〕，fn〔x〕=a〔x﹣n〕〔n+1
﹣x〕．
〔3〕当n≤x≤n+1〔n≥0，n∈Z〕时，
f
〔x〕=af
2
〔x
﹣2〕
〔x﹣1〕
=af
﹣
1
n
n
﹣
1
n
n x ﹣n
n x ﹣n ，n+1]，n≥0，
n∈Z
═af 1〔xn 〕，∴f n 〔x 〕=a?3
；然fn 〔x 〕=a?3
，x∈[n
当a ＞0是增函数，此∴f n 〔x 〕∈[a n ，3a n ]，假设函数y=f 〔x 〕在区[0，+∞〕
上是增函数，必有
a n+1
≥3a n
，解得：a≥3；然当a ＜0，函数y=f 〔x 〕
在
区[0，+∞〕上不是函数；所以a≥3．
七、演
一．填空
1、〔2021?上海〕将函数〔x∈[0，6]〕的象坐原点逆方向旋角
θ
〔0≤θ≤α〕，
得到曲C ．假设于每一个旋角
θ，曲C 都是一个函数的象，
α的最大
arctan ．
解：先画出函数〔
x∈[0，6]〕的象，是一个弧，心
M 〔3，2〕，由
可
知当此弧坐原点逆方向旋角大于∠
MAB ，曲C 都不是一个函数的
象，
∴∠MAB=arctan
故答案：arctan
2、〔2021?上海〕区I 上有定的函数g 〔x 〕，g 〔I 〕={y|y=g 〔x 〕，
x∈I}．定域[0，3]的函数y=f 〔x 〕有反函数y=f ﹣1〔x 〕，且f ﹣1
〔[0，1〕〕=[1，
2〕，f ﹣1
〔〔2，
4]〕=[0，1〕．假设方程f 〔x 〕
x=0有解x
，x=2． 0
解：因g 〔I 〕={y|y=g 〔x 〕，
x∈I}
，f ﹣1〔[0，1〕〕=[1，2〕，f ﹣1〔2，
4]〕=[0，1〕，
所以于函数f 〔x 〕，当x∈[0，1〕，f 〔x 〕∈〔2，4]，所以方程f 〔x 〕x=0即f 〔x 〕=x 无解；当x∈[1，2〕，f 〔x 〕∈[0，1〕，所以方程f 〔x 〕x=0即f 〔x 〕=x 无解；所以当x∈[0，2〕方程f 〔x 〕x=0即f 〔x 〕=x 无解，又因方
程f〔x〕x=0有解x0，且定域[0，3]，故当x∈[2，3]，f〔x〕的取属于集合〔∞，0〕∪[1，2]∪〔4，+∞〕，故假设f〔x0〕=x0，只有x0=2，故答案：2．
3、〔2021?湖南〕函数y=f〔x〕存在反函数
y=f﹣1〔x〕，且函数y=xf〔x〕的象点〔1，
2〕，函数y=f﹣1〔x〕x的象一定点〔1，2〕．
解析：由函数y=xf〔x〕的象点〔1，2〕得：f〔1〕=1，即函数y=f〔x〕点〔1，1〕，其反函数点〔1，1〕，所以函数y=f﹣1〔x〕x的象一定点〔1，2〕．
3、〔2021?上海〕g〔x〕是定在R上，以1周期的函数，假设函数f〔x〕=x+g〔x〕在
区[0，1]上的域[ 2，5]，f〔x〕在区[0，3]上的域[ 2，7] ．
解：g〔x〕R上周期1的函数，g〔x〕=g〔x+1〕，函数f〔x〕=x+g〔x〕在
区[0，1]【正好是一个周期区度】的域是[ 2，5]，令x+1=t，当x∈[0，
1]，t=x+1∈[1，2]，此，f〔t〕=t+g〔t〕=〔x+1〕+g〔x+1〕=〔x+1〕+g〔x〕
=[x+g〔x〕]+1 ，所以，在t∈[1，2]，f〔t〕∈[1，6]⋯〔1〕
同理，令x+2=t，在当x∈[0，1]，t=x+2∈[2，3]，此，f〔t〕=t+g〔t〕
=〔x+2〕+g〔x+2〕=〔x+2〕+g〔x〕=[x+g〔x〕]+2，所以，当t∈[2，3]，f 〔t〕
∈[0，7]⋯〔2〕
由条件及〔 1〕〔2〕得到，f〔x〕在区[0，3]上的域[ 2，7]
故答案：[ 2，7]．
4、〔2021?北区二模〕f〔x〕是R上的奇函数，g〔x〕是R上的偶函数，假设函数f〔x〕
+g〔x〕的域[1，3〕，f〔x〕g〔x〕的域〔3，1] ．
解：由f〔x〕是R上的奇函数，g〔x〕是R上的偶函数，得到f〔x〕=f〔x〕，g
〔x〕=g〔x〕，∵1≤f〔x〕+g〔x〕＜3，且f〔x〕和g〔x〕的定域都R，
把x x得：1≤f〔x〕+g〔x〕＜3，形得：1≤f〔x〕+g〔x〕＜3，即
﹣
﹣
﹣3＜f〔x〕﹣g〔x〕≤﹣1，那么f〔x〕﹣g〔x〕的值域为
〔﹣3，﹣1]．故答案为：〔﹣3，﹣1]
5、在直角坐标系中，如果两点A〔a，b〕，B〔﹣a，﹣b〕在函数y=f〔x〕的
图象上，那么称[A，B]为函数f〔x〕的一组关于原点的中心对称点〔[A，B]与[B，
A]看作一组〕．函数〔x〕=关于原点的中心对称点的组数为2．
g 解：由题意可知g〔x〕=sin，x≤0，那么函数g〔x〕=sin，x≤0，
关于原点对称的函数为h〔x〕=sin，x＞0，那么坐标系中分别作出函数h〔x〕
=sin
，x
＞0，g〔x〕=log4〔x+1〕，x＞0的图象如题，由图象可知，两个图象的交点个数有 2 个，所以函数g〔x〕=关于原点的中心对称点的组数为2组．故答案为：2．
6．〔2021?上海〕设a为实常数，y=f〔x〕是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f〔x〕
=9x++7．假设
f〔x〕
≥a+1
对
一切
x≥0成立，那么a的
取值范围为
．．
解：因为y=f〔x〕是定义在R上的奇函数，所以当x=0时，f〔x〕=0；
当x＞0时，那么﹣x＜0，所以f〔﹣x〕=﹣9x﹣+7，因为y=f〔x〕是定义在R上的奇函数，所以f〔x〕=9x+﹣7；因为f〔x〕≥a+1对一切x≥0成立，所以当x=0时，0≥a+1
成立，所以a≤﹣1；当x＞0时，9x+﹣7≥a+1成立，只需要9x+﹣7的最小值≥a+1，因为9x+﹣7≥2=6|a|﹣7，所以6|a|﹣7≥a+1，
解得，所以．故答案为．
7．〔2021?上海〕假设f〔x〕=为奇函数，那么实数m= ﹣2 ．
解：∵f〔x〕=为奇函数，∴f〔﹣1〕=﹣f〔1〕
即m﹣1=3〔1+m〕∴m=﹣2故答案为：﹣2
8．〔2021?上海〕函数f〔x〕=e|x﹣a|〔a为常数〕．假设f〔x〕在区间[1，+∞〕上是增函
数，那么a的取值范围是
〔﹣
∞，1]．
解：因为函数f 〔x〕=e
|
x
﹣
a|
〔a为常数〕．假设f〔x〕在区间[1，+∞〕上是增函数
由复合函数的单调性t=|x﹣a|在区间[1，+∞〕上是增函数，又t=|x
知，必有﹣a|在
区间[a，+∞〕上是增函数，所以[1，+∞〕?[a，+∞〕，故有a≤1，故答案
为〔﹣∞，
1]
9．〔2021?上海〕
y=f
〔x〕+x
2是奇函
数，且
f〔1〕=1，假设g〔x〕=f
〔x〕+2，
那么g〔﹣1〕=﹣1．
解：由题意，y=f 〔x〕+x 2是奇函数，且f〔1〕=1，所以f〔1〕+1+f〔﹣1〕+
〔﹣1〕
2=0解得f〔﹣1〕=﹣3，所以g〔﹣1〕=f〔﹣1〕+2=﹣3+2=﹣1，故答案为﹣1
10．〔2021?四川〕f〔x〕是定义域为R的偶函
数，当
x≥0时，f〔x〕=x2﹣4x，
那么，
不等式f〔x+2〕＜5的解集是
〔﹣7，3〕．
解：因为f〔x〕为偶函数，所以
f
〔|x+2|
〕=f〔x+2〕，那么f〔x+2〕
＜5可化为
f〔|x+2|〕＜5，即|x+2|
2﹣
4|x+2|
＜5，〔|x+2|+1〕〔|x+2|﹣5〕＜0，所以
|x+2|＜5，
解得﹣7＜x＜3，所以不等式f〔x+2〕＜5的解集是〔﹣7，3〕．故答案为：
〔﹣7，
3〕．
11．〔2021?黄浦区二模〕，假设存在区间，使得
{
y|y=f
〔x〕，x?[a，b]}=[ma，
mb]，那么
实数m的取值范围是
〔0
，4]．
解：因为函数在上为减函数，
所以函数在上为
增函数，
因为区间，由{y|y=f
〔x〕，x∈[a，
b]}=[ma，mb]，那
么，即．
说明方程有两个大于实数
根．由得：．
零，那么t∈〔0，3〕．那么m=﹣t2+4t=﹣〔t﹣2〕2+4．由t∈〔0，3〕，
所以m∈〔0，4]．所以使得{y|y=f 〔x〕，x∈[a，b]}=[ma，mb]的实数m的取值范围
是〔0，4]．故答案〔
12．f〔x〕R上的偶函数，
f〔2021〕+f〔2021〕= 3
0，
4]．
g
〔x〕
．
R上的奇函数
且〔
1，3〕，g〔x〕=f〔x 1〕，
解：由f〔x〕R上的偶函数，g〔x〕R上的奇函数，得f〔x〕=f〔x〕，g〔x〕=g〔x〕，且g〔0〕=0，由g〔x〕=f〔x1〕，得f〔x〕=g〔x+1〕=g〔x1〕=f〔x2〕
=f〔x+2〕，即f〔x〕=f〔x+2〕，
所以f〔x+4〕=f〔x+2〕=[f〔x〕]=f〔x〕，故f〔x〕是周期4的周期函数，所以f〔2021〕=f〔4×503〕=f〔0〕=g〔1〕=g〔1〕=3，
〔2021〕=f〔4×503+1〕=f〔1〕=f〔1〕=g〔0〕=0，
所以f〔2021〕+f〔2021〕=3，故答案：3．
13．函数f〔x〕，g〔x〕的定域分D f，Dg，且Df?Dg．假设于任意x∈D f，都有g〔x〕
=f〔x〕，称函数g〔x〕f〔x〕在Dg上的一个延拓函数．f〔x〕=x2+2x，x∈〔∞，
0]，g〔x〕f〔x〕在R上的一个延拓函数，且g〔x〕是偶函数，
2
g〔x〕= x 2|x| ．
2
解：由意可得当x≤0，g〔x〕=f〔x〕=x+2x，由函数g〔x〕偶函数可得，g〔x〕=g〔x〕，当x＞0，x＜0，g〔x〕=x22x，g〔x〕=x22x
g〔x〕=x22|x|，故答案：x22|x|
14．〔2021?普陀区一模〕函数，a＞b≥0，假设f〔a〕=f〔b〕，b?f〔a〕的取范
是
．
解：由函数，作出其象如，因函数f〔x〕在[0，1〕和[1，+∞〕上都是函
数，所以，假设足a＞b≥0，f〔a〕=f〔b〕，
必有b∈[0，1〕，a∈[1，+∞〕，由可知，使f〔a〕=f〔b〕的b∈[，1〕，
f〔a〕∈[，2〕．由不等式的可乘性得：b?f〔a〕∈[，2〕．故答案[，2〕．
15．f〔x〕是定在R上的函数，且任意x∈R，都有f〔x+3〕≤f〔x〕+3和f〔x+2〕≥f〔x〕+2，假设f〔998〕=1002，f〔2021〕=2021．
解：由f〔x+3〕≤f〔x〕+3，得f〔x+6〕≤f〔x+3〕+3≤f〔x〕+6；
由f〔x+2〕≥f〔x〕+2，得f〔x+6〕≥f〔x+4〕+2≥f〔x+2〕+4≥f〔x〕+6，所以f〔x〕+6≤f〔x+6〕≤f〔x〕+6，即f〔x+6〕=f〔x〕+6．
所以f〔2021〕=f〔998+169×6〕=f〔998+168×6〕+6=f〔998+167×6〕+12=⋯=f〔998〕
+169×6=1002+1014=2021．故答案：2021．
16．〔2021?西城区一模〕函数f〔x〕的定域D．假设存在非零数l 使得于任意x∈M．有
x+l∈D，且f〔x+l〕≥f〔x〕，称f〔x〕M上的l高函数，如果定域是
[ 1，+∞〕
2
的函数f〔x〕=x [ 1，+∞〕上的m高函数．求数m的取范．
解：在[1，+∞〕上的任意x〔x=x+m〕有y≥1恒成立，x+m≥1恒成立，即m≥1x恒成立．于
x∈[1，+∞〕，当x=11x最大0，所以有m≥0．又
222
因f〔x+m〕≥f〔x〕，即〔x+m〕≥x在x∈[1，+∝〕上恒成立，化得m+2mx ≥0，
又因m≥0，所以m+2x≥0即
m≥2x恒成立，当x=12x最大2，所以m≥2，上可知m≥2．
17．定在R上的函数
22
，其中m，n∈R，且
f〔1〕f〔x〕足f〔m+n〕=f〔m〕+2[f〔n〕]
≠0．f〔2021〕=
4024[f〔1〕]2+f
〔1〕．
22
，
解：由意知，f〔2021〕=f 〔2021+1
〕=f〔2021〕+2[f 〔1〕]
f〔2021〕=f〔2021〕+2[f 〔1〕]2，f〔2021〕=f〔2021〕+2[f〔1〕]2，
f〔2021〕=f〔2021〕+2[f〔1〕]2，
⋯
f〔2〕=f〔1〕+2[f〔1〕]2，
故有f〔2021〕=f〔1〕+2[f〔1〕]2×2021=4024[f〔1〕]2+f〔1〕
2
18．〔2021?浙江模〕定域 [a，b]的函数y=f〔x〕象的两个端点A、B，M〔x，y〕
是f〔x〕象上任意一点，其中x=λa+〔1λ〕b∈[a，b]，向量，假设不等式恒成立，
称函数f〔x〕在[a，b]上“k性近似〞．假设函数在[1，2]上“k性近似〞，
数k的取范〔〕
解：由意，M、N横坐相等，恒成立即k恒大于等于，k≥的最大，所以本
即求的最大．由N在AB段上，得A〔1，0〕，B〔2，〕，AB方程y=〔x 1〕，由
象可知，MN=y1 y2=x〔x 1〕=〔+〕≤〔均不等式〕，故数k的取范
二．解答
19．〔2021?交大附中〕假设函数f〔x〕定域R，足任意x1，x2∈R，有f〔x1+x2〕≤f 〔x1〕+f〔x2〕，称f〔x〕“V形函数〞；假设函数g〔x〕定域R，g〔x〕恒大于0，
且任意x1，x2∈R，有lgg〔x1+x2〕≤lgg〔x1〕+lgg〔x2〕，称g〔x〕“数V形函数〞．1〕当f〔x〕=x2，判断f〔x〕是否V形函数，并明理由；
2〕当g〔x〕=x2+2，明：g〔x〕是数V形函数；
3〕假设f〔x〕是V形函数，且足任意x∈R，有f〔x〕≥2，f〔x〕是否数V
形函数？明你的．
1〕解：f〔x1+x2〕[f〔x1〕+f〔x2〕]=〔x1+x2〕2〔+〕=2x1x2
∵x，x ∈R，
∴2xx
符号不
定，∴当
2
x
≤0，f〔x〕是V形函
数；当
2xx
＞0 112
，f〔x〕不是V形函数；
〔2〕明：假任意x1，x2∈R，有lgg〔x1+x2〕≤lgg〔x1〕+lgg
〔x2〕，
lgg 〔x +x〕lgg〔x〕lgg〔x〕
=lg[〔x
2
+2]lg
〔x
22
+
2〕
++2〕lg
x〕〔x 212212
≤0，∴〔x
222
x
2
+x〕
+2≤〔x
+2
〕〔x
+2〕
，∴x
+
〔x
〕+2≥0，然成
立，212112
∴假正确，g〔x〕是数V形函数；
〔3〕解：f〔x〕是数 V形函数
明：∵f〔x〕是V形函数，∴任意x1，x2∈R，有f〔x1+x2〕≤f〔x1〕+f〔x2〕，∵任意x∈R，有f〔x〕≥2，∴+≤1，
∴0＜f〔x1〕+f〔x2〕≤f〔x1〕f〔x2〕，∴f〔x1+x2〕≤f〔x1〕f 〔x2〕，
∴lgf〔x+x〕≤lgf〔x〕+lgf〔x〕，∴f〔x〕是数V形函数．
1212
20．〔2021?浦区一模〕假设函数
y=f〔x〕，如果存在定的
数〔
a，b〕，使得f
〔a+x〕
?f〔ax〕=b恒成立，称y=f〔x〕“Ω函数〞．
〔1〕判断以下函数，是否“Ω
函数〞，并明理由；
①f〔x〕=x3②f〔x〕=2x〔2〕函数f〔x〕=tanx
是一个“Ω函数〞，求出所
有的有序数〔
a，b〕．
解：〔1〕①假设f〔x〕=x
是“Ω函数〞，存在数
〔
a，b〕，使得f
〔a+x〕?f〔a
x〕=b，即〔a2x2〕3=b，x∈R恒成立
而x2=a2最多有两个解，矛盾，因
此f 〔x〕=x
3不是“Ω函
数〞⋯〔3分〕
②假设f〔x〕=2x是“Ω函数〞，存在常数a，b使得2a+x?2a﹣x=22a，即存在常数〔a，22a〕足，
f〔x〕=2x是“Ω函数〞〔6分〕
因此
〔2〕解：函数f〔x〕=tanx是一个“Ω函数〞，有序数〔a，b〕
足，tan〔ax〕tan〔a+x〕=b恒成立当a=kπ+，k∈Z，tan〔ax〕tan
〔a+x〕=cot2x，不是常数；⋯〔8分〕因此a≠kπ+，k∈Z，当x≠mπ+，
m∈Z，有〔btan2a1〕tan2x+〔tan2ab〕222
∴a=kπ+，k∈Z，b=1 ⋯〔13分〕
2
因此足f〔x〕=tanx是一个“Ω函数〞的数〔
a，b〕=〔kπ±，1〕，
22．出函数封的定：假设于定域D内的任意一个自量x0，都
有函数f〔x0〕∈D，
称函数y=f〔x〕在D上封．
〔1〕假设定域D1=〔0，1〕，判断以下函数中哪些在 D1
上封〔写出推理程〕：f1〔x〕=2x
1，f2〔x〕=+1，f3〔x〕=2x1；
2〕假设定域D2=〔1，2〕，是否存在数a，使得函数f〔x〕=在D2
上封？假设存在，求出a的，并出明；假设不存在，明理由．
解：〔1〕于定域D内的任意一个自量x0，都有函数f1
〔x0〕∈〔1，1〕?D1，
故函数f1〔x〕=2x 1在D1上不封；同理，f2〔x〕= +1
x
3 1
= +∈〔0，1〕；f〔x〕=2 1∈〔0，1〕，故在D上封；
〔2〕f〔x〕=，称中心〔2，5〕
当a+10＞0，函数f〔x〕=在D2上增函数，只需，∴a=2当a+10＜0，函数f〔x〕=在D2上减函数，只需，∴a∈?
上，所求a的等于2．
23．假设函数f〔x〕在定域D内某区I上是增函数，而在I上是减函数，称y=f〔x〕
在I上是“弱增函数〞
1〕分判断f〔x〕=x+4，g〔x〕=x2+4x在x∈〔1，2〕是否是“弱增函数〞，并要明理由．
2〕明函数h〔x〕=x2+a2x+4〔a是常数且a∈R〕在〔0，1]上是“弱增函数〞．
解：〔1〕由于f〔x〕=x+4在〔1，2〕上是增函数，且
F〔x〕=在〔1，2〕上是减函
数，所以
f
〔x〕
=x+4在〔1，2〕上是“弱增函数〞，
2
在〔1，2〕上是增函
数，但在〔
1，2〕
上不是
g〔x〕
=x+4x
减函数，所以g〔x〕=x2+4x+2在〔1，2〕上不是“弱增函数〞．
2〕因h〔x〕=x2+a2?x+4的称x=≤0，开口向上，所以h〔x〕在〔0，1]上是增函数．下面明函数F〔x〕=在〔0，1]上是减函数．
0＜x1＜x2≤1，，
∵0＜x1＜x2≤1，∴x1x2＜0，0＜x1x2＜1，∴，即F〔x1〕＞F〔x2〕．
所以F〔x〕在〔0，1]上减，所以h〔x〕在〔0，1]上是“弱增函数〞；。