数学建模大作业

数学建模大作业
姓名1：魏家蓉学号：201100414 姓名2：何嘉琪学号：201100415 姓名3：向歆学号：201100418 姓名4：牟宇宇学号：201100420 姓名4：曾朝忠学号：201100431 专业：交通工程班级：交工1101
指导老师：张仲荣
2014年5 月22 日
直升机运输公司问题
问题提出
一家运输公司正考虑用直升机从某城市的一摩天大楼运送人员。

你被聘为顾问，现在要确定需要多少架飞机。

按照建模过程仔细分析，建模。

为了简化问题，可以考虑升机运输公司问题。

基本假设如下：
假设运载的直升机为统一型号; 假设每架飞机每次载人数相同；
假设飞机运送的人员时互不影响；
假定人员上了飞机就安全，因此最后一次运输时，只考虑上飞机所花时间。

1、
按照数学建模的全过程对本题建立模型，并选用合理的数据进行计算（模型求解）; 2、
本问题是否可以抽象为优化模型;除了考虑建立优化模型之外，是否可以采用更简单的方法建立模型。

注意考虑假设条件。

甚至基于不同的假设建立多个模型。

模型假设：
（H1）所有飞机的飞行高度度均为10 000m ，飞行速度均为800km/h 。

(H2)飞机飞行方向角调整幅度不超过
6
，调整可以立即实现；
(H3)飞机不碰撞的标准是任意两架飞机之间的距离大于8km; (H4)刚到达边界的飞机与其他飞机的距离均大于60km; (H5)最多考虑N 架飞机;
(H6)不必考虑飞机离开本区域以后的状况. 符号说明:
D 为飞行管理区域的边长;
S 为飞行管理区域取直角坐标系使其为[0,D ]×[0，D]; v 为飞机飞行速度，v=800km/h; （x 0
i ，y i
）第i 架飞机的初始位置;
（)(),
(t t y x i
i ）为第i 架飞机在t 时刻的位置;
θ
0i
为第i 架飞机的原飞行方向角，即飞行方向与x 轴夹角，
0≤θ≤2π;
θi ∆第i 架飞机的方向角调整，-
6
π
≤i θ∆≤
6
π; i θ﹦i 0i θθ∆+为第i 架飞机调整后的飞行方向角;
模型建立
一、两架飞机不碰撞的条件
1、
两架飞机距离大于8km 的条件
设第i 架和第j 架飞机的初始位置为（0i 0i y x ，），（0
j 0j y x ，）,飞行方向
角分别为和,他们的位置为
(t)=vtcos +
(t)=vtsin
+
和
(t)=vtcos + 0j x
(t)=vtsin
+0j y
若记时刻t 他们距离为(t),则他们之间距离的平方为
2
ij
r （t ）=（x i （t ）-x j (t)）2
+（y i (t)-y j （t ））2
经简单计算可得
2
ij
r （t ）=v 2 [(cos i θ-cos j θ)2+(sin i θ-sin j θ)2] t 2
+2v[(0i x -0j x )(cos i θ-cos j θ)+(0
i y -0j y )(sin i θ-sin j θ)]t+(0i x -0j x )2
+(0i y -0j y )2
引入
ij a = v 2 [(cos i θ-cos j θ)2+(sin i θ-sin j θ)2]
ij b =2v[(0i x -0j x )(cos i θ-cos j θ)+(0
i y -0j y )(sin i θ-sin j θ)]
那么
2ij r （t ）=ij a t 2+ij b t+ 2
ij r （0）
由此可见，两架飞机不碰撞的条件为
2ij r （t ）=ij a t 2+ij b t+ 2ij r （0） >64
2、由假设（6），我们不必理会飞机飞离区域Ω的状况，因此，在考虑两架飞机是否在区域内发生碰撞时，只需考察两架飞机有一架到达边界之前（7-7）式是否成立就可以了。

记第i 架飞机到达边界的时间为t i t ij =min （t i ,t j ）
表示第i 架飞机和第j 架飞机中至少有一架到达边界的时间，从而在区域Ω内不发生碰撞的条件就成为要求（7-7）式在t 时成立。

现在我们要计算第i 架飞机到达边界的时间t i 方向角
的分析，不难得到t i 的计算公式如下：
i i v x D θcos 0-，若20πθ<≤i ，tan i θ00I i x D y D --≤或πθπ
223≤≤i ，-tan 0
0i i i x D y -≤θ， i i v y D θsin 0-，若20πθ≤<i ，tan 00i i i x D y D --≥θ或πθπ
<≤i 2，-tan 0
0i i i x y D -≥θ, i i v x θcos 0-，若πθπ≤<i 2，-tan 00i i i x y D -≤θ或23π
θπ<≤i ，tan 00i i i x y ≤θ，
i i v y θsin 0-,若23πθπ≤<i ，tan 00i i i x y ≥θ或πθπ
223<≤i ，- tan 0
0i i i x D y -≥θ 二、非线性规划模型
设有一架飞机到达区域Ω的边界时，连通区域内的飞机有N 架。

设它们的位置为（x 0
i ，y i
），飞行方向角为i θ0（i=1,2，…N ）。

为了避免在区域Ω内发
生碰撞，对各架飞机进行i θ∆的飞行角调整，又设调整后的飞行角为
i θ=i 0i θθ∆+，i=1,2，…N
调整的目的是避免在区域Ω内发生碰撞，但显然调整量越小越好。

引入目标函数
F （N θθθ∆∆∆,.....,21）=∑=∆N
i i 1θ
在我们讨论的飞行管理问题中它是有待于极小化的。

目标函数亦可取为
∑=∆N
i 1
2
i
θ。

由前面的分析，第i 架与第j 架飞机在Ω中不相撞的条件为
2
ij r (t)>64，t ij t ≤
其中r ij (t)和ij t 分别由前面可知。

而N 架飞机在区域内两两不相撞的条件可表述为
2ij r (t)>64, t ij t ≤，i ，j=1,2，…N ，i ≠j
这是极小化中必须满足的约束条件。

由假设（H2），另一个约束条件应为
6
i π
θ≤∆ ，i=1,2，…N
飞行管理的数学模型就归结为在以上两约束条件下，求目标函数F （N θθθ∆∆∆,.....,21)=∑=∆N
i i 1θ的极小值。

通常表示为
min F （N θθθ∆∆∆,.....,21)=∑=∆N
i i 1
θ,
s.t. 2ij r (t)＞64 ，t ij t ≤，i ，j=1,2，….N,i ≠j
6
i π
θ≤
∆，i=1,2，….N.
由于在这个及消化问题中目标函数可约束条件关于变量N θθθ∆∆∆,.....,21均为非线性的，因此上述方程组是一个有约束的非线性的规划模型。

由于约束条件2ij r (t)>64, t ij t ≤，i ，j=1,2，…N ，i ≠j
有较强的非线性，特别是ij t 的表达式比较复杂，我们可以将问题进一步简化。

注意到区域Ω的对角线长度为2D ，任一架飞机在Ω内的飞行距离不会超过2D ，从而在区域内停留的时间 不超过 t=2D/v
只要在时间m t 内飞机不发生碰撞就可以保证在Ω内不会发生碰撞。

据此，我们将假设（H6）修改为
（H6）’不考虑飞机在时间m t =2D/v 以后的状况。

数学模型可简化为
min F （N θθθ∆∆∆,.....,21)=∑=∆N
i i 1θ,
s.t. 2ij r (t)＞64 ，t ij t ≤，i ，j=1,2，….N,i ≠j
6
i π
θ≤
∆，i=1,2，….N.
由于m t 是一个不依赖i θ∆的常数，问题得到了明显简化。

打车软件问题
摘要
2013年，上海出租行业兴起一款“手机打车软件”，用户在网上下载软件后，输入起点和目的地，自愿选择“是否支付小费”，出租车司机则可根据线路、是否有小费等选择接受订单。

记者调查发现，这种拼小费竞价打车的模式引来了不少质疑声，认为这是变相涨价，并使行业监管出现“灰色地带”。

截止到2013年5月7日，安卓平台上11家主流应用商店的打车类软件客户端总体下载量已超过百万，用户主要集中在北上广等一线城市。

由于出租车司机与打车者之间信息不对称，导致非高峰时段出租车空载、高峰期和恶劣天气下司机拒载等现象频发，而手机打车软件通过加价等手段，提高了打车成功几率，实现了司机和打车者双赢，因而在大城市日益走俏。

业内人士表示，手机打车软件由于正处于探索起步阶段，商业模式尚不明确，导致运营成本较高。

特别是由于打车市场的不规范，导致加价策略在某种程度上加剧了原有公共交通资源的分配矛盾，打乱了路边打车和应用订车的公平竞争环境，可能会影响此类打车软件的发展前景。

关键词：打车软件，加价，发展前景
1 问题提出
目前的打车软件之间的竞争态势，主要是相关打车软件对司乘双方的非正常补贴的数额，时间以及软件发展态势，主要是软件使用人数的变化情况。

分析：
a 当一方采取不贴时。

另一方因采取的措施
b 运用数学模型分析竞争的最终结果。

本文将会以稳定性分析模型来对这一问题进行阐述与详解，以此来探索打车软件对人们消费及使用情况的影响。

2 问题分析
为了使得普通人群对这一软件有所认识，企业会采取补贴策略。

但是这一策略仅仅是为了能够让普通人群对这款软件有所认识，所以不会永久补贴。

当一方采取停止补贴或下调补贴数额时，另一方也必然会停止补贴或下调补贴数额，打车软件使用情况会从一开始的很少使用，到了解后的大范围使用，在经过补贴停止后优惠的消失，软件使用率又会有所下降直到使用率达到一个平衡状态。

从公司规模及资金情况来看，哪一方资金雄厚，补贴时间长，就会得到更多使用者的使用，使用率也会高于其他同类型软件，从而在后期获得较高的市场份额占有率。

软件发展的智能化程度也会影响到使用者的使用，其智能化程度越高，越会受到使用者的青睐。

3 模型假设
3.1一方的补贴不停止，另一方的补贴也不会停止；
3.2一方的补贴额度增加或降低会影响另一方补贴额度的增加或降低；
3.3由于经济实力的限制，一方的补贴不停止，对自身的投资投资及经济发展的制约越大；
3.4一方的软件技术水平越高，会影响另一方加大对软件的技术投资；
3.5一方软件的使用人数越多，会影响另一方出台策略来增加自身产品的吸引力。

4 符号说明
平衡点稳定；，平衡点不稳定。

图 1 (2)σ1 > 1, σ2 < 1，对于P2(0,N2)稳定。

X2
N2/σ1
N2
11 2 1
图 3
(4)σ1 > 1, σ2 > 1，可知在P3点，q < 0,故P3不稳定。

轨线或者趋向P1，或者趋向P2，由轨线的初始位置决定，在这种情况下P1和P2都不能说是稳定的，正因为这样，所以P1的稳定（与初始条件无关）的条件还需加上σ 1 < 1。

P2的稳定条件需加上σ 2 < 1。

X2
N
N2/σ
图 4
6 合理的方面
本文通过对稳定性模型的了解，加之对生物竞争模型的参考，建立了这一模型，此模型能较好的分析出两家公司的业务量发展及竞争状况，也能较好的描述未来状况下各公司开发的软件如何到达一个平衡点。

7 结果解释
根据σ1，σ2的含义，说明P1，P2，P3点的稳定在竞争上的意义。

（1）σ1 < 1, σ2 > 1。

σ1 < 1,意味着对于甲的潜在客户的竞争中甲强于乙，σ2 > 1意味着对于乙的潜在客户的竞争中乙弱于甲，于是乙集团将宣告破产，甲集团业务量趋向最大业务量，即X 1(t)、X 2(t)趋向平衡点P
(N1,0)
1
（2）σ1 > 1, σ2 < 1。

情况与（1）正好相反
（3）σ1< 1, σ2 < 1。

因为在竞争甲的潜在客户时乙较弱，在竞争乙的潜在
，这在商业竞争中客户时甲较弱，于是可以达到一个双方共存的稳定平衡状态P
3
较为常见。

（4）σ1 > 1, σ2 > 1。

因为在竞争甲的潜在客户时乙较强，在竞争乙的潜在客户时甲较强。

随着时间的推移，有可能甲占优势，乙倒闭；但也有可能乙占优势，甲倒闭。

究竟哪方能占据市场，由两家公司的资本有关。

8 模型推广
以上是两家公司进行竞争时的情况，而在实际中，可能会有更多的公司投入商业竞争，比如电信，移动与联通三家通信集团在应对当前4G手机市场的博弈，就可以增加一组参数来模拟三家竞争的状况。

9 模型优缺点
优点：此模型以生物种群相互竞争为蓝本进行拓展，能够较好的模拟出商业竞争的态势及发展结果。

缺点：在建立模型的过程中，由于市场的特殊性，有时可能会受到政府等机构的宏观调控，政府的引导会对结果产生较大影响，而本模型智能对自由竞争进行模拟，无法对政策性的突变进行模拟。

参考文献
单锋，朱丽梅，田贺民。

数学模型，北京，国防工业出版社，2012
熊辉。

数学建模，北京，中国人民大学出版社，2011
周宏仁，敬忠良，王培德，机动目标追踪，北京，国防工业出版社，2001。