高考数学一轮复习 第14章 计数原理、二项式定理、概率14.3离散型随机变量及分布列教学案

14.3 离散型随机变量及分布列
考纲要求
1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．
2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用． 1．随机变量的概率分布
(1)一般地，如果随机试验的结果，可以用一个____来表示，那么这样的变量叫做________．通常用大写拉丁字母X ，Y ，Z (或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示，而用小写拉丁字母x ，y ，z (加上适当下标)等表示随机变量取的可能值．
如果随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量称为离散型随机变量． (2)概率分布的定义
一般地，假定随机变量X 有n 个不同的取值，它们分别是x 1，x 2，…，x n ，且 P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n ，① 则称①为随机变量X
X 的概率分布． (3)概率分布的性质
①p i ≥0(i ＝1,2，…，n )；②__________________. 2．两点分布(01分布)
如果随机变量X 的概率分布为
则称随机变量X 服从01X ～01分布或X ～两点分布． 3．超几何分布
在含有M 件次品数的N 件产品中，任取n 件，其中含有X 件次品数，则事件{X ＝k }发生的概率为：P (X ＝k )＝________(k ＝0,1,2，…，m )，其中m ＝min(M ，n )，且n ≤N ，M ≤N ，n 、
M 、N ∈N *
，则称X 服从超几何分布，记为X ～H (n ，M ，N )，并将P (X ＝k )＝C k M C n －k N －M C n N
记为H (k ；n ，
M ，N )．
1．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X ，则X 的所有可能取值个数为__________．
2．设某运动员投篮投中的概率为P ＝0.3，则一次投篮时投中次数的概率分布是__________．
3．设随机变量X 只能取5,6,7，…，16这几个值，且取每一个值的概率均相等，则P (X
＞8)＝__________.若P (X ＜x )＝1
12
，则x 的取值范围是__________．
1．随机变量和函数有类似的地方吗？
提示：随机变量和函数都是一种映射，随机变量把试验结果映为实数，函数把实数映为实数，函数的自变量为实数，随机变量的自变量为试验结果，在两种映射之间，试验的结果相当于函数的定义域，随机变量的取值相当于函数的值域．
2．如何求离散型随机变量的分布列？
提示：首先确定随机变量的取值，求出离散型随机变量的每一个值对应的概率，最后列成表格．
一、离散型随机变量的概率分布
【例1】 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数， 分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学． (1)求这两名同学的植树总棵数Y 的概率分布； (2)求两名同学植树总数不少于20棵的概率．
方法提炼
求离散型随机变量的概率分布步骤是：(1)找出随机变量X 的所有可能取值x i (i ＝1,2，…)；(2)求出取各值x i 的概率P (X ＝x i )；(3)列表，求出概率分布后要注意应用性质检验所求的结果是否准确．
请做针对训练1
二、随机变量概率分布性质的应用
【例2】设ξ
(1)求q 的值； (2)求P (ξ≥0)；
(3)求ξ2
的概率分布． 方法提炼
利用概率分布的性质，可以求概率分布中的参数值，也可用来检验求得的概率分布的正误．
请做针对训练2
三、离散型随机变量的概率分布的应用
【例3
3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．
(1)求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P (A )； (2)求η的分布列及数学期望E (η)． 方法提炼
在解决概率分布问题时要逐渐将问题回归到分布表(列)上来，这样所求的概率就可由分布表(列)中相应取值的概率累加得到．
请做针对训练3
四、超几何分布
【例4】 一个袋中有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至
少得到1个白球的概率是7
9
.
(1)求白球的个数；
(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的分布列． 方法提炼
(1)处理概率分布问题首先应该明确分布类型．若是我们熟悉的分布问题，可直接运用相关公式或结论求解．
(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．
请做针对训练4
从近几年江苏高考试题来看，离散型随机变量的分布列是附加题中考查的热点，题型为解答题，属中档题，分布列常与排列、组合、概率、均值与方差等知识结合考查，以考查基本知识、基本概念为主．
1．袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球，
(1)求得分X 的概率分布列； (2)求得分大于6分的概率．
2．设离散型随机变量ξ的分布列P ⎝
⎛
⎭⎪⎫
ξ＝k 5＝ak ，k ＝1，2,3,4,5.
(1)求常数a 的值；
(2)求P ⎝
⎛⎭⎪⎫ξ≥35； (3)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
10
<ξ<710.
3．口袋中有3个白球，4个红球．每次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X .
(1)若取到红球再放回，求X 不大于2的概率； (2)若取出的红球不放回，求X 的概率分布．
4．某小组有6个同学，其中4个同学从来没有参加过数学研究性学习活动，2个同学曾经参加过数学研究性学习活动．
(1)现从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，求恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率；
(2)若从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，活动结束后，该小组没有参加过数学研究性学习活动的同学个数ξ是一个随机变量，求随机变量ξ的分布列及数学期望E (ξ)．
参考答案
基础梳理自测 知识梳理
1．(1)变量 随机变量 (3)②p 1＋p 2＋…＋p n ＝1 3.C k M C n －k N －M C n N
基础自测
1．7 解析：X 的可能取值为1＋2＝3，1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9.
2.
X 0 1 P 0.7 0.3
解析：此分布为两点分布． 3.2
3
(5,6] 解析：∵X 取每一个值的概率都相等， ∴P (X >8)＝P (X ＝9)＋P (X ＝10)＋P (X ＝11)＋P (X ＝12)＋…＋P (X ＝16)＝8
12
＝
2
3
.( 或P X >8＝1－P X ≤8＝1－ P X ＝8－P X ＝7－P X ＝6－P X ＝5 ＝23
) 若P (X <x )＝1
12
，
则P (X <x )＝P (X ＝5)． ∴x ∈(5,6]． 考点探究突破
【例1】 解：(1)分别从甲、乙两组中随机选取一名同学的方法种数是4×4＝16，这两名同学植树总棵数Y 的取值分别为17,18,19,20,21.
P (Y ＝17)＝216＝1
8；
P (Y ＝18)＝416＝1
4；
P (Y ＝19)＝416＝1
4；
P (Y ＝20)＝416＝1
4；
P (Y ＝21)＝216＝1
8
.
则随机变量Y Y 17 18 19 20 21
P 18 14 14 14 18
(2)由(1)知P (Y ≥20)＝P (Y ＝20)＋P (Y ＝21)＝4＋8＝8
.
【例2】 解：(1)由概率分布的性质得：
⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤1－2q <12
，
0≤q 2
<12，0.5＋1－2q ＋q 2
＝1
⇒⎩⎪⎨
⎪⎧
14<q ≤12，q ＝1±2
2
.
∴q ＝1－
2
2
. (2)P (ξ≥0)＝P (0)＋P (1)
＝1－P (－1)＝1－0.5＝1
2
.
(3)因为ξ的可能取值为－1,0,1，
所以ξ2
的可能取值为0和1，
且P (ξ2
＝0)＝P (ξ＝0)＝2－1；
P (ξ2＝1)＝P (ξ＝－1)＋P (ξ＝1)＝2－ 2.
所以ξ2
的概率分布为：
【例3】解：(1)由A 1位采用1期付款”知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，
P (A )＝(1－0.4)3＝0.216，P (A )＝1－P (A )＝1－0.216＝0.784.
(2)η的可能取值为200元，250元，300元． P (η＝200)＝P (ξ＝1)＝0.4，
P (η＝250)＝P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，
P (η＝300)＝1－P (η＝200)－P (η＝250)＝1－0.4－0.4＝0.2. η的分布列为
E (η)【例4】解：(1)记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ，
则P (A )＝1－C 2
10－x C 210＝7
9
，得到x ＝5.
故白球有5个．
(2)X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝3，P (X ＝k )＝C k 5C 3－k 5
C 310
，k ＝0,1，2,3.
于是可得其分布列为
演练巩固提升 针对训练
1．解：(1)从袋中随机取4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，得分分别为5分，6分，7分，8分，故X 的可能取值为5,6,7,8.
P (X ＝5)＝C 14C 3
3C 47＝4
35
，P (X ＝6)
＝C 24C 2
3C 47＝1835
，
P (X ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235，P (X ＝8)＝C 44C 0
3C 47＝1
35
，
故得分X 的分布列为
(2)根据随机变量X P (X >6)＝P (X ＝7)＋P (X ＝8)＝1235＋135＝1335
.
2．解：(1)由分布列的性质，得
a ·1＋a ·2＋a ·3＋a ·4＋a ·5＝1，
解得a ＝1
15
.
(2)由(1)，得P ⎝
⎛⎭⎪⎫ξ＝k 5＝115k ，k ＝1,2,3,4,5. 方法一：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ≥35＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝45＋P (ξ＝1)＝315＋415＋515＝45. 方法二：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ≥35＝1－P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ<35 ＝1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝25 ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫115＋215＝45.
(3)∵110<ξ<710，∴ξ＝15，25，35
.
∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<ξ<710＝P ⎝
⎛⎭⎪⎫ξ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝35＝115＋215＋315＝25. 3．解：(1)因为P (X ＝1)＝37，P (X ＝2)＝3×472＝12
49，
所以P ＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝33
49.
即X 不大于2的概率为33
49
.
(2)因为X 的所有可能取值为1,2,3,4,5，
所以P (X ＝1)＝A 13A 17＝37，P (X ＝2)＝A 14A 13A 27＝2
7，
P (X ＝3)＝A 24A 13A 37＝635，P (X ＝4)＝A 34A 13A 47＝335，P (X ＝4)＝A 44A 13A 57＝1
35
，
故X
4.解：(1)A ，则其
概率为P (A )＝C 14C 1
2C 26＝8
15
.
答：恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率为8
15
.
(2)随机变量ξ＝2,3,4，
P (ξ＝2)＝C 2
4C 26＝2
5；
P (ξ＝3)＝C 14C 1
2C 26＝8
15；
P (ξ＝4)＝C 2
2C 26＝1
15
；
∴随机变量ξ
∴E (ξ)＝2×25＋3×815＋4×15＝3
.。