高考数学含参数函数不等式恒成立问题专题

高考数学含参数函数不等式恒成立问题专题
一、整理方法 提升能力
洛必达法则
如果当0x x →（0x 也可以是±∞）时，两个函数()f x 和()g x 都趋向于零或都趋向于无穷大，那么极限()
()0lim x x f x g x →可能存在，也可能不存在．如果存在，其极限值也不尽相同．我们称这类极限为00型或∞∞型不定式极限．对于这类极限，一般要用洛必达法则来求．
定理1：若函数()f x 和()g x 满足条件：
（1）()()00
lim lim 0x x x x f x g x →→==． （2）()f x 和()g x 在0x 的某个去心邻域内可导，且()0g x '≠．
（3）()
()0lim x x f x g x →存在或为无穷大．
则有()
()()()
00lim lim x x x x f x f x g x g x →→'='． 定理2：若函数()f x 和()g x 满足条件：
（1）()()00
lim lim x x x x f x g x →→==∞． （2）()f x 和()g x 在0x 的某个去心邻域内可导，且()0g x '≠．
（3）()
()0lim x x f x g x →存在或为无穷大．
则有()()()()
00lim lim x x x x f x f x g x g x →→'='． 在定理1和定理2中，将分子、分母分别求导再求极限的方法称为洛必达法则．
使用洛必达法则时需要注意：
（1）()
()0lim x x f x g x →必须是00型或∞∞
型不定式极限． （2）若()()0lim x x f x g x →''还是00型或∞∞
型不定式极限，且函数()f x '和()g x '仍满足定理中()f x 和()g x 所
满足的条件，则可继续使用洛必达法则，即()
()()()()()
000lim lim lim x x x x x x f x f x f x g x g x g x →→→'''=='''． （3）若无法判定()()
f x
g x ''的极限状态，或能判定它的极限振荡而不存在，则洛必达法则失效，此时，需要用其它方法计算()
()0
lim x x f x g x →． （4）可以把定理中的0x x →换为0x x +→，0x x -→，x →+∞，x →-∞，此时只要把定理中的条件
作相应的修改，定理仍然成立．
例1
例2
例3
二、练习巩固 整合提升
练习1：已知函数()1ln 1x f x x
+=-． （1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；
（2）求证：当()0,1x ∈时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝
⎭； （3）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝
⎭对()0,1x ∈恒成立，求k 的最大值． 练习2：设函数()2e mx f x x mx =+-．
（1）证明：()f x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增；
（2）若对于任意1x 、[]21,1x ∈-，都有()()12e 1f x f x -≤-，求m 的取值范围．
练习3：已知函数()()()1ln 1f x x x a x =+--．
（1）当4a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；
（2）若当()1,x ∈+∞时，()0f x >，求a 的取值范围．
练习4：已知函数()ln 1a x b f x x x
=++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为230x y +-=． （1）求a 、b 的值； （2）如果当0x >，且1x ≠时，()ln 1x k f x x x >
+-，求k 的取值范围．。