正弦与余弦定理练习题目及答案详解

国庆作业（一）
正弦定理和余弦定理练习题
一．选择题
1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于( )
A. 6
B. 2
C. 3 D．2 6 2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )
A．4 2 B．4 3 C．4 6 D.32 3
3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝43，b＝42，则角B为( )
A．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对
4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于( ) A．1∶5∶6 B．6∶5∶1 C．6∶1∶5 D．不确定
5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝( )
A．1 B.1
2
C．2 D.
1
4
6．在△ABC中，若cos A
cos B
＝
b
a
，则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
7．已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为( )
A.
3
2
B.
3
4
C.
3
2
或 3 D.
3
4
或
3
2
8．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于( )
A. 6 B．2 C. 3 D. 2
二、填空题
9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝3，C＝π3，
则A＝________.
10．在△ABC中，已知a＝43
3
，b＝4，A＝30°，则sin B＝________.
11．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________. 12．在△ABC中，a＝2b cos C，则△ABC的形状为________．
13．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，则
a＋b＋c
sin A＋sin B＋sin C
＝________，c＝________.
14．已知三角形ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，则a－2b＋c
sin A－2sin B＋sin C
＝________.
15．在△ABC中，已知a＝32，cos C＝1
3
，S△ABC＝43，则b＝________.
16．在△ABC中，b＝43，C＝30°，c＝2，则此三角形有________组解．
17．如图所示，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B
点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？
（17题）
三、简答题
18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C
2
＝
14，sin B sin C ＝cos 2A
2
，求A 、B 及b 、c . 19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010
.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2
－1，求a ，b ，c 的值．
20．△ABC中，ab＝603，sin B＝sin C，△ABC的面积为153，求边b的长．
21．已知△ABC的周长为2＋1，且sin A＋sin B＝2sin C.(1)求边AB的长；
(2)若△ABC的面积为1
6
sin C，求角C的度数．
23．在△ABC中，BC＝5，AC＝3，sin C＝2sin A.(1)求AB的值；(2)求sin(2A
－π
4
)的值．
余弦定理练习题源网
1．在△ABC中，如果BC＝6，AB＝4，cos B＝1
3
，那么AC等于()
A．6B．26C．3 6 D．4 6
2．在△ABC中，a＝2，b＝3－1，C＝30°，则c等于()
A. 3
B. 2
C. 5 D．2
3．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋3bc，则∠A等于()
A．60°B．45°C．120°D．150°
4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则∠B的值为()
A.π
6 B.
π
3 C.
π
6
或
5π
6 D.
π
3
或
2π
3
5．在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，则acos B＋bcos A 等于()
A ．a
B ．b
C ．c
D ．以上均不
对
6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为() A ．锐角三角形B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．由增
加的长度决定
7．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为
3，
则AB →·AC
→的值为() A ．2
B ．－2
C ．4
D ．－4 8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为(
)
A. 3
B ．2 3
C.3或2 3
D ．2
9．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．
10．△ABC 中，sinA ∶sinB ∶sinC ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．
11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________．
12．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.
13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝1
3
，S △ABC ＝43，则b ＝________.
14．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC
→的值为________．
15．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝
a 2
＋b 2
－c
2
4
，则角C ＝________.
16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．17．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2
－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B)＝1，求AB 的长．
18．已知△ABC 的周长为
2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C.(1)求边
AB 的长；(2)若△ABC 的面积为1
6
sin C ，求角C 的度数．
19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A.(1)求AB 的值；
(2)求sin(2A －π
4
)的值．
20．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos Asin B＝sinC，确定△ABC的形状．
正弦定理
1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于()
A.6
B. 2
C. 3 D．2 6
解析：选 A.应用正弦定理得：
a
sinA
＝
b
sinB
，求得b＝
asinB
sinA
＝ 6.
2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于()
A．4 2 B．4 3 C．4 6 D.32 3
解析：选 C.A＝45°，由正弦定理得b＝asinB
sin A
＝4 6.
3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝43，b＝42，则角B 为()
A．45°或135°B．135°C．45°D．以上答案都不对
解析：选 C.由正弦定理
a
sinA
＝
b
sinB
得：sinB＝
bsinA
a
＝
2
2
，又∵a>b，∴B<60°，∴B＝
45°.
4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于()
A．1∶5∶6B．6∶5∶1
C．6∶1∶5 D．不确定
解析：选 A.由正弦定理知sinA∶sinB∶sin C＝a∶b∶c＝1∶5∶6.
5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝()
A．1 B.1
2
C．2 D.
1
4
解析：选 A.C＝180°－105°－45°＝30°，由
b
sinB
＝
c
sinC
得c＝
2×sin 30°
sin45°
＝1.
6．在△ABC中，若cos A
cos B
＝
b
a
，则△ABC是()
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
解析：选 D.∵b
a
＝
sin B
sin A
，∴
cos A
cos B
＝
sin B
sin A
，
sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B
即2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B，或A＋B＝π2 .
7．已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为()
A.
3
2
B.
3
4
C.
3
2
或 3 D.
3
4
或
3
2
解析：选 D.
AB
sinC
＝
AC
sinB
，求出sinC＝
3
2
，∵AB＞AC，
∴∠C有两解，即∠C＝60°或120°，∴∠A＝90°或30°.
再由S△ABC＝1
2
AB·ACsinA可求面积．
8．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于()
A. 6 B．2
C. 3
D. 2
解析：选 D.由正弦定理得
6
sin120°
＝
2
sinC
，
∴sinC＝1 2 .
又∵C为锐角，则C＝30°，∴A＝30°，△ABC为等腰三角形，a＝c＝ 2.
9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝3，C＝π
3
，则A＝
________.
解析：由正弦定理得：a
sinA ＝c
sin C
，
所以sinA＝a·sin C
c
＝
1
2
.
又∵a＜c，∴A＜C＝π
3
，∴A＝
π
6
.
答案：π6
10．在△ABC中，已知a＝43
3
，b＝4，A＝30°，则sinB＝________.
解析：由正弦定理得
a
sinA
＝
b
sinB
?sinB＝bsinA
a
＝
4×
1
2
43
3
＝
3
2
.
答案：
3 2
11．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________.
解析：C＝180°－120°－30°＝30°，∴a＝c，
由
a
sinA
＝
b
sinB
得，a＝
12×sin30°
sin120°
＝43，
∴a＋c＝8 3.
答案：8 3
12．在△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．解析：由正弦定理，得a＝2R·sinA，b＝2R·sin B，
代入式子a＝2bcosC，得
2RsinA＝2·2R·sinB·cosC，
所以sinA＝2sinB·cosC，
即sinB·cosC＋cosB·sinC＝2sinB·cosC，
化简，整理，得sin(B－C)＝0.
∵0°＜B＜180°，0°＜C＜180°，
∴－180°＜B－C＜180°，
∴B－C＝0°，B＝C.
答案：等腰三角形
13．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，则
a＋b＋c
sinA＋sinB＋sin C
＝________，
c＝________.
解析：由正弦定理得
a＋b＋c
sinA＋sinB＋sinC
＝
a
sinA
＝
63
sin60°
＝12，又S△ABC＝
1
2
bcsinA，∴
1
2
×12×sin60°×c＝183，∴c＝6.
答案：12 6
14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则
a －2
b ＋c
sin A －2sin B ＋sin C
＝________. 解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，
∴2R ＝a sinA ＝1
sin30°
＝2，
又∵a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C ，∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R A －2sinB ＋sin C
sin A －2sin B ＋sin C ＝2R ＝2. 答案：2
15．在△ABC 中，已知a ＝32，cosC ＝1
3
，S △ABC ＝43，则b ＝________.
解析：依题意，sinC ＝223，S △ABC ＝1
2
absinC ＝43，解得b ＝2 3. 答案：2 3
16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有
________组解．
解析：∵bsinC ＝43×1
2
＝23且c ＝2，
∴c<bsinC ，∴此三角形无解．答案：0
17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标
方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯
塔A 的距离是多少？
解：在△ABC 中，BC ＝40×1
2
＝20，
∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°，所以∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°，由正弦定理得
AC ＝
BC ·sin ∠ABC sin A
＝20sin30°sin45°＝102(km)．
即货轮到达C 点时，与灯塔
A 的距离是10 2 km.
18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝1
4
，sin Bsin
C ＝cos 2A
2
，求A 、B 及b 、c.
解：由sin C 2cos C 2＝14，得sinC ＝1
2
，
又C∈(0，π），所以C＝π
6
或C＝
5π
6
.
由sin Bsin C＝cos2A
2
，得
sin Bsin C＝1
2
[1－cos(B＋C)]，
即2sin Bsin C＝1－cos(B＋C)，
即2sin Bsin C＋cos(B＋C)＝1，变形得cos Bcos C＋sin Bsin C＝1，
即cos(B－C)＝1，所以B＝C＝π
6
，B＝C＝
5π
6
(舍去)，
A＝π－(B＋C)＝2π3
.
由正弦定理
a
sin A
＝
b
sin B
＝
c
sin C
，得
b＝c＝a sin B
sin A
＝23×
1
2
3
2
＝2.
故A＝2π
3
，B＝
π
6
，b＝c＝2.
19．(2009年高考四川卷)在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对应的边分别为a、
b、c，且cos 2A＝3
5
，sin B＝
10
10
.(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝2－1，求a，b，c的值．
解：(1)∵A、B为锐角，sin B＝
10 10
，
∴cos B＝1－sin2B＝310 10
.
又cos 2A＝1－2sin2A＝3
5
，∴sinA＝
5
5
，cos A＝
25
5
，
∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B
＝25
5
×
310
10
－
5
5
×
10
10
＝
2
2
.
又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝π4 .
(2)由(1)知，C＝3π
4
，∴sin C＝
2
2
.
由正弦定理：
a
sin A
＝
b
sin B
＝
c
sin C
得
5a＝10b＝2c，即a＝2b，c＝5b.
∵a－b＝2－1，∴2b－b＝2－1，∴b＝1.
∴a＝2，c＝ 5.
20．△ABC中，ab＝603，sin B＝sin C，△ABC的面积为153，求边b的长．
解：由S ＝12absin C 得，153＝1
2×603×sin C ，
∴sin C ＝1
2
，∴∠C ＝30°或150°.
又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C. 当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.
又∵ab ＝603，a sin A ＝b
sin B
，∴b ＝215.
当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)．故边b 的长为215.
余弦定理
源网
1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cosB ＝1
3，那么AC 等于(
)
A ．6
B ．2 6
C ．3 6
D ．4 6
解析：选 A.由余弦定理，得AC ＝AB 2
＋BC 2
－2AB ·BCcosB ＝
42＋62
－2×4×6×13
＝6.
2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于()
A. 3
B. 2
C. 5
D ．2
解析：选 B.由余弦定理，得
c 2＝a 2＋b 2
－2abcosC
＝22
＋(3－1)2
－2×2×(3－1)cos30°＝2，∴c ＝ 2.
3．在△ABC 中，a 2
＝b 2
＋c 2
＋3bc ，则∠A 等于()
A ．60°
B ．45°
C ．120°
D ．150°
解析：选 D.cos ∠A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－3
2
，
∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°.
4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2
)tanB ＝3ac ，则∠B 的值为()
A.π6
B.π3
C.π6或5π6
D.π3或2π3
解析：选 D.由(a 2＋c 2－b 2
)tanB ＝3ac ，联想到余弦定理，代入得
cosB ＝a 2
＋c 2
－b 2
2ac ＝32·1tanB ＝32·cosB
sinB
.
显然∠B ≠π2，∴sin B ＝32.∴∠B ＝π3或2π
3
.
5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则acosB ＋bcosA 等于()
A ．a
B ．b
C ．c
D ．以上均不对
解析：选 C.a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2c
22c ＝c.
6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为
()
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．由增加的长度决定
解析：选 A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2
. 设增加的长度为m ，
则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，
又(a ＋m)2
＋(b ＋m)2
＝a 2
＋b 2
＋2(a ＋b)m ＋2m 2
＞c 2
＋2cm ＋m 2
＝(c ＋m)2
，∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．7．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →
|＝1，△ABC 的面积为
3，则AB →·AC →的值
为()
A ．2
B ．－2
C ．4
D ．－4
解析：选 A.S △ABC ＝3＝12
|AB →|·|AC →
|·s inA
＝12×4×1×sin A ，∴sinA ＝3
2，又∵△ABC 为锐角三角形，
∴cosA ＝1
2
，
∴AB →·AC →
＝4×
1×12＝2. 8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为(
)
A. 3
B ．2 3
C.3或2 3 D ．2
解析：选 C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，即3＝a 2
＋9－33a ，∴a 2
－33a ＋6＝0，解得a ＝3或2 3. 9．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线
AD 的长为________．
解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π
3
.
在△ABD 中，AD ＝
AB 2＋BD 2
－2AB ·
BDcosB
＝1＋4－2×1×2×1
2＝ 3.
答案：
3
10．△ABC 中，sinA ∶sinB ∶sinC ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．解：∵sinA ∶sin B ∶sinC ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，∴a ∶b ∶c ＝(3－1)∶(3＋1)∶10.
设a ＝(3－1)k ，b ＝(3＋1)k ，c ＝10k(k ＞0)，∴c 边最长，即角C 最大．由余弦定理，得
cosC ＝
a 2＋
b 2－
c 22ab ＝－1
2
，又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.
11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________．
解析：S ＝12absinC ，sinC ＝3
2，∴C ＝60°或120°.
∴cosC ＝±12
，又∵c 2＝a 2＋b 2
－2abcosC ，
∴c 2
＝21或61，∴c ＝21或61. 答案：
21或61
12．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________. 解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，设a ＝2k(k ＞0)，则b ＝3k ，c ＝4k ，
cos B ＝
a 2＋c 2－
b 22a
c ＝k 2＋k 2－k 22×2k ×4k ＝11
16
，同理可得：cos A ＝78，cos C ＝－1
4
，
∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)．答案：14∶11∶(－4)
13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝1
3
，S △ABC ＝43，则b ＝________.
解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝22
3
.
又S △ABC ＝1
2absinC ＝43，
即12·b ·32·223＝43，∴b ＝2 3. 答案：2 3
14．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为________．
解析：在△ABC 中，cosB ＝
AB
2＋BC 2－AC 22AB ·BC
＝
49＋25－362×7×5＝1935，∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π
－B) ＝7×5×(－19
35
)
＝－19. 答案：－19
15．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝
a 2
＋b 2
－c
2
4
，则角C ＝________. 解析：12absinC ＝S ＝a 2＋b 2－c 24＝a 2＋b 2－c 22ab ·
ab
2＝1
2
abcosC ，∴sinC ＝cosC ，∴tanC ＝1，∴C ＝45°. 答案：45°
16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．
解析：设三边长为k －1，k ，k ＋1(k ≥２，k ∈N )，
则
k 2
＋
k －
2
－k ＋
2
＜0
k ＋k －1＞k ＋1
?2＜k ＜4，
∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4，
∴最小角的余弦值为32＋42－222×3×4＝7
8
.
答案：
7
8
17．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2
－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B)＝1，求AB 的长．
解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B)＝1，
∴cos(π－C)＝12，即cosC ＝－1
2
.
又∵a ，b 是方程x 2
－23x ＋2＝0的两根，
∴a ＋b ＝23，ab ＝2.
∴AB 2＝AC 2＋BC 2
－2AC ·BC ·cosC
＝a 2＋b 2
－2ab(－12
)
＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b)2
－ab ＝(23)2
－2＝10，∴AB ＝10. 18．已知△ABC 的周长为
2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C.
(1)求边AB 的长；
(2)若△ABC的面积为1
6
sin C，求角C的度数．
解：(1)由题意及正弦定理得
AB＋BC＋AC＝2＋1，BC＋AC＝2AB，两式相减，得AB＝1.
(2)由△ABC的面积1
2
BC·AC·sin C＝
1
6
sin C，得BC·AC＝
1
3
，
由余弦定理得cos C＝AC2＋BC2－AB2 2AC·BC
＝AC＋BC2－2AC·BC－AB2
2AC·BC
＝1
2
，
所以C＝60°.
19．在△ABC中，BC＝5，AC＝3，sin C＝2sin A.
(1)求AB的值；
(2)求sin(2A－π
4
)的值．
解：(1)在△ABC中，由正弦定理
AB
sin C
＝
BC
sin A
，
得AB＝sinC
sinA
BC＝2BC＝2 5. (2)在△ABC中，根据余弦定理，得
cos A＝AB2＋AC2－BC2
2AB·AC
＝
25
5
，
于是sin A＝1－cos2A＝
5 5 .
从而sin 2A＝2sin Acos A＝4 5，
cos 2A＝cos2A－sin2A＝3 5 .
所以sin(2A－π
4
)＝sin 2Acos
π
4
－cos 2Asin
π
4
＝
2
10
.
20．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos Asin B＝sin C，确定△ABC的形状．
解：由正弦定理，得sin C
sin B
＝
c
b
.
由2cos Asin B＝sin C，有cosA＝sinC
2sin B
＝
c
2b
.
又根据余弦定理，得
cos A＝b2＋c2－a2
2bc
，所以
c
2b
＝
b2＋c2－a2
2bc
，
即c2＝b2＋c2－a2，所以a＝b.
又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
所以(a＋b)2－c2＝3ab，所以4b2－c2＝3b2，
所以b＝c，所以a＝b＝c，因此△ABC为等边三角形．。