【学期】宁夏银川2017届高三上学期第四次月考数学文试题Word版含答案

【关键字】学期
银川一中2017届高三年级第四次月考
数学试卷（文）
命题人：张金荣
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．集合，集合，则
A．B．C．D．
2．已知命题对于恒有成立；命题奇函数的图像必过原点，则下列结论正确的是A．为真B．为真C．为假D．为真
3．若a>b>0, c<d<0, 则一定有
A． B． C． D．
4．在等差数列{an}中，已知a4＝7，a3＋a6＝16，an＝31，则n为
A．13 B．．15 D．16
5.．曲线y=sinx + ex在点（0，1）处的切线方程是
A．x-3y+3=0 B．x-2y+2=．2x-y+1=0 D．3x-y+1=0
6．函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|≤)的部分图象如图所示，
则函数的一个表达式为
A．y＝－4sin(x＋) B．y＝4sin(x－)
C．y＝－4sin(x－) D．y＝4sin(x＋)
7．若圆的半径为3，直径上一点使，为另一直径的两个端点，则
A．B．C．D．
8．设函数f(x)=的最大值为M，最小值为m，则M+m=
A．1 B．．3 D．4
9．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=900，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的体积为
A．72 B．144 C．288 D．576
10．若某空间几何体的三视图如图所示，
则该几何体的表面积是
A．2＋2＋
B．2＋＋
C．
D．2＋＋
11．已知函数的定义域为R ，当x<0时，f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时，f(-x)=-f(x);当x>时，.则f(6)=
A ．-2
B ．
C ．0
D ．2
12．已知变量a,b 满足b=－a2+3lna (a>0),若点Q(m,n)在直线y=2x+上, 则(a-m)2+(b-n)2的最小值为 A ．9
B ．
C ．
D ．3
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．设x, y 满足，则z=x+2y 的最大值为_________.
14．在中，不等式成立；在凸四边形ABCD 中，不等式成立；在凸五边形ABCDE 中，不等式成立，…，依此类推，在凸n 边形中，不等式________成立． 15．设a,b,m,nR,且a2+b2=5,ma+nb=5, 则的最小值为____________.
16．已知函数f(x)=.若函数y=f(x)-a|x|恰有4个零点，则实数a 的取值范围为_______. 三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）
已知向量，，f(x)=.
（1）求f(x)的最大值和对称轴； （2）讨论f(x)在上的单调性. 18．（本小题满分12分）
如图，某水域的两直线型岸边l1，l2 成定角120o ，在该水域中位于该角角平分线上且与顶点A 相距的D 处有一固定桩．现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网BC （B ，C 分别在l1和l2上），围出三角形ABC 养殖区，且AB 和AC 都不超过．设AB ＝x 公里，AC ＝y 公里．
（1）将y 表示成x 的函数，并求其定义域； （2）该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区？ 19．（本小题满分12分）
已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2=3，b 3=9，a 1=b 1，a 14=b 4. （1）求{a n }的通项公式；
（2）设c n = a n + b n ，求数列{c n }的前n 项和. 20．（本小题满分12分）
如图，在平面四边形ABCD 中，32,2,7,1,π=∠===⊥ADC EA EC DE AB DA ,
（1）求CED ∠sin 的值； （2）求BE 的长.
21．（本小题满分12分）
已知函数)0(21
ln )2()(≤++
-=a ax x
x a x f ． （1）当0=a 时，求)(x f 的极值； （2）当0<a 时，讨论)(x f 的单调性.
请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分．做答时请写清题号。

22. （本小题满分10分）选修4-4:极坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是y = 8，圆C 的参数方程是2cos 22sin x y ϕ
ϕ=⎧⎨=+⎩
（φ为
参数）。

以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线l 和圆C 的极坐标方程； （2）射线OM ：θ = α（其中02
a π
<<）与圆C 交于O 、P 两点，与直线l 交于点M ，
射线ON ：2
π
θα=+
与圆C 交于O 、Q 两点，与直线l 交于点N ，求
||||
||||
OP OQ OM ON ⋅
的最大值. 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知|x 1﹣2|＜1，|x 2﹣2|＜1． （1）求证：2＜x 1+x 2＜6，|x 1﹣x 2|＜2;
（2）若f （x ）=x 2﹣x +1，求证：|x 1﹣x 2|＜| f （x 1）﹣f （x 2）|＜5|x 1﹣x 2|.
银川一中2017届高三第四次月考数学(文科)参考答案
一．选择题
13．7 14. π
)2(2
-n n 15.
16.(1,2)
三．解答题
17. 解：（1）2
x=
1sin 22sin(2)23x x x π=-，
由2x-3π=k π+2π,k ∈Z, 所以对称轴 x=5212k ππ+, k ∈
Z
（2）当x ∈2,63ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
时，02,3x ππ≤-≤ 从而当02x 32ππ≤-≤，
5612x ππ≤≤即时，f(x)单调递增
当
522,23123
x x π
π
πππ≤-
≤≤≤即
时,f(x)单调递减
综上可知f(x)在5[,]612ππ上单调递增，在52[,123
ππ
]上单调减。

18解：(1)由S ΔABD ＋S ΔACD ＝S ΔABC
得12x sin60º＋12y sin60º＝12
xy sin120º 所以x +y =xy ，所以y ＝x
x －1
又0＜y ≤5，0＜x ≤5，所以5
4
≤x ≤5
所以定义域为{x |5
4
≤x ≤5}
(2)设△ABC 的面积为S ，则结合（1）易得
方法一：S ＝12xy sin A ＝12x ·x x －1·sin120º＝3x 24(x －1)，(5
4
≤x ≤5)
x 2x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋1x －1＝(x －1)＋1x －1
＋2≥4， 当仅当x －1＝1
x －1，x ＝2时取等号.
故当x =y =2时，面积S 取最小值3（平方公里）
方法二：S ＝S ΔABD ＋S ΔACD ＝12x sin60º＋12y sin60º＝3
4(x ＋x x －1)
＝
34(x ＋x －1＋1x －1)＝34(x ＋1
x －1
＋1) ＝
34[(x －1)＋1x －1
＋2]≥ 3 当且仅当x －1＝1
x －1，即x ＝2时取等号．
故当x =y =2时，面积S 取最小值3（平方公里）
答：该渔民总共至少可以围出3平方公里的养殖区． 19．解：（I ）等比数列{}n b 的公比329
33
b q b ===， 所以2
11b b q
=
=，4327b b q ==． 设等差数列{}n a 的公差为d ． 因为111a b ==，14427a b ==， 所以11327d +=，即2d =．
所以21n a n =-（1n =，2，3，⋅⋅⋅）． （II ）由（I ）知，21n a n =-，13n n b -=． 因此1213n n n n c a b n -=+=-+． 从而数列{}n c 的前n 项和
2
312
n n -=+．
20．如图，设α=∠CED
(1)在CDE ∆中，由余弦定理，得EDC DE CD DE CD EC ∠⋅⋅-+=cos 2222 于是由题设知，06,1722=-+++=CD CD CD CD 即 解得2=CD (3-=CD 舍去) 在CDE ∆中，由正弦定理，得
α
CD
EDC EC =∠sin
于是，721sin 7217
23232sin =∠=⋅=⋅
=
CED EC CD ，即πα (2)由题设知，3
0π
α<<，于是由（1）知，
而απ
-=
∠3
2AEB ,所以 在EAB Rt ∆中，BE BE EA AEB 2cos ==
∠
，所以cos EA BE AEB ===∠21.【解】（Ⅰ）当0=a 时，x
x x f 1
ln 2)(+=，定义域为),0(+∞，
)(x f 的导函数2
2'1
212)(x x x x x f -=
-=．分 当210<<x 时，0)('
<x f ，)(x f 在)21,0(上是减函数；
当21>x 时，0)('>x f ，)(x f 在),21
(+∞上是增函数．
∴当21=x 时，)(x f 取得极小值为2ln 22)2
1
(-=f ，无极大值．
（Ⅱ）当0<a 时，ax x
x a x f 21
ln )2()(++-=的定义域为),0(+∞，)(x f 的导函数为
2
222'
)1)(12(1)2(2212)(x ax x x x a ax a x x a x f +-=--+=+--=．
由0)('
=x f 得0211>=x ，012>-=a x ，a
a a x x 22)1(2121+=--=-．
（1）当02<<-a 时，)(x f 在)21,0(上是减函数，在)1,21(a -上是增函数，在)
,1
(+∞-a
上是减函数；
（2）当2-=a 时，)(x f 在),0(+∞上是减函数； （3）当2-<a 时，)(x f 在)1,0(a -上是减函数，在)2
1
,1(a -上是增函数， 在),2
1(+∞上是减函数． 综上所述，
当2-<a 时，)(x f 在),21(),1,0(+∞-a 上是减函数，在)2
1
,1(a -上是增函数；
当2-=a 时，)(x f 在),0(+∞上是减函数；
当02<<-a 时，)(x f 在),1(),21,0(+∞-a 上是减函数，在)1
,21(a
-上是增函数．
22. 解：（Ⅰ）直线l 的极坐标方程分别是8sin =θρ.
圆C 的普通方程分别是22(2)4x y +-=，
所以圆C 的极坐标方程分别是θρsin 4=. ·
·············5分 （Ⅱ）依题意得，点M P ,的极坐标分别为⎩⎨⎧==,,sin 4αθαρ和⎩
⎨⎧==.,
8sin αθαρ
所以αsin 4||=OP ，α
sin 8
||=
OM ， 从而2||4sin sin 8||2sin OP OM ααα
==
. 同理，
2sin ()
||2||2
OQ ON π
α+=. 所以||||||||
OP OQ OM ON ⋅
22
2sin ()
sin sin (2)22216π
ααα+=⋅=， 故当4πα=时，||||||||OP OQ OM ON ⋅
的值最大，该最大值是16
1
. ···············…10分 23．证明：（I ）∵|x 1﹣2|＜1，∴﹣1＜x 1﹣1＜1，即1＜x 1＜3，…（2分）
同理1＜x 2＜3，∴2＜x 1+x 2＜6， …（4分） ∵|x 1﹣x 2|=|（x 1﹣2）﹣（x 2﹣2）|≤|x 1﹣2|+|x 2﹣2|，
∴|x 1﹣x 2|＜2； …（5分） （II ）|f （x 1）﹣f （x 2）|=|x 12-x 22﹣x 1+x 2|=|x 1﹣x 2||x 1+x 2﹣1|，…（8分） ∵2＜x 1+x 2＜6， ∴1＜x 1+x 2﹣1＜5，
∴|x 1﹣x 2|＜|f （x 1）﹣f （x 2）|＜5|x 1﹣x 2|…（10分）
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