镇江九中高三数学十一月阶段测试题

镇江九中高三数学十一月阶段测试题
命题人：彭元厂
试卷分值：160分 考试时间：120分钟
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）
1．直线m y x =+与圆)0(2
2>=+m m y x 相切，则=m
2．已知向量()2,3-=→
m a ，向量()2,12m =+-b r
，且→a 与b r 的夹角为钝角，则实数m 的取值范围为
3．圆12
2
=+y x 和圆1)1()1(2
2
=-+-y x 的公共弦长为
4．已知向量a
b
P a
b
=+
v v u v v v ，其中a v 、b v 均为非零向量，则P u v 的取值范围是
5． 已知向量1
(3,1),(2,),2
a b ==-r r 直线l 过点(1,2)A 且与向量2a b +r r 垂直，则直线l 的一般方程是
6． 已知向量()
,2,1=→
a ()
1,2-=→
b ，若正数k 和t ，使得()→
→
→
++=b t a x 12
与→
→
→+-=b t
a k y 1垂直，则k 的
最小值是
7、已知点A ()3,1--和B ()4,6-,直线320x y a --=与线段AB 有交点，则a 的取值范围是
8．在ABC ∆中,若22
b c +2
a =,且
a
b
=则∠C= 9．给出下列四个命题:
①若z ∈C,2
2
z z =,则z ∈R; ②若z ∈C,z z =-,则z 是纯虚数;
③若z ∈C,2z zi =,则z=0或i Z =; ④若121212,,z z C z z z z ∈+=-则120z z =. 其中真命题的个数为
10．已知线段AB 为圆O 的弦，且2=AB ，则AO AB ⋅=u u u r u u u r
11．(){}
4,22≤+=y x y x M ，(){}
0,)1()1(,222>=-+-=r r y x y x M 若N N M =⋂，则r 的取值范围是
12．已知直线kx y =是x y ln =的切线，则k 的值为
13．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且55,1052==S S ，则过点),(n a n P 和))(,2(*
2N n a n Q n ∈++的
直线的一个方向向量的坐标是
14．直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f (x )的图象恰好通过k 个格点，则称
函数)(x f 为k 阶格点函数.下列函数：
①x x f sin )(=； ②3)1()(2+-=x x f π； ③x
x f )3
1()(=； ④.log )(6.0x x f =
其中是一阶格点函数的有
二、解答题：(本大题6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)
15．如图，B A ,是单位圆O 上的动点，C 是圆与x 轴正
半轴的交点，设COA α∠=．
(1)当点A 的坐标为()
34,55时，求sin α的值；
(2)若π02α≤≤，且当点A 、B 在圆上沿逆时针方向
移动时，总有π3AOB ∠=，试求BC 的取值范围．
16．已知圆C 与圆02:2
21=-+x y x C 相外切，并且与直线03:=+y x l 相切于点)3,3(-P ，求此圆C 的
方程.
17．已知向量b a x f t x b x x a ⋅=-=+=)(),,1(),1,(2
若函数在区间（-1，1）上是增函数，求t 的取值
范围.
18．如图所示：一吊灯的下圆环直径为m 4，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且
A 2
与天花板的距离)(OB 即为m 2，在圆环上设置三个等分点.,,321A A A 点C 为OB 上一点（不包含端点O 、B ），同时点C 与点B A A A ,,,321均用细绳相连接，且细绳.,,321CA CA CA 的长度相等。

设细绳的总长为ym 。

（1）设)(1rad O CA θ=∠，将y 表示成θ的函数关系式；
（2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时BC 应为多长。

19、已知函数2
()8,()6ln .f x x x g x x m =-+=+ (1)求()f x 在区间[],1t t +上的最大值();h t
(2)是否存在实数,m 使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出
m 的取值范围；若不存在，说明理由。

20．已知函数()f x kx m =+，当[]11,x a b ∈时,()f x 的值域为[]22,b a ，当[]22,b a x ∈时,()f x 的值
域为[]33,b a ，依次类推，一般地，当[]11,--∈n n b a x 时,()f x 的值域为[]n n b a ,，其中m k ,为常 数，且110,1a b ==. (1)若1=k ，求数列}{{}n n
b a ,的通项公式；
(2)若0k >且1k ≠，问是否存在常数m ，使数列{}n b 是公比不为1的等比数列？请说明理由；
(3)若0k <，设数列}{
{}n n b a ,的前n 项和分别为}{{}n n T S ,求()()122008122008T T T S S S +++-+++L L .
镇江九中高三数学十一月阶段测试题参考答案
1．直线m y x =+与圆)0(22>=+m m y x 相切，则=m 2
2．已知向量()2,3-=→
m a ，向量()2,12m =+-b r
，且→a 与b r 的夹角为钝角，则实数m 的取值范围为
3．圆12
2
=+y x 和圆1)1()1(2
2
=-+-y x
4．已知向量a
b
P a
b
=+
v v u v v v ，其中a v 、b v 均为非零向量，则P u v 的取值范围是 []2,0
5． 已知向量1
(3,1),(2,),2
a b ==-r r 直线l 过点(1,2)A 且与向量2a b +r r 垂直，则直线l 的一般方程是
230x y -+=
6． 已知向量()
,2,1=→
a ()
1,2-=→
b ，若正数k 和t ，使得(
)
→→
→
++=b t a x 12
与→
→
→+-=b t
a k y 1垂直，则k 的
最小值是 2
7、已知点A ()3,1--和B ()4,6-,直线320x y a --=与线段AB 有交点，则a 的取值范围是
724a -<<
8．在ABC ∆中,若22b c +2
a =,且a
b
=则∠C= 1050 9．给出下列四个命题:
①若z ∈C,2
2z z =,则z ∈R; ②若z ∈C,z z =-,则z 是纯虚数;
③若z ∈C,2z zi =,则z=0或i Z =; ④若121212,,z z C z z z z ∈+=-则120z z =. 其中真命题的个数为 1
10．已知线段AB 为圆O 的弦，且2=AB ，则AO AB ⋅=u u u r u u u r
2
11．(){}
4,22≤+=y x y x M ，(){}
0,)1()1(,222>=-+-=r r y x y x M 若N N M =⋂，则r 的取值范
围是 (0,22]-
12．已知直线kx y =是x y ln =的切线，则k 的值为 1
e
13．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且55,1052==S S ，则过点),(n a n P 和))(,2(*
2N n a n Q n ∈++的
直线的一个方向向量的坐标是 （1，2）
14．直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f (x )的图象恰好通过k 个格点，则称
函数)(x f 为k 阶格点函数.下列函数：
①x x f sin )(=； ②3)1()(2+-=x x f π； ③
x x f )3
1
()(=； ④.log )(6.0x x f =
其中是一阶格点函数的有 ①②④
15．如图，B A ,是单位圆O 上的动点，C 是圆与x 轴正
半轴的交点，设COA α∠=．
(1)当点A 的坐标为()
34,55时，求sin α的值；
(2)若π02α≤≤，且当点A 、B 在圆上沿逆时针方向
移动时，总有π3
AOB ∠=，试求BC 的取值范围．
15.【解】(1) 因为A 点的坐标为()
34,55
，根据三角函数定义可知
35x =，45
y =，1=r ，所以4sin 5y
r α==. ………………4分
(2)因为π3AOB ∠=，COA α∠=， 所以π3COB α∠=+.
由余弦定理得2222cos BC OC OB OC OB BOC =+-⋅∠
()()
ππ112cos 22cos 33
αα=+-+=-+. ………………4分
因为π02α≤≤，所以ππ5π336α≤+≤，所以3π1cos()232
α-≤+≤. ………………4分
于是π122cos()233α≤-+≤+， 即2123BC ≤≤+，亦即123BC ≤≤+.
故BC 的取值范围是1,23⎡⎤+⎢⎥⎣
⎦
.
16．已知圆C 与圆02:2
2
1=-+x y x C 相外切，并且与直线03:=+y x l 相切于点)3,3(-P ，求此圆C 的
方程.
解：设所求圆的圆心为C (a ，b )，半径长为r . 因为C (a ，b )在过点P 且与l 垂直的直线上，
所以
3
b a =- ①. 又因为圆C 与l 相切于点P
，所以|r =
② 因为圆C 与圆C 1相外切，所以
1== ③ 由①得3a －b －43=0
|26|1a =-+，解得40a b =⎧⎨=⎩
或0
a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩，
此时r =2或r =6,
所以所求圆C 的方程为(x －4)2+y 2=4，或x 2+(y +43)2=36 .
17．已知向量x f t x x x ⋅=-=+=)(),,1(),1,(2
若函数在区间（-1，1）上是增函数，求t 的取值
范围.
解法1：依定义,)1()1()(2
3
2
t tx x x x t x x x f +++-=++-=
.23)(2t x x x f ++-='则
.0)()1,1(,)1,1()(≥'--x f x f 上可设则在上是增函数在若
,
3
1
)(,
23)(,)1,1(,230)(22=-=--≥⇔≥'∴x x g x x x g x x t x f 的图象是对称轴为由于考虑函数上恒成立在区间 开口向上的抛物线，故要使x x t 232-≥在区间（－1，1）上恒成立⇔.5),1(≥-≥t g t 即
.)1,1()(,0)()1,1()(,5上是增函数在即上满足在时而当->'-'≥x f x f x f t
5≥t t 的取值范围是故.
解法2：依定义,)1()1()(2
3
2
t tx x x x t x x x f +++-=++-=
.
0)()1,1(,)1,1()(.
23)(2≥'--++-='x f x f t x x x f 上可设则在上是增函数在若
)(x f 'Θ的图象是开口向下的抛物线，
A 2
时且当且仅当05)1(,01)1(≥-=-'≥-='∴t f t f
.
5.)1,1()(,0)()1,1()(≥->'-'t t x f x f x f 的取值范围是故上是增函数在即上满足在
18．如图所示：一吊灯的下圆环直径为m 4，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离)(OB 即为m 2，在圆环上设置三个等分点.,,321A A A 点C 为OB 上一点（不包含端点O 、B ），同时点C 与点B A A A ,,,321均用细绳相连接，且细绳.,,321CA CA CA 的长度相等。

设细绳的总长为ym 。

（1）设)(1rad O CA θ=∠，将y 表示成θ的函数关系式；
（2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时BC 应为多长。

18．（1）解：在Rt △COA 1中，
θ
cos 2
1=
CA ，θtan 2=CO ， ………2分 θθ
tan 22cos 2
331-+⋅=+=CB CA y =
2cos )sin 3(2+-θθ（4
0π
θ<<）……7分
（2）θ
θθθθθ2
22/
cos 1
sin 32cos )sin )(sin 3(cos 2-=----=y ， 令0='y ，则3
1
sin =θ ………………12分 当31sin >θ时，0>'y ；3
1
sin <θ时，0<'y ，
∵θsin =y 在]4
,
0[π
上是增函数
∴当角θ满足3
1
sin =θ时，y 最小，最小为224+；此时BC 222-=m …16分
19、已知函数2
()8,()6ln .f x x x g x x m =-+=+ (1)求()f x 在区间[],1t t +上的最大值();h t
(2)是否存在实数,m 使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出
m 的取值范围；若不存在，说明理由。

解：(1)2
2
()8(4)16.f x x x x =-+=--+ 当14,t +<即3t <时，()f x 在[],1t t +上单调递增， 2
2
()(1)(1)8(1)67;h t f t t t t t =+=-+++=-++ 当41,t t ≤≤+即34t ≤≤时，()(4)16;h t f == 当4t >时，()f x 在[],1t t +上单调递减，
2()()8.h t f t t t ==-+
综上，2267,3,()16,34,8,4t t t h t t t t t ⎧-++<⎪
=≤≤⎨⎪-+>⎩
(2)函数()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，即函数 ()()()x g x f x φ=-的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。

22()86ln ,
62862(1)(3)
'()28(0),
x x x x m x x x x x x x x x x
φφ=-++-+--∴=-+==>Q 当(0,1)x ∈时，'()0,()x x φφ>是增函数； 当(0,3)x ∈时，'()0,()x x φφ<是减函数； 当(3,)x ∈+∞时，'()0,()x x φφ>是增函数； 当1,x =或3x =时，'()0.x φ=
()(1)7,()(3)6ln 315.x m x m φφφφ∴==-==+-最大值最小值 Q 当x 充分接近0时，()0,x φ<当x 充分大时，()0.x φ>
∴要使()x φ的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须
()70,
()6ln 3150,
x m x m φφ=->⎧⎪⎨
=+-<⎪⎩最大值最小值 即7156ln3.m <<- 所以存在实数m ，使得函数()y f x =与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为(7,156ln 3).-
20．已知函数()f x kx m =+，当[]11,x a b ∈时,()f x 的值域为[]22,b a ，当[]22,b a x ∈时,()f x 的值
域为[]33,b a ，依次类推，一般地，当[]11,--∈n n b a x 时,()f x 的值域为[]n n b a ,，其中m k ,为常 数，且110,1a b ==. (1)若1=k ，求数列}{{}n n
b a ,的通项公式；
(2)若0k >且1k ≠，问是否存在常数m ，使数列{}n b 是公比不为1的等比数列？请说明理由；
(3)若0k <，设数列}{
{}n n b a ,的前n 项和分别为}{{}n n T S ,求()()122008122008T T T S S S +++-+++L L . 【解】(1)因为()f x x m =+，当11[,]n n x a b --∈时，()f x 为单调增函数，
所以其值域为11[,]n n a m b m --++，
于是*11,(,2)n n n n a a m b b m n n --=+=+∈≥N . ………………3分 又a 1=0, b 1=1, 所以(1)n a n m =-，1(1)n b n m =+-. ………………5分
(2)因为()(0)f x kx m k =+>，当11[,]n n x a b --∈时，()f x 为单调增函数， 所以()f x 的值域为11[,]n n ka m kb m --++，
所以*1(,2)n n b kb m n n -=+∈≥N . ………………7分
要使数列{b n }为等比数列，11
n
n n b m k b b --=+必须为与n 无关的常数. 又11,0,1b k k =>≠，
故当且仅当0m =时，数列{}n b 是公比不为1的等比数列. ………………10分
(本题考生若先确定m ＝0，再证此时数列{}n b 是公比不为1的等比数列，给全分) (3)因为0k <，当11[,]n n x a b --∈时，()f x 为单调减函数， 所以()f x 的值域为11[,]n n kb m ka m --++，
于是*11,(,2)n n n n a kb m b ka m n n --=+=+∈≥N . ………………12分 所以211112211()()()()()()n n n n n n n n b a k b a k b a k b a k -------=--=--==--=-L . ……13分 111, 1,()()1(), 0, 1.1i
i
j i i i j j j j i k T S b a k k k k k
-===-⎧⎪
-=-=-=⎨--<≠-⎪
+⎩∑∑ ………………14分
()()122008122008T T T S S S +++-+++L L
2008
2008111()()i
i i j j i i j T S b a ====-=-∑∑∑200922017036, 1,
20082009, 0, 1.(1)k k k k k k =-⎧⎪
=+-⎨<≠-⎪+⎩
……………16分。