《公式法》教案 (公开课)2022年(5)

公式法
课时安排
1课时
沉着说课
公式法是解一元二次方程的通法，是配方法的延续，即它实际上是配方法的一般化和程式化．利用它可以更为简捷地解一元二次方程．
本节课的重、难点是利用求根公式来解一元二次方程．
公式法的意义在于：对于任意的一元二次方程，只要将方程化为一般形式，然后确定a、b、c的值，在b2-4ac≥0的前提条件下，将a、b、c的值代入求根公式即可求出解．
因为掌握求根公式的关键是掌握公式的推导过程，而掌握推导过程的关键又是掌握配方法，所以在教学中，首先引导学生自主探索一元二次方程的求根公式，然后在师生共同的讨论中，得到求根公式，并利用公式解一些简单的数字系数的一元二次方程．
第六课时
课题
§ 2.3 公式法
教学目标
(一)教学知识点
1．一元二次方程的求根公式的推导
2．会用求根公式解一元二次方程
(二)能力训练要求
1．通过公式推导，加强推理技能训练，进一步开展逻辑思维能力．
2．会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程．
(三)情感与价值观要求
1．通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯．
教学重点
一元二次方程的求根公式．
教学难点
求根公式的条件：b2-4ac≥0
教学方法
讲练相结合
教具准备
投影片五张
第一张：复习练习(记作投影片§2．3 A)
第二张：试一试(记作投影片§2．3B)
第三张：小亮的推导过程(记作投影片§2．3 C)
第四张：求根公式(记作投影片§2．3 D)
第五张：例题(记作投影片§2．3 E)
教学过程
Ⅰ．巧设现实情景，引入课题
[师]我们利用三节课的时间学习了一元二次方程的解法．下面来做一练习以稳固其解法．(出示投影片§2．3 A)
1．用配方法解方程2x2-7x+3＝0．
[生甲]解：2x 2
-7x+3＝0，
两边都除以2，得x 2
27-x+23
＝0．
移项，得；x 2-27x=-23
．
配方，得x 2-27x+(-47)2＝-23+(-47)2
．
两边分别开平方，得
x-47＝±45
即x-47=45或x-47=-45
．
∴x 1=3，x 2=21
．
[师]同学们做得很好，接下来大家来试着做一做下面的练习．(出示投影片§2．3 B)试一试，肯定行：
1．用配方法解以下关于x 的方程：
(1)x 2+ax ＝1；(2)x 2
+2bx+4ac ＝0．
[生乙](1)解x 2
+ax ＝1，
配方得x 2
+ax+(2a )2＝1+(2a )2
，
(x+2a )2
=442
a +．
两边都开平方，得
x+2a ＝±2
42
a +，
即x+2a ＝242a +，x+2a =-2
42
a +.
∴x 1=2
42a a ++-， x 2＝242
a a +--
[生丙](2)解x 2
-2bx+4ac ＝0，
移项，得x 2
+2bx ＝-4ac ．
配方，得x 2-2bx+b 2＝-4ac+b 2
，
(x+b)2=b 2
-4ac ． 两边同时开平方，得 x+b ＝±ac b 42-，
即 x+b ＝ac b 42-，x+b ＝-ac b 42-
∴x 1=-b+ac b 42-，x 2＝-b-ac b 42-
[生丁]老师，我觉得丁同学做错了，他通过配方得到(x+b)2
＝b 2
-4ac ．根据平方根
的性质知道：只有正数和零才有平方根，即只有在b 2
-4ac ≥0时，才可以用开平方法解出x
来．所以，在这里应该加一个条件：b 2
-4ac ≥0．
[师]噢，同学们来想一想，讨论讨论，戊同学说得有道理吗? [生齐声]戊同学说得正确．因为负数没
有平方根，所以，解方程x 2
+2bx+4ac ＝0
时，必须有条件：b 2
-4ac ≥0，才有丁同学求 出的解．否那么，这个方程就没有实数解．
[师]同学们理解得很正确，那解方程x 2
+ax ＝1时用不用加条件呢? [生齐声]不用． [师]那为什么呢?
[生齐声]因为把方程x 2
+ax ＝1配方变形为(x+2a )2=442
a + ，右边4
42a +就是一个正
数，所以就不必加条件了．
[师]好，从以上解题过程中，我们发现：利用配方法解一元二次方程的根本步骤是相同
的．因此，如果能用配方法解一般的一元二次方程ax 2
+bx+c ＝0(a ≠0)，得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多． 这节课我们就来探讨一元二次方程的求根公式． Ⅱ．讲授新课
[师]刚刚我们已经利用配方法求解了四个一元二次方程，那你能否利用配方法的根本步
骤解方程ax 2
+bx+c ＝0(a ≠0)呢?
大家可参照解方程2x 2
-7x+3＝0的步骤进行．
[生甲]因为方程的二次项系数不为1，所以首先应把方程的二次项系数变为1，即方程两边都除以二次项系数a ，得 x 2
+
a
c
x a b +=0． [生乙]因为这里的二次项系数不为0，所以，方程ax 2
+bx+c ＝0(a ≠0)的两边都除以a
时，需要说明a ≠0．
[师]对，以前我们解的方程都是数字系数，显然就可以看到：二次项系数不为0，所以
无需特殊说明，而方程ax 2
+bx+c ＝0(a ≠0)的两边都除以a 时，必须说明a ≠0． 好，接下来该如何呢? [生丙]移项，得x 2
+
a c x a
b -= 配方，得x 2+22)2()2(a
b a
c a b x a b +-=+,
(x+22244)2a
ac b a b -=. [师]这时，可以直接开平方求解吗?
[生丁]不，还需要讨论．
因为a ≠0，所以4a 2>0．当b 2
-4ac ≥0时，就可以开平方．
[师]对，在进行开方运算时，被开方数必须是非负数，即要求2
244a
ac b -≥0．因为4a 2
>0恒成立，所以只需b 2
-4ac 是非负数即可．
因此，方程(x+a b 2)2＝2244a ac b -的两边同时开方，得x+a b 2=±2
244a ac
b -.
大家来想一想，讨论讨论：
±2
244a
ac
b -=±a a
c b 242-吗? ……
[师]当b 2
-4ac ≥0时，
x+a b 2=±2
244a ac b -=±|
|242a ac b - 因为式子前面有双重符号“±〞，所以无论a>0还是a<0，都不影响最终的结果：±
a
ac
b 242-
所以x+a b 2=±a ac
b 242-,
x=-a b 2±a
ac
b 242- =a
ac b b 242-±-
(出示投影片§2．3 C)
−−−−→−a
两边都除以
−−→−配方
−−→
−≥-如果
42ac b
x=a
ac b b 242-±- (b 2-4ac ≥0)，
即(出示投影片§2．3 D)
一般地，对于一元二次方程ax 2
+bx+c ＝0
(a ≠0)，当b 2
-4ac ≥0时，它的根是
x=a
ac b b 242-±-
[师]用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．(Solving by formular)
由此我们可以看到：一元二次方程ax 2
+bx+c ＝0(a ≠0)的根是由方程的系数a 、b 、c 确
定的．因此，在解一元二次方程时，先将方程化为一般形式，然后在b 2
-4ac ≥0的前提条件下，把各项系数a 、b 、c 的值代入，就可以求得方程的根．
注：(1)在运用求根公式求解时，应先计算b 2-4ac 的值；当b 2
-4ac ≥0时，可以用公式
求出两个不相等的实数解；当b 2
-4ac ＜0时，方程没有实数解．就不必再代入公式计算了． (2)把方程化为一般形式后，在确定a 、 b 、c 时，需注意符号．
接下来，我们来看一例题．(出示投影片§2．3 E)
[例题]解方程x 2
-7x-18＝0．
分析：要求方程x 2
-7x-18＝0的解，需先确定a 、b 、c 的值．注意a 、b 、c 带有符号． 解：这里a ＝1，b ＝-7，c ＝-18． ∵b 2-4ac=(-7)2
-4×1×(-18) ＝121＞0， ∴x=
2
11
7121217±=
⨯±, 却x 1＝9，x 2＝-2．
[师]好，我们来共同总结一下用公式法解一元二次方程的一般步骤． [师生共析]其一般步骤是：
(1)把方程化为一般形式，进而确定a 、b ，c 的值．(注意符号)
(2)求出b 2
-4ac 的值．(先判别方程是否有根)
(3)在b 2
-4ac ≥0的前提下，把a 、b 、c 的直代入求根公式，求出a
ac
b b 242-±-的值，
最后写出方程的根．
[师]接下来我们通过练习来稳固用公式法求解一元二次方程的方法． Ⅲ．课堂练习
(一)课本P 57随堂练习 1、2 1．用公式法解以下方程：
(1)2x 2-9x+8＝0；(2)9x 2
+6x+1＝0． 解：(1)这里a ＝2，b ＝-9，c ＝8．
∵b 2-4ac=(-9)2
-4×2×8 ＝17>0，
∴x=
417
922179±=
⨯± 目x 1=
4179+，x 2＝4
17
9- (2)这里a ＝9，b ＝6，c ＝1．
∵b 2-4ac ＝62
-4×9×1＝0， ∴x=
,
31
9206-=⨯±- 即x 1＝x 2=-
3
1
, 2．一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长． 解：设中间的数为x ，那么另外两数为 x-2，x+2．根据题意，得
(x+2)2＝(x-2)2+x 2
．
整理，得x 2
-8x=0． 解这个方程，得 x 1＝0，x 2＝8．
因为直角三角形的边长为正数，所以x 1＝0应舍去．因此，这个直角三角形的三条边长分别为6，8，10．
(二)看课本P 56～P 57，然后小结． Ⅳ．课时小结
这节课我们探讨了一元二次方程的另一种解法——公式法．
(1)求根公式的推导，实际上是“配方〞与“开平方〞的综合应用．对于a ≠0，b 2
-4ac
≥0。

以及由a ≠0，知4a 2
>0等条件在推导过程中的应用，也要弄清其中的道理．
(2)应用求根公式解一元二次方程，通常应把方程写成一般形式，并写出a 、b 、c 的数
值以及计算b 2
-4ac 的值，当熟练掌握求根公式后，可以简化求解过程． Ⅴ．课后作业
(一)课本P 58习题2．6 1、2 (二)1．预习内容；P 59～P 61 2．预习提纲
(1)如何利用因式分解法解一元二次方程 Ⅵ．活动与探究
1．阅读材料，解答问题： 阅读材料：
为解方程(x 2-1)2-5(x 2-1)+4＝0，我们可以将(x 2-1)视为一个整体，然后设x 2
-1＝y ，那
么(x 2-1)2＝y 2，原方程化为y 2
-5y+4=0． ① 解得y 1=4，y 2＝1．
当y 1＝4时，x 2
-1＝4， ∴x 2
＝5，∴x=±5．
当y ＝1时，x 2
-1＝1，
∴x 2
＝2，∴x=±2．
∴原方程的解为x 1＝2，x 2＝-2， x 3=5 ，x 4=-5.
解答问题： (1)填空：
在由原方程得到方程①的过程中，利用 法到达了降次的目的，表达了 的数学思想．
(2)解方程x 4-x 2
-6＝0．
[过程]通过对此题的阅读，让学生在获取知识的同时，来提高学生的阅读理解和解 决问题的能力． [结果]
解：(1)换元 转化
(2)设x 2＝y ，那么x 4=y 2
，
原方程可以化为y 2
-y-6＝0． 解得y 1=3，y 2＝-2．
当y 1=3时，x 2
＝3，∴x ＝±3．
当y 2＝-2时，x 2
=-2，此方程无实根． ∴原方程的解为x 1＝3，x 2＝-3． 板书设计
§ 2．3 公式法
一、解：2x 2
-7x+3＝0， 两边都除以2，得 x 2
-23
27+x =0． 移项，得 x 2
-2
327-=x . 配方，得
x 2
-,)47(23)47(2722-+-=-+x (x-16
25)472=x .
两边分别开平方，得
x-
4
547±=, 即x- 4547=或x-4
547-=.
∴x 1=3，x 2=2
1
．
二、求根公式的推导
三、课堂练习
四、课时小结
五、课后作业
1.8 完全平方公式(一)
●教学目标
(一)教学知识点
1.完全平方公式的推导及其应用.
2.完全平方公式的几何背景.
(二)能力训练要求
1.经历探索完全平方公式的过程，进一步开展符号感和推理能力.
2.重视学生对算理的理解，有意识地培养他们有条理的思考和表达能力.
(三)情感与价值观要求
1.了解数学的历史，激发学习数学兴趣.
2.鼓励学生自己探索算法的多样化，有意识地培养学生的创新能力.
●教学重点
1.完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释.
2.完全平方公式的应用.
●教学难点
1.完全平方公式的推导及其几何解释.
2.完全平方公式结构特点及其应用.
●教学方法
自主探索法
学生在教师的引导下自主探索完全平方公式的几何解释、代数运算角度的推理，揭示其结构特点，然后到达合理、熟练地应用.
●教具准备
投影片四张
第一张：试验田的改造，记作(§1.8.1 A)
第二张：想一想，记作(§1.8.1 B)
第三张：例题，记作(§1.8.1 C)
第四张：补充练习，记作(§1.8.1 D)
●教学过程
Ⅰ.创设问题情景，引入新课
［师］去年，一位老农在一次“科技下乡〞活动中得到启示，将一块边长为a米的正方形农田改成试验田，种上了优质的杂交水稻，一年来，收益很大.今年，又一次“科技下乡〞活动，使老农铁了心，要走科技兴农的路子，于是他想把原来的试验田，边长增加b米，形成四块试验田，种植不同的新品种.
同学们，谁来帮老农实现这个愿望呢？
(同学们开始动手在练习本上画图，寻求解决的途径)
［生］我能帮这位爷爷.
［师］你能把你的结果展示给大家吗？
［生］可以.如图1－25所示，这就是我改造后的试验田，可以种植四种不同的新品种.
图1－25
［师］你能用不同的方式表示试验田的面积吗？
［生］改造后的试验田变成了边长为(a+b)的大正方形，因此，试验田的总面积应为(a+b)2.
［生］也可以把试验田的总面积看成四局部的面积和即边长为a的正方形面积，边长为b的正方形的面积和两块长和宽分别为a和b的面积的和.所以试验田的总面积也可表示为a2+2ab+b2.
［师］很好！同学们用不同的形式表示了这块试验田的总面积，进行比较，你发现了什么？
［生］可以发现它们虽形式不同，但都表示同一块试验田的面积，因此它们应该相等.即(a+b)2=a2+2ab+b2
［师］我们这节课就来研究上面这个公式——完全平方公式.
Ⅱ.讲授新课
1.推导完全平方公式
［师］我们通过比照试验田的总面积得出了完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2.其实，据有关资料说明，古埃及、古巴比伦、古印度和古代中国人也是通过类似的图形认识了这个公式.我们姑且把这种方法看作对完全平方公式的一个几何解释.能不能从代表运算的角度也能推导出这样的公式呢？
(出示投影片§1.8.1 A)
想一想：
(1)(a+b)2等于什么？你能用多项式乘法法那么说明理由吗？
(2)(a－b)2等于什么？你是怎样想的.
(同学们可先在自己的练习本上推导，教师巡视推导的情况，对较困难的学生以启示)
［生］用多项式乘法法那么可得
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)
=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2
所以(a+b)2=a2+2ab+b2 (1)
［师］上面的几何解释和代数推导各有什么利弊？
［生］几何解释完全平方公式给我们以非常直观的认识，但几何解释(a+b)2=a2+2ab+b2,受到了条件限制:a>0且b>0;
代数推导完全平方公式虽然不直观，但在推导的过程中，a,b可以是正数，可以是负数，零，也可以是单项式,多项式.
［师］同学们分析得很有道理.接下来，我们来完成第(2)问.
［生］也可利用多项式乘法法那么，那么(a－b)2=(a－b)(a－b)=a2－ab－
ba+b2=a2－2ab+b2.
［生］我是这样想的，因(a+b)2=a2+2ab+b2中的a、b可以是任意数或单项式、多项式.我们用“－b〞代替公式中的“b〞,利用上面的公式就可以得到(a－b)2=［a+(－b)］2.
［师］这位同学的想法很好.因为他很留心我们表述的每一句话的含义，你能继续沿着这个思路做下去吗？我们一块试一下.
［师生共析］
(a－b)2=［a+(－b)］2=a2+2·a·(－b)+(－b)2
↓↓↓↓ ↓ ↓
(a +b)2=a2+2·a ·b + b2
=a2－2ab+b2.
于是，我们得到又一个公式：
(a－b)2=a2－2ab+b2(2)
［师］你能用语言描述上述公式(1)、(2)吗？
［生］公式(1)用语言描述为：两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的和；公式(2)用语言描述为：两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的差.这两个公式为完全平方公式.它们和平方差公式一样可以使整式的运算简便.
2.应用、升华
出示投影片(§1.8.1 B)
［例1］利用完全平方公式计算：
(1)(2x－3)2;(2)(4x+5y)2;
(3)(mn－a)2.
分析：利用完全平方公式计算，第一步先选择公式；第二步，准确代入公式；第三步化简.
解：(1)方法一：
［例2］利用完全平方公式计算
(1)(－x+2y)2;(2)(－x－y)2;
(3)(x+y－z)2;(4)(x+y)2－(x－y)2;
(5)(2x－3y)2(2x+3y)2.
分析：此题需灵活运用完全平方公式，(1)题可转化为(2y－x)2或(x－2y)2,再运用平方差公式；(2)题需转化为(x+y)2,利用和的完全平方公式；(3)题利用加法结合律变形为［(x+y)－z］2(或［x+(y－z)］2、［(x－z)+y］2),再用完全平方公式计算；(4)题可利用完全平方公式，再合并同类项，也可逆用平方差公式进行计算.(5)题可先逆用幂的运算性质变形，再用平方差公式和完全平方公式.
解：(1)方法一：(－x+2y)2=(2y－x)2
=4y2－4xy+x2；
方法二：(－x+2y)2=［－(x－2y)］2=(x－2y)2=x2－4xy+4y2.
(2)(－x－y)2=［－(x+y)］2=(x+y)2=x2+2xy+y2.
(3)(x+y－z)2=［(x+y)－z］2=(x+y)2－2(x+y)·z+z2
=x2+y2+z2+2xy－2zx－2yz.
(4)方法一：(x+y)2－(x－y)2
=(x2+2xy+y2)－(x2－2xy+y2)
=4xy.
方法二：(x+y)2－(x－y)2
=［(x+y)+(x －y)］［(x+y)－(x －y)］=4xy.
(5)(2x －3y)2(2x+3y)2
=［(2x －3y)(2x+3y)］2
=［4x 2－9y 2］2
=16x 4－72x 2y 2+81y 4.
Ⅲ.随堂练习
课本1.计算： (1)(21x －2y)2;(2)(2xy+5
1x)2; (3)(n+1)2－n 2.
解：(1)(21x －2y)2=(21x)2－2·21x·2y+(2y)2=4
1x 2－2xy+4y 2 (2)(2xy+51x)2=(2xy)2+2·2xy·51x+(51x)2=4x 2y 2+54x 2y+251x 2
(3)方法一：(n+1)2－n 2=n 2+2n+1－n 2=2n+1.
方法二：(n+1)2－n 2=［(n+1)+n ］［(n+1)－n ］=2n+1.
Ⅳ.课后作业
1.课本习题1.13的第1、2、3题.
2.阅读“读一读〞，并答复文章中提出的问题.
Ⅴ.活动与探究
甲、乙两人合养了n 头牛，而每头牛的卖价恰为n 元.全部卖完后两人分钱方法如下：先由甲拿10元，再由乙拿10元，如此轮流，拿到最后剩下缺乏十元，轮到乙拿去，为了平均分配，甲应该补给乙多少元钱？
［过程］因牛n 头，每头卖n 元，故共卖得n 2元.
令a 表示n 的十位以前的数字，b 表示n 的个位数字.即n=10a+b,于是n 2=(10a+b)2=100a 2+
20ab+b 2=10×2a(5a+b)+b 2.
因甲先取10元，而乙最后一次取钱时缺乏10元，所以n 2中含有奇数个10元，以及最后剩下缺乏10元.
但10×2a(5a+b)中含有偶数个10元，因此b 2中必含有奇数个10元，且b<10，所以b 2只可能是1、4、9、16、25、36、49、64、81，而这九个数中，只有16
和36含有奇数个10，因此b2只可能是16或36，但这两个数的个位数都是6，这就是说，乙最后所拿的是6元(即剩下缺乏10元).
［结果］甲比乙多拿了4元，为了平均分配甲必须补给乙2元.
●板书设计
1.8. 完全平方公式(一)
一、几何背景
试验田的总面积有两种表示形式：
①a2+2ab+b2
②(a+b)2
比照得：(a+b)2=a2+2ab+b2
二、代数推导
(a+b)2=(a+b)(a+b)
=a2+2ab+b2
(a－b)2=［a+(－b)］2
=a2－2ab+b2
三、例题讲例
例1.利用完全平方公式计算：
(1)(2x－3)2
(2)(4x+5y)2
(3)(mn－a)2
四、随堂练习(略)
●备课资料
一、杨辉
杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家.在13世纪中叶活动于苏杭一带，其著作甚多.
他著名的数学书共五种二十一卷.著有?详解九章算法?十二卷(1261年)、?日用算法?二卷(1262年)、?乘除通变本末?三卷(1274年)、?田亩比类乘除算法?二卷(1275年)、?续古摘奇算法?二卷(1275年).
杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，他对筹算乘除捷算法进行总结和开展，有的还编成了歌诀，如九归口诀。

他在?续古摘奇算法?中介绍了各种形式的“纵横图〞及有关的构造方法，同时“垛积术〞是杨辉继沈括“隙积术〞后，关于高阶等差级数的研究.杨辉在“纂类〞中，将?九章算术?246个题目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈缺乏、方程、勾股等九类.
他非常重视数学教育的普及和开展，在?算法通变本末?中，杨辉为初学者制订的“习算纲目〞是中国数学教育史上的重要文献.
二、参考练习
1.填空题
(1)(－3x+4y)2= .
(2)(－2a －b)2= .
(3)x 2－4xy+ =(x －2y)2.
(4)a 2+b 2=(a+b)2+ . (5)41a 2+ +9b 2=(2
1a+3b)2. (6)(a －2b)2+(a+2b)2= .
2.选择题
(1)以下计算正确的选项是( )
A.(m －1)2=m 2－1
B.(x+1)(x+1)=x 2+x+1
C.(21x －y)2=4
1x 2－xy －y 2 D.(x+y)(x －y)(x 2－y 2)=x 4－y 4
(2)如果x 2+mx+4是一个完全平方式，那么m 的值是( )
A.4
B.－4
C.±4
D.±8
(3)将正方形的边长由a cm 增加6 cm,那么正方形的面积增加了( )
A.36 cm 2
B.12a cm 2
C.(36+12a)cm 2
D.以上都不对 3.用乘法公式计算 (1)(21x －3
1y)2 (2)(x 2－2y 2)2－(x 2+2y 2)2
(3)29×31×(302+1)
(4)9992
答案：1.(1)9x 2－24xy+16y 2
(2)4a 2+4ab+b 2 (3)4y 2 (4)－2ab
(5)3ab (6)2a 2+8b 2
2.(1)D (2)C (3)C
3.(1)41x 2－31xy+9
1y 2 (2)－8x 2y 2 (3)809999 (4)998001。