数学建模污水处理问题

宁夏师范学院
数学建模论文论文题目：污水排放的数学建模
姓名1：任伊丹学号：********** 专业：信息与计算科学姓名2：邹业安学号：********** 专业：信息与计算科学姓名3：刘金定学号：********** 专业：信息与计算科学
2017年4月17日
目录
污水排放的数学建模 (3)
摘要 (3)
一、问题重述 (3)
二、基本假设 (4)
三、分析与建立模型 (4)
1、符号说明 (4)
2、分析步骤： (5)
3、模型建立 (5)
4、图形建立 (5)
四、模型求解 (5)
五、模型检验 (6)
六、模型推广和优化 (13)
参考文献 (15)
污水排放的数学建模
摘要
随着国民经济的快速发展和结构转型以及全球经济的发展，人们的生活质量越来越高，然而在人们越来越奢侈的物质享受的背后，却是生态的失调、环境的恶化。

工业污水不经处理即排入河道，给河流和附近的人、畜及其它生物都带来了无穷的危害。

这些污水中含有汞、铬、镍、铜、铁和氮、酚等有害物质，不但会使河里的水生生物变形或绝生，而且用这些污水灌溉过的庄稼，不是枯萎，就是籽粒含有毒素，人、畜吃了这些籽粒或蔬菜，有的中毒，有的得病，严重影响了工农业生产和人民的身体健康。

因此，企业在追求经济效益的同时，应该越来越重视环境保护问题。

如何减少污染物的排放以保护环境，使经济得以稳健及可持续发展，是许多企业亟待解决的重要问题。

与此同时，如何建造合理的数学模型建站来处理污水并且节约总投资达到利益最大化，也是许多企业的当务之急。

一、问题重述
假设沿河有若干工厂，每天都会排放一定量的污水，这些污水必须经过处理才能排入河中。

通常的解决办法是建造污水处理站，将污水进行处理，使之达到排放标准后再予以排放。

污水处理站可以由每个工厂单独建造，也可以几个工厂联合建造。

联合建造时，处理站必须建在下游位置，上游工厂将污水通过管道送往下游的处理站集中处理。

处理站的建造费用与污水处理量及铺设的管道总长度有关，表1给出了不同污水处理量和不同管道铺设总长度的建造费用及管道铺设费用。

排污量(t/s)管道总长
(km)
建站费(万
元)
管道费(万
元)
总费用(万
元)
28125.187.08132.26 415195.819.91215.71 6.521265.2136.41301.62 826332.5649.58382.14 930322.9362.06384.99 9.538372.6379.55452.18
1045363.2997.06460.35
1151374.56116.66491.22
12.556430.18141.12571.3
1565459.29181.18640.47
(1) 请建立适当的数学模型，给出合理的污水处理站建造方案。

如果是联合建造，应给出建造费用的分担方法。

(2) 若沿河从上游到下游有A，B，C三家工厂，各厂的排污量分别为4.5 t/s，2.5 t/s和6 t/s。

已知AB之间的距离为20 km，BC之间的距离为40 km。

请用你建立的模型给出具体的污水处理站建造方案和费用分担方法。

(3) 分析说明你所给方案的合理性。

二、基本假设
三工厂处理污水，排入河流，用管道将污水从上游排往下游，三工厂可联合建污水处理站处理，也可各自建站处理。

1.假设有三个工厂的距离相等；
2.假设如果分别独立建站的话，每个站的规模都相同且都能够满足污水处理需要；
3.假设污水处理站承担的费用与其排污量间的比例呈线性关系；
4.假设三工厂污水排污量比例为a:b:c；
5.假设三个工厂在同一条直线上；
6.假设管道与污水处理站可以分开建造。

三、分析与建立模型
1、符号说明
Q 污水量单位（立方米/秒）
L 管道长度单位（公里）
C1 建站费用单位（万元）
C1 ’排污量得出的建站费用单位（万元）
C1’’管道总长得出的建站费用单位（万元）
C2 管道费用单位（万元）
2、分析步骤：
(1)列出各种污水处理方案，并计算各种方案的总投资；
(2)若联合建站，从节约总投资的角度出发，三污水处理站应在最后一个工厂处联合建站；
(3)如果联合建站，对于各工厂如何分担污水处理费用有下面的假设：联合建站费按污水量之比分担,管道费用根据谁用谁投资的原则，如果联合使用则按污水量之比分担。

分别计算在上述建议下，各工厂分担的费用。

3、模型建立
记W i为工厂单独建站费用（i=1,2,3）
记W ij为工厂i,j合作在j建厂，（i<j,i,j<3）从i到j铺管道的费用
4、图形建立
图一
四、模型求解
(1)污水处理只有5种方案:
方案1、各工厂分别建站,总费用W=W1+W2+W3(万元)
方案2、工厂1,2合作处理,工厂3单独建站,总费用 W=W12+W3(万元)
方案3、工厂1,3合作处理,站2单独建站,总费用 W=W13+W2(万元)
方案4、工厂2,3合作处理,工厂1单独建站,总费用W=W23+W1(万元)
方案5、三厂合作在工厂3建站,总费用为W=W3+W3+W3
（2）三工厂合作建厂费用W(万元),按三工厂污水排污量比例为a:b:c分担,工厂1,2,3分
别负担
w
c
b
a
a
w
+
+
=
1
，
w
c
b
a
b
w
+
+
=
2
，
w
c
b
a
c
w
+
+
=
3
(万元).
工厂1到工厂2管道费C=C12(万元),由工厂1负担 C12
工厂2到工厂3管道费C=C23 (万元).按工厂1,2 污水量比例a:b,由工厂1,工厂2分别负担
23C b a a +，23C b
a b +(万元).
在上述建议下,各工厂的分担费用分别是 C12，
23C b a a +，23C b
a b
+(万元） 五、模型检验
表1-1 模型汇总和参数估计值
因变量:建站费
方程
模型汇总
参数估计值
R 方
F df1 df2 Sig.
常数
b1
b2 b3 线性 .967 232.649 1 8 .000 94.549 26.242 对数 .956 173.759 1 8 .000 -19.644 168.422 倒数 .803 32.697 1 8 .000 435.978 -706.440
二次 .986 238.505 2 7 .000 47.110 40.438 -.853
三次 .986 136.705 3 6 .000 51.668 37.979 -.521 -.013 复合 .896 69.226 1 8 .000 130.154 1.102 幂 .991 865.937 1 8 .000 79.198
.661
S
.924
97.280 1 8 .000 6.183 -2.919 增长 .896 69.226 1 8 .000
4.869
.097 指数 .896 69.226
1
8 .000 130.154
.097
Logist
ic
.896
69.226 1 8 .000 .008 .907
自变量为 排污量。

表1-2 模型汇总和参数估计值因变量:建站费(万元)
方程
模型汇总参数估计值R 方 F df1 df2 Sig. 常数b1
幂.991 865.937 1 8 .000 79.198 .661
自变量为排污量(t/s)。

图1-1幂函数的拟合效果图
运用SPSS分析，表1-1中幂函数的R方在各种函数的R方中最大，拟合度最高。

由表1-2可以得出因变量建站费与自变量排污量的幂回归模型为C1’=79.19842*Q66072
.0。

表1-3 模型汇总和参数估计值
因变量:建站费
方程
模型汇总参数估计值
R 方 F df1 df2 Sig. 常数b1 b2 b3
线
性
.889 64.257 1 8 .000 139.342 5.206 对
数
.964 213.523 1 8 .000 -201.745 154.374
倒
数 .868 52.469 1
8 .000
442.679 -2873.346
二
次 .946 61.073 2
7 .000
57.041 11.144
-.082
三
次 .977 84.537 3
6 .000
-43.590 23.579 -.481 .004
复
合
.781 28.574 1
8 .001
156.519
1.019
幂 .949 147.394 1
8 .000 40.871
.590
S .958 183.815 1
8 .000
6.201 -11.636
增
长 .781 28.574 1
8 .001
5.053
.019
指
数 .781 28.574 1
8 .001
156.519
.019
Lo
gistic
.781 28.574
1
8 .001
.006
.981
自变量为 管道总长。

图1-2三次曲线的拟合效果图
运用SPSS分析，表1-3中三次函数的R方在各种函数的R方中最大，拟合度最高。

由表1-4可以得出因变量建站费与自变量管道总长的三次回归模型为：
C1’’=-43.59009+23.57917L-0.418149L2+0.00367L3。

根据排污量与建站费的函数关系得到的建站费与管道总长与建站费的函数关系得到的建站费比较，由附表1可知，得到最贴近实际建站费的比例公式为C1=0.9C1’+0.1C1’’。

表1-5 模型汇总和参数估计值
因变量:管道费
方程
模型汇总参数估计值R
方
F
df
1
df
2
Si
g.
常数b1 b2 b3
线
性
.981 407.974 1 8 .000 -25.404 2.943
对
数
.845 43.658 1 8 .000 -185.982 77.800
倒
数
.594 11.685 1 8 .009 131.820 -1279.109
二
次
.996 807.337 2 7 .000 -2.647 1.301 .023
三
次 .998 1224.806 3
6 .000 -18.567
3.268
-.041 .001
复
合
.887 62.699 1
8 .000
9.748
1.051
幂 .995 1581.071 1 8 .000 .343
1.501
S .933 110.954 1
8 .000
5.220 -28.512
增
长 .887 62.699 1
8
.000
2.277
.050
指
数 .887 62.699 1
8 .000
9.748
.050
Lo
gistic
.887 62.699
1
8 .000
.103
.951
自变量为 管道总长。

图1-3三次曲线的拟合效果图
运用SPSS 分析，表1-5中三次函数的R 方在各种函数的R 方中最大，拟合度最高。

由表1-6可以得出因变量建站费与自变量管道总长的三次回归模型为C2=-18.56729+3.268069L-0.04068L 2
+0.00058 L 3
综上，我们组得到的各个变量之间线性关系的数学模型为： C1’=79.19842*Q 66072.0
C1’’=-43.59009+23.57917L-0.418149L 2
+0.00367L 3
C1=0.9C1’+0.1C1’’
C2=-18.56729+3.268069L-0.04068L 2
+0.00058 L 3
假设ABC 三个工厂在一条直线上建站，有以下五种方案：
方案1、各工厂分别建站,不建管道直接建站，所以不需要考虑管道费，根据污水排放量确
定
建
站
费
用
，
由
公
式
C1=79.198*Q
661
.0得出总费用
W=W1+W2+W3=213.95+145.09+258.73=617.77(万元)
方案2、工厂A ，B 合作处理污水联合建站,污水处理站建在B 工厂下游，管道长度（L ）
≥20(km),W12=C1+C2=284.30+35.16=319.46（万元）工厂C 不建管道单独建站,总费
用 W=W12+W3=319.46+258.73=578.19(万元)
方案3、工厂A,C 联合建站合作处理污水,污水处理站建在C 工厂下游，管道长度（L ）
≥60(km)，工厂B 单独建站,W13=C1+C2=380.01+156.37=536.38（万元）总费用
W=W13+W2=536.38+145.09=681.47（万元）
方案4、工厂B,C联合建站合作处理污水,污水处理站建在C工厂下游，管道长度（L）≥40(km)，工厂A单独建站,W23=329.50+84.19=413.69（万元）
总费用W=W23+W1=413.69+213.95=627.64(万元)
方案5、三厂合作在工厂3建站,污水处理站建在C工厂下游，管道长度（L）≥60(km)总费用为W=C1+C2=431.24+156.36=587.60（万元）
详见附表2
仅从节约总投资的角度出发，由上述方案比较可知，方案二最优。

方案6、假设ABC三个工厂不在一条直线上建站，形成一个三角形，河流沿着AC工厂，或者穿过BC工厂的中点流过，那么为了使得A到C的管道费用最低，则AC的距离最小趋近于20（km）。

如图：
图二
那么只有工厂A,C联合建站合作处理污水,污水处理站建在C工厂下游，管道长度（L）≥20(km)，工厂B单独建站的方案与在同一条直线的方案三不同，其他结果是一致的，我们将这三角形的A，C联合建站，B单独建站称为方案六。

W13=C1+C2=363.51+35.16=398.67(万元)
总费用W=W13+W2=398.67+145.09=543.76（万元）
费用分担问题：
方案一中各工厂分别建站不需要考虑管道费，因此工厂A花费213.95万元，B工厂花费145.09万元，C工厂花费258.73万元，共计617.77万元。

方案二中工厂A,B联合建站合作处理污水,污水处理站建在B工厂下游，管道长度（L）≥20(km)，其中污水处理站的费用为W12=284.30（万元），根据污水比例4.5:2.5计算出工厂A应该负担182.76万元，B应该负担101.54万元，由于B工厂不需要建造管道，因此管道费C2=35.16万元应由A工厂负担，为217.92万元。

工厂C单独建站，负担自己工厂的258.73万元。

综上A工厂负担217.92万元；B工厂应该负担101.54万元；C工厂应该负担258.73万元。

从实际问题出发，此方案对工厂A不公平，花费217.92万元要大于自己单独建站的213.95万元，工厂A显然不会答应，但是从节约总投资的角度出发，此方案做到了使费用降到了最低的情况，所以更合理的分配方案是应该让A工厂和B工厂一起分担与污水处理站建站费用相比花费较少管道费，根据污水比例4.5:2.5分配总费用W=319.46万元，计算出工厂A应该负担205.37万元，B应该负担114.09万元。

从总体角度来看，本方案中A工厂和B工厂的花费都小于自己单独建站的花费。

方案六A,C联合建站合作处理污水,污水处理站建在C工厂下游，管道长度（L）≥20(km)，其中污水处理站的费用为W12=363.51（万元），根据污水比例4.5:6计算出工厂A应该负担155.79万元，C应该负担207.72万元，由于C工厂不需要建造管道，因此管道费C2=35.16万元应由A工厂负担，为190.95万元。

工厂B单独建站，负担自己工厂的145.09万元。

三个工厂都小于自己单独建站的费用。

其中A工厂即使负担全部管道费用仍小于单独建站的213.95万元。

然而并不知道实际情况中三个工厂与河流之间的分布情况，三个工厂规模大小以及投资资金的情况，也不知道三工厂是否愿意协商采取总投资最小而损害自己利益的方案，因此如果三个工厂在河流的同一侧，如图1所示，那么优化后的方案二最为合适，如果ABC三个工厂不在一条直线上建站，形成一个三角形，河流沿着AC工厂，或者穿过BC工厂的中点流过，那么方案六的总投资最小，应该选择此方案。

六、模型推广和优化
通过对题目的解读我们不难发现这是一类分配问题，我们建立了一个总投资最小的合理分配模型。

仔细分析我们建立的模型不难发现：此类模型可以做到在满足最基本的污水处理而建站的费用最低、最经济的情况，可以解决诸多效益分配问题，例如合伙经商受利问题，通过此类假设，可以获利最佳，但有一定的不公平性，如果是从整体上看，可以采用此类模
型，做到收益最佳，若要求公正合理，则可以根据实际情况采取另外的合作对策。

本文模型的建立是为了解决污水处理的费用分担问题，通过污水处理站的选取，来做到费用最低。

通过资源配置最优化为杠杆平衡它们之间的分配关系。

决策者要通过概念抽象、关系分析可将各类影响因子放入规划模型中，可以通过相关的计算机软件得到兼顾全局的最优解，而我们主要使用的软件为SPSS。

分配问题是运筹学的一个重要分支，我们在解决此类分配问题的时候也使用了运筹学的知识，它在解决工业生产组织、经济计划、组织管理人机系统中，都发挥着重要的作用。

本题的求解是一个典型的分配问题，我们模型的使用范围非常广泛，涉及到投资时，有限的资金如何分配到各种投资方式上以及较公平的费用分担问题上，我们的模型下均能较好的解决。

当然了，在实际工厂选址时，要兼顾距离原料区和服务区的路程而不仅仅只考虑简单的三点一线距离模型，费用分担也不能仅仅依据污水量的比例来分担，还应该考虑污水的成分，排污时间和工厂的实际情况。

尽管如此，规划模型在工业、商业、交通运输、工程技术、行政管理等领域依然有着广泛的应用。

参考文献
【1】邓维斌、唐兴艳等著，SPSS 19统计分析实用教程，电子工业出版社（2012）
【2】蔡常丰编著，数学模型建模分析，科学出版社(1995)
【3】刘来福、曾文艺编，数学模型与数学建模，北京师范大学出版杜(1997)
【4】管宇著，生活中的数学数学建模，浙江工商大学出版社（2013）
【5】寿纪麟等编，数学建模--方法与范例，西安交通大学出版社(1993)
附表1
管道影响排污量影响
建站费（万
元）
116.1052097 125.2021112 125.18
214.1367859 197.9277858 195.8
273.191126 272.7852 265.21
308.423958 312.8973466 332.56
329.4401763 338.2198813 322.93
358.3362475 350.5205232 372.63
376.5671176 362.6033444 363.29
392.9598234 386.1718249 374.56
410.7905679 420.2054981 430.18
461.6789876 473.9996147 459.29
附表2-各个方案的总费用
建站费
总费用方案一管道费建站费A 建站费B 建站费B
A,B,C各自
建
0 213.9459249 145.0913686 258.7336704 617.770964
方案二
管道费A-B
20km 管道总长影
响的建站费
排污量
影响的建站
费
总和的建站
费
建站费3
A,B联合,C
自建
35.16307613 264.7295605 286.4743321 284.2998549 258.7336704 578.1966015
方案三管道A-C 60km 管道总
长影响的建站费
排污量
影响的建站
费
总和的建站
费
建站费B
B自建，A,C
联合
156.3654165 429.7646412 374.4828202 380.0110023 145.0913686 681.4677875
方案四
管道费
B-C 40km
管道总
长影响的建
站费
排污量
影响的建站
费
总和的
建站费
建站费A
A自建，B，C
联合
84.19313349 363.8501481 325.6850414 329.5015521 213.9459249 627.6406105 方案五管道费建站费
A,B,C
一起建
156.3654165 431.2369024 587.602319。