概率论与数理统计 C 试题8

题 八
1．一批由同样原料织成的布，用五种不同的染整工艺处理，然后进行缩水试验，设每种工艺处理4块布样，测得缩水率的结果如下表
布样号 缩 水 率
1A
2A
3A
4A
5A
1 2 3 4
4.3 7.8 3.2 6.5
6.1
7.3 4.2 4.1
6.5 8.3 8.6 8.2
9.3 8.7 7.2 10.1
9.5 8.8 11.4 7.8
问不同的工艺对布的缩水率是否有显著的影响(0.01)α=
解 123455,4,20m n n n n n n =======，查附表5得
0.010.01(1,)(4,15) 4.89F m n m F --==.
序号 1A
2A
3A
4A
5A
1
m
i =∑
2
1(147.9)
20
P =
⨯ 1093.72=
1149.25Q = 1170.92R =
e S R Q =-
21.67=
A S Q P =-
55.53=
S R P =-
77.2=
1 2 3
4
4.3 7.8 3.2 6.5
6.1
7.3 4.2 4.1 6.5
8.3 8.6 8.2
9.3 8.7 7.2 10.1 9.5 8.8 11.4 7.8
1
i
n ij
j X =∑
21.8
21.7 31.6 35.3 37.5 147.9
2
1i n ij j X =⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
∑
475.24
470.89 998.56 1246.09 1406.25 4597.03 2
11i
n ij j i X n =⎛
⎫ ⎪
⎪⎝⎭
∑
131.82
112.24
252.34
316.03
358.49
1149.25
2
1
i
n ij
j X =∑
131.82 112.24 252.34 316.03 358.49 1170.92
方差分析表 方差来源 平方和 自由度 均方
F 值
工 艺 误 差 55.53 21.67 4 15 13.8825 1.4447 9.6095** 总 和
77.20
19
因为9.6095 4.89>，所以工艺对缩水率有显著影响.
2．灯泡厂用4种不同配料方案制成的灯丝生产了四批灯泡，今从中分别抽样进行使用寿命的试验，得到下表的结果（单位：小时），问这几种配料方案对使用寿命有无显著影响？（0.01α=）
试验号
寿 命
A
2A 3A 4A
1 2 3 4 5 6 7 8
1600 1610 1650 1680 1700 1720 1800 —
1850 1640 1640 1700 1750 — — —
1460 1550 1600 1620 1640 1660 1740 1820
1510
1520 1530 1570 1600 1680 — —
解
12
3
4
4
,7
,5,
8,6,
26
m n n n n n ==
=
===，查附表5得0.010.01(1,)(3,22) 4.82F m n m F --==
为简化计算从上表的试验结果中都减去1600再除以10得下表
寿命
序号
1A 2A 3A 4A
41
i =∑
1 2 3 4 5 6 7 8
0 1 5 8 10 12 20 25 4 4 10 15 –14 –5 0 2 4 6 14 22 –9 –8 –7 –3 0 8 1
i
n ij j X =∑
56
58 29 –19 124 2
1i n ij j X =⎛⎫∑ ⎪⎝⎭ 3136
3364
841
361
2
1
1i
n ij j i X n =⎛⎫∑ ⎪⎝⎭
448 672.8 105.125 60.167 1286.092
2
1
n
ij j X =∑
734
982 957 264 2937
2
1(124)591.38526
P ==
，1286.092Q =，2937R =
1650.90e S R Q '=-=
，1
16.509100e e S S '==
694.707A S Q P '=-=，
1
6.947100
A A
S S '== 方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均方 F 值 配 料 误 差 6.947 16.509 3 22 2.313 0.727 3.18 总 和
23.456
25
因为0.013.18 4.82(3,22)F F =<=，故不显著.
3．在单因素试验方差分析模型式（9.2）中，i μ是未知参数(1,2,,)i m = ，求i μ的点估计和区间估计.
解 因为2~(,)i i X N μσ，所以i μ的点估计为ˆ,1,2,,i i X i m μ
⋅== . 由定理9.1知2
2
/~()e S n m σ
χ-，
再由定理6.1知i X ⋅与22
1
1()1
i
n i
ij
i j i
S X X n ⋅==
--∑相
互独立，又由ij X 独立，知i X ⋅与2
221
2
,,,m
S S S 独立，从而2
1
(1)m
e i
i i S n
S ==-∑与i X ⋅独立，
又
()~(0,1)i i i
X n N μσ
⋅-
由t 分布的定义知
()~()i i i
e
X n t n m S μ⋅--
其中 /()e e S S n m =-
对于给定的α，查t 分布表求出临界值/2()t n m α-，使
/2()1i i
i e X P n t n m S αμα⋅
⎛
⎫
- ⎪<-=- ⎪⎝
⎭
在上式括号内将i μ暴露出来得i μ在置信度1α-下的置信区间
/2/2(),
()
.e e i i i
i S S X t n m X t n m n n αα⋅⋅⎛
⎫
--+- ⎪ ⎪⎝
⎭
4．在单因素试验方差分析模型式（9.2）中，2σ是未知参数，试证 2
e S n m
σ
=
-是2
σ
的无偏估计，且2σ的1α-下的置信区间为
2
2
/2
1/2,.()()e
e
S S n m n m ααχχ-⎛⎫
⎪--⎝⎭
证：因为2
2
/~()e S n m σ
χ-，所以2
(/)e E S n m σ=-，即
2
()e E S n m σ=-
于是
21e e S E ES n m n m
σ⎛⎫== ⎪
--⎝⎭ 故
e S n m
-是2
σ的无偏估计；
因为2
2
/~()e S n m σ
χ-
所以对于给定的α，查2
χ分布表求出临界值2/2()n m αχ-和21/2()n m αχ--使得
2
2
1/2/22
(()())1e
S P n m n m ααχχασ
--<
<-=-
式中将2σ暴露出来得
2
22
/21/21()
()e e
S S P n m n m αασαχχ-⎛⎫
<<
=- ⎪--⎝⎭
故2σ的置信度为1α-下的置信区间为
2
2
/2
1/2,.()()e
e
S S n m n m ααχχ-⎛⎫
⎪--⎝⎭
证毕 5．验证式（9.24）的解 ,a b 能使2
1
(,)()n
i
i i Q a b y
a bx ==--∑达到最小值.
证： ,a
b 是函数2
1
(,)()n
i
i i Q a b y
a bx ==--∑的驻点. 而 2
2
2
2
2
2
1
1
2,2,
2n
n
i i i i Q Q Q A n B X C X a
a b
b
==∂∂∂=
==
==
=∂∂∂∂∑∑
2
22
114n n i i i i A C B n X X ==⎡⎤⎛⎫∆=-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
∑∑
由柯西不等式知0∆>，而0,0A C >>所以 (,)a
b 是(,)Q a b 的极小点，而(,)Q a b 存在最小值，故 ,a
b 能使(,)Q a b 达到最小值. 6．利用定理9.2证明，在假设0:0H b =成立的条件下，统计量
~(2)xx b t L t n S
=
-
并利用它检验9.2中例1所得的回归方程的显著性(0.01)α=
证：因为2
~(,)xx
b
N b L σ
所以
~(0,1)xx b
b L N σ
-
在0:0H b =成立的条件下~(0,1)xx b
L N σ
又
2
2
2
(2)~(2)n S
n χσ
--
由t 分布的定义知
2
2
~(2)(2)/(2)
xx
xx b
L b t L t n S
n S
n σ
σ
=
=
--- . 证毕
今利用t 统计量检验回归方程的显著性.
27.156 6.056 6.133118.734
xx b t L S
=
=
=
对于给定的0.01α=查t 分布表得临界值0.01(10) 2.7638t =. 因为0.016.133 2.738(10)t t =>=，所以回归方程显著. 7．利用定理9.2证明回归系数b 的置信区间为
/2/2
(2),
(2)xx
xx
S S b t n b t n L L αα⎛
⎫
⎪--+- ⎪⎝
⎭
并利用这个公式求9.2中例1的回归系数b 的置信区间（置信度为0.95）. 解 由定理9.2知
~(2)xx b b t L t n S -=
-
对于给定的α，查t 分布表求出临界值/2(2)t n α-，使
/2/2{(2)(2)}1xx b b P t n L t n S
ααα---<
<-=-
在上式的大括号内，将b 暴露出来得
/2/2
{(2)(2)}1xx xx
S S P b t n b b t n L L ααα--<<+-=-
故b 的置信度为1α-下的置信区间为
/2/2
(2),(2)x x x x
S S
b t n b t n L L
αα⎛
⎫
⎪--+-
⎪⎝⎭ 证毕 在例1中 27.156b = 12n =，10.897S =， 6.056xx L =
.025
(10)
2.228
t =. 所以b 的置信度为0.95下的置信区间为(17.291,37.021)
8．在钢线碳含量(%)x 对于电阻(20y ℃时，微欧）效应的研究中，得到以下的数据
x
0.01 0.30 0.40 0.55 0.70 0.80 0.95 y
15
18 19 21 22.6 23.8
26
设对于给定的,x y 为正态变量，且方差与x 无关. （1）求线性回归方程 y a
bx =+ ; （2）检验回归方程的显著性；
（3）求b 的置信区间（置信度为0.95）；
（4）求y 在0.50x =处的置信度为0.95的预测区间. 解 我们用下表进行计算
序号 x
y
2
x
2
y
xy
1 2 3 4
0.10 0.30 0.40 0.55
15 18 19 21
0.01 0.09 0.16 0.3025
225 324 361 441
1.5 5.4 7.6 11.55
6 7
0.70 0.80 0.95 22.6 23.8 26 0.49 0.64 0.9025 510.76 566.44 676 15.82 19.04 24.7 ∑
3.8 145.4 2.595 310
4.2 8
5.61 平均
0.543
20.77
0.543x =,
20.77y = 7
2
2
17 2.595 2.0640.531xx i
i L x
x ==-=-=∑,
7
2
2
173104.23019.7584.45yy i i L y y ==-=-=∑
, 7
1
785.6178.947
6.663
x y i i i L x y x y ==
-=-
=∑
, （1） 12.55xy xx
L b
L == , 13.95a y bx =-= ， 所以回归方程为 13.95
12.5
5.y x =+ （2）我们用方差分析表来检验回归方程的显著性
方 差 分 析 表
方差来源
平方和
自由度 均 方
F 值
回 归 83.62U = 1 83.62U = 503.61U Q
=
剩 余 0.831Q =
5 0.166Q =
总 和
84.45yy L =
6
其中 ,,
2
xy
yy Q U bL Q L U Q n ==-=
- .
查F 分布表求出临界值0.01(1,5)16.62F = 因为 0.0
1
503.6116.62(1,5),
F F =>= 所以回归方程高度显著.
（3）由第7题知，b 的置信度为1α-下的置信区间为
/2/2(2),(2)xx xx
S S b t n b t n L L αα⎛
⎫
⎪--+- ⎪⎝⎭
此
处
.02
5
12
.55
,7,
0.
05,(
5)2
b
n t α===
= , 2()yy xy S L bL =- /(2)0.166n -=.
所以b 的置信度为0.95下的置信区间为（11.112, 13.987）
（4）0.0257,0.53,0.531,0.407,(5) 2.5706xx n x L s t =====, 00.50x =. 2
00/2
()1()(1)1xx
x x x t n S n L αδ-=-++
2
1(0.50.543)
2.57060.40711.12
70.531
-=⨯
⨯++=
013.95
12.550.52
0.225y =+⨯= 故y 在0.50x =处的置信度为0.95的置信区间为
00((0.5),(0.5))(19.105,21.345)y y δδ-+=
9．在硝酸钠3()N aN O 的溶解度试验中，对不同的温度t C 测得溶解于100ml 水中的硝酸钠质量Y 的观测值如下：
i t 0 4 10 15 21 29 36 51 68
i y
66.7 71.0 76.3 80.6 85.7 92.9 99.6 113.6 125.1
从理论知Y 与t 满足线性回归模型式（9.20） （1）求Y 对t 的回归方程；
（2）检验回归方程的显著性(0.01)α=；
（3）求Y 在25t =℃时的预测区间（置信度为0.95）. 解 计算表如下
序号 i t
i y
2
i t
2
i y
i i t y
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 4 10 15 21 29 36 51 68 66.7 71.0 76.3 80.6 85.7 92.9 99.9 113.6 125.1 0 16 100 225 441 841 1296 2601 4624 4448.89 5041.00 5821.69 6496.36 7344.49 8630.41 9980.01 12904.96 15560.01 0 284 763 1209 1799.7 2694.1 3596.4 5793.6 8506.8 ∑
234
811.8
10144
76317.82
24646.6
26,90.2
t y ==
9
22
191014460844060,tt i
i L t
t ==-=-=∑
9
1924646.6
21106.8
3539.8
t y i i i L t y t y ==-=-=∑
, 9
2
2
1
976317.8273224.363093.46yy i i L y y ==
-=-=∑
0.87187,67.5313,
ty
tt
L b a
y bt L ===-= 2
()/71.0307,1.0152
y y t y
S L b L S =-== （1）Y 对t 的回归方程为
67.53130.87187
y t =+； （2）方差分析表如下
平方和 自由度 均 方 F 值
回 归 3086.25 1 3086.25 3086.251.03
=2996.36
剩 余 7.21 7 1.03 总 和
3093.46
8
查F 分布表求出临界值0.01(1,7)12.25F =
因 0.012996.3612.25(1,7)F F =>>=，故方程高度显著. （3） 067.53130.871872589.3281y =+⨯= 2
0/2()1(25)(2)1tt
t t t n S n
L αδ-=-⨯⨯+
+
2.36461.0152
1.05=⨯
⨯=
Y 在25t =℃时的置信度为0.95下的预测区间为
00((25),(25))(86.79,91.85))y y δδ-+=.
10．某种合金的抗拉强度Y 与钢中含碳量x 满足线性回归模型式（9.20）今实测了92组数据(,)(1,2,,92)i i x y i = 并算得 0.1255,45.7989,0.3018,2941.0339,26.5097
x x
y y
x y
x y L L L ==
=== （1）求Y 对x 的回归方程；
（2）对回归方程作显著性检验(0.01)α=；
（3）当含碳量0.09x =时求Y 的置信度为0.95的预测区间；
（4）若要控制抗拉强度以0.95的概率落在（38，52）中，那么含碳量x 应控制在什么范围内？
解 （1） 87.8386,34.7752,xy xx
L b
a
y bx L ===-= 所以回归方程为
34.775287.8386y x =+；
（2）2328.575xy
U bL == 612.4589yy Q L U =-= 方 差 分 析 表
方差来源 平方和 自由度 均方
F 值
回 归 2328.58 1 2328.58 2328.586.8051
=
342.1815
剩 余 612.459 90 6.8051 总 和 2941.034
91
查F 分布表求出临界值0.01(1,90) 6.85F =
因 0.0
1
342.18156.85(1,90)F F =>
=，故方程高度显著.
（3）
034.775287.83860.0942.681y =+⨯= 因为92n =是很大的，0x 又接近x ，所以取
(0.09) 1.96 1.96 6.805 5.113S δ=⨯=⨯=
故当0.09x =时Y 的信度为0.95下的置信区间为（37.567, 47.794）； （4）由 3834.7752
1.9687.8S x =-⨯+ 得 0.09492x '= 5234.7751.96
87.8S x =+
⨯+ 0.1379
x ''= 于是x 的控制范围为（0.09492, 0.1379）
11．电容器充电后，电压达到100V ，然后开始放电，设在i t 时刻，电压U 的观察值为
i u ，具体数据如下.
i t
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 i u
100 75
55
40
30
20
15
10
10
5
5
（1）画出散点图；
（2）用指数曲线模型bt U ae =来似合U 与t 的关于，求,a b 的估计值. 解 （1）
（2）由bt
U ae =，两边取对数得ln ln u a bt =+ 令
l n ,
l n y u A a
==
得线性模型 y A b t
=+ 序号 i t
i y
2
i t
2
i y
i i x y
1 0 4.605 0 21.208 0
2 1 4.317 1 18.641 4.317
3 2 4.007
4 16.059 8.014 4 3 3.689 9 13.608 11.067
5 4 3.401 1
6 11.568 13.604 6 5 2.996 25 8.974 14.98
7 6 2.70
8 36 7.334 16.248 8 7 2.303 4
9 5.302 16.121 9 8 2.303 64 5.302 18.424 10
9
1.609
81
2.590
14.481
U 0 2 4 6 8
10 80 60 40 20
100 t
10 1.609 100 2.590 16.09 ∑
55
33.547
385
113.176
133.346
5t =, 3.05y = 385275
11
tt L =-
= 133.346167.7534ty L =-=- 113.176
33.55
79
yy L =-= ∴ 34.4040.3128110
b =-=- ，
3.051.564
4.6
14A =+=， 故 100.887A a e ==，即,a b 的估计值分别为 100.887a
=，0.3128b =- .。