最新高考-高考数学随机事件的概率2 精品

10.5随机事件的概率
一、明确复习目标
1.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义;
2.了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.
二．建构知识网络
1.事件的定义：
随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件.
2.随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率m n
总
是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P(A).
3.概率的性质：(由定义知,0≤m ≤1,01m
n
≤
≤) ∴ 0()1P A ≤≤; 必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0.
必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形.
4.等可能性事件：如果一次试验中有n 个可能的结果——称为基本事件，且每个基
本事件出现的可能性都相等，即每个基本事件的概率都是
1
n
，这种事件叫等可能性事件. 5.等可能性事件的概率：在等可能事件中,如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的
概率()m
P A n
=.
6.求概率的方法:
(1)等可能性事件的概率,步骤:
①明确事件A 的意义,确定是否等可能性事件. ②求出一次实验可能出现的结果的总数n;
求m,n 时,要注意是否与顺序、位置有关，是“有放回”还是“无放回”抽取，正确排列、组合公式或计数原理求出分母n 和分子m;(分子、分母可以与顺序同时有关或无关，解题时可以灵活处理)。

③用等可能性事件概率公式P =
n
m
求出概率值. (2)通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率. 三、双基题目练练手
1.(2005广东)先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、
4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则1log 2=Y X 的概率为 （ ）
A ．
6
1
B ．
36
5 C ．
12
1 D ．
2
1 2. (2006安徽)在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰．．．三角形的概率为 （ ）
A ．
1
7
B ．
2
7
C ．
37 D ．47
3.（2006江西）将7个人(含甲、乙)分成三个组，一组3人，另两组各2人，不同的
分组数为a ，甲、乙分在同一组的概率为P ，则a 、P 的值分别为 （ ）
A ．5105,21a P ==
B . 4105,21a P ==
C . 5210,21a P ==
D . 4
210,21
a P ==
4. (2004辽宁)口袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字
1，若从袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是 .
5．在两个袋中各装有分别写着0，1，2，3，4，5的6张卡片.今从每个袋中任取一张卡片，则取出的两张卡片上数字之和恰为7的概率为________.
6.将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为________;
7.把4个不同的球任意投入4个不同的盒子内（每盒装球数不限），则 恰有一个空盒的概率等于_______.
◆练习简答:A; 3. a=C 73C 42
÷2=105, 12354525
10521
C C C p ÷+=
=，选A 4.数字和可是0、1、4、5，概率为1441
5555510111363C C C C C +++= ; 5. P =1
6
16C C 4⋅=91
. 6.分母为33
963!C C ⋅÷，求分子时先确定一组有:（123）
，（135），（147），（159），再定另两组…,答:
56
1
. 7.选一盒空C 41种，把4球分三组C 42种,再把三组放入三盒有A 33种,故恰有一个空盒的结果数为
C 41C 42A 33,所求概率
P （A ）=123443
4C C A 4
=169.
四、经典例题做一做
【例1】一个口袋里共有2个红球和8个黄球，从中随机地接连取3个球，每次取一个.
设{恰有一个红球}=A ，{第三个球是红球}=B .求在下列条件下事件A 、B 的概率.
（1）不返回抽样；（2）返回抽样. 解：（1）不返回抽样, P （A ）=
3
10
2
8
1312A A C C =157
, (与顺序有关),或12
28310715
C C C = (与顺序无关) P （B ）=
310
2912A A C =
5
1. （2）返回抽样, P （A ）=C 13
102（108）2=12548, P （B ）=3
2
121010C ⨯= 51.
【例2】 某油漆公司发出10桶油漆，其中白漆5桶，黑漆3桶，红漆2桶.在搬运
中所有标签脱落，交货人随意将这些标签重新贴上，问一个定货3桶白漆、2桶黑漆和1桶红漆的顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？
解：随意贴上的标签等于没贴标签,从10桶油漆中随意取.
P （A ）=
6
10
12
2335C C C C =
7
2. 答：顾客按所定的颜色得到定货的概率是
7
2. 【例3】将甲、乙两颗骰子先后各抛一次,a 、b 分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所出现的点数.
（1）若a+b<4的事件记为A ,求事件A 的概率;
（2）若点P （a ,b ）落在直线x +y=m （m 为常数）上,且使此事件的概率最大,求m 的值.
解：（1）基本事件总数为6×6=36. 当a =1时,b =1,2,3;
当a =2时,b =1,2;
当a =3时,b =1.
共有（1,1）,（1,2）,（1,3）,（2,1）,（2,2）,
（3,1）6个点适合题设,
∴P （A ）=366=6
1
. （2）由表可知,m=7所含的基本事件最多,
发生的概率最大此时P =366= 6
1
最大.
【例4】 （2004全国Ⅱ）已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A 、B 两组，每组4支.求：
（1）A 、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率； （2）A 组中至少有两支弱队的概率.
解:（1）A 组中恰有两支弱队,或一只弱队,概率为
2213353548C C 6C 7C C +=,(也可按对立事件求: 115
4
8C 62C 7-⨯=) （2）解法一：A 组中至少有两支弱队的概率为2231
35354
8C C 1
C 2
C C += (也可分为互斥的的两部分算:
48
2
523C C C +
48
1533C C C =
2
1) 解法二：A 、B 两组有一组至少有两支弱队的概率为1，由于对A 组和B 组来说，至少有两支弱队的概率是相同的，所以A 组中至少有两支弱队的概率为
2
1. 【研讨.欣赏】
（1）从0、2、4、6、8这五个数字中任取2个，从1、3、5、7、9这五个数字中任取1个。

能组成多少个没有重复数字的三位数？在这些三位数中任取一个恰好能被5整除的概率是多少？
（2）从1、2、3……10这10个数字中有放回的抽取3次，每次抽取一个数字，求三次抽取中最小数是3的概率。

解：（1）若取0则有2212151411A A C C C =80个三位数，若不取0，则有3
31524A C C =180，所以共有80+180=260个三位数；而被5整除的三位数为：若0为个位数的有22151411A C C C =40个，若5为个位数，则含0有141111C C C =4个，不含0有1224=A 个，所以是5的倍数共
有40+4+12=56个。

故所求的概率P=
65
14
26056=。

答：在这些三位数中任取一个恰好能被5整除的概率是。

65
14 （2）有放回都抽取3次共有3
10个结果，因最小的数是3可分为：恰有一个3的有
2137⋅C 个，恰有2个3的有723⋅C 个，恰有3个3的有3
3C 个，所以所求概P=169.010
773
3
3
23213=+⋅+⋅C C C 。

答：三次抽取中最小数有3的概率169.0．
◆提炼方法：等可能性事件的概率,只需求出分母和分子,关键是确定“分子”条件,正确运用排列组合、计数原理算出分子的数目。

五．提炼总结以为师
1． 正确理解概率的概念，
2． 熟练掌握等可能性事件概率的求法;
3．
准确理解题意,合理设计解题方案,灵活简洁地运算,谨防重复遗漏．
同步练习
10.5随机事件的概率
【选择题】
1. (2006福建6)在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同。

从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于 ( )
A.
2
7
B.
3
8
C.
3
7
D.
928
2.从1，2，…，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是 ( )
A .
95 B .94 C .2111 D .2110 3．（2004重庆）某校高三年级举行的一次演讲比赛共有10位同学参加,其中一班有3位,二班有2位,其他班有5位.若采取抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学不排在一起的概率为 ( )
A .
101 B .201 C .401 D .120
1
3．甲、乙二人参加法律知识竞赛,共有12个不同的题目,其中选择题8个,判断题4个.甲、乙二人各依次抽一题,则甲抽到判断题,乙抽到选择题的概率是 （ ）
A .
256 B .2521 C .338 D .3325 【填空题】
4．(2005重庆)某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为 .
5．(2005上海)某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外35人选修B 课程.从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是__________.（结果用分数表示）
6.用数字1，2，3，4，5组成五位数，其中恰有4个相同数字的概率等于_______.
◆练习简答：1-3.A CB;
2.抽取3个数全为偶数,或2个奇数1个偶数,概率为
39
2
5
1434C C C C +=
21
11
. 3.10位同学总参赛次序A 1010.先将一班3人捆在一起A 33,与另外5人全排列A 6
6,二班
2位同学插空
A 2
7
,即
A 33A 66A 27
.所求概率
1010
2
76633A
A A A =
20
1
. 4．分母46，分子C 61C 52A 44,所求概率为
128
45
； 5. 73; 6. P =5
1
514155C C C =1254.
【解答题】
7．某产品中有7个正品，3个次品，每次取一只测试，取后不放回，直到3只次品全被测出为止，求经过5次测试，3只次品恰好全被测出的概率。

解：“5次测试”相当于从10只产品中有序的取出5只产品，共有5
10A 种等可能的基本事件，“3只次品恰好全被测出”指5件中恰有3件次品，且第5件是次品，共有224734C C A 种，所以所求的概率为224
7345
101
20
C C A A =。

8.把编号为1到6的六个小球，平均分到三个不同的盒子内，求：
（1）每盒各有一个奇数号球的概率； （2）有一盒全是偶数号球的概率.
解：6个球平均分入三盒有C 26C 24C 2
2种等可能的结果.
（1）每盒各有一个奇数号球的结果有A 33A 33种，
所求概率P （A ）=22
24463
333C C C A A =
5
2
. （2）有一盒全是偶数号球的结果有（C 23C 13）
·C 24C 2
2， 所求概率P （A ）=2
2
24262
2
241323C C C C C )C (C ⋅=
5
3
. 9．从男生和女生共36人的班级中任意选出2人去完成某项任务，这里任何人当选的机会都是相同的，如果选出的2人有相同性别的概率是2
1
，求这个班级中的男生，女生各有多少人?
解： 设此班有男生n 人(n ∈N,n ≤36)，则有女生(36-n)人，
从36人中选出有相同性别的2人，只有两种可能，即2人全为男生，或2人全为女生.
从36人中选出有相同性别的2人，共有(C n 2
+C 36-n 2
)种选法.
因此，从36人中选出2人，这2人有相同性别的概率为2
36
2362C C C n
n -+ 依题意，有2
36
2
362C C C n
n -+＝21 经过化简、整理，可以得到
n 2
-36n+315＝0.
所以n ＝15或n ＝21，它们都符合n ∈N ，n<36.
答：此班有男生15人，女生21人；或男生21人，女生15人.
10.甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题.
（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？
（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ 分析：（1）是等可能性事件，求基本事件总数和A 包含的基本事件数即可.（2）分类或间接法，先求出对立事件的概率.
解：（1）基本事件总数甲、乙依次抽一题有C 1
10C 19种，事件A 包含的基本事件数为
C 16C 1
4
，故甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率为19
1101
416C C C C =
15
4
. （2）A 包含的基本事件总数分三类：
甲抽到选择题,乙抽到判断题有C 16C 1
4；
甲抽到选择题,乙也抽到选择题有C 16C 15; 甲抽到判断题,乙抽到选择题有C 14C 16.
共C 16C 14+C 16C 15+C 14C 16. 基本事件总数C 110C 19，
∴甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为:
1
9
11016
1415161416C C C C C C C C ++=
15
13
或P （A ） =19
1101
314C C C C =
152，P （A ）=1－P （A ）=15
13.
【探索题】某人有5把钥匙，一把是房门钥匙，但忘记了开房门的是哪一把.于是，他逐把不重复地试开，问：
（1）恰好第三次打开房门锁的概率是多少？ （2）三次内打开的概率是多少？
（3）如果5把内有2把房门钥匙，那么三次内打开的概率是多少？
解：5把钥匙，逐把试开有A 55种等可能的结果.
（1）第三次打开房门,须把能开房门的钥匙放在第三位,结果有A 44种，
因此第三次打开房门的概率P （A ）=5544
A A =51
.(另法2
43
515
A A =) （2）三次内打开房门的结果有
3A 44
种，因此，所求概率P （A ）=
55
44A A 3=
5
3
. （3）法1：三次内打开的结果包括：三次内恰有一次打开的结果有C 12A 13A 12A 3
3种；三次内恰有2次打开的结果有A 23A 33种.因此，
三次内打开的结果有C 12A 13A 12A 33+A 23A 33种，所求概率
P （A ）=
55
3
3
2333121312A A A A A A C +=
10
9
. 法2:只计算三次,分只有一次打开,恰有两次打开:12221233333
59
10
C A A A A A +=.
法3：因5把内有2把房门钥匙，故三次内打不开的结果有A 33A 2
2种，从而三次内
打开的结果有
A 55－A 3
3A 22
种，所求概率P （A ）=
55
2
2
3355A A A A -=
10
9
.。