【专业资料】新版高中数学人教A版选修1-1习题：第三章 导数及其应用 检测(B) 含解析

第三章检测(B)
(时间:90分钟满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是()
A.y=sin x
B.y=x e2
C.y=x3-x
D.y=ln x-x
2.设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0,π
4
],
则点P横坐标的取值范围为()
A.[-1,-1
2
]B.[−1,0]
C.[0,1]
D.[1
2
,1]
P(x0,y0),倾斜角为α,由题意知y'=2x+2,则点P处的切线斜率k=tan α=2x0+2∈[0,1],解得x0∈
[-1,-1
2
].
3.设直线y=1
2
x+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则实数b的值为()
A.ln 2-1
B.ln 2-2
C.2ln 2-1
D.2ln 2-2
k=1
2,故y'=(ln x)'=1
x
=1
2
,得切点的横坐标为2,则切点坐标为(2,ln
2).由点(2,ln 2)在直线y=1
2x+b上,得b=ln 2−1
2
×2=ln 2-1.
4.对任意的x∈R,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是()
A.0≤a≤21
B.a=0或a=7
C.a<0或a>21
D.a=0或a=21
f'(x)=3x2+2ax+7a=0,当Δ=4a2-84a≤0,即0≤a≤21时,f'(x)≥0恒成立,函数不存在极值点.
5.
函数f (x )=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图,f'(x )为函数f (x )的导函数,则不等式x ·f'(x )<0的解集为( ) A.(-∞,−√3)∪(0,√3)B.[2,3) C.(-1,2]
D .(32,9
4)
f (x )的图象可知,x<−√3时,f'(x )>0;−√3<x <√3时,f'(x )<0;x >√3时,f'(x )>0;
又xf'(x )<0⇔{x >0,f '(x )<0或{x <0,
f '(x )>0,
故解集为(0,√3)∪(-∞,−√3).
6.设函数f (x )=13
x −ln x(x >0),则y =f(x)( ) A.在区间(1
e ,1),(1,e)内均有零点 B.在区间(1e ,1),(1,e)内均无零点
C.在区间(1e ,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点
D.在区间(1e ,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点
f'(x )=x -3
3x ,令f'(x )>0,得x>3;令f'(x )<0,得0<x<3;令f'(x )=0,得x=3,故知函数f (x )在区间(0,3)内为减函数,在区间(3,+∞)内为增函数,在点x=3处有极小值1-ln 3<0;又f (1)=1
3>0,f(e)=e
3−1<0,f (1
e )=1
3e +1>0,故函数f (x )在区间(1
e ,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点.
7.已知函数f (x )=e x -2x+a 有零点,则实数a 的最大值是( ) A.2ln 2-1 B.2ln 2-2
C.4ln 2-2
D.4ln 2-4
(x )=e x -2,由f'(x )=0,得x=ln 2.当x<ln 2时,f'(x )<0;当x>ln 2时,f'(x )>0.所以f (x )min =f (ln 2)=2-2ln 2+a.因为函数f (x )有零点,所以f (x )min ≤0,即2-2ln 2+a ≤0,所以a ≤2ln 2-2.
8.若不等式2x ln x ≥-x 2+ax-3恒成立,则实数a 的取值范围是( )
A.(-∞,0)
B.(-∞,4]
C.(0,+∞)
D.[4,+∞)
x ln x≥-x2+ax-3恒成立,即a≤2ln x+x+3
x 恒成立.设h(x)=2ln x+x+3
x
,则h'(x)=(x+3)(x-1)
x2
(x>0).
当x∈(0,1)时,h'(x)<0,函数h(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,函数h(x)单调递增,故当x=1时,h(x)取最小值h(1)=4.即a≤4.
9.已知e是自然对数的底数,若函数f(x)=e x-x+a的图象始终在x轴的上方,则实数a的取值范围为()
A.[-2,2]
B.(-∞,-2)∪(2,+∞)
C.(-1,+∞)
D.(-∞,-2]∪[2,+∞)
f'(x)=e x-1,由f'(x)>0,得x>0,
∴f(x)在(-∞,0)内是减函数,在(0,+∞)内是增函数.∴f(x)min=f(0)=a+1.
∵函数f(x)的图象在x轴上方,∴a+1>0,a>-1.
10.若函数f(x)=cos x+2xf′(π
6),则f(-π
3
)与f(π
3
)的大小关系是()
A.f(-π
3)=f(π
3
)B.f(-π
3
)>f(π
3
)
C.f(-π
3)<f(π
3
)D.不确定
f'(x)=-sin x+2f′(π
6
),
∴f′(π
6)=−sinπ
6
+2f′(π
6
),f′(π
6
)=1
2
,f′(x)=−sin x+1.
∵当x∈(-π
2,π
2
)时,f'(x)>0,
∴f(x)=cos x+x在(-π
2,π
2
)内是增函数.
又−
π
2<−
π
3<
π
3<
π
2,∴f(-
π
3)<f(
π
3).
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11.若曲线y=xα+1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=.
k=2-0
1-0
=2,且y'=αxα-1,
所以y'|x=1=α,故α=2.
12.函数f(x)=x2-2x-4ln x的单调递增区间是.
(x)=2x-2−4=2x 2-2x-4
=2(x2-x-2)(x>0),令f'(x)>0,得x>2.
+∞)
13.已知函数f(x)=x3-3x+m在区间[-3,0]上的最大值与最小值的和为-1,则实数m的值为.
(x)=3x2-3,由f'(x)=0,得x=±1.
∵f(-3)=-18+m,f(-1)=2+m,f(1)=-2+m,f(0)=m,∴f(x)min=-18+m,f(x)max=2+m.
∴-18+m+2+m=-1,∴m=15
2
.
14.已知α,β∈[-π
2,π
2
],且αsin α−βsin β>0,则α与β的关系是.
f(x)=x sin x,则f'(x)=sin x+x cos x,当x∈[0,π
2]时,f'(x)>0,f(x)在[0,π
2
]上是增函数,且f(x)是偶函
数.
由αsin α-βsin β>0,得f(α)>f(β),
故|α|>|β|,即α2>β2.
2>β2
15.若函数f(x)=x+a sin x在R上单调递增,则实数a的取值范围为.
f'(x)=1+a cos x,∴要使函数f(x)=x+a sin x在R上单调递增,则1+a cos x≥0对任意实数x都成立.
由-1≤cos x≤1,知
①当a>0时,-a≤a cos x≤a,
∴-a≥-1,∴0<a≤1;
②当a=0时,显然成立;
③当a<0时,a≤a cos x≤-a,
∴a≥-1,∴-1≤a<0.
综上所述,-1≤a≤1.
-1,1]
三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(8分)设2
3<a<1,函数f(x)=x3−3
2
ax2+b(−1≤x≤1)的最大值为1,最小值为−√6
2
,求常数a,b.
(x )=3x 2-3ax=3x (x-a ).
由f'(x )=0,得x 1=0,x 2=a.
f (0)=b ,f (a )=−
a 3
+b,f(−1)=−1−3a +b,f(1)=1−3a +b.
因为2<a <1,所以f (a )=−a 3+b <b,f(1)=1−3a +b <b.所以最大值为f (0)=b=1.
所以f (x )的最小值为f (-1)=-1−3
2a +b =−3
2a, 所以−3a =−
√6
,即a =
√6
.故a =
√6
,b =1.
17.(8分)设函数f (x )=x+ax 2+b ln x ,曲线y=f (x )过点P (1,0),且在点P 处的切线斜率为2. (1)求a ,b 的值; (2)求证:f (x )≤2x-2.
(x )=1+2ax +b
.
由已知条件得{f (1)=0,f '(1)=2,即{1+a =0,
1+2a +b =2.
解得a=-1,b=3.
(x )的定义域为(0,+∞),
由(1)知f (x )=x-x 2+3ln x. 设g (x )=f (x )-(2x-2)=2-x-x 2+3ln x , 则g'(x )=-1-2x +3
x =−
(x -1)(2x+3)
x
. 当0<x<1时,g'(x )>0;当x>1时,g'(x )<0.
故g (x )在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减.因为g (1)=0,所以当x>0时,g (x )≤0,即f (x )≤2x-2. 18.(9分)已知a ∈R ,函数f (x )=2x 3-3(a+1)x 2+6ax. (1)若a=1,求曲线y=f (x )在点(2,f (2))处的切线方程; (2)若|a|>1,求f (x )在闭区间[0,2|a|]上的最小值.
当a=1时,f (x )=2x 3-6x 2+6x ,f'(x )=6x 2-12x+6,所以f'(2)=6.
又因为f (2)=4,所以切线方程为y-4=6(x-2),即6x-y-8=0. (2)记g (a )为f (x )在闭区间[0,2|a|]上的最小值. f'(x )=6x 2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a ). 令f'(x )=0,得x 1=1,x 2=a. 当a>1时,
f (x ) 0 ↗ 3a-1 ↘ a 2(3-a ) ↗ 4a 3
比较f (0)=0和f (a )=a 2(3-a )的大小可得g (a )={0,1<a ≤3,
a 2(3-a ),a >3.
当a<-1时,
得g (a )=3a-1.
综上所述,f (x )在闭区间[0,2|a|]上的最小值为g (a )={3a -1,a <-1,
0,1<a ≤3,a 2(3-a ),a >3.
19.(10分)(2016·北京高考)设函数f (x )=x 3+ax 2+bx+c. (1)求曲线y=f (x )在点(0,f (0))处的切线方程;
(2)设a=b=4,若函数f (x )有三个不同零点,求c 的取值范围; (3)求证:a 2-3b>0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件.
f (x )=x 3+ax 2+bx+c ,得f'(x )=3x 2+2ax+b.
因为f (0)=c ,f'(0)=b ,所以曲线y=f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y=bx+c.
a=b=4时,f (x )=x 3+4x 2+4x+c ,
所以f'(x )=3x 2+8x+4. 令f'(x )=0,得3x 2+8x+4=0, 解得x=-2或x=−2
3.
f (x )与f'(x )在区间(-∞,+∞)上的情况如下:
所以,当c>0且c −32
27<0时,存在x 1∈(-4,-2),x 2∈(-2,-2
3),x3∈(-2
3,0),使得f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)=0. 由f (x )的单调性知,当且仅当c ∈(0,32
27)时,函数f (x )=x 3+4x 2+4x+c 有三个不同零点.
Δ=4a 2-12b<0时,f'(x )=3x 2+2ax+b>0,x ∈(-∞,+∞),此时函数f (x )在区间(-∞,+∞)上单调递增,所以f (x )不可能有三个不同零点.
当Δ=4a2-12b=0时,f'(x)=3x2+2ax+b只有一个零点,记作x0.
当x∈(-∞,x0)时,f'(x)>0,f(x)在区间(-∞,x0)上单调递增;
当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在区间(x0,+∞)上单调递增.所以f(x)不可能有三个不同零点.
综上所述,若函数f(x)有三个不同零点,则必有Δ=4a2-12b>0.
故a2-3b>0是f(x)有三个不同零点的必要条件.
当a=b=4,c=0时,a2-3b>0,f(x)=x3+4x2+4x=x(x+2)2只有两个不同零点,所以a2-3b>0不是f(x)有三个不同零点的充分条件.
因此a2-3b>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.
20.(10分)设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R.
(1)若f(x)在x=3处取得极值,求常数a的值;
(2)若f(x)在(-∞,0)内为增函数,求a的取值范围.
f'(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-a)(x-1).
因为f(x)在x=3处取得极值,
所以f'(3)=6(3-a)(3-1)=0,解得a=3.
经检验知,当a=3时,x=3为f(x)的极值点.
(2)令f'(x)=6(x-a)(x-1)=0,解得x1=a,x2=1.
当a<1时,若x∈(-∞,a)∪(1,+∞),则f'(x)>0,
即f(x)在(-∞,a)和(1,+∞)内为增函数,
故当0≤a<1时,f(x)在(-∞,0)内为增函数;
当a≥1时,若x∈(-∞,1)∪(a,+∞),则f'(x)>0,即f(x)在(-∞,1)和(a,+∞)内为增函数,故当a≥1时,f(x)在(-∞,0)内为增函数.
综上所述,当a∈[0,+∞)时,f(x)在(-∞,0)内为增函数.。