探究高阶行列式的计算方法

【摘要】行列式是数学中重要的计算工具之一，而高阶行列式的计算比较复杂，其基本方法和技巧是化零和降阶。

本文从行列式的定义、数学归纳法、展开定理、求根法、以及分块矩阵法等得到计算行列式的几种方法，其思想方法对于一般高阶行列式的求解有一定的参考意义。

【关键词】化零；降阶；递推；分块矩阵
行列式的计算是行列式理论最重要的方面，n阶行列式是比较复杂的一种，下面除行列式计算的传统方法，还给出一些较新颖的方法，利用这些方法可以开阔思路快速解题。

一、应用定义计算
例1：计算n阶行列式
分析：该行列式零元素很多，只有一项1、2、…、（n-1）、n 非零，而这n 个元素行下标按自然顺序排列，则下标排列为n、（n-1）、（n-2）、…、2、1，由行列式的定义可得：dn=（-1）r（n（n-1）（n-2）…2.1）n！=（-1）[（n-1）（n-2）]/2n！
二、数学归纳法
假设要证明dn=[b+（n-1）a]（b-a）n-1，则可对n用数学归纳法。

当n=1时，dn=d1=|b|=[b+（n-1）a]（b-a）n-1
当n=2时，dn=d2=||ba bb||=b2-a2=（b+a）（b-a）=[b+（2-1）a]（b-a）2-1=[b+（n-1）a]（b-a）n-1
当n=k时，假设dn=dk=[b+（k-1）a]（b-a）k-1成立，则当n=k+1时，有递推法中的递推式可知，dk+1=（b-a）dk+a（b-a）k
再由假设可得：dk+1=（b-a）[b+（k-1）a]（b-a）k-1+a（b-a）k=[b+（k-1）a+a]（b-a）k=[b+（k
+1-1）a]（b-a）k-1-1
所以，当n=k+1时亦成立。

因此，对一切自然数n，dn=[b+（n-1）a]（b-a）n-1都成立。

三、利用行列式按行（或列）展开定理
行列式按某一行（或某一列）展开也是计算行列式的重要方法，这种方法常在某一行（列）元素0比较多时运用。

例2：计算n阶行列式
按第一列展开有dn=xn+（-1）n+1yn
四、求根法
假设
显然dn=f（b）?f（x）是一个首系数为1的n次多项式，当x=a和x=-（n-1）a时，由前述部分可知，f（x）=0。

所以，它们是方程f（x）=0的根。

为确定其根的重数，我们对f （x）求导，得
d
f'（x）=―dx
由上式可知，f'（a）=0，同理可知，f''（a）=f'''（a）=…=fn（a）=0，即x=a是方程f（x）=0的n-1次重根，所以，x=-（n-1）a是方程的单根。

因此，f（x）可表示为：f （x）=a0（x-a）n-1[x+（n-1）a]
考虑到f（x）的首项系数为1。

即a0=1。

所以，f（x）即为：f（x）=[x+（n-1）a]（x-a）n-1。

当x=b时，可得：dn =f（b）=[b+（n-1）a]（b-a）n-1
实际上在计算行列式中，上述几种方法可以同时交叉使用，最终目的是使行列式的运算
简洁、方便、正确。