上海市浦东新区21-22学年高一上学期期末数学试卷(含答案解析)

上海市浦东新区21-22学年高一上学期期末数学试卷
班级：_________ 姓名：_________ 分数：_________
一、单选题（本大题共4小题，共12分）
1、“a =12
”是“指数函数y =a x 在R 上是严格减函数”的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
2、任意x ∈R ，下列式子中最小值为2的是（ ）
A. x +1
x B. 2x +2−x C. x 2+2
x 2
D. √x 2+2+1
√x 2+2
3、已知log 189=a ，18b =5，则log 3645=（ ）
A.
a+b
2a
B.
a+b
a 2
C. a+b
2+a
D. a+b
2−a
4、我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数
的解析式来琢磨函数图像的特征，如函数f(x)=x 2
+a
|x|(a ∈R)的图像不可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共12小题，共36分）
5、已知全集U ={1,2,3,4,5}，集合A ={1,2,3}，则A −
=______． 6、函数y =ln
x−1
2−x
的定义域为______． 7、已知幂函数y =f(x)的图像过点(2,√2)，则f(3)=______．
8、当a <0时，求|a|+√a 66+2√a
33
的值______．
9、计算：2log 22+log 224−log 23=______．
10、在用反证法证明“已知a 3+b 3=2，求证：a +b ≤2”时应先假设______．
11、已知α、β是关于x 的方程x 2−2mx +m 2−4=0(m ∈R)的两个根，则|α−β|=______． 12、已知x >−3，则x +
1
x+3
的最小值为______． 13、若函数f(x)=x 3−x −1在区间[1,1.5]内的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下：
那么方程x 3−x −1=0的一个近似解为x =______(精确到0.1)．
14、若y =f(x)是奇函数，当x >0时，f(x)=log 2(2+x)，则f(−2)=______．
15、已知问题：“|x +3|+|x −a|≥5恒成立，求实数a 的取值范围”.两位同学对此问题展开讨论：
小明说可以分类讨论，将不等式左边的两个绝对值打开；小新说可以利用三角不等式解决问题． 请你选择一个适合自己的方法求解此题，并写出实数a 的取值范围______．
16、已知函数f(x)={2x +1,x ≤02,x >0，若f(a 2−2a)≤f(a −1)，则实数a 的取值范围是______．
三、解答题（本大题共5小题，共52分）
17、(本小题8.0分)
已知a ，b 都是正实数，求证：a 3+b 3≥a 2b +ab 2，并指出等号成立的条件． 18、(本小题8.0分)
设不等式|2x −1|≤3的解集为P ，不等式2≤2x ≤8的解集为Q ． (1)求集合P 、Q ；
(2)已知全集U =R ，求P ∩Q −
． 19、(本小题10.0分) 已知函数f(x)=
1
2x
+1
． (1)求函数f(x)的值域；
(2)求证：函数y =f(x)在R 上是严格减函数． 20、(本小题12.0分)
浦东某购物中心开业便吸引了市民纷纷来打卡(观光或消费)，某校数学建模社团根据调查发现：
(该购物中心开业一个月内(以30天计)，每天打卡人数P(x)与第x天近似地满足函数P(x)=8+k
x 万人)，k为正常数，且第8天的打卡人数为9万人．
(1)求k的值；
(2)经调查，打卡市民(含观光)的人均消费C(x)(元)与第x天近似地满足如表：
现给出以下三种函数模型：①C(x)=ax+b，②C(x)=a|x−22|+b，③C(x)=a x+b.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述打卡市民(含观光)的人均消费
C(x)(元)与第x天的关系，并求出该函数的解析式；
(3)请在问题(1)、(2)的基础上，求出该购物中心日营业收入f(x)(1≤x≤30,x为正整数)的最小值(单位：万元)．
(注：日营业收入=日打卡人数P(x)×人均消费C(x))．
21、(本小题14.0分)
已知函数f(x)=2x−4．
(1)求方程f(x)=3的解；
x+λ在x∈[2,4]上有实数解，求实数λ的取值范围；
(2)若关于x的方程f(x)=log1
2
(3)若x i(i=0,1,2,⋯,2021)将区间[1,3]划分成2021个小区间，且满足1=x0<x1<x2<⋯<
x2021=3，使得和式|f(x1)−f(x0)|+|f(x2)−f(x1)|+|f(x3)−f(x2)|⋯+|f(x2021)−
f(x2020)|≤M恒成立，试求出实数M的最小值并说明理由．
参考答案及解析
1.答案：A
解析：由a =1
2，可得指数函数y =a x =(1
2
)x 在R 上是严格减函数，故充分性成立；
由指数函数y =a x 在R 上是严格减函数，可得0<a <1，不能推出a =12
，故必要性不成立， 故a =1
2
”是“指数函数y =a x 在R 上是严格减函数”的充分不必要条件， 所以选：A ．
由题意，利用充分条件、必要条件、充要条件的定义，指数函数的单调性，得出结论． 本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，指数函数的单调性，属于基础题．
2.答案：B
解析：选项A ：当x <0时，则x +1
x <0，所以最小值不为2，故A 错误，
选项B ：因为2x +2−x ≥2√2x ⋅2−x =2，当且仅当2x =2−x ， 即x =0时取等号，此时取得最小值为2，故B 正确，
选项C ：因为x 2+2x 2≥2√x 2⋅2x 2
=2√2，当且仅当x 2=2x 2， 即x 2=√2时取等号，此时最小值不为2，故C 错误， 选项D ：因为√x 2+2+√x 2+2
≥2√√x 2+2⋅
1
√x 2+2
=2，
当且仅当√x 2+2=√
x 2+2
，即x 2=−1时取等号，
显然不成立，故D 错误， 所以选：B ．
利用基本不等式对各个选项逐个判断即可求解．
本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
3.答案：D
解析：∵log 189=1−log 182=a ， ∴log 182=1−a ，且b =log 185， ∴log 3645=log 1845
log 18
36=
log 189+log 185
1+log 182
=a+b
2−a ．
所以选：D ．
根据条件可求出log 182=1−a ，b =log 185，从而得出log 3645=
log 189+log 1851+log 182
=a+b
2−a ．
本题考查了对数的运算性质，对数的换底公式，考查了计算能力，属于中档题．
4.答案：A
解析：函数的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，易知函数f(x)为偶函数， 当x >0时，若a =0时，f(x)=x 2，选项B 符合，
当a >0时，f(x)=x 2+a x =x 2+a 2x +a 2x ≥3√x 2⋅a 2x ⋅a 2x 3
=3√a 24
3，
当且仅当x 2=a
2x ，即x =√a
2
3
时取等号，选项D 符合，
当a <0时，f(x)=x 2+a
x 在(0,+∞)上单调递增，
当f(x)=x 2+a
x =0时，解得x =√−a 3，有且只有一个零点，选项C 符合， 所以选：A ．
易知函数为偶函数，只要研究当x >0时即可，分a =0，a >0，a <0，根据函数单调性即可判断． 本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性和单调性是关键，属于中档题．
5.答案：{4,5}
解析：∵全集U ={1,2,3,4,5}，集合A ={1,2,3}， ∴A −
={4,5}． 所以答案为：{4,5}． 利用补集的定义直接求解．
本题考查集合的运算，考查补集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.答案：(1,2)
解析：要使原函数有意义，则x−12−x
>0，
∴x−1
x−2<0，解得1<x <2． ∴函数y =ln
x−1
2−x
的定义域为(1,2)． 所以答案为：(1,2)．
由对数函数的真数大于0，求解分式不等式得答案． 本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
7.答案：√3
解析：设幂函数f(x)=x α，
∵幂函数y =f(x)=x α的图像过点(2,√2)，
∴f(2)=2α=√2，解得α=1
2， ∴f(x)=√x ， 则f(3)=√3， 所以答案为：√3．
幂函数y =f(x)=x α的图像过点(2,√2)，列方程求出α=1
2，从而f(x)=√x ，由此能求出f(3)．
本题考查函数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.答案：0
解析：a <0时，|a|+√a 66+2√a
33
=−a +|a|+2a =−a −a +2a =0， 所以答案为：0．
根据根式的运算性质以及a 的符号求出代数式的值即可． 本题考查了根式的运算性质，考查转化思想，是基础题．
9.答案：5
解析：原式=2+log 28=2+3=5． 所以答案为：5． 进行对数的运算即可．
本题考查了对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
10.答案：a +b >2
解析：在用反证法证明“已知a 3+b 3=2，求证：a +b ≤2”时应先假设a +b >2． 故答案：a +b >2．
利用反证法证题的第一步，从要证结论的反面出发，提出假设得答案．
本题主要考查反证法证题的步骤，正确找出要证结论的对立面是关键，是基础题．
11.答案：4
解析：根据题意，α、β是关于x 的方程x 2−2mx +m 2−4=0(m ∈R)的两个根， 则α+β=2m ，αβ=m 2−4， 则|α−β|2=(α+β)2−4αβ=16， 故|α−β|=4； 所以答案为：4．
根据题意，由根与系数的关系可得α+β=2m ，αβ=m 2−4，由此变形可得答案．
本题考查二次方程根与系数的关系，涉及因式的恒等变形，属于基础题．12.答案：−1
解析：因为x>−3，则x+3>0，
所以x+1
x+3=x+3+1
x+3
−3≥2√(x+3)⋅1
x+3
−3=2−3=−1，
当且仅当x+3=1
x+3
，即x=−2时取等号，
此时取得最小值为−1，
所以答案为：−1．
利用基本不等式以及配凑法即可求解．
本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
13.答案：1.3
解析：根据题意，由表格可得：函数f(x)=x3−x−1的零点在(1.3125,1.3475)之间，
故方程x3−x−1=0的一个近似解为x=1.3；
所以答案为：1.3．
根据题意，由列表分析f(x)=x3−x−1的零点所在的区间，由近似解的要求分析可得答案．本题考查二分法的应用，注意函数零点判定定理，属于基础题．
14.答案：−2
解析：根据题意，当x>0时，f(x)=log2(2+x)，则f(2)=log24=2，
又由f(x)为奇函数，则f(−2)=−f(2)=−2；
所以答案为：−2．
根据题意，由函数的解析式求出f(2)的值，结合函数为奇函数分析可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
15.答案：(−∞,−8]∪[2,+∞)
解析：∵|x+3|+|x−a|≥|x−a−x−3|=|3+a|，
∴要使|x+3|+|x−a|≥5恒成立，则|a+3|≥5即可，
∴a+3≥5或a+3≤−5，解得a≥2或a≤−8，
即实数a的取值范围是(−∞,−8]∪[2,+∞)，
所以答案为：(−∞,−8]∪[2,+∞)．
利用三角不等式的性质进行转化求解即可．
本题主要考查绝对值不等式的求解，利用三角不等式的性质是解决本题的关键，是基础题．。