中考数学二轮复习数学平行四边形的专项培优易错试卷练习题含答案

中考数学二轮复习数学平行四边形的专项培优易错试卷练习题含答案
一、选择题
1．如图，在Rt △ABC 中，∠A=30°，BC=2，点D ，E 分别是直角边BC ，AC 的中点，则DE 的长为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．23
2．将个边长都为1cm 的正方形按如图所示的方法摆放，点分别是正方形对角线的交点，则2019个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
3．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，DC 的中点，P 为对角线AC 上的一个动点，则下列线段的长等于BP EP +最小值的是( )
A ．A
B B ．CE
C ．AC
D ．AF
4．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，对角线AC 、BD 交于点O ，∠AOD ＝120°，E 为BD 上任意点，P 为AE 中点，则PO ＋PB 的最小值为 （ ）
A 3
B ．13
C 7
D ．3
5．如图，四边形ABCD 中，,,,AC a BD b AC BD ==⊥顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形1111D C B A ，再顺次连接四边形1111D C B A 各边中点，得到四边形2222A B C D ...如此进行下去，得到四边形.n n n n A B C D 则下列结论正确的个数有（ ） ①四边形1111D C B A 是矩形；②四边形4444A B C D 是菱形；③四边形5555A B C D 的周长为
4a b +； ④四边形n n n n A B C D 的面积是12
n ab +．
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个 6．如图，
E 是边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 上一点，且AE AB =，
F 为BE 上任意一点，F
G AC 于点G ，F
H AB ⊥于点H ，则FG FH +的值是（ ）
A ．22
B ．2
C ．2
D ．1
7．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE =30°，AB =3 ，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（ ）
A ．3
B ．3
C ．2
D ．23
8．如图，四边形ABCD 为平行四边形，D ∠为锐角，BAD ∠的平分线AE 交CD 于点F ，交BC 的延长线于点E ，且AF FE =．若25AB =，ABCD 面积为300，则AF 的长度为（ ）
A ．30
B ．15
C ．40
D ．20
9．如图，在等腰Rt ABC △中，908C AC ∠==°，，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD CE =．连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，下列结论：
①DFE △是等腰直角三角形； ②四边形CDFE 不可能为正方形，
③DE 长度的最小值为4； ④四边形CDFE 的面积保持不变；
⑤△CDE 面积的最大值为8．其中正确的结论是（ ）
A ．①②③
B ．①④⑤
C ．①③④
D ．③④⑤
10．如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E 且AB AE =，延长AB 与DE 的延长线相交于点F ，连接AC 、CF .下列结论：①ABC EAD △≌△；②ABE △是等边三角形；③BF AD =；④BEF ABC S S =△△；⑤CEF ABE S S =△△；其中正确的有( )
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
二、填空题
11．在平行四边形ABCD 中，30,23,2A AD BD ∠=︒==，则平行四边形ABCD 的面积等于_____．
12．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，对角线长为1cm ，过点O 任作一条直线分别交AD ，BC 于E ，F ，则阴影部分的面积是_____．
13．如图，动点E F 、分别在正方形ABCD 的边AD BC 、上，AE CF =，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连接BG ，若4AB =，则线段BG 长的最小值为_________．
14．如图，直线1l ，2l 分别经过点(1,0)和(4,0)且平行于y 轴．OABC 的顶点A ，C 分别在直线1l 和2l 上，O 是坐标原点，则对角线OB 长的最小值为_________．
15．如图，菱形ABCD 的边长是4，60ABC ∠=︒，点E ，F 分别是AB ，BC 边上的动点（不与点A ，B ，C 重合），且BE BF =，若//EG BC ，//FG AB ，EG 与FG 相交于点G ，当ADG 为等腰三角形时，BE 的长为________．
16．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝8，AC ＝6，以BC 为一边作正方形BDEC 设正方形的对称中心为O ，连接AO ，则AO ＝_____．
17．菱形ABCD 的周长为24，∠ABC=60°，以AB 为腰在菱形外作底角为45°的等腰△ABE ，连结AC ，CE ，则△ACE 的面积为___________.
18．已知：一组邻边分别为6cm 和10cm 的平行四边形ABCD ，DAB ∠和ABC ∠的平分线分别交CD 所在直线于点E ，F ，则线段EF 的长为________cm ．
19．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 为AD 的延长线上一点，且DE ＝DC ，点P 为边
AD 上一动点，且PC ⊥PG ，PG ＝PC ，点F 为EG 的中点．当点P 从D 点运动到A 点时，则CF 的最小值为___________
20．如图，在平行四边形ABCD 中，5
3AB AD ==，，BAD ∠的平分线AE 交CD 于点E ，连接BE ，若BAD BEC ∠=∠，则平行四边形ABCD 的面积为__________．
三、解答题
21．如图，矩形OBCD 中，OB ＝5，OD ＝3，以O 为原点建立平面直角坐标系，点B ，点D 分别在x 轴，y 轴上，点C 在第一象限内，若平面内有一动点P ，且满足S △POB ＝13S 矩形OBCD ，问：
（1）当点P 在矩形的对角线OC 上，求点P 的坐标；
（2）当点P 到O ，B 两点的距离之和PO +PB 取最小值时，求点P 的坐标．
22．综合与探究
（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE =．CE 和CF 之间有怎样的关系．请说明理由．
（2）如图2，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，G 是AD 上一点，如果
45GCE ∠=︒，请你利用（1）的结论证明：GE BE CD =+．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3在直角梯形ABCD 中，//()AD BC BC AD >，90B ∠=︒，12AB BC ==，E 是AB 上一点，且45DCE ∠=︒，4BE =，求DE 的长．
23．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH DE
⊥交DG的延长线于点H，连接BH．
=；
（1）求证：GF GC
（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．
24．已知：在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C 重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，BD与CF的位置关系为__________；CF、BC、CD三条线段之间的数量关系____________________．
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请你写出CF、BC、CD三条线段之间的数量关系并加以证明；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：
①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．
△的形状，并说明理
②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究AOC
由．
25．如图，矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，∠A 的角平分线交边CD 于点E ．点P 从点A 出发沿射线AE 以每秒2个单位长度的速度运动，Q 为AP 的中点，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ，在射线AE 的下方作平行四边形PQHM （点M 在点H 的右侧），设P 点运动时间为t 秒．
（1）直接写出AQH 的面积（用含t 的代数式表示）．
（2）当点M 落在BC 边上时，求t 的值．
（3）在运动过程中，整个图形中形成的三角形是否存在全等三角形？若存在，请写出所有全等三角形，并求出对应的t 的值；若不存在请说明理由（不能添加辅助线）．
26．如图．正方形ABCD 的边长为4，点E 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AD 运动，运动时间为t 秒（t ＞0），以AE 为一条边，在正方形ABCD 左侧作正方形AEFG ，连接BF ．
（1）当t ＝1时，求BF 的长度；
（2）在点E 运动的过程中，求D 、F 两点之间距离的最小值；
（3）连接AF 、DF ，当△ADF 是等腰三角形时，求t 的值．
27．如图，锐角ABC ∆，AB AC =，点D 是边BC 上的一点，以AD 为边作ADE ∆，使
AE AD =，EAD BAC ∠=∠．
（1）过点E 作//EF DC 交AB 于点F ，连接CF （如图①）
①请直接写出EAB ∠与DAC ∠的数量关系；
②试判断四边形CDEF 的形状，并证明；
（2）若60BAC ∠=，过点C 作//CF DE 交AB 于点F ，连接EF （如图②），那么（1）②中的结论是否任然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．
28．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD =90°，AB =AD =10cm ，BC =8cm 。

点P 从点A 出发，以每秒3cm 的速度沿折线ABCD 运动，点Q 从点D 出发，以每秒2cm 的速度沿线段DC 方向向点C 运动。

已知动点P ，Q 同时出发，当点Q 运动到点C 时，P ，Q 运动停止，设运动时间为t 秒.
（1）求CD 的长.
（2）t 为何值时？四边形PBQD 为平行四边形.
（3）在点P ，点Q 的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ 的面积为20cm 2
？若存在，请求出所有满足条件的t 的值；若不存在，请说明理由.
29．已知三角形纸片ABC 的面积为48，BC 的长为8．按下列步骤将三角形纸片ABC 进行裁剪和拼图：
第一步：如图1，沿三角形ABC 的中位线DE 将纸片剪成两部分．在线段DE 上任意．．取一点F ，在线段BC 上任意．．
取一点H ，沿FH 将四边形纸片DBCE 剪成两部分； 第二步：如图2，将FH 左侧纸片绕点D 旋转180°，使线段DB 与DA 重合；将FH 右侧纸片绕点E 旋转180°，使线段EC 与EA 重合，再与三角形纸片ADE 拼成一个与三角形纸片ABC 面积相等的四边形纸片．
图1 图2
（1）当点F ，H 在如图2所示的位置时，请按照第二步的要求，在图2中补全拼接成的四边形；
（2）在按以上步骤拼成的所有四边形纸片中，其周长的最小值为_________．
30．如图，在矩形ABCD 中，AB a ，BC b =，点F 在DC 的延长线上，点E 在AD 上，且有12
CBE ABF ∠=∠．
（1）如图1，当a b =时，若60CBE ∠=︒，求证：BE BF =；
（2）如图2，当32
b a =
时， ①请直接写出ABE ∠与BFC ∠的数量关系：_________； ②当点E 是AD 中点时，求证：2CF BF a +=；
③在②的条件下，请直接写出:BCF ABCD S S ∆矩形的值．
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一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据直角三角形的性质求出AB ，根据三角形中位线定理计算即可.
【详解】
解：在Rt △ABC 中，∠A=30°，
∴AB=2BC=4，
∵D，E分别是直角边BC，AC的中点，
∴
1
2
2
DE AB
==，故选：D.
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为n-1阴影部分的和．由此即可解答.
【详解】
由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的，即一个阴影部分的面积为
如图，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4，
∴n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n-1），
∴2019个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为×（2019-1）=．
故选B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
连接DP，当点D，P，E在同一直线上时，由△PCF≌△PCB可得DP=BP,BP EP
+的最小值为DE长，依据△ADF≌△DCE，AF=DE,即可得到BP EP
+最小值等于线段AF的长.
【详解】
解：如图，连接DP ，
∵PC=PC, ∠PCD=∠PCB=45°
∴△PCF ≌△PCB
∴BP=DP
∴BP+PE =DP+PE
∴当点D ，P ，E 在同一直线上时，BP EP +的最小值为DE 长，
又∵AB=CD ，∠ADF=∠ECD ，DF=EC ，
∴△ADF ≌△DCE
∴AF=DE ，
∴BP EP +最小值等于线段AF 的长，
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是轴对称，最短路线问题，根据题意作出A 关于BD 的对称点C 是解答此题的关键．
4．C
解析：C
【分析】
设M 、N 分别为AB 、AD 的中点，则MN 为△ABD 的中位线，点P 在MN 上，作点O 关于MN 的对称点'O ，连接'BO ，则'BO 即为PO ＋PB 的最小值，易证△ABO 为等边三角形，过点A 作AH ⊥BO 于H ，求出AH OO ='，然后利用勾股定理求出BO 即可．
【详解】
解：如图，设M 、N 分别为AB 、AD 的中点，则MN 为△ABD 的中位线，
∵P 为AE 中点，
∴点P 在MN 上，
作点O 关于MN 的对称点'O ，连接'BO ，
∴OP OP ='，
∴PO ＋PB =BP O P BO +=''，
∵四边形ABCD 是矩形，∠AOD =120°，
∴OA =OB ，∠AOB =60°，
∴△AOB 为等边三角形，
∴AB =BO =4，
过点A 作AH ⊥BO 于H ，
∴2221=3AH =-，
∵MN ∥BD ，点H 关于MN 的对称点为A ，点O 关于MN 的对称点为'O ，
∴3AH OO =='，且OO BD ⊥'，
∴2222+=2+(3)=7BO BO OO =''，
即PO ＋PB 的最小值为7，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了利用轴对称求最短路径，矩形的性质，三角形中位线定理，等边三角形的判定及性质，勾股定理的应用，通过作辅助线，得出'BO 为PO ＋PB 的最小值是解题关键．
5．A
解析：A
【分析】
首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD 中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：
①根据矩形的判定与性质作出判断；
②根据菱形的判定与性质作出判断；
③由四边形的周长公式：周长=边长之和，来计算四边形A 5B 5C 5D 5的周长；
④根据四边形A n B n C n D n 的面积与四边形ABCD 的面积间的数量关系来求其面积．
【详解】
解：如下图，连接连接A 1C 1，B 1D 1，
∵在四边形ABCD 中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1， ∴A 1D 1∥BD ，B 1C 1∥BD ，C 1D 1∥AC ，A 1B 1∥AC ；
∴A 1D 1∥B 1C 1，A 1B 1∥C 1D 1，
∴四边形A 1B 1C 1D 1是平行四边形，
∵AC 丄BD ，
∴四边形A 1B 1C 1D 1是矩形，故①正确；
∴B 1D 1=A 1C 1（矩形的两条对角线相等）；
∴A 2D 2=C 2D 2=C 2B 2=B 2A 2（中位线定理），
∴四边形A 2B 2C 2D 2是菱形；
依次类推，可知当n 为奇数时四边形A n B n C n D n 是矩形，当n 为偶数时四边形A n B n C n D n 是菱形，故②正确； 根据中位线的性质可知，
553311553311111111,248248
A B A B A B AC B C B C B C BD ======， ∴四边形A 5B 5C 5D 5的周长是1
2()84a b a b +⨯+=
， 故③正确；
∵四边形ABCD 中，AC=a ，BD=b ，且AC 丄BD ，
∴S 四边形ABCD =ab÷2；
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半， 四边形A n B n C n D n 的面积是
1
2n ab +， 故④正确；
综上所述，①②③④正确．
故选：A ．
【点睛】
本题考查中点四边形，中位线定理，菱形的性质和判定，矩形的性质和判定．理解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题关键． 6．B
解析：B
【分析】
过点E 作EM ⊥AB ，连接AF ，先求出EM ，由S △ABE ＝
12AB•EM ＝12AE•GF+12
A B•FH ，可得FG+FH=EM ，则FG+FH 的值可求．
【详解】
解：如图，过点E 作EM ⊥AB ，连接AF ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠ACB=45°，
∴△AEM 是等腰直角三角形，
∵AB=AE=2，
∴222224AM EM EM AE +===
∴EM ＝2， ∵S △ABE =S △AEF +S △ABF ，
∴S △ABE ＝12AB•EM ＝12AE•G F+12
AB•FH ， ∴EM=FG+FH=2；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，运用面积法得出线段的和差关系是解题的关键．
7．B
解析：B
【解析】
试题分析：由三角函数易得BE ，AE 长，根据翻折和对边平行可得△AEC 1和△CEC 1为等边三角形，那么就得到EC 长，相加即可．
解：连接CC 1.
在Rt △ABE 中,∠BAE =30°,AB 3
∴BE =AB ×tan30°=1,AE =2,∠AEB 1=∠AEB =60°，
∵四边形ABCD 是矩形
∴AD ∥BC ，
∴∠C 1AE =∠AEB =60°，
∴△AEC 1为等边三角形，
同理△CC 1E 也为等边三角形，
∴EC =EC 1=AE =2，
∴BC =BE +EC =3，
故选B.
8．B
解析：B
【分析】
由题意先根据ASA 证明△ADF ≌△ECF ，推出300ABE ABCD S S ==，再证明BE=AB=25，根据等腰三角形三线合一的性质得出BF ⊥AE ．设AF=x ，BF=y ，由∠ABF ＜∠BAF 可得x ＜y ，进而根据勾股定理以及△ABE 的面积为300列出方程组并解出即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AD//BC 即AD//BE ，AB//CD ，
∴∠DAF=∠E ．
在△ADF 与△ECF 中，
DAF E AF EF
AFD EFC ⎧⎪⎨⎪∠∠∠⎩
∠＝＝＝， ∴△ADF ≌△ECF （ASA ），
∴ADF ECF S S =△△，
∴300ABE ABCD S S ==．
∵AE 平分∠BAD ，
∴∠BAE=∠DAF ，
∵∠DAF=∠E ，
∴∠BAE=∠E ，
∴BE=AB=25，
∵AF=FE ，
∴BF ⊥AE ．
设AF=x ，BF=y ，
∵∠D 为锐角，
∴∠DAB=180°-∠D 是钝角，
∴∠D ＜∠DAB ， ∴12∠ABC ＜12
∠DAB ， ∴∠ABF ＜∠BAF ，
∴AF ＜BF ，x ＜y ． 则有222
2
2520013x y x y ⎧+⎪⎨⎪⎩＝＝，解得：1520x y ⎧⎨⎩＝＝或2015x y ＝＝（舍去）， 即AF=15．
故选：B ．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质和勾股定理等知识．由题意证明出300ABE ABCD S S ==以及BF ⊥AE 是解题的关键．
9．B
解析：B
【分析】
①连接CF ，证明△ADF ≌△CEF ，得到△EDF 是等腰直角三角形；
②根据中点的性质和直角三角形的性质得到四边形CDFE 是菱形，利用正方形的判定定理进行判断；
③当DE 最小时，DF 也最小，利用垂线段的性质求出DF 的最小值，进行计算即可；
④根据△ADF≌△CEF，得到S四边形CEFD=S△AFC；
⑤由③的结论进行计算即可．
【详解】
①连接CF，
∵△ABC是等腰直角三角形，且F是AB边上的中点，
∴∠FCB=∠A=∠B =45°，CF=AF=FB，
∵AD=CE，
∴△ADF≌△CEF，
∴EF=DF，∠AFD=∠CFE，
∵∠AFD+∠CFD=90°，
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形，①正确；
②当D、E分别为AC、BC中点，即DF、EF分别为Rt△AFC和Rt△BFC斜边上的中线，
∴CD=DF=1
2
AC，FE=EC=
1
2
BC，
∴CD=DF=FE=EC，
四边形CDFE是菱形，又∠C=90°，
∴四边形CDFE是正方形，②错误；
③由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小，
当DF⊥AC时，DE最小，此时EF=DF=1
2
BC=4．
∴2222
4442
DF EF
+=+=
④∵△ADF≌△CEF，
∴S△CEF=S△ADF，
∴S四边形CEFD=S△AFC，
∴四边形CDFE的面积保持不变，④正确；
⑤由③可知当DE最小时，DF也最小，
DF的最小值是4，则DE的最小值为42
当△CEF面积最大时，此时△DEF的面积最小．
此时S△CEF=S四边形CEFD-S△DEF=S△AFC-S△DEF=16-8=8，⑤正确；
综上，正确的是：①④⑤，
故选：B．
【点睛】
本题考查了正方形的判定、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方
形的判定定理、全等三角形的判定定理和性质定理、理解点到直线的距离的概念是解题的关键．
10．B
解析：B
【分析】
由平行四边形的性质和角平分线的定义得出∠BAE =∠BEA ，得出AB =BE =AE ，得出②正确；由△ABE 是等边三角形得出∠ABE =∠EAD =60°，由SAS 证明△ABC ≌△EAD ，得出①正确；由S △AEC =S △DEC ，S △ABE =S △CEF 得出⑤正确；③和④不正确．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，AD =BC ，
∴∠EAD =∠AEB ，
又∵AE 平分∠BAD ，
∴∠BAE =∠DAE ，
∴∠BAE =∠BEA ，
∴AB =BE ，
∵AB =AE ，
∴△ABE 是等边三角形；②正确；
∴∠ABE =∠EAD =60°，
在△ABC 和△EAD 中，
AB AE ABE EAD BC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABC ≌△EAD （SAS ）；①正确；
∵△FCD 与△ABC 等底（AB =CD ）等高（AB 与CD 间的距离相等），
∴S △FCD =S △ABC ，
又∵△AEC 与△DEC 同底等高，
∴S △AEC =S △DEC ，
∴S △ABE =S △CEF ；⑤正确．
若AD 与BF 相等，则BF =BC ，
题中未限定这一条件，
∴③不一定正确；
若S △BEF =S △ACD ；则S △BEF =S △ABC ，
则AB =BF ，
∴BF =BE ，题中未限定这一条件，
∴④不一定正确；
正确的有①②⑤．
故选：B ．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积关系；此题比较复杂，注意将每个问题仔细分析．
二、填空题
11．43或23 【分析】
分情况讨论作出图形，通过解直角三角形得到平行四边形的底和高的长度，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：过D 作DE AB ⊥于E ，
在Rt ADE △中，
30A ∠=︒，23AD =， 132DE AD ∴==，332
AE AD ==， 在Rt BDE △中，2BD =，
22222(3)1BE BD DE ∴=-=-=，
如图1，
4AB ∴=，
∴平行四边形ABCD 的面积4343AB DE ==⨯=，
如图2，
2AB =，
∴平行四边形ABCD 的面积2323AB DE ==⨯=，
如图3，过B 作BE AD ⊥于E ，
在Rt ABE △中，设AE x =，则23DE x =，
30A ∠=︒，3BE x =，
在Rt BDE △中，
2BD =， 22232()(23)3x x ∴=+-， 3x ∴=，23x =（不合题意舍去），
1BE ∴=，
∴平行四边形ABCD 的面积12323AD BE ==⨯=，
如图4，
当AD BD ⊥时，平行四边形ABCD 的面积43AD BD ==，
故答案为：43或23．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的面积公式的运用、30度角的直角三角形的性质，根据题意作出图形是解题的关键．
12．218
cm 【分析】
根据正方形的性质可以证明△AEO ≌CFO ，就可以得出S △AEO =S △CFO ，就可以求出△AOD 面积等于正方形面积的
14
，根据正方形的面积就可以求出结论． 【详解】
解：如图：
∵正方形ABCD 的对角线相交于点O ，
∴△AEO 与△CFO 关于O 点成中心对称，
∴△AEO ≌CFO ，
∴S △AEO ＝S △CFO ，
∴S △AOD ＝S △DEO +S △CFO ，
∵对角线长为1cm ，
∴S 正方形ABCD ＝1112
⨯⨯＝12cm 2，
∴S△AOD＝1
8
cm2，
∴阴影部分的面积为1
8
cm2．
故答案为：1
8
cm2．
【点睛】
本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用正方形的面积及三角形的面积公式的运用，在解答时证明△AEO≌CFO是关键．
13．102
-
【分析】
连结AC，取OC中点M，连结 MB，MG，则MB，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．
【详解】
连接AC，交EF于O，
∵AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，
∵AE＝CF，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴OA＝OC，
∴O是正方形的中心，
∵AB＝BC＝4，
∴AC＝2OC＝2，
取OC中点M，连结 MB，MG，过点M作MH⊥BC于H，
∵MC＝1
2
OC2，
∴MH＝CH＝1，
∴BH＝4−1＝3，
由勾股定理可得MB22
31
+10
在Rt△GOC中，M是OC的中点，则MG＝1
2
OC2
∵BG≥BM−MG102，
当B ，M ，G 三点共线时，BG
，
．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，根据正方形的性质得出当E ，F 运动到AD ，BC 的中点时，MG 最小是解决本题的关键．
14．5
【分析】
过点B 作BD ⊥l 2，交直线l 2于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴，交x 轴于点E ．则
OABC 是平行四边形，所以OA=BC ，又由平行四边形的性质可推得∠OAF=∠BCD ，则可证明△OAF ≌△BCD ，所以OE 的长固定不变，当BE 最小时，OB 取得最小值，从而可求．
【详解】
解：过点B 作BD ⊥l 2，交直线x=4于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴，交x 轴于点E ，直线l 1与OC 交于点M ，与x 轴交于点F ，直线l 2与AB 交于点N ．
∵四边形OABC 是平行四边形，
∴∠OAB=∠BCO ，OC ∥AB ，OA=BC ，
∵直线l 1与直线l 2均垂直于x 轴，
∴AM ∥CN ，
∴四边形ANCM 是平行四边形，
∴∠MAN=∠NCM ，
∴∠OAF=∠BCD ，
∵∠OFA=∠BDC=90°，
∴∠FOA=∠DBC ，
在△OAF 和△BCD 中，
FOA DBC OA BC
OAF BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△OAF ≌△BCD （ASA ），
∴BD=OF=1，
∴OE=4+1=5，
∴
．
由于OE 的长不变，所以当BE 最小时（即B 点在x 轴上），OB 取得最小值，最小值为OB=OE=5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
15．8
3
或
4
43
3
-
【分析】
连接AC交BD于O，由菱形的性质可得AB=BC=4，∠ABD=30°，AC⊥BD，BO=DO，
AO=CO，可证四边形BEGF是菱形，可得∠ABG=30°，可得点B，点G，点D三点共线，由直角三角形性质可求BD=43，AC=4，分两种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解．【详解】
如图，连接AC交BD于O，
∵菱形ABCD的边长是4，∠ABC=60°，
∴AB=BC=4，∠ABD=30°，AC⊥BD，BO=DO，AO=CO，
∵EG∥BC，FG∥AB，
∴四边形BEGF是平行四边形，
又∵BE=BF，
∴四边形BEGF是菱形，
∴∠ABG=30°，
∴点B，点G，点D三点共线，
∵AC⊥BD，∠ABD=30°，
∴AO=1
2
AB=2，2222
4223
AB AO
--=
∴BD=3AC=4，
同理可求3BE，即
3
，
若AD=DG'=4时，
∴BG'=BD-DG'=434-， ∴BE'4344343
-==-； 若AG''=G''D 时，过点G''作G''H ⊥AD 于H ，
∴AH=HD=2，
∵∠ADB=30°，G''H ⊥AD ，
∴DG''=2HG''，
∵222HD HG''DG''+=，
解得：HG''23=，DG''=2HG''43=， ∴BG''=BD-DG''=438343-
=， ∴BE''=83
， 综上所述：BE 为
83或434-． 【点睛】
本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
16．72；
【分析】
连接AO 、BO 、CO ，过O 作FO ⊥AO ，交AB 的延长线于F ，判定△AOC ≌△FOB （ASA ），即可得出AO=FO ，FB=AC=6，进而得到AF=8+6=14，∠FAO=45°，根据AO=AF×cos45°进行计算即可．
【详解】
解：连接AO 、BO 、CO ，过O 作FO ⊥AO ，交AB 的延长线于F ，
∵O 是正方形DBCE 的对称中心，
∴BO=CO ，∠BOC=90°，
∵FO ⊥AO ，
∴∠AOF=90°，
∴∠BOC=∠AOF ，
即∠AOC+∠BOA=∠FBO+∠BOA ，
∴∠AOC=∠FBO ，
∵∠BAC=90°，
∴在四边形ABOC 中，∠ACO+∠ABO=180°，
∵∠FBO+∠ABO=180°，
∴∠ACO=∠FBO ，
在△AOC 和△FOB 中，
AOC FOB AO FO
ACO FBO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AOC ≌△FOB （ASA ），
∴AO=FO ，FB=FC=6，
∴AF=8+6=14，∠FAO=∠OFA=45°，
∴AO=AF×cos45°
=14×
2
=
故答案为．
【点睛】
本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质．本题的关键是通过作辅助线来构建全等三角形，然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算．
17．9
或1)．
【分析】
分两种情况画图，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理矩形计算即可．
【详解】
解：①如图1，延长EA 交DC 于点F ，
∵菱形ABCD 的周长为24，
∴AB=BC=6，
∵∠ABC=60°，
∴三角形ABC 是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
当EA ⊥BA 时，△ABE 是等腰直角三角形，
∴AE=AB=AC=6，∠EAC=90°+60°=150°，
∴∠FAC=30°，
∵∠ACD=60°，
∴∠AFC=90°，
∴CF=12
AC=3， 则△ACE 的面积为：12AE×CF=12
×6×3=9；
②如图2，过点A作AF⊥EC于点F，
由①可知：∠EBC=∠EBA+∠ABC=90°+60°=150°，∵AB=BE=BC=6，
∴∠BEC=∠BCE=15°，
∴∠AEF=45°-15°=30°，∠ACE=60°-15°=45°，
∴AF=1
2
AE，AF=CF=
2
2
AC=32
∵AB=BE=6，
∴AE=2
∴2236
AE AF
-=
∴EC=EF+FC=3632
则△ACE的面积为：1
2
EC×AF=
1
(3632)329(31)
2
⨯⨯=．
故答案为：9或31)．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
18．2或14
【分析】
利用当AB=10cm,AD=6cm，由于平行四边形的两组对边互相平行，又AE平分∠BAD，由此可以推出所以∠BAE=∠DAE，则DE=AD=6cm；同理可得：CF=CB=6cm，而EF=CF+DE-DC，由此可以求出EF长；同理可得：当AD=10cm,AB=6cm时，可以求出EF长
【详解】
解：如图1，当AB=10cm,AD=6cm
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=∠DAE，
又∵AD∥CB
∴∠EAB=∠DEA，
∴∠DAE=∠AED，则AD=DE=6cm
同理可得：CF=CB=6cm
∵EF=DE+CF-DC=6+6-10=2(cm)
如图2，当AD=10cm,AB=6cm,
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE
又∵AD∥CB
∴∠EAB=∠DEA，
∴∠DAE=∠AED则AD=DE=10cm
同理可得，CF=CB=10cm EF=DE+CF-DC=10+10-6=14（cm）
故答案为：2或14.
图1 图2
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义、平行四边形的性质、平行线的性质等知识，关键是平行四边形的不同可能性进行分类讨论．
19．22
【分析】
由正方形ABCD的边长为4，得出AB=BC=4，∠B=90°，得出AC=42，当P与D重合时，PC=ED=PA，即G与A重合，则EG的中点为D，即F与D重合，当点P从D点运动到A点时，则点F运动的路径为DF，由D是AE的中点，F是EG的中点，得出DF是△EAG 的中位线，证得∠FDA=45°，则F为正方形ABCD的对角线的交点，CF⊥DF，此时CF最
小，此时CF=1
2
AG=22．
【详解】
解：连接FD
∵正方形ABCD的边长为4，∴AB=BC=4，∠B=90°，
∴AC=2，
当P 与D 重合时，PC=ED=PA ，即G 与A 重合，
∴EG 的中点为D ，即F 与D 重合，
当点P 从D 点运动到A 点时，则点F 运动的轨迹为DF ，
∵D 是AE 的中点，F 是EG 的中点，
∴DF 是△EAG 的中位线，
∴DF ∥AG ，
∵∠CAG=90°，∠CAB=45°，
∴∠BAG=45°，
∴∠EAG=135°，
∴∠EDF=135°，
∴∠FDA=45°，
∴F 为正方形ABCD 的对角线的交点，CF ⊥DF ，
此时CF 最小，
此时CF=12AG=22； 故答案为：22．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．
20．102
【分析】
根据平行四边形的性质、角平分线的性质证明AD=DE=3，再根据BAD BEC ∠=∠证明BC=BE ，由此根据三角形的三线合一及勾股定理求出BF ，即可求出平行四边形的面积.
【详解】
过点B 作BF CD ⊥于点F ，如图所示．
∵AE 是BAD ∠的平分线，
∴DAE BAE ∠=∠．
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴5
3CD AB BC AD BAD BCE AB CD ====∠=∠，，，∥， ∴BAE DEA ∠=∠，
∴DAE DEA ∠=∠，
∴3DE AD ==，
∴2CE CD DE =-=．
∵BAD BEC ∠=∠，
∴BCE BEC ∠=∠，
∴BC=BE,
∴
1
1
2
CF EF CE
===，
∴2222
3122
BF BC CF
=-=-=．
∴平行四边形ABCD的面积为225102
BF CD
⋅=⨯=．
故答案为：102.
【点睛】
此题考查平行四边形的性质：对边平行且相等，对角相等，等腰三角形的等角对等边的性质、三线合一的性质，勾股定理.
三、解答题
21．（1）P（10
3
，2）；（2）（
5
2
，2）或（﹣
5
2
，2）
【分析】
（1）根据已知条件得到C（5，3），设直线OC的解析式为y＝kx，求得直线OC的解析式
为y＝3
5
x，设P（m，
3
5
m），根据S△POB＝
1
3
S矩形OBCD，列方程即可得到结论；
（2）设点P的纵坐标为h，得到点P在直线y＝2或y＝﹣2的直线上，作B关于直线y＝2的对称点E，则点E的坐标为（5，4），连接OE交直线y＝2于P，则此时PO+PB的值最小，设直线OE的解析式为y＝nx，于是得到结论．
【详解】
（1）如图：
∵矩形OBCD中，OB＝5，OD＝3，
∴C（5，3），
设直线OC的解析式为y＝kx，
∴3＝5k，
∴k＝3
5
，
∴直线OC的解析式为y＝3
5 x，
∵点P在矩形的对角线OC上，
∴设P（m，3
5 m），
∵S△POB＝1
3
S矩形OBCD，
∴1
2
⨯5×
3
5
m＝
1
3
⨯3×5，
∴m＝10
3
，
∴P（10
3
，2）；
（2）∵S△POB＝1
3
S矩形OBCD，
∴设点P的纵坐标为h，
∴1
2
h×5＝
1
3
3
⨯⨯5，
∴h＝2，
∴点P在直线y＝2或y＝﹣2上，
作B关于直线y＝2的对称点E，
则点E的坐标为（5，4），
连接OE交直线y＝2于P，则此时PO+PB的值最小，
设直线OE的解析式为y＝nx，
∴4＝5n，
∴n＝4
5
，
∴直线OE的解析式为y＝4
5 x，
当y＝2时，x＝5
2
，
∴P（5
2
，2），
同理，点P在直线y＝﹣2上，
P（5
2
，﹣2），
∴点P的坐标为（5
2
，2）或（﹣
5
2
，2）．
【点睛】
本题考查了轴对称——最短路线问题，矩形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确的找到点P在位置是解题的关键．
22．（1）CE=CF且CE⊥CF，理由见解析；（2）见解析；（3）10
【分析】
（1）根据正方形的性质，可证明△CBE≌△CDF（SAS），从而得出CE=CF，
∠BCE=∠DCF，再利用余角的性质得到CE⊥CF；
（2）延长AD至M，使DM=BE，连接CM，由△BEC≌△DFC，可得∠BCE=∠DCF，即可求∠GCF=∠GCE=45°，且GC=GC，EC=CF可证△ECG≌△GCF（SAS），则结论可求．
（3）过点C作CF⊥AD于F，可证四边形ABCF是正方形，根据（2）的结论可得
DE=DF+BE=4+DF，根据勾股定理列方程可求DF的长，即可得出DE．
【详解】
解：（1）CE=CF且CE⊥CF，
证明：如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠B=∠CDF=90°，
又∵BE=DF，
∴△CBE≌△CDF（SAS），
∴CE=CF，∠BCE=∠DCF，
∵∠BCD=∠BCE+∠ECD=90°，
∴∠ECD+∠DCF=90°，即CE⊥CF；
（2）延长AD至M，使DM=BE，连接CM，
∵∠GCE=45°，
∴∠BCE+∠GCD=45°，
∵△BEC≌△DFC，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠DCF+∠GCD=45°，即∠GCF=45°，
∴∠GCE=∠GCF，且GC=GC，CE=CF，
∴△GCE≌△GCF（SAS），
∴GE=GF，
∴GE=GD+DF=BE+GD；
（3）如图：过点C作CF⊥AD于F，
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴∠A=90°，
∵∠A=∠B=90°，FC⊥AD，
∴四边形ABCF是矩形，且AB=BC=12，
∴四边形ABCF是正方形，
∴AF=12，
由（2）可得DE=DF+BE，
∴DE=4+DF，
在△ADE中，AE2+DA2=DE2．
∴（12-4）2+（12-DF）2=（4+DF）2．
∴DF=6，
∴DE=4+6=10．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，四边形的面积，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
23．（1）详见解析；（2）2
BH AE
=，理由详见解析
【分析】
1）如图1，连接DF，根据对称得：△ADE≌△FDE，再由HL证明Rt△DFG≌Rt△DCG，可得结论；
（2）如图2，作辅助线，构建AM=AE，先证明∠EDG=45°，得DE=EH，证明
△DME≌△EBH，则EM=BH，根据等腰直角△AEM得：2
=，得结论；
EM AE
【详解】
证明：（1）如图1，连接DF，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴DA DC =，90A C ∠=∠=︒，
∵点A 关于直线DE 的对称点为F ，
∴ADE ∆≌FDE ∆，
∴DA DF DC ==，90DFE A ∠=∠=︒，
∴90DFG ∠=︒，
在Rt DFG ∆和Rt DCG ∆中，
∵DF DC DG DG =⎧⎨=⎩
∴Rt DFG ∆≌Rt DCG ∆（HL ），
∴GF GC =；
（2）2BH AE =，理由是：
如图2，在线段AD 上截取AM ，使AM AE =，
∵AD AB =，
∴DM BE =，
由（1）知：12∠=∠，34∠=∠，
∵90ADC ∠=︒，
∴123490∠+∠+∠+∠=︒，
∴222390∠+∠=︒，
∴2345∠+∠=︒，
即45EDG ∠=︒，
∵EH DE ⊥，
∴90DEH ∠=︒，DEH ∆是等腰直角三角形，
∴190AED BEH AED ∠+∠=∠+∠=︒，DE EH =，
∴1BEH ∠=∠，
在DME ∆和EBH ∆中，
1DM BE BEH DE EH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴DME ∆≌EBH ∆
∴EM BH =，
Rt AEM ∆中，90A ∠=︒，AM AE =，
∴EM =
，
∴BH ； 【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键．
24．（1）BD ⊥CF ，CF=BC-CD ；（2）CF=BC+CD ，见解析；（3）①CF=CD−BC ，②等腰三角形，见解析
【分析】
（1）先说明△ABC 是等腰直角三角形，利用SAS 即可证明△BAD ≌△CAF ，从而证得CF ⊥BD 、CF=BD ，又 BD+CD=BC, CF=BC-CD ；
（2）先利用SAS 即可证得△BAD ≌△CAF ，从而证得BD=CF ，即可得到CF-CD=BC ； （3）①与（2）同理可得BD=CF ，然后结合图形可得CF=CD-BC ；
②先根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=45°，再根据邻补角的定义求出∠ABD=135°，再根据同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF ，然后利用“边角边”证明△BAD ≌△CAF ，得∠ACF=∠ABD ，求出∠FCD=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OC=
12
DF ，再根据正方形的对角线相等求出OC=OA ，从而得到△AOC 是等腰三角形．
【详解】
（1）解：∵∠B4C=90°，AB=AC
∴∠ABC=∠ACB=45°
∵四边形ADEF 是正方形
∴AD=AF ，∠DAF=90°
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°
∴∠BAD=∠CAF
在△BAD 和△CAF 中，
AB=AC ，∠BAD=∠CAF ，AD=AF ，
∴△BAD ≌△CAF(SAS)，
∴BD=CF ，∠ABD=∠ACF=45°。