2018-2019学年湖南省岳阳市临湘市高二下学期期末数学试题(解析版)

2018-2019学年湖南省岳阳市临湘市高二下学期期末数学试
题
一、单选题
1．“0a >，0b <”是“0ab <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】
若0,0a b ><，则必有0ab <.
若 0ab <，则0,0a b ><或0,0a b <>. 所以"0,0"a b ><是"0"ab < 的充分不必要条件. 故选:A. 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的定义和判断.
2．命题“对任意的x ∈R ，220x x -+<，”的否定是（ ） A ．不存在x ∈R ，220x x -+≥ B ．不存在x ∈R ，220x x -+< C ．存在x ∈R ，220x x -+≥ D ．存在x ∈R ，220x x -+<
【答案】C
【解析】已知命题为全称命题,则其否定应为特称命题，直接写出即可. 【详解】
命题“对任意的2
,20x R x x ∈-+<”是全称命题，
它的否定是将量词的任意的实数x ∈R 变为存在 x ∈R ，再将不等号<变为≥即可. 即得到：存在2
,20x R x x ∈-+≥. 故选:C. 【点睛】
本题主要考查全称命题的否定，注意量词和不等号的变化，属于简单题.
3．若关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为R ，则（ ） A ．0
a >⎧⎨
∆>⎩
B ．0
a >⎧⎨
∆<⎩
C ．0
a <⎧⎨
∆>⎩
D ．0
a <⎧⎨
∆<⎩
【答案】D
【解析】根据一元二次不等式与二次函数之间的关系，可得出一元二次不等式
20ax bx c ++<的解集为R 的等价条件.
【详解】
由于关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为R ，
则二次函数2
y ax bx c =++的图象恒在x 轴的下方，所以其开口向下，且图象与x 轴
无公共点，所以0
a <⎧⎨∆<⎩，故选：D.
【点睛】
本题考查一元不等式在实数集上恒成立，要充分利用二次函数的开口方向和与x 轴的位置关系进行分析，考查推理能力，属于中等题.
4．在ABC V 中，45A =︒，60B =︒，4a =，则b 等于（ ）
A ．
B ．
C
D ．【答案】D
【解析】根据正弦定理sin sin a b A B
=，将题中的数据代入，解之即可得到b 的大小. 【详解】
由正弦定理sin sin a b A B =,得4sin 45sin 60b =o o 解之可得4sin 60sin 45b ==o
o
.
故选:D. 【点睛】
本题主要考查解三角形中的正弦定理，已知两角和一边求另一边，通常用正弦定理求解. 5．若a 、b 、R c ∈，且a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．a b b c +≥- B ．ac bc ≥
C ．2
0c a b
>-
D ．()2
0a b c -≥
【答案】D
【解析】对A ，利用分析法证明；对B ，不式等两边同时乘以一个正数，不等式的方
向不变，乘以0再根据不等式是否取等进行考虑；对C ，考虑0c =的情况；对D ，利用同向不等式的可乘性. 【详解】
对A ，a b b c a c +≥-⇔>-，因为,a c 大小无法确定，故A 不一定成立； 对B ，当0c ≥时，才能成立，故B 也不一定成立； 对C ，当0c =时不成立，故C 也不一定成立； 对D ，()22
0,
00,
a b a b c c ->⎧⇒-≥⎨
≥⎩，故D 一定成立. 故选：D. 【点睛】
本题考查不等式性质的运用，考查不等式在特殊情况下能否成立的问题，考查思维的严谨性.
6．等差数列{n a }中，385a a +=，则前10项和10S =( ) A ．5 B ．25
C ．50
D ．100
【答案】B
【解析】试题分析：因为38381010()
5,55252
a a a a S ++=∴=
=⨯=.
【考点】等差数列的前n 项和公式，及等差数列的性质．
点评：等差数列的性质之一：若,,,,m n p q m n p q N *
+=+∈,则m n p q a a a a +=+．
7．已知点()2,3-与抛物线()2
20y px p =>的焦点的距离是5，则p 的值是（ ）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
【答案】B
【解析】利用抛物线的焦点坐标和两点间的距离公式，求解即可得出p 的值. 【详解】
由题意可得抛物线的焦点为,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 因为点()2,3-到抛物线 ()2
20y px p =>的焦点的距离是5.
5= 解得4p = .
故选:B. 【点睛】
本题主要考查抛物线的标准方程和性质，还结合两点间距离公式求解.
8．已知()2,1,3a =-r ，()1,4,2b =--r ，()7,5,c λ=r ，若a r 、b r 、c r
三向量共面，则
实数λ等于（ ） A ．9 B ．
647
C ．
657
D ．
667
【答案】C
【解析】由题知，a r 、b r 、c r
三个向量共面,则存在常数,p q ，使得c pa qb =+r r r ，由
此能求出结果. 【详解】
因为()2,1,3a =-r ，()1,4,2b =--r ，()7,5,c λ=r ，且a r 、b r 、c r
三个向量共面,
所以存在,p q 使得c pa qb =+r r r
.
所以()()7,5,2,4,32p q p q p q λ=--+- ，
所以274532p q q p p q λ-=⎧⎪
-=⎨⎪=-⎩
，
解得331765,,32777
p q p q λ===-= . 故选:C. 【点睛】
本题主要考查空间向量共面定理求参数，还运用到向量的坐标运算.
9．二面角l αβ--为60︒，A 、B 是棱上的两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，
AC l ⊥，BD l ⊥且1AB AC ==，2BD =，则CD 的长为
A ．1 B
C ．2
D
【答案】C
【解析】试题分析：
,,,60,0,0
AC l BD l AC BD AC BA AB BD ⊥⊥∴=⋅=⋅=o
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q Q CD CA AB BD ∴=++u u u r u u u r u u u r u u u r
2CD ∴=
==u u u r
【考点】点、线、面间的距离计算
10．在ABC V 中，已知60B ∠=︒，AC =2AB BC +的最大值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．【答案】C
【解析】由题知，先设,,AB c AC b BC a ===，再利用余弦定理和已知条件求得a 和
c 的关系，设()20c a m m +=>代入，利用0∆≥求出m 的范围，便得出2AB BC +的
最大值. 【详解】
由题意，设ABC V 的三边分别为,,AB c AC b BC a ===，
由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-⋅，因为60B ∠=︒，AC = 所以2232cos60a c ac =+-o ，即223a c ac +-=， 设()20c a m m +=>，则2c m a =-，代入上式得：
227530a am m -+-=，28430m ∆=-≥，
所以0m <≤
当m =时，a c =
=
符合题意，
所以m 的最大值为22AB BC c a +=+的最大值为. 故选:C. 【点睛】
本题主要考查运用的余弦定理求线段和得最值，转化成一元二次方程，以及根的判别式大于等于0求解.
11．已知1F 、2F 为双曲线C ：22
1x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，
∠1F P 2F =060，则12·
PF PF = A ．2 B ．4
C ．6
D ．8
【答案】B
【解析】本试题主要考查双曲线的定义，考查余弦定理的应用．由双曲线的定义得
122PF PF -=①,又01212260F F c F PF ==∠=,由余弦定理
2
2
2
1212128PF PF PF PF F F +-==②，由①2-②得124PF PF =，故选B ．
12．已知p ：函数2()1f x x mx =++有两个零点，q ：x R ∀∈，
244(2)10x m x +-+>．若p q ∨为真，p q ∧为假，则实数m 的取值范围为
A ．(,2)[3,)-∞-⋃+∞
B ．(,2)(1,2][3,)-∞-⋃⋃+∞
C ．(1,2][3,)⋃+∞
D ．(,2)(1,2]-∞-⋃
【答案】B 【解析】【详解】
由p ∨q 为真，p ∧q 为假，知p ，q 有一个真命题一个假命题，由p 得△=m 2-4＞0，解得m ＞2或m ＜-2．由q ，得△=16（m-2）2-16＜0，解得1＜m ＜3，分两种情况求出实数m 的取值范围．
解答：解：∵p ∨q 为真，p ∧q 为假 ∴p ，q 中一个真命题一个假命题， 由p ：函数f （x ）=x 2+mx+1有两个零点， 得△=m 2-4＞0，解得m ＞2或m ＜-2． 由q ：∀x ∈R ，4x 2+4（m-2）x+1＞0 得△=16（m-2）2-16＜0， 解得1＜m ＜3， 当p 真q 假时，有m 2m 2
m 3m 1
-⎧⎨
≥≤⎩＞或＜或即m≥3或m ＜-2
当p 假q 真，有2m 2
1m 3-≤≤⎧⎨
⎩
＜＜ 即1＜m≤2
∴实数m 的取值范围为（-∞，-2）∪（1，2]∪[3，+∞）． 故选B ．
二、填空题
13．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S =_______. 【答案】49 【解析】【详解】
()2677714
492
2
a a S +⨯=
=
=. 14．若1a b +=，(
),a b R +
∈，则1
1
a
b
+
的最小值为__________． 【答案】4 【解析】由题可得，
()11112b a
a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭
，再利用基本不等式的性质即可得出结果. 【详解】
因为0,0,1a b a b >>+=，
所以
()11112b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭
24≥+=， 当且仅当1
2
a b ==
时取等号， 所以
11
a b
+的最小值为4. 故答案为:4. 【点睛】
本题主要考查利用“整体乘1”的方法和基本不等式的性质来求最值，注意基本不等式的前提是正数.
15．直线l 过抛物线()2
:20C y px p =>的焦点()1,0F 且与C 交于A 、B 两点，则
11AF BF
+=_______． 【答案】1
【解析】本题先根据抛物线焦点坐标可得出p 值，再根据抛物线的定义和准线，可知
121,1AF x BF x =+=+，再分类讨论直线斜率存在和不存在两种情况，联立直线和
抛物线方程，利用韦达定理最终求得结果. 【详解】
由题得，抛物线()2
:20C y px p =>的焦点()1,0F ，所以
12
p
=，故2p =. 所以抛物线C 的方程为：2
4y x =.
可设()()1122,,,A x y B x y ，由抛物线的定义可知：121,1AF x BF x =+=+.
当斜率不存在时，121x x ==，
所以：
1211111111122
AF BF x
x +=+=+=++. 当斜率存在时，设直线l 的斜率为()0k k ≠，则直线方程为：()1y k x =-.
联立()2
14y k x y x
⎧=-⎨=⎩ ，整理得：()
2222
220k x k x k -++=， 所以()()
()
22422122
124241610221k k k k x x k x x ⎧∆=+-=+>⎪⎪+⎪
+=⎨⎪
⋅=⎪⎪⎩
， 所以12111111AF BF x x +=+++121212121222
112
x x x x x x x x x x ++++===+++++. 综合①②，可知11
1AF BF
+=. 故答案为:1. 【点睛】
本题主要考查抛物线的标准方程，焦点坐标和准线，结合抛物线的定义，联立方程组，利用韦达定理化简求值，其中需要注意，当直线斜率未知时，需分类讨论斜率存在和不存在两种情况.
16．如图，在直角坐标系xOy 中，点A ，B 分别在射线()3
03
y x x =
≥和射线上()30y x x =-≥运动，且AOB V 的面积为1，则A 、B 两点横坐标之积为______，AOB V 周长的最小值为_____．
2+
【解析】根据题意，可求出OA OB ⊥，设()
1222,,A x x B x ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
,分别算出OA
和OB ,结合三角形的面积列式，化简即可求出12x x 的值；再由基本不等式算出AB 和OA OB +的取值范围，即可求出AOB V 周长的最小值.
【详解】
因为y x =
的斜率13k =，y =的斜率2k = 所以12
1k k ?-，可得OA OB ⊥.
设()
1222,,A x x B x ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，
所以：1OA =
=，22OB x ==，
可得12112122AOB S OA OB x x ∆=
⨯=⨯=，解得：12x x =
因为2
2
2
22124443AB OA OB x x =+=
+≥=，所以2AB ≥，
又因为1223OA OB x x +=
+≥=
所以AOB V 周长2OA OB AB ++≥+.
当且仅当
1223
x x ==12,22x x =
=时，
AOB V 周长取最小值，最小值为：2+.
故答案为2+. 【点睛】
本题主要考查利用基本不等式求和的最小值，还涉及两直线的位置关系、两点间距离、三角形的面积与周长的计算.
三、解答题
17．若不等式2
520ax x +->的解集是122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭
，求不等式22510ax x a -+->的解集．
【答案】132x x ⎧⎫
-<<
⎨⎬⎩⎭
【解析】由不等式的解集和方程的关系，可知
1
2
，2是方程520ax x +-=的两根，利用韦达定理求出a ，再代入不等式22510ax x a -+->，解一元二次不等式即可. 【详解】
解：由已知条件可知0a <，且方程520ax x +-=的两根为
1
2
，2； 由根与系数的关系得552
21a a
⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得2a =-．
所以原不等式化为2530x x +-<解得1
32
x -<< 所以不等式解集为132x x ⎧⎫-<<
⎨⎬⎩⎭
【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解法，还考查一元二次不等式解集与一元二次方程的关系以及利用韦达定理求值.
18．已知函数(
)()2
2sin 12
x f x x ωϕ
ωϕ+=++-（0>ω，0ϕπ<<）为奇
函数，且相邻两对称轴间的距离为
2
π
． （1）当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
时，求()f x 的单调递减区间；
（2）将函数()y f x =的图象沿x 轴方向向右平移
6
π
个单位长度，再把横坐标缩短到原来的1
2
（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象．当时,126x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，求函数()g x 的值域． 【答案】（1）(2
π
-
，4
π
-
]（2）值域为[2-
，]． 【解析】（1）利用三角恒等变换化简()f x 的解析式，根据条件，可求出周期T 和ω，
结合奇函数性质，求出ϕ，再用整体代入法求出,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
内的递减区间；
（2）利用函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，求出()g x 的解析式，再利用正弦函数定义域，即可求出,126x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时的值域. 【详解】
解：（1）由题意得，()()()cos f x x x ωϕωϕ=+-+2sin 6x πωϕ⎛⎫
=+-
⎪⎝
⎭
因为相邻两对称轴之间距离为2
π
，所以T π=，2ω= 又因为函数()f x 为奇函数，所以6k π
ϕπ-=，∴6
k πϕπ=+，k ∈Z
因为0ϕπ<<，所以6
π
=ϕ 故函数()2sin 2f x x = 令
3222,2
2k x k k Z π
πππ+≤≤
+∈.得3,44
k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 令1k =-得344
x ππ-≤≤-， 因为,22x ππ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
，所以函数的单调递减区间为(2π-，4π-]
（2）由题意可得，()2sin 43g x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
因为,126x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
，所以24333x πππ-≤-≤
所以1sin 43
x π
-≤-
≤
，()g x ⎡∈-⎣.
即函数的值域为[2-． 【点睛】
本题主要考查正弦函数在给定区间内的单调性和值域，包括周期性，奇偶性，单调性和最值，还涉及三角函数图像的平移伸缩和三角恒等变换中的辅助角公式.
19．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，
且15b a =，23b =，581b =-，132b b a +=，是否存在k ，使1k k S S +>，且12k k S S ++<？若存在，求k 的值．若不存
在，则说明理由． 【答案】存在，4k =．
【解析】由已知条件，可求出数列{}n b 和{}n a 通项公式，由1
1
2k k k k S S S S +++>⎧⎨<⎩，化简即可
得出k 的值. 【详解】
由23b =，581b =-得11b =-，3q =-，()
1
3n n b -=--
由132b b a +=，得210a =-，由15b a =，所以51a =-且{}n a 为等差数列， 则{}n a 是公差3d =，316n a n =- 由112k k k k S S S S +++>⎧⎨
<⎩所以1200k k a a ++<⎧⎨>⎩，即()(
)31160
32160k k ⎧+-<⎪⎨
+->⎪⎩ 得133
10
3
k k ⎧
<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩
，所以101333k <<，且k *∈N . 所以4k =． 【点睛】
本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式，以及数列前n 项和的定义
()11n n n S S a n N *++-=∈.
20．如图，三棱柱111ABC A B C -的各棱长均为2，侧面11BCC B ⊥C 底面ABC ，侧棱
1BB 与底面ABC 所成的角为60︒．
（Ⅰ）求直线1A C 与底面ABC 所成的角；
（Ⅱ）在线段11A C 上是否存在点P ，使得平面1B CP ⊥平面11ACC A ？若存在，求出1C P 的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）45θ=︒；（2）12
4
,
33
C P λ=
∴=． 【解析】【详解】试题分析：（1）根据题意建立空间直角坐标系，然后表示平面的法向量和直线的斜向量，进而利用向量的夹角公式得到线面角的求解． （2）假设存在点满足题意，然后利用向量的垂直关系，得到点的坐标． 解：（1）1B 作1B O BC ⊥于O ， ∵侧面11BCC B ⊥平面ABC ，
则(3,0,0)A -,(0,1,0)B -,(0,1,0)C ,1(3,1
3)A -,13)B ,13)C ∴1
(3,0,3)CA =-u u u r ,又底面ABC 的法向量(0,0,1)n =r
设直线1A C 与底面ABC 所成的角为θ，则11·2sin 2CA n CA n
θ==⋅u u u r r
u u u
r r ,∴45θ=︒ 所以，直线1A C 与底面ABC 所成的角为45︒．
（2）设在线段11A C 上存在点P ，设1C P u u u r =11C A λu u u u r
，
01λ≤≤,则 1111=31,0=+313,=0,1,3)C P CP CC C P BC λλλ-=--u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r
（，），（，）（
设平面1B CP 的法向量1•30
•3130
(,,),{m B C y z m
CP x y z m x y z λλ=-==--==u u u u r r u u u r r r ）则
令221,3,,(3,1).z y x m λ
λλλ
--===
∴=r
则
设平面11ACC A 的法向量1
·3·30
(,,){n AC x n C C y z n x y z =-==u u u r r u u u u r r r ，则
令1,1,(1,z y x n ===∴=r
则 要使平面1B CP ⊥平面11ACC A
，则22(
(1,20m n λ
λ
λ
λ
--⋅==
-=r r
124,33
C P λ∴=∴=
【考点】本题主要是考查线面角的求解，以及面面垂直的探索性命题的运用． 点评：解决该试题的关键是合理的建立空间直角坐标系，正确的表示点的坐标，得到平面的法向量和斜向量，进而结合数量积的知识来证明垂直和求解角的问题．
21．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本()C x ，当年产量不足80千件时，()2
1103
C x x x =
+（万元）；当年产量不小于80千件时，()10000
511450C x x x
=+
-（万元），每件售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.
（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
【答案】（1）()[)[)2
140250,0,803
100001200.80,x x x L x x x x ⎧-+-∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈+∞ ⎪⎪⎝⎭⎩
；（2）100.
【解析】（1）利用利润=总售价-总成本，根据x 的范围分段考虑()L x 关于x 的解析式，注意每一段函数对应的定义域；
（2）求解()L x 中的每段函数的最大值，然后两段函数的最大值作比较得到较大值，即为最大利润. 【详解】
（1）当[)0,80x ∈时，
()()22110.051000102504025033L x x x x x x ⎛⎫
=⨯-++=-+- ⎪⎝⎭
，
当[)80,x ∈+∞时，
()()10000100000.0510005114502501200L x x x x x x ⎛⎫⎛
⎫=⨯-+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
所以()[)[)2
140250,0,803
100001200.80,x x x L x x x x ⎧-+-∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈+∞ ⎪⎪⎝⎭⎩
；
（2）当[)0,80x ∈时，()()2
211402506095033
L x x x x =-
+-=--+， 所以当60x =时，()max 950L x =（万元）； 当[)80,x ∈+∞时，(
)10000120012001000L x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭， 取等号时10000
x x
=
即100x =，所以()max 1000L x =（万元）950>（万元）， 所以年产量为100千件时，所获利润最大. 【点睛】
本题考查二次函数模型以及基本不等式在实际问题中应用，难度一般.（1）求解实际问题中的函数解析式时，一定要注意函数的定义域；（2）利用基本不等式求解最值时要注意取等号的条件.
22．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>
半径的圆与直线2y x =+相切． （1）求a 与b ；
（2）设该椭圆的左、右焦点分别为1F 和2F ，直线1l 过2F 且与x 轴垂直，动直线2l 与y 轴垂直，2l 交1l 与点P ．求线段1PF 垂直平分线与2l 的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型．
【答案】（1
）b =
a =（2）()2
04
y x x =-<，该曲线为抛物线（除掉原点）
． 【解析】（1）由题可知，直线与圆相切，根据圆心到直线的距离等于半径，结合离心率
c
e a
=
，即可求出a 与b .
（2）求出焦点坐标，设点P 坐标，从而得出N 的坐标，同时设(),M x y ，利用垂直关系可得出关于,x y 的式子即为M 的轨迹方程. 【详解】
解：（1
）c e a ===
,3b
b a ===
a = （2）1F ，2F 两点分别为()1,0-，()1,0，由题意可设()()1,0P t t ≠ 那么线段1PF 中点为0,
2t N ⎛
⎫
⎪⎝⎭
，设(),M x y 是所求轨迹上的任意点 由于1MN PF ⊥，即11MN PF k k ⋅=-，所以
212
t
y t x -
⋅=-． 又因为y t =，消参t 得轨迹方程为()204
y
x x =-<.
该曲线为抛物线（除掉原点）． 【点睛】
本题主要考查椭圆的简单几何性质，包括离心率、短半轴长、焦点坐标，还涉及中点坐标公式，以及两直线垂直时斜率相乘为-1，还利用消参法求动点的轨迹方程.。