2021年高三12月阶段考试(数学理)

2021年高三12月阶段考试（数学理）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

共150分。

考试时间120分钟。

第I卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填涂在答题卡上
1已知集合M＝，N＝，则M∩N等于（）
A．（1，2）B．（-2，
1） C． D．（-∞，2）
2.下列命题是真命题的为
A．若,则B．若,则 C．若,则 D．若,则
3.命题：“若，则”的逆否命题是（）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
4.已知向量等于
(
),
),
,
=
=（）
=
-
1,6(-
(
,2
CD
则AD
x
y
BC
3
AB),
A．B．C．D．
5.定义运算则函数f(x)=的图象是 ( )
6.设，是定义在R上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的
（）
A．充要条件 B．充分而不必要的条件
C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件
7. 已知等差数列满足，，则它的前10项的和（）
A．138 B．135 C．95 D．23
8. 已知则等于（）
A. B. C. D.
9.函数y=log的递增区间是（）
A.（-∞,1）
B.(2,+∞)
C.（-∞,）
D.（,+∞）
10.已知x＞0,y＞0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值是（）
A.0
B.1
C.2
D. 4
11.已知圆的方程为，设圆中过点的最长弦与最短弦分别为、，则直线与的斜率之和为( )
A. B. C. D.
12.设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取
值范围为（）
A. B.［-1，0］ C.［0，1］ D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

把答案填在答题纸相应题中横线上13．函数f(x)= +lg(3x+1)的定义域是
14.在ΔABC中，已知，则ΔABC的形状是___________.
15.1＋＋＋…＋=
16.已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上.则·＝
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.把答案填在答题纸相应题中位置
17. （本小题满分12分）解下列不等式：
（1）（2）、
18.（本小题满分12分）已知向量，，且.
（1）求及；
（2）求函数的最大值，并求使函数取得最大值时的值.
19. （本小题满分12分）数列{a n}的前n项和记为S n，
（1）求{a n}的通项公式;
（2）等差数列{b n}的各项为正，其前n项和为T n，且，又成等比数列，求T n
20. （本小题满分12分）已知定义域为R的函数为奇函数，且满足，当x∈［0，1］时，.
（1）求在［-1，0）上的解析式；
（2）求.
21．已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且右顶点为D(2,0)．设点A的坐标是(1，)．
(1)求该椭圆的标准方程； (2)若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；
(3)过原点O的直线交椭圆于点B、C，求△ABC面积的最大值．
22.已知函数
（1）若在区间［1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若x=-是的极值点，求在［1，a］上的最大值；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，使得函数=bx的图象与函数的图象恰有3个交点，
若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由.
答案
1已知集合M＝，N＝，则M∩N等于（）
A．（1，2） B．（-2，1） C． D．（-∞，2）
答案 B
2.下列命题是真命题的为
A．若,则B．若,则 C．若,则 D．若,则
答案：D
解析由得,而由得,由,不一定有意义,而
<得不到故选D.
x y
3.命题：“若，则”的逆否命题是（）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
答案 D
4.已知向量等于
),
(
1,6(-
),
=
=（）
=
-
,
(
CD
则AD
x
y
,2
3
AB),
BC
A．B．C．D．
B
5.定义运算则函数f(x)=的图象是 ( )
答案 A
6.设，是定义在R上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的
（）
A．充要条件 B．充分而不必要的条件
C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件答案 B
7. 已知等差数列满足，，则它的前10项的和（）
A．138 B．135 C．95 D．23 答案C
8. 已知则等于（）
A. B. C. D.
答案 A
9.函数y=log的递增区间是（）
A.（-∞,1）
B.(2,+∞)
C.（-∞,）
D.（,+∞）
答案A
10.已知x＞0,y＞0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值是（）
A.0
B.1
C.2
D. 4
答案 D
11.已知圆的方程为，设圆中过点的最长弦与最短弦分别为、，则直线与的斜率之和为( )
A. B. C. D.
答案 B
12.设P 为曲线C ：上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是，则点P 横坐标的取值范围为 （ ）
A. B.［-1，0］ C.［0，1］ D. 答案A
13．函数f(x)= +lg(3x+1)的定义域是 （-，1） 14.在ΔABC 中，已知，则ΔABC 的形状是___________.钝角三角形
15. 1＋＋＋…＋=
解：∵ a n ＝＝＝2(－)∴ S n ＝2(1－＋－＋…＋－)＝ 16.已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上.则·＝ 0 【解析】由渐近线方程为知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是，于是两焦点坐标分别是（－2，0）和（2，0），且或.不妨去，则，.∴·＝
01)32)(32()1,32)(1,32(=+-+-=-----
17. （本小题满分12分） 17/18为11月份月考原题 抓下落实
解下列不等式：（1） （2）、
17、解：(1)由题意得 (3分) 解集为 (5分)
(2)由题意得 (6分) 当时,即时,解集为 (8分) 当时,即时,解集为 (10分) 当时,即时,解集为 （12分) 18.（本小题满分12分）
已知向量，，且. （1）求及；
（2）求函数的最大值，并求使函数取得最大值时的值. 18、解：（1）33cos
cos sin sin cos 22222
x x x x
a b x =-=， ……………………（2分） 2233(cos
cos )(sin sin )2222
x x x x
a b +=+++ ………………………（4分） ……………（7分）
∵， ∴ ∴. ……………（8分）
（2）2
()cos 22cos 2cos 2cos 1f x a b a b x x x x =++=-=-- …………………………………………………（10分） ∵， ∴， ……………………………………（11分） ∴当，即时. ………………………………（12分）
19.数列{a n }的前n 项和记为S n ， （1）求{a n }的通项公式;
（2）等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且，又成等比数列，求T n
19.（I）由可得，两式相减得
又∴，故{a n}是首项为1，公比为3得等比数列∴.
（II）设{b n}的公差为d，由得，可得，可得，
故可设又由题意可得
解得
∵等差数列{b n}的各项为正，∴，∴ ∴
20.已知定义域为R的函数f（x）为奇函数，且满足f(x+2)=-f(x)，当x∈［0，1］时，f(x)=2x-1.
（1）求f(x)在［-1，0）上的解析式；
（2）求f().
20解（1）令x∈［-1，0），则-x∈（0，1］，∴f（-x）=2-x-1.
又∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），∴-f（x）=f（-x）=2-x-1，
∴f（x）=-(x+1.
（2）∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴f(x)是以4为周期的周期函数,
∵log24=-log224∈(-5,-4),∴log24+4∈(-1,0),
∴f(log24)=f(log24+4)=-(+1=-24×+1=-.
21．已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且右顶点为D(2,0)．设点A的坐标是(1，)．
(1)求该椭圆的标准方程； (2)若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；
(3)过原点O的直线交椭圆于点B、C，求△ABC面积的最大值．
创新8.9椭圆A本变3原题
22.已知函数
（1）若在区间［1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若x=-是的极值点，求在［1，a］上的最大值；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，使得函数=bx的图象与函数的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由.
22解（1）=3x2-2ax-3,∵f(x)在［1，+∞）上是增函数,∴在［1，+∞）上恒有≥0，
即3x2-2ax-3≥0在［1，+∞）上恒成立.则必有≤1且=-2a≥0,∴a≤0.
(2）依题意， =0，即+a-3=0,∴a=4,∴f(x)=x3-4x2-3x.令=3x2-8x-3=0，得x1=-，x2=3.
则当x变化时，,f(x)的变化情况如下表：
x 1 (1,3) 3 (3,4) 4
- 0 +
f(x) -6 ↘-18 ↗-12
∴f(x)在［1，4］上的最大值是f(1)=-6.
（3）函数g(x)=bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，即方程x3-4x2-3x=bx恰有3个不等实根
∴x3-4x2-3x-bx=0，∴x=0是其中一个根，∴方程x2-4x-3-b=0有两个非零不等实根，∴∴存在符合条件的实数b，b的范围为b>-7且b≠-3.OFZzT 27631 6BEF 毯31288 7A38 稸}33436 829C 芜@21296 5330 匰35668 8B54 譔31119 798F 福。