南京市溧水区～中考第一次模拟数学试卷及答案

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2014年南京市溧水区初三中考第一次模拟测试
数 学 试 卷
注意事项：
1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有
一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡．．．相应位置．．．．上） 1． 计算－6＋6×(－2
3
)的结果是
A ．10
B ．－10
C ．－9
D ．－2
2．计算a 6×a 3的结果是
A ．a 9
B ．a 2
C ．a 18
D ．a 3 3．已知无理数1＋3，若a ＜1＋3＜b ，其中a 、b 为两个连续的整数，则ab 的值为 A ．2 B ．6 C ．12 D ．20 4．正n 边形的每个内角都是140°，则n 为
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
5．一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝k
x
的图象如图所示，下列结论正确的是
A ．它们的函数值y 随着x 的增大而增大
B ．它们的函数值y 随着x 的增大而减小
C ．k ＜0
D ．它们的自变量x 的取值为全体实数
6放在一起，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中
y
x
O
A B C D
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二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接
填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 7．若||a ＝3，则a ＝ ▲ ． 8．计算：8－
1
3
×6＝ ▲ ． 9．分式方程 2x x -2 ＝1- 1
2-x
的解为 ▲ ．
10．PM 2.5造成的损失巨大，治理的花费更大．我国每年因为空气污染造成的经济损失高达
约5658.8亿元．将5658.8亿元用科学计数法表示为 ▲ 亿元（保留两位有效数字）． 11．如图，在边长为3 cm 的正方形ABCD 中，点E 为BC 边上的任意一点，AF ⊥AE ，AF 交
CD 的延长线于F ，则四边形AFCE 的面积为 ▲ cm 2.
12．已知菱形ABCD 的对角线相交于点O ，AC ＝6cm ，BD ＝8cm ，则菱形的高AE 为 ▲ cm.
13．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，AB 的垂直平分线交AC 点E ，垂足为点D ，连接BE ，则∠EBC 的度数为 ▲ °.
14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，0），⊙A 的半径是2，⊙P 的半径是1，满足
与⊙A 及y 轴都相切的⊙P 有 ▲ 个.
15．在平面直角坐标系中，已知点A （－5，0），B （5，0），点C 在x 轴上，且AC ＋
BC ＝6，写出满足条件的所有点C 的坐标 ▲ ．
（第11
题）
A
D
C
E
F
（第12题）
A
B
C
D
O
E
（第13题）
A
B
C
D
E
A
y
x
O
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16．计算：2
201520132014222
-+＝ ▲ ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）化简 3x －1－x ＋2x 2－x ．
18．（6分）解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －53 ＜1，
3（x －2）≥0．
19．（8分）如图，将□ABCD 的边DC 延长到点E ，使CE ＝DC ，连接AE ，交BC 于点F ． （1）求证：△ABF ≌△ECF ；
（2）若∠AFC ＝2∠ABC ，连接AC 、BE ．求证：四边形ABEC 是矩形．
20．（9分）某中学九(1)班同学积极响应“阳光体育工程”的号召，利用课外活动时间积极参加体育锻炼，每位同学从长跑、篮球、铅球、立定跳远中选一项进行训练，训练前后都进行了测试．现将项目选择情况及训练后篮球定时定点投篮测试成绩整理后作出如下统计图表．
请你根据图表中的信息回答下列问题：
(1)训练后篮球定时定点投篮平均每个人的进球数为 ▲ ；
(2)选择长跑训练的人数占全班人数的百分比是 ▲ ，该班共有同学 ▲ 人；
(3)根据测试资料，训练后篮球定时定点投篮的人均进球数比训练之前人均进球数增加
A
B
C
E F
(第19题)
进球数(个) 8 7
6 5 4 3 人数 2 1 4
7
8 2
训练后篮球定时定点投篮测试进球数统计表
长跑 铅球 篮球 立定跳远 20%
10%
60%
项目选择人数情况统计图
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25% ，请求出参加训练之前的人均进球数．
21．（8分）南京市体育中考现场考试男生有三项内容：三分钟跳绳、1000米跑（二选
一）；引体向上、实心球（二选一）；立定跳远、50米跑（二选一）．小明三分钟跳绳是强项，他决定必选，其它项目在平时测试中成绩完全相同，他决定随机选择． （1）用画树状图或列表的方法求：
①他选择的项目是三分钟跳绳、实心球、立定跳远的概率是多少？ ②他选择的项目中有立定跳远的概率是多少？
（友情提醒：各个项目可用A 、B 、C 、…等符号来代表可简化解答过程）
（2）如果他决定用掷硬币的方法确定除三分钟跳绳外的其它两项考试项目，请你帮他设计一个合理的方案．
22．（8分）如图，A ，B 两地之间有一座山，汽车原来从A 地到B 地须经C 地沿折线A –C －B 行驶，全长68 km ．现开通隧道后，汽车直接沿直线AB 行驶．已知∠A ＝30°，∠B ＝45°，则隧道开通后，汽车从A 地到B 地比原来少走多少千米？（结果精确到0．1 km ）（参考数据：4.12≈，7.13≈）
A
B
C
30°
45°
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23．（8分）小明的家庭作业中有这样一道题：
“如图，中间用相同的白色正方形瓷砖，四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题．
……
在第n 个图中，黑、白瓷砖各有多少块．（用含n 的代数式表示）”
小明做完作业后发现这些图案很美．正好小明爸爸的商铺要装修，准备使用边长为1米的正方形白色瓷砖和长为1米、宽为0.5米的长方形黑色瓷砖来铺地面．于是他建议爸爸按照图案方式进行装修．已知每块白色瓷砖40元，每块黑色瓷砖20元，贴瓷砖的费用每平方米15元．经测算，瓷砖无须切割，且恰好能完成铺设，总费用需7260元．问两种瓷砖各需买多少块？
24．（8分）在一条直线上依次有A 、B 、C 三地，自行车爱好者甲、乙两人同时分别从A 、B 两地出发，沿直线匀速骑向C 地．已知甲的速度为20 km/h ，设甲、乙两人行驶x （h ）后，与A 地．的距离．．．分别为y 1 、y 2 （km ）， y 1 、y 2 与x 的函数关系如图所示． （1）求y 2与x 的函数关系式；
（2）若两人在出发时都配备了通话距离为3km 的对讲机，求甲、乙两人在骑行过程中可以用对讲机通话的时间．
y /k
x /h
5 O
1 甲
乙
2
n ＝1 n ＝2 n ＝3
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25．（8分）如图，已知AB 是⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点C ，AC 平分∠DAB ． (1)试说明：AD ⊥DC ； (2)若AD ＝1，AC ＝5
2
，求AB 的长．
26．（9分）在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，∠ACB ＝30°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1．
（1）如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，求∠CC 1A 1的度数； （2）如图2，连接AA 1，CC 1，若△CBC 1的面积为16，求△ABA 1的面积；
（3）如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转的过程中，点P 的对应点是点P 1，直接写出线段EP 1长度的最大值与最小值．
27．（10分）已知一个二次函数的关系式为 y ＝x 2-2bx ＋c ． （1）若该二次函数的图象与x 轴只有一个交点， ①则b 、c 应满足关系为 ▲ ；
②若该二次函数的图象经过A （m ，n ）、B （m +6，n ）两点，求n 的值；
（2）若该二次函数的图象与x 轴有两个交点C （6，0）、D （k ，0），线段CD （含端点）上有若干个横坐标为整数的点，且这些点的横坐标之和为21，求b 的取值范围．
A
B D
C
O
B
C 1
C B
A 1
A
图2
A 1
C 1
A
B
C
图1
图3P
P 1
E A A C 1
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B C E F
南京市溧水区2013-2014初三一模数学试题参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 二、
填空题
（本大题
共10
小题，每小题2分，共20分）
7．±3 8． 2 9．x ＝ 1 10．5.7×10 3
11．9 12．4.8 13．36 14．4 15．（3，0）、（－3，0） 16．
2
1 三、解答题（本大题共11小题，共88分）
17．（本题6分） 18．（本题6分）
解：3x －1－x ＋2x 2－x 解：解不等式①，得x ＜4．…………2分
＝3 x －1－x ＋2 x (x －1) ………1分 解不等式②，得x ≥2．…………4分 ＝2x －2 x (x －1)…………………4分 所以不等式组的解集是2≤x ＜4．……6分 ＝2(x －1) x (x －1)＝2 x
． ………6分 19．（本题8分）：⑴∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，AB=CD ．
∵EC=DC ， ∴AB=EC ．……………………………2分
在△ABF 和△ECF 中，
∵∠ABF=∠ECF ，∠AFB=∠EFC ，AB=EC ，
∴△ABF ≌△ECF ．……………………………………4分 （2）∵△ABF ≌△ECF ，∴ AF ＝FE ，BF=FC ． ……… 5分
∴四边形ABEC 是平行四边形
∵∠AFC ＝2∠ABC ，又∠AFC ＝∠ABC ＋∠BAF ，∴∠ABC=∠BAF ．
∴AF ＝BF ．∴AE ＝BC ．…………………………………7分 ∴四边形ABEC 是矩形．…………………………………8分 20．（本题8分）
（1）解：引体向上、实心球、立定跳远、50米跑分别用A 、B 、C 、D 来代表，列树状图如
下：
………………………………………………3分 ①小明选择的项目是三分钟跳绳、实心球、立定跳远（记为M 事件），P （M ）＝1
4
．
………………………………………………4分
②小明选择的项目中有立定跳远（记为N 事件），P （N ）＝ 1
2
．……………5分
（2）答案不惟一，下列方法仅供参考：抛一枚硬币两次，第一次掷硬币正面朝上表示选择
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B A B C C B 开始 A B
C D C D AC AD
BC BD
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引体向上、反面朝上表示选择实心球；第二次掷硬币正面朝上表示选择立定跳远、反面朝上表示选择50米跑．…………………………8分 21．（本题9分）
解：(1)5 (2)10% 、40人（每空2分） ……………………………………6分 (3) 设参加训练前的人均进球数为x 个，
则x (1＋25%)＝5，所以x ＝4， ……………………………………8分 即参加训练之前的人均进球数是4个.……………………………………9分
22．（本题8分）
解：如图，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ．…………………………………………1分
设CD ＝x ．
在Rt △ACD 中，sin ∠A ＝CD AC ，AC ＝CD
sin30°＝2x ，
在Rt △BCD 中，sin ∠B ＝CD
BC ，BC ＝CD
sin45°
＝
2x ，
∵AC ＋BC ＝2x ＋2x ＝68
. ………………………………………………………3分
∴x ＝68 2＋2≈68
2＋1.4＝20． ……………………………………………………4分
在Rt △ACD 中，tan ∠A ＝CD AD ，AD ＝CD tan30°＝203，
在Rt △BCD 中，tan ∠B ＝CD
BD ，BD ＝CD
tan45°
＝20， AB ＝203＋20≈54，…………………………………………………………………6分
AC ＋BC － AB ＝68－54＝14（km ） ………………………………………………7分 答：隧道开通后，汽车从A 地到B 地比原来少走14千米. …………………………8分
23．（本题8分）
解：设白色瓷砖的行数为n ，根据题意，得
40n （n ＋1）＋20×4（n ＋1）＋15（n ＋1）（n ＋2）＝7260．………………3分 解得n 1＝10，n 2＝－13(不合题意，舍去) ．……………………………………5分 白色瓷砖块数为n （n ＋1）＝110，………………………………………………6分 黑色瓷砖块数为4（n ＋1）＝44． ………………………………………………7分 答：白色瓷砖需买110块，黑色瓷砖需买44块．……………………………………8分
24．（本题8分） 解：（1）∵甲的速度为20 km/h ，∴y 1＝20x …1分 当x ＝1时，y 1＝20 ＝y 2， ………………2分
设y 2＝kx ＋b ，根据题意，得：
⎩⎪⎨⎪⎧20＝k ＋b 5＝ b ，解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝15b ＝5， ∴y 2＝15x ＋5． ……………………………4分 （2）当y 2－y 1＝3时，15x ＋5－20x ＝3，x ＝25；……………5分 当y 1－y 2＝3时，20x －（15x ＋5）＝3，x ＝8
5
； ………6分
∴85－25 ＝ 6
5
． ………………………………………8分 y /k m
x /h
5
O 1
甲 乙 2 A B
C
D
30°
45°
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答：甲、乙两人在骑行过程中可以用对讲机通话的时间为6
5
小时．
25．（本题8分）
（1）解： 连接OC ，
∵CD 与⊙O 相切，∴OC ⊥ CD ，∴∠OCE ＝90°，…1分
∵OA ＝OC ，∴∠2＝∠3， ∵AC 平分∠DAB ，∴∠2＝∠1，
∴∠3＝∠1，∴AD ∥OC ，………………………………3分 ∴∠ADC ＝∠OCE ＝90°，
∴AD ⊥DC ．………………………………………………4分 （2）连接BC ．
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°＝∠ADC ， ……5分
∵∠2＝∠1，∴△ACD ∽△ABC ，∴AD AC ＝AC
AB
，………6分 ∴AC 2
＝AD ·AB ， ∴AB ＝ (52)2 ＝ 5
4
， ……………8分 答：AB 的长为5
4
．
26．（本题9分）
解：（1）如图1，依题意得：△A 1C 1B ≌△ACB . ∴BC 1＝BC ，∠A 1C 1B ＝∠C ＝30°，………… 1分 ∴∠BC 1C ＝ ∠C ＝30°， …………………… 2分 ∴∠CC 1A 1 ＝ 60°；…………………………… 3分 （2）如图2，由（1）知：△A 1C 1B ≌△ACB ， ∴A 1B ＝ AB ，BC 1 ＝ BC ，∠A 1BC 1 ＝∠ABC ，
∴∠1 ＝ ∠2，A 1B C 1B ＝ AB CB ＝ 68 ＝ 3
4
，…… 4分
∴ △A 1BA ∽△C 1BC ，∴
112
ΔΔ2439A BA C BC
S S ⎛⎫==
⎪⎝⎭
＝ (34)2 ＝ 9
16，…… 6分 ∵1Δ3C BC S =16，∴1Δ43
A BA S =9. ……………………………7分
（3）线段EP 1长度的最大值为11，EP 1长度的最小值1. ………… 9分 27．（10分）
（1）（1）①c ＝b 2
；……………………………………………………2分
②解法一：由⎩
⎪⎨⎪⎧n ＝m 2
-2b m ＋c
n ＝（m +6）2
-2b （m +6）＋c ，………………………3分 得b ＝m +3，则c ＝（m +3）2
；………………………………4分
于是，n ＝m 2
-2（m +3）m ＋（m +3）2
=9；………………… 5分 解法二：
由题意可知：y ＝x 2
-2bx ＋c 的图象是由y ＝x 2
的图象沿x 轴平移得到的，…3分
A B
D
C
O
E
1
2 3
A 1
C 1
A
B C
图1
2
1
C 1
C
B
A 1
A
图2
10 / 10
∵y ＝x 2
-2bx ＋c 的图象经过A （m ，n ）、B （m +6，n ）两点，
∴y ＝x 2
的图象经过（-3，n ）、（3，n ）两点，…………………………………4分 ∴n ＝32=6．…………………………………………………………………………5分 （2）解法一：∵y ＝x 2
-2bx ＋c 图象与x 轴交于C （6，0）
∴36 -12b ＋c =0，∴ c =12b -36…………………………………………6分 ∴y ＝x 2
-2bx ＋12b -36，令y ＝0得x 2
-2bx ＋12b -36＝0
解得： x 1＝6，x 2＝2b – 6，即k =2b -
6；………………………………………7分
∵C 、D 之间的整数和为21， ∴由8≤k ＜9，或-1＜k ≤1，
∴8≤2b -6＜9，或-1＜2b -6≤1，…………………………………………9分 解得7≤b ＜7.5或2.5＜b ≤3.5. …………………………………………10分
解法二：∵y ＝x 2
-2bx ＋c 图象过C （6，0）与D （k ，0），
∴（x
-6）（x
– k ）=0，整理得x 2
-（6+ k ）x ＋6k =0……………………6分 ∴6+k =2b
，k =2b -
6；………………………………………………………7分
∵C 、D 之间的整数和为21， ∴由8≤k ＜9，或-1＜k ≤1，
∴8≤2b -6＜9，或-1＜2b -6≤1，…………………………………………9分 解得7≤b ＜7.5或2.5＜b ≤3.5. …………………………………………10分
解法三：∵6+k 2
=b ，∴k =2b -
6；…………………………………………………7分
∵C 、D 之间的整数和为21， ∴由8≤k ＜9，或-1＜k ≤1，
∴8≤2b -6＜9，或-1＜2b -6≤1，…………………………………………9分 解得7≤b ＜7.5或2.5＜b ≤3.5. …………………………………………10分。