【高考风向标】2020年高考数学一轮复习 第三章 第6讲 函数与方程课件 文 精品

【互动探究】 2．用二分法求方程 x3－2x－5＝0 在区间[2,3]上的近似解，取
区间中点 x0＝2.5，那么下一个有解区间为___[2_,_2_.5_]___．
解析：令f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝23－2×2－5＝－1<0， f(2.5)＝2.53－2×2.5－5＝2.5×(2.52－22)>0，故下一个有解区间 为[2,2.5]．
2．二分法 如果函数 y＝f(x)在区间[m，n]上的图象是一条连续不断的曲 线，且__f(_m_)_·_f(_n_)_<_0_，通过不断地把函数 y＝f(x)的零点所在区间一 分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值 的方法叫做__二__分__法__．
1．图 3－6－1 是函数 f(x)的图象，它与 x 轴有 4 个不同的公 共点．给出下列四个区间，不能用二分法求出函数 f(x)在区间( ) 上的零点．( B )
(2)∵f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3>0， ∴f(2)·f(3)<0.∴f(x)在(2,3)上至少有一个零点． 又由(1)知 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，因此 f(x)＝0 至多有一 个根，从而函数 f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点． (3)由(2)知 f(x)的零点 x0 在(2,3)上， 取 x1＝52，∵f52＝ln52－1<0，∴f52·f(3)<0.∴x0∈52，3. 取 x1＝141，∵f141＝ln141－12>0，∴f52·f141<0.∴x0∈52，141. 而141－52＝14≤14，∴52，141即为符合条件的区间．
解析：(1)当t＝1时，f(x)＝4x3＋3x2－6x，f(0)＝0， f′(x)＝12x2＋6x－6，f′(0)＝－6. 所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－6x.
(2)f′(x)＝12x2＋6tx－6t2.
令 f′(x)＝0，解得 x＝－t 或 x＝2t .
因为 t≠0，所以要分为 t<0 和 t>0 讨论．
第6讲 函数与方程
考纲要求
考纲研读
对于零点性质要注意函数与
1.结合二次函数的图象，了解函数 方程的结合，借助零点的性质 的零点与方程根的联系，判断一元
可研究函数的图象、确定方程 二次方程根的存在性及根的个数．
的根；对于连续函数，利用根
2．根据具体函数的图象，能够用二 的存在性定理，可Байду номын сангаас来求参数 分法求相应方程的近似解.
A．[－2.1，－1] C．[4.1,5]
图 3－6－1 B．[1.9,2.3] D．[5,6.1]
2．用二分法研究函数 f(x)＝x3＋3x－1 的零点时，第一次经计
算 f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点 x0∈________，第二次应
计算________．以上横线上应填的内容为( A )
的取值范围.
1．函数的零点 (1)方程 f(x)＝0 有_实__根__⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有_交__点__⇔ 函数 y＝f(x)有零点； (2)如果函数 y＝f(x)在区间(a，b)上的图象是连续不断的，且 有_f_(a_)_·_f(_b_)_<_0_，则函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．一般把这一 结论称为零点存在性定理．
①当2t ≥1，即 t≥2 时，f(x)在(0,1)内单调递减， 因为 f(0)＝t－1>0，f(1)＝－6t2＋4t＋3≤－6×4＋4×2＋3<0， 所以对任意 t∈[2，＋∞)，f(x)在区间(0,1)内存在零点． ②当 0<2t <1，即 0<t<2 时，f(x)在0，2t 内单调递减，在2t ，1 内单调递增．
【互动探究】 1．(2011年山东)已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0，且
a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)， n∈N*，则n＝__2__.
解析：f(2)＝loga2＋2－b<0，f(3)＝loga3＋3－b>0， ∴x0∈(2,3)．故所求的n＝2.
A．(0.6,1.0) C．(1.8,2.2)
B．(1.4,1.8) D．(2.6,3.0)
解题思路：判断函数 f(x)＝2x－x2 在各个区间两端点的符号． 解析：①由 f(0.6)＝1.516－0.36>0，f(1.0)＝2.0－1.0>0，排除 A；由 f(1.4)＝2.639－1.96>0，f(1.8)＝3.482－3.24>0，排除 B；由 f(1.8)＝3.482－3.24>0，f(2.2)＝4.595－4.84<0，可确定方程2x＝x2 的一个根位于区间(1.8,2.2)上． 答案：C
所以函数 f(x)＝ex＋4x－3 是单调增函数．
所以函数 f(x)＝ex＋4x－3 的零点在14，12内． 答案：C
判断函数 y＝f(x)在某个区间上是否存在零点，常用 以下三种方法：①当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是 否有根落在给定区间上；②利用函数零点的存在性定理进行判断； ③通过函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判 断．
考点2 二分法的应用
例2：已知函数 f(x)＝lnx＋2x－6. (1)证明函数 f(x)在其定义域上是增函数； (2)证明函数 f(x)有且只有一个零点； (3)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过14.
解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 设x1<x2，则lnx1<lnx2,2x1<2x2. ∴lnx1＋2x1－6<lnx2＋2x2－6. ∴f(x1)<f(x2)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
x f′(x)
(－∞，－t) ＋
－t，2t －
2t ，＋∞ ＋
f(x)
单调递增
单调递减
单调递增
所以 f(x)的单调增区间是(－∞，－t)和2t ，＋∞，单调减区间 是－t，2t .
(3)由(2)可知，当 t>0 时，f(x)在0，2t 内单调递减，在2t ，＋∞ 内单调递增．需要讨论2t 与讨论的区间(0,1)的相互位置关系．
(2)设 g(x)＝log4a·2x－43a，若函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有 一个公共点，求实数 a 的取值范围．
解析：(1)由 f(x)是偶函数，得 f(x)＝log4(4x＋1)＋kx，f(－x)＝log44x4＋x 1－kx， 又 f(x)＝f(－x)，解得 k＝－12.
(2)f(x)＝log4(4x＋1)－12x，x∈R. 又 f(x)＝g(x)，则a4x＋2x－1＝432>x02. x－43a， 所以(a－1)22x－43a2x－1＝0. 记 2x＝t(t>0)， 方程 h(t)＝(a－1)t2－43at－1＝0 有且只有一个正根．
【互动探究】
3．若函数 f(x)＝x3－3x＋a 有 3 个不同的零点，则实数 a 的取
值范围是( A )
A．(－2,2) C．(－∞，－1)
B．[－2,2] D．(1，＋∞)
思想与方法 5．运用函数与方程思想判断方程根的分布 例题：已知 f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数． (1)求 k 的值；
(1)若 t<0，则2t <－t.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f′(x) f(x)
－∞，2t ＋
单调递增
2t ，－t －
单调递减
(－t，＋∞)
＋ 单调递增
所以 f(x)的单调增区间是－∞，2t 和(－t，＋∞)，单调减区间 是2t ，－t.
(2)若 t>0，则－t<2t . 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
考点3 利用导数讨论方程的根的分布 例3：(2011 年天津)已知函数 f(x)＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，其 中 t∈R. (1)当 t＝1 时，求曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)当 t≠0 时，求 f(x)的单调区间； (3)证明：对任意 t∈(0，＋∞)，f(x)在区间(0,1)内存在零点．
x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 …
y＝2x 1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 4.595 6.063 8.0 10.556 …
y＝x2 0.04 0.36 1.0 1.96 3.24 4.84 6.76 9.0 11.56 … 那么方程 2x＝x2 的一个根位于下列哪个区间( )
将对数方程转化成二次方程应注意取值范围，要保 证转化的等价性；解决一元二次方程的实根分布问题时一定要结 合图象，从各个方面考虑使结论成立的所有条件，常见的有：判 别式、根与系数的关系、对称轴、函数值的大小、开口方向等．
与二次方程 f(x)＝ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的分布有关的结论：
(1)方程 f(x)＝0 的两根中一根比 r 大，另一根比 r 小 ⇔a·f(r)＜0. (2)方程 f(x)＝0 的两根都大于 r
①当 a＝1 时，h(t)＝－43t－1＝0 无正实根； ②当 a≠1 时，Δ＝196a2＋4(a－1)＝0，解得 a＝34或 a＝－3. 而当 a＝34时，t＝－2<0；当 a＝－3 时，t＝12>0. 当 Δ＝196a2＋4(a－1)>0，即 a>34或 a<－3 时，方程有两根，依 题设有 t1t2＝－a－1 1<0，解得 a>1. 综上所述，当 a∈{－3}∪(1，＋∞)时，函数 f(x)与 g(x)的图 象有且只有一个公共点．
给定精度ε，用二分法求函数 y＝f(x)的零点近似值 的步骤如下：
(1)确定区间[m，n]，验证f(m)·f(n)<0，给定精度ε； (2)求区间[m，n]的中点x1； (3)计算f(x1)： ①若f(x1)＝0，则x1就是函数y＝f(x)的零点； ②若f(m)f(x1)<0，则令n＝x1[此时零点x0∈(m，x1)]； ③若f(x1)f(n)<0，则令m＝x1[此时零点x0∈(x1，n)]．
若 t∈(0,1]，f2t ＝－74t3＋t－1<0， f(1)＝－6t2＋4t＋3≥－6t＋4t＋3＝－2t＋3>0. 所以对任意 t∈(0,1]，f(x)在区间2t ，1内存在零点． 若 t∈(1,2)，f2t ＝－74t3＋t－1<－74t3＋1<0，f(0)＝t－1>0. 所以对任意 t∈(1,2]，f(x)在区间0，2t 内存在零点． 所以对任意 t∈(0,2)，f(x)在区间(0,1)内存在零点． 综合以上，对任意 t∈(0，＋∞)，f(x)在区间(0,1)内存在零点．
②(2011年新课标全国)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3 的零点所在的区间为( )
A.－14，0
B.0，41
C.14，12
D.12，34
解析：因为
f14＝e
1 4
－2<0，f12＝e
1 2
－1>0，所以
1 1 f4·f2<0.
又因为函数 y＝ex 是单调增函数，y＝4x－3 也是单调增函数，
是( C ) A．(－2，－1) C．(0,1)
B．(－1,0) D．(1,2)
5．关于 x 的一元二次方程 5x2－ax－1＝0 有两个不同的实根， 一根位于区间(－1,0)，另一根位于区间(1,2)，则实数 a 的取值范围
为________.
考点1 判断函数零点所在的区间
例1：①利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：
Δ＝b2－4ac≥0， ⇔－2ba>r，
a·fr>0.
(3)方程 f(x)＝0 在区间(p，q)内有两根
Δ＝b2－4ac≥0， ⇔p<－2ba<q，
a·fp>0， a·fq>0.
(4)方程 f(x)＝0 在区间(p，q)内只有一根 ⇔f(p)·f(q)＜0，或 f(p)＝0，另一根在(p，q)内，或 f(q)＝0，另 一根在(p，q)内． (5)方程 f(x)＝0 的两根 x1，x2 中，p＜x1＜q＜x2(p＜q) ⇔f(p)·f(q)＜0.
A．(0,0.5)，f(0.25)
B．(0,1)，f(0.25)
C．(0.5,1)，f(0.75)
D．(0,0.5)，f(0.125)
3．lgx－—1x ＝0 有解的区域是( B )
A．(0,1] C．(10,100]
B．(1,10] D．(100，＋∞)
4．(2010 年天津)函数 f(x)＝ex＋x－2 的零点所在的一个区间