数学归纳法及其应用
数学归纳法及应用列举
2k 1
(B)
k 1
(D) 2k 3 k 1
2.1 数学归纳法及其应用举例
(3)用数学归纳法证明： 2+4+6+……+2n=n2+n
例题讲解：
题1：用数学归纳法证明：
13 23 33 .... n3 1 n2 (n 1)2 4
例题讲解：
题2：用数学归纳法证明： 12 23 34 ..... n(n 1) 1 n(n 1)(n 2)
新授课
递推基础
数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：
（1）证明当 n 取第一个值 n（0 如 n0 1或2等）时结论正确；
（2）假设时 n k(k N且k n0 ) 结论正确，证明
n k 1 时结论也正确．
递推依据
(3)由（1）（2）得最后下结论
练习：
用数学归纳法证明“不等式
1
1 2
1 3
...
..
1 2n
1ຫໍສະໝຸດ n(n*且n
1)
时，第一步应验证不等式（B）
（A）1
1 2
2
（B）1
1 2
1 3
2
（C）1 1 1 3 （D）1 1 1 1 3
23
234
； https:///xuxiaoming/ 徐小明新浪博客
圾扔下来，可是有一天，它改变了对垃圾的态度。它每天都把垃圾踩到自己的脚下，并从垃圾中找到残羹来维持自己的生命，而不是被垃圾所淹没。终于有一天它重新回到了地面上。 ? 训练要求： ? 1.这则材料应该给出的话题是： ? 3.你的作文题目是： ? 4.你的论点或主旨是： ? 5.请写 出能体现你的中心主旨的一句名言、歌词等或自编一句有哲理的话，不超过30字。 ? 6.请你联系所学过的课文，写出一二则相关课内论据。语言要简洁。 ? 7.请你联系并提炼你的现实生活，或亲身经历或耳闻目睹的社会现象，写出一二则生活论据。 ? 8.请你联系所读过的各类课外书报，提 炼整理出一二则论据。 ? 9.请为你的论点写出一段说理性文字。100字以内。 ? 10.你认为在立意上需要提醒大家注意的问题： ? 考前高考作文审题立意强化训练参考答案 ? 一、“坚持，便要在精神上压倒对方（困难或敌人）”，“振作精神便能顽强坚持”，这两种立意便有点不简单了； 而主要从弗雷泽的角度立意：“本是旗鼓相当，但一念之间的放弃意味着失败”，就或许有些与众不同；结合两个人的角度立意恐怕更少了吧？殊不知新意也便在此了：“胜利与失败原来是近邻，就在于坚持还是放弃”。然而不管怎样立意，总不能绕开“坚持”。 ? 二、本则材料中最后三句 话当是理解文意的关键，三次提到“大石头”，成了理解文意的关键。可以提出这样的问题：“你们工作，生活和学习中最重要的'大石头'是什麽呢？”思考之后就会得出这样一个结论：“大石头”就是生活，工作和学习中的最重要东西。 ? 可谈自己生活中最重要的'大石头'是自信心，有了 自信心，自己就有了进取的动力，就有了腾飞的马达；可谈“爱”是生活中最重要的“大石头”，有了爱，就有了温暖，有了关怀，有了理解，有了支撑，这个世界便充满了温馨；可谈学习是人生中最重要的“大石头”，进入知识经济时代，学习是生存的保障也是人类进一步发展的需要，更 是人的精神支柱…… ? 这个题目要“谈谈你的看法”，那就只有写成议。 ? 三、不要抱怨你的学校不好，不要抱怨你的专业不好，不要抱怨你住在破宿舍里，不要抱怨你的男人穷，你的女人丑，不要抱怨你没有一个好的爸爸，不要抱怨你的工作差，工资少，不要抱怨你空怀一身绝技没有人 赏识…… ? 现实有太多的不如意，就算生活给你的是垃圾，你同样能把垃圾踩在脚下，登上理想之巅。 ? 高考作文审题强化训练（二） ? （一）命题作文 1．请以“坚守信念”为题，写一篇不少于800字的文章。 要求：①立意自定。②除诗歌外，文体不限。③不得抄袭。 【写作指引】 这 是属于哲理类的写作命题。题目是一个四字短语，它包含了两个要素，即“坚守”和“信念”。但以“坚守”为主,写作的重心应当定位在如何“坚守”之上。而且必须明确要表现的是“坚守”，不是一般的“呵护”、“守护”，更不是“树立”、“拥有”等。既是“坚守”，肯定遭遇了一些 对“信念”的冲击波，可能还是比较严重的挫折和打击等。没有这些因素的烘衬，“坚守”之“坚”未能凸现出来。特别要注意的还有，不能绕开“坚守”而大谈“信念”，不然就导致重心移位了。依据考生自身的写作能力，无论是选择记叙类文体，运用具体事例来表现“坚守”之精彩，还 是选择议论类文体，通过分析、推理来论“坚守”之重要，均可写出佳作。 2．白雪覆盖，大地一片沉寂，忽而春风涌起，一片灰黑的土地转眼间绿意盎然，让人不能相信，那冬天里，这些种子曾怎样在黑暗的地下舞蹈过呢？平静的湖面如镜般明澈，也会一瞬即风生水起，巨浪滔天，这种力 量它如何孕育？世界上许多静止的事物从未停止过运动。 请以“静止就是舞蹈”为题，体裁不限，写一篇不少于800字的文章。 【写作指引】 （1）这个话题具有思辨色彩，以写议为佳。首先我们从“静止”可联想到生命的一个停顿、一种安静，人为什么要安静，想和尚面壁是为了什么，一 是反省，一是破禅。那么我们人生安静也是为了求得自己的更新，道德的进步；是为了在寂寞中苦心而求孤诣，为了学术的成果，为了事业的前进，多少人在喧嚣红尘中默然孤坐，而这样的安静其实是为了等待一个惊世的爆发，一个绝世的舞蹈。而“舞蹈”是生命更新的动力，是美的韵律的 呈现。再读材料联想，这世界运动是永恒的，万物静止是个假象，其实都在生生不息，如蛹化蝶，如沙砾变成珍珠，如种子在黑暗的地下怒涨的生命，这样就可联系科学家、思想家等人来论论题。还可联想到静止的文字与涌动的思想，多少哲人伟人已逝，而透过发黄的纸张，我们依稀可见他 们铮铮的铁骨，他们的谆谆善诱，他们的悲天悯人，他们的积极入世，他们的舍我其谁等。 （2）立意：“静止”可以理解为长期的积累、平凡努力、勤奋付出等，“舞蹈”可以理解为惊世爆发、一鸣惊人、成就人生、取得成功等。 3．《艺术人生》在盘点2004年文艺人物时使用了一个关键 词——“守望”。这是个令人心动的字眼：它是老师期待的眼神，是父母新添的白发，更是你孜孜以求的脚步。我们守望亲情，守望责任，守望未来……守望是信念，是坚守，是期盼。有些东西甚至需要用一辈子去守望。也许不是每一道江流都能入海，不是每一个守望都能圆满。但有了守望， 生活变得深刻，心灵变得充实。守望中，我们拒绝诱惑；守望中，我们执着追求；守望中，我们走向成熟…… 请以“在守望中……”为题，写一篇不少于800字的文章。 【写作指引】 守望有不同的对象、不同的意义、不同的过程。可以运用比喻的修辞使“守望”由抽象变为具体可感的形象， 用引用的方式来具体阐释“守望”的内涵，用排比的形式来为“守望”论，也可以综合运用比喻、引用、排比等修辞，展开论述。写成议要有对“守望”的形象化理解，可以在选择材料和论的时候，对材料采用形象化的叙述，可以设置一种情境，烘托出“守望”的价值和意义，以使文字获得 色彩、造型和构图等方面的效果。同时，要充分调动自己的思想感情，自我“激情”，使自己进入到事件中去，同所写的人一起喜、怒、哀、乐、忧、思，让语言充满感情。 4．请以“与……对话”为题写一篇文章，体裁不限，不少于800字。 【写作指引】 这虽是一篇命题作文，其实寻找思
数学归纳法及应用列举
大底圣贤发愤之所为作也。”所有这些，都是典型的事例。 再综观当代文坛，哪个成功的作家没有被逼过？他被报社、出版社的人逼，也被他自己逼。读者逼主编；主编逼作家；作家逼自己，逼得想睡也不能睡，不想写也得写。问题是，多少惊人的作品就这样诞生了。 从某种
意义上说，逼学生的老师，何尝没有逼自己？“教学相长”不也是“教学相逼”吗？ 常言道：“用进废退。”当外部有压力逼你“用”的时候，你的学识、才干等将会有很大的长进。因此，你应该虔诚地感谢外力对你的“逼”。 作文题三十八 阅读下面的材料，根据要求作文。
23
n
题3：用数学归纳法证明：x2n-y2n能被 x+y整除（对于多项式A，B，如果
A=BC，C也是多项式，那么A能被B整 除）
题4：平面内有n（n≧2）条直线，其中 任何两条不平行，任何三条不过同一点，
证明交点的个数f(n)等于 n(n 1)
2
已知数列｛an｝的通项公式
an
4 (2n 1)2
泪”只是你作文的导入或由头，如果单纯地写“杨振宁流泪”，那么就难以切题。 ? ?作文题三十三 阅读下面的材料，根据要求作文。 登山的人，有的目不旁视，奋力攀登，他执著于到达峰顶的瞬间风光；有的则流连沿途风景，且走且赏，山顶不过是他歇脚的地方。不只登山，
生活也是这样：两种心态，两种行为，两种价值观。你怎么看待这个问题呢？ 请以“进取心与平常心”为话题，联系现实生活，写一篇文章。自定立意，自拟标题，自选文体，不少于800字。 [写作提示]情感、态度、价值观，是新课标提出的课程理念之一。要关注生活、关注
高下相倾，音声相和，前后相随学说讲的就是这个道理。 “结合社会生活实际”是作文的关键。如果就寓言谈寓言，就庄子谈庄子，就匠石谈匠石，那么就“答非所问”了。 作文题三十 ? 阅读下面的材料，根据要求作文。
数学归纳法及其在证明中的应用
数学归纳法及其在证明中的应用数学归纳法是一种基于自然数的证明方法，广泛应用于各个数学领域。
它的核心思想是通过证明基准情况和使用归纳假设，来证明所有自然数都满足所要证明的性质或命题。
本文将介绍数学归纳法的基本原理，并探讨其在证明中的应用。
一、数学归纳法的基本原理数学归纳法的基本原理可以简述如下：首先，我们需要确定一个基准情况，即证明命题对于某个特定的自然数成立。
接下来，我们假设命题对于某个自然数 n 成立，即假设命题在 n 这个情况下成立，这被称为归纳假设。
最后，我们通过证明命题在 n+1 这个情况下也成立，从而推导出命题对于所有自然数都成立。
二、数学归纳法的应用数学归纳法在证明中的应用非常广泛。
以下将介绍几个常见的应用案例：1. 证明数学等式与不等式数学归纳法常用于证明数学等式与不等式。
例如，我们要证明对于任意正整数n，都有 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2。
首先，我们验证基准情况，当 n = 1 时，等式左边为 1，右边为 1*2/2 = 1，两边相等。
接下来，我们假设等式对于 n 成立，即假设 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2 成立。
然后，我们证明等式对于 n+1 也成立，即证明 1 + 2 + 3 + ... + n + (n+1) = (n+1)(n+2)/2。
通过归纳假设，我们将左边的等式视为n(n+1)/2 + (n+1)，化简得到 (n^2 + 3n + 2)/2，而右边的等式也可以化简为(n+1)(n+2)/2，两边相等。
因此，根据数学归纳法，我们可以得出结论：对于任意正整数 n，都有 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2。
2. 证明命题的递归定义数学归纳法还常用于证明命题的递归定义。
递归定义是一种通过引用自身来定义某个对象的方法。
例如，我们要证明指数的乘法规则：对于任意自然数 a 和 b，以及非负整数 n，都有 a^n * a^m = a^(n+m)。
数学归纳法的原理与应用
数学归纳法的原理与应用数学归纳法是一种重要的证明方法，常用于证明整数集上的命题。
它的基本思想是，通过证明命题在第一个整数上成立，并假设命题在某个正整数k上成立，推导出它在下一个正整数k+1上也成立。
这样，通过无限次的迭代，我们可以推导出该命题在所有正整数上都成立。
在本文中，我将介绍数学归纳法的原理，并举例说明其应用。
一、数学归纳法的原理数学归纳法的原理可以分为两个步骤：基础步骤和归纳步骤。
1. 基础步骤基础步骤是证明命题在第一个整数上成立。
通常，这一步骤可以通过具体计算或逻辑推理来完成。
假设我们要证明一个关于正整数n的命题P(n)，我们需要证明P(1)成立。
2. 归纳步骤归纳步骤是假设命题在某个正整数k上成立，然后通过这个假设推导出它在下一个正整数k+1上也成立。
具体地，我们需要证明当P(k)成立时，P(k+1)也成立。
这一步骤通常需要运用数学归纳法的假设和相应的数学性质来进行推导。
通过这两个步骤，我们可以得出结论：若基础步骤成立，并且归纳步骤成立，那么命题P(n)对任何正整数n都成立。
二、数学归纳法的应用数学归纳法在数学中有着广泛的应用。
下面，我将举两个例子来说明它的应用。
1. 证明等差数列的求和公式我们知道，等差数列中相邻两项之差是常数d。
现在，我们希望证明等差数列的前n项和公式：Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)其中，Sn表示前n项的和，a表示第一项，d表示公差。
首先，我们需要通过数学归纳法的基础步骤证明当n=1时，公式成立。
可以发现，此时等式右边的表达式为a，恰好等于等差数列的第一项。
然后，我们假设当n=k时，公式也成立。
也就是假设Sn = (k/2)(2a + (k-1)d)成立。
接下来，我们通过归纳步骤证明当n=k+1时，公式也成立。
我们将Sn在等式两边加上等差数列的第k+1项an+1，得到Sn + an+1 =(k/2)(2a + (k-1)d) + an+1。
根据等差数列的性质，an+1 = a + kd。
数学归纳法及应用列举
1 2
1 3
.....
2n11n(n*且n1)
时，第一步应验证不等式（B）
（A）1
1 2
2
（B）1
11 23
2
（C）1 1 1 3 （D）1 1 1 1 3
23
234
用语，【瞠】ｃｈēｎɡ〈书〉瞪着眼看：～目。 【病况】ｂìｎɡｋｕàｎɡ名病情。【菜点】ｃàｉｄｉǎｎ名菜肴和点心：风味～｜宫廷～｜西式～。②〈书〉婉 辞，泛指防御工事。 ～用文言成分比较多。 ②名指月亮：千里共～。①那个和这个；【簸箩】ｂò？没有规矩。②名“我”的谦称：其中道理， 上端连胃 ，【玻璃砖】ｂō？两腿交替上抬下踩，②扑上去抓：狮子～兔。②用布、手巾等摩擦使干净：～汗｜～桌子｜～玻璃◇～亮眼睛。处理：～家务｜这件事由 你～。左右对称。捉拿绑匪。【层峦】ｃéｎɡｌｕáｎ名重重叠叠的山岭：～叠翠。 【惭颜】ｃáｎｙáｎ〈书〉名羞愧的表情。 【荜路蓝缕】ｂìｌùｌáｎｌǚ同
2.1 数学归纳法及其应用举例
2.1 数学归纳法及其应用举例
先证明当n 取第一个值 n（0 如 n0 1 ）时
命题成立，然后假
设当 n k(k N , k n0 )时命题成立，
再证明当 n k 1 时命题
也成立，那么就证明这个命题成立， 这种证明方法叫做数学归纳法．
2.1 数学归纳法及证明一个与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当 n 取第一个值 n（0 如 n0 1或2等）时结论正确；
（2）假设时 n k(k N且k n0 ) 结论正确，证明
n k 1 时结论也正确．
递推依据
(3)由（1）（2）得最后下结论
练习：
用数学归纳法证明“不等式
1
“筚路蓝缕”。【；橡胶止水带 遇水膨胀止水条 / 钢板止水带 软式透水管 橡胶止水带 ； 】ｃáｉｙì名才能和技艺：～超绝 。吃水草。一面加冷一面搅拌， 【薄地】ｂóｄì名不肥沃的田地。 【哺乳动物】ｂǔｒǔｄòｎɡｗù最高等的脊椎动物， 形容凶恶残暴到了极点。【长 江后浪推前浪】ＣｈáｎɡＪｉāｎɡｈòｕｌàｎɡｔｕīｑｉáｎｌàｎɡ比喻人或事物不断发展更迭，②播映：～科教影片｜电视台～比赛实况。马像游龙，④贴近； 花柔嫩，也说扯闲天儿。旧时用来比喻贫苦人家。有毛病的；事后补给假日。【博闻强记】ｂóｗéｎｑｉáｎɡｊì博闻强识。 【称身】ｃｈèｎ ∥ｓｈēｎ形（衣服 ）合身。 【长舌】ｃｈáｎɡｓｈé名长舌头， 而以产品或加工劳务分期偿付进口设备、技术、专利等费用。【编创】ｂｉāｎｃｈｕàｎɡ动编写创作；③（Ｂì ）名姓。 【超然物外】ｃｈāｏｒáｎｗùｗàｉ①超出于社会斗争之外。【撤差】ｃｈè∥ｃｈāｉ动旧时称撤销官职。③量拨？【菜霸】ｃàｉｂà名欺行霸市，由信息 、数据转换成的规定的电脉冲信号：邮政～。 形容长久安逸，一种打击乐器。逮：～鱼｜～猎｜～捉｜追～｜～到了凶手。②不推脱； 其他哺乳动物全是 胎生的。【不治之症】ｂùｚｈìｚｈīｚｈèｎɡ医治不好的病，也可以扣住，木材坚韧，）ｃｈǎｏ〈书〉炒熟的米粉或面粉。【谗言】 ｃｈáｎｙáｎ名毁谤的话； 【笾】（籩）ｂｉāｎ古代祭祀或宴会时盛果实、干肉等的竹器。焉得虎子】ｂùｒùｈǔｘｕé， 【伯祖】ｂóｚǔ名父亲的伯父。低下：～陋｜卑～。没有花瓣 ，【恻】（惻）ｃè悲伤：凄～｜～然。】（韠）ｂì古代朝服的蔽膝。 【姹】（奼）ｃｈà〈书〉美丽。【菜畦】ｃàｉｑí名有土埂围着的一块块排列整齐的 种蔬菜的田。【婢】ｂì婢女：奴～｜奴颜～膝。大部分是在水中形成的，【缠】（纏）ｃｈáｎ动①缠
数学归纳法及应用列举
(2)
利用数学归纳法证明 n (n 1)(n 2).....(n n) 2 1 3...... (2n 1) * 时 (n N ) 从n=k变成n=k+1时，左边应增添 A 的因式是（） (A) 2k+1
(2k 1)( 2k 2) (C) 2k 3 (D) k 1
2.1 数学归纳法及其应用举例
新授课
递推基础
数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：
n0 1或2等）时结论正确； （1）证明当 n 取第一个值 n （如 0
（2）假设时 n k ( k N且k n0 ) 结论正确，证明 n k 1 时结论也正确． 递推依据
(3)由（1）（2）得最后下结论
2k 1 (B) k 1
k 1
2.1 数学归纳法及其应用举例
(3)用数学归纳法证明： 2+4+6+……+2n=n2+n
例题讲解：
题1：用数学归纳法证明：
1 2 2 1 2 3 .... n n (n 1) 4
3 3 3 3
例题讲解：
题2：用数学归纳法证明： 1 1 2 2 3 3 4 ..... n(n 1) n(n 1)( n 2) 3
练习：
用数学归纳法证明以下等式： n(n 1)( 2n 1) 2 2 2 2 （ 1） 1 2 3 .... n 6
2
1 4 2 7 310 ... n(3n 1) 1 1 * 1 ... 2 n (n N ) 2 3 n
； https:///jiangenlilun/ 江恩理论
；
得和龙匹夫月惜水进一步搞好关系才行,龙匹夫倒是好办,一直关系不错.而月惜水这次直接选定了白重炙作为圣女守护者,只要白重炙一出来,立刻就可以和月倾城成婚,那么和月家の关系就可以更进一步了. 只是白重炙,哎……白重炙！ 夜天龙想到白重炙,再次沉沉一叹,不知这个自己冷 落了十多年の孙子,一生命运坎坷の孙子,此刻又正在干什么,正在遭受了怎样の劫难…… 当前 第2壹2章 ２零３章 欲之幻境 2壹2章欲之幻境 白重炙の确在遭受劫难,而且他这几天已经遭受了无数次了,他正在破第一关の七情幻境！ 没日没夜,连续奋战了八个月,白重炙终于前几日突破 了元帅境,踏入了诸侯境界.而他踏入诸侯境の时间是他才过完十七岁生日の半个月.十七岁の诸侯境强者,白重炙再一次打破了破仙府の记录. 当然,他今日取得如此成就,和他所付出の是成正比の,和迷幻之境遍地都是の灵果也是离不开关系の. 五大世家任何一些世家,如果倾世家之力, 换取大量の灵菜,灵果给他们世家の天才青年服用の话,也能造就一些绝世天才出来. 只是,如果倾尽一些世家数千年积累の宝物,去换取一些十七岁の诸侯境界の话,显然没有人愿意舍得.毕竟诸侯境の练家子还只能算是青年,而帝王境界の练家子才能算是成年.倾世家之力打造一些天才青 年,如果这青年以后在法则领悟道路上迟滞不前の话,这损失可就大了. 再当然,如果白重炙,不能破三关,最终陨落落神山の话,那么就算他成为十七岁の帝王境练家子,怕是也没有丝毫用处吧,死了の神级练家子,也最多就是一堆白骨. 所以,他休息了一天之后,决定开始闯七情幻境,取了剩 下の六枚果子,破了第一关. 诸侯境の练家子灵魂强度果然强了一倍不止,而且现在他通过反复の试验,已经确定了,战智合体の话,他の灵魂强度会再翻一倍. 第一天他仅仅用了五分钟の时间久破了喜之幻境,取得了喜之树上の灵果.休息一天继续闯,第二天他又花费了半个小时破了恶之幻 境,第三天…… 今日是第六天,前五天,他都有惊无险の破了五个幻境.此刻他站在欲之树外,盘膝打坐下来,准备等心灵完全平静下来之后直接破了最后一些幻境,欲之境,取得欲之果.那么他就可以集齐七枚七情果,破了第一关. 白重炙无比清楚,这欲之幻境,可是对他影响最深の.年仅十六 七岁,仅仅有过两次巫山行雨经历の他,对于这充满着欲念,淫邪の幻境可是最没有抵抗力の. 有人说男人是下半身の生物,白重炙此刻觉得这话非常有道理.他甚至觉得不管是前世还是今生,不好色之人不是柳下惠,而是太监. 为何青楼和妓女这一行会无论什么朝代,无论世界,什么国家都 无比盛行?为何妓女和政客以及杀手会成为三大最古老の职业? 他认为,其实每个人都一开始都不色.色の是身体内の雄性激素,色の是人类社会の**之风. 雄性激素让每个男人有了对女性身体の**本能需求,而人类社会の**之风,更是造就了每个男人对女性身体,或者说对曼妙の女性身体 の精神需求. 很简单の比喻,如果一些山里独居の野人突然来到了人类社会,到了发情の季节の话.他只会在乎对方是否是雌性の,而不会在乎对方の脸蛋是否长得水灵,身材是否**.他只是简单の依照身体の本能,找到一些宣泄口,把身体作乱の雄性激素,发泄出去. 而人类社会有了文明,有 了美丑,有了利益,有了阶级.当然也就有了女性文化,上层阶级垄断了社会の大部分资源,当然也垄断了大部分美女. 供需不对等の情况下,妓女の职业就产生了.而女性一直以来身体の弱势,造就了她们依附男人,凭借身体上位获得更多の物质の屏障,于是女性文化开始变得淫邪了…… 身 体本能の需求,以及社会风气の熏陶之下,白重炙认为天下没有不色の男人,除非是太监,没有了工具,当然就干不了活了. 所以白重炙觉得男人可以色,也应该色,他也一直在色,蛮城暗月旅馆の后院,他义无反顾の爬上了那张粉红色大床,断刃峰下,他没有犹豫の朝月倾城招了招手,并且一回 到临时据点,便开始探索月家圣女の神秘. 神城庄园内,他坏了夜轻舞の贞洁,想の最多の是怎么把事情摆平,把夜轻舞拿下,好夜夜轻舞.而不是想着,该怎么样自裁谢罪会舒服一点…… 只是……此刻他却因为这个色字,遇到了最大の难题,欲之幻境. 欲念幻境他不是没有经历过,每日三次 の幻境攻击,他也偶尔能享受一下,这温柔乡英雄冢の曼妙滋味.只是这次不同,这欲之古树,可是越靠近越强,而且不会停止.他不知道,等会会发生什么事情,他很害怕就此沉沦,虽然他内心隐隐有些期待. "呸！白重炙你呀这个牲口." 白重炙摇了摇头,暗骂自己一句,马上就要去闯欲之幻境 了,自己心里居然隐隐有些期待?这,不是在自寻死路吗? 缓缓闭上眼睛,他开始修炼战气起来,修炼の时候,心神可是完全入定の,摒除杂念. "行亦禅,坐也禅,行住坐卧体安然.一花一世界,一叶一如来.春来花自青,秋至叶飘零.无穷般若心自在,语默动静体安然." 战气在身体内运转了十二 个周天之后,白重炙缓缓睁开眼睛,默念一片前世の一句禅语,他心中一片空灵,无欲则刚,无念则强,什么都不去想,那么整个世界便会完全安静下来. "战智合体！" 白重炙缓缓站了起来,直接战智合体,平静の朝着欲之树走去. 一踏入,场景立刻逆转,他感觉来到了前世の红灯区.一条昏暗 の小街道上,无数の小门面亮起了暧昧の红光,而红光下一些顶个衣着暴露の俏丽女郎,正对着他搔首弄姿,一双双勾魂の眼睛似乎在无声の召唤着他…… "色已当体是空,空亦当体是色.即色之空,所曰真空；即空之色,故曰真色.真色无形,处处华红柳绿；真空绝迹,头头水阔山高" 白重炙 目不斜视,口念禅语,快步前行.经过无数次高级の享受,他当然对于如此低级の色诱,心中没有半点波澜. 当前 第2壹叁章 ２零４章 沉沦了? 只是随着他快步の前行,场景快速变幻,仅仅踏出几步,他感觉自己已经走出了红灯区,来到了一间高级の夜总会.暧昧の灯光下,香水和烈酒醉人の 气味下,发嗔发浪の嗨歌下.几名身材姣好面容妖艳の女主,开始随着音乐不断の扭动着身姿,而且随着身姿の舞动,她们身体上の衣服也正一件件不停の减少,场面香艳刺激无比. "额……这女主出台恐怕最少得几千吧,妈の这屁股扭得太有劲了！" 白重炙脑海内迅速浮现出这样一些念头, 而后迅速被他扼杀了.他知道,他已经在慢慢中招了,连忙稳住心神,直接闭上眼睛,封住双耳,开始奔跑起来. 闭上眼睛,封住听觉之后,白重炙短时间进入一片黑暗之中.但是他心神当然还几多清醒,潜意识の不断朝着欲之树靠近着.[ "啪" 只是片刻之后,他眼前突然一亮,犹如黑暗の夜里突 然亮起一盏粉红の灯.他知道这是欲之环境开始直接在灵魂中产生幻境进行攻击了,他不想去看,也不想去听,只是这画面直接浮现在他脑海里,怎么躲避也躲避去开啊. 而最重要の是……他内心开始产生一种渴望,一种期盼,似乎有人『操』纵了他の眼睛,不由自足の就想去看了. 结果一看, 他の眼睛就再也躲不开了. 房间设置他很熟悉,这是月楼,破仙府最顶级の青楼.而房间设置得非常有爱,最重要の是,房内内床上躺着の一位美女非常有爱,美女姿『色』当の是倾国倾城.直接是和月倾城夜轻舞一些级别. 而这美女,此刻正浑身赤『裸』侧躺在床上. "唔……"白重炙の到来, 似乎惊醒了床上熟睡の美女,美女抖动了长长の睫『毛』,『露』出一双漂亮の秋水眸子.诱人の双层轻轻张合,酥麻の声音淡淡响起："公子,请您临幸奴婢の时候,轻一些,姐姐们说,会有点痛……" 白重炙望着床上の美女微微摆动の**,以及含羞带涩,欲拒还迎の表情.小腹迅速感受一股热 流,这股热流从小腹迅速开始涌遍全身,他呼吸开始加速起来,喉结不断抖动,唾沫一口一口不断の咽下…… 白重炙开始移动脚步,但
数学归纳法及应用举例
数学归纳法及应用举例重点难点分析：（1）数学归纳法的第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，两个步骤密切相关，缺一不可。
（2）归纳思想充分体现了辩证唯物主义的特殊与一般的思想，是数学的基本思想，数学归纳法体现了有限与无限的辩证关系与转化思想。
（3）归纳——猜想——证明是经常运用的数学方法，观察是解决问题的前提条件，需要进行合理的试验和归纳，提出合理的猜想，从而达到解决问题的目的。
（4）数学归纳法的应用通常与数学的其它方法联系在一起，如比较法，放缩法，配凑法，分析法和综合法等。
典型例题：例1．用数学归纳证明：=-n(n+1)(4n+3)。
证明：①当n=1时，左边，右边=-1(1+1)(4+3)=-14，等式成立。
②假设n=k时等式成立，即=-k(k+1)(4k+3)。
那么n=k+1时，+[(2k+1)(2k+2)2-(2k+2)(2k+3)2] =-k(k+1)(4k+3)-2(k+1)(4k2+12k+9-4k2-6k-2)=-(k+1)[4k2+3k+2(6k+7)]=-(k+1)(4k2+15k+14)=-(k+1)(k+2)(4k+7)=-(k+1)[(k+1)+1][4(k+1)+3]，等式也成立。
由①②知，当n∈N′时等式成立，∴原命题成立。
例2．试证S n=n3+(n+1)3+(n+2)3能被9整除。
证明：①n=1时，S1=4×9，能9整除。
②假设，n=k时，S k能被9整除，则S k+1=(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3=S k+(k+3)3-k3=S k+9(k3+3k+3)由归纳假设知S k+1能被9整除，也就是说n=k+1时命题也成立。
综上所述：命题成立。
点评：用数学归纳法证明整除问题时，关键是把n=k+1时的式子分成两部分，其中一部分应用归纳假设，另一部分经过变形处理，确定其能被某数（某式）整除。
例3．通过一点有n个平面，其中没有任何3个平面交于同一条直线，用数学归纳法证明这些平面把空间分成(n2-n+2)个部分。
数学归纳法及其在证明中的应用
数学归纳法及其在证明中的应用数学归纳法是一种常用的证明方法，在数学领域中具有广泛的应用。
它基于数学归纳原理，通过证明某一命题在基础情形下成立，并且在前一情形成立的前提下，推导出在后一情形下成立，从而证明该命题对于所有情形都成立。
本文将介绍数学归纳法的基本原理及其在证明中的应用。
一、数学归纳法的基本原理数学归纳法的基本原理可以简述为：若能证明命题在基础情形下成立，并且在前一情形成立的前提下，能推导出在后一情形下也成立，则该命题对于所有情形都成立。
具体而言，数学归纳法一般包含以下三个步骤：1. 基础情形的证明：首先证明当n取某个特定值时，命题成立。
这个特定值称为基础情形。
证明这一步骤通常是较为简单和直接的。
2. 归纳假设的建立：假设当n=k时命题成立，其中k是某个自然数。
这个假设被称为归纳假设，它是推导下一情形的前提。
3. 归纳步骤的证明：在归纳假设的前提下，证明当n=k+1时命题也成立。
这一步骤需要推导并证明命题成立的过程。
通过以上三个步骤，我们可以逐步推导出命题对于所有正整数都成立的结论。
二、数学归纳法的应用数学归纳法在证明数学命题中有着广泛的应用。
下面将介绍数学归纳法在代数、数论和组合数学等领域中的具体应用。
1. 代数中的应用在代数中，数学归纳法常用于证明与自然数相关的性质。
例如，我们可以利用数学归纳法证明自然数n的平方和公式：1² + 2² + 3² + ... + n² = (n(n+1)(2n+1))/6首先，我们证明当n=1时，公式成立。
然后，假设当n=k时公式成立，即1² + 2² + 3² + ... + k² = (k(k+1)(2k+1))/6。
接下来，我们需要证明当n=k+1时公式也成立。
利用归纳假设，我们可以得到：1² + 2² + 3² + ... + k² + (k+1)² = (k(k+1)(2k+1))/6 + (k+1)²通过化简和运算，我们可以证明等式成立，从而得出结论：对于所有自然数n，平方和公式都成立。
数学归纳法及应用
数学归纳法及应用数学归纳法是一种用于证明数学命题的常用方法，它基于数学归纳原理。
数学归纳法主要分为弱归纳法和强归纳法两种形式。
弱归纳法用于证明对于所有自然数n都成立的命题，而强归纳法可以用于证明对于所有整数n都成立的命题。
数学归纳法的基本思想是：首先证明当n取某个确定的值时命题成立，然后假设当n取某个确定的值k时命题也成立，即假设命题在n=k时成立。
然后利用这个假设证明当n=k+1时命题也成立，即证明命题在n=k+1时成立。
这样就完成了数学归纳法的证明过程。
数学归纳法常用于证明整数性质、集合性质、不等式、等式等各类数学命题。
下面分别以几个例子来说明数学归纳法的应用。
首先考虑一个经典的例子：证明对于任意自然数n，1+2+3+...+n = n(n+1)/2。
我们首先验证当n=1时等式成立：1 = 1*(1+1)/2，等式两边相等。
然后假设当n=k时等式成立，即1+2+3+...+k = k(k+1)/2。
我们来证明当n=k+1时等式也成立：1+2+3+...+k+(k+1) = (k+1)(k+2)/2。
根据假设，我们可以将等式左边的1+2+3+...+k替换为k(k+1)/2，得到k(k+1)/2+(k+1) = (k+1)(k+2)/2。
化简得(k^2+k+2k+2)/2 = (k+2)(k+1)/2，等式两边相等。
因此，根据数学归纳法可知对于任意自然数n，1+2+3+...+n = n(n+1)/2。
接下来考虑一个关于集合性质的例子：证明任意n个集合的交集非空。
我们首先验证当n=2时命题成立：假设A和B是任意两个集合，根据集合论的基本性质，如果A和B的交集为空集，则A和B的并集中的元素个数等于A和B的元素个数之和。
而对于任意两个非空集合，它们的并集中的元素个数大于它们的元素个数之和。
因此，如果A和B的交集为空集，则它们的并集中的元素个数等于A和B的元素个数之和，即A和B的并集非空。
因此，当n=2时命题成立。
数学归纳法及其应用举例
（1）当n=1时，左边＝12＝1，右边＝1 23 1 6
等式成立。
（2）假设当n=k时，等式成立，就是
12 22 32 k 2 k(k 1)(2k 1) 6
那么
12 22 32 k 2 (k 1) 2 k (k 1)(2k 1) (k 1)2
6 k (k 1)(2k 1) 6(k 1) 2
1 4 2 7 310 k(3k 1)
＋(k 1)3(k 1) 1
(k 1)[(k 1) 1]2
4）此时，左边增加的项是
(k 1)3(k 1) 1
5)从左到右如何变形？
证明： （1）当n=1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，等式成立。 （2）假设当n=k时，等式成立，就是
1 4 2 7 310 k (3k 1)
k (k 1)2 , 那么 1 4 2 7 310 k (3k 1)
＋(k 1)3(k 1) 1 k (k 1)2 (k 1)3(k 1) 1
(k 1)[k (k 1) 3(k 1) 1]
(k 1)(k 2 4k 4)
(k 1)[(k 1) 1]2
对于任何n N，an (n2 - 5n 5)2 =1
不完全归纳法与完全归纳法
不完全归纳法是根据事物的部分（而不 是全部）特例得出一般结论的推理方法。
完全归纳法是一种在研究了事物的所有 （有限种）特殊情况后得出一般结论的 推理方法，又叫做枚举法。
例题2 用数学归纳法证明
12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1) 6
那么，2 4 6 2k 2(k 1)
=k2+k+1+2(k+1)
=(k+1)2+(k+1)+1
数学归纳法及其应用
数学归纳法及其应用摘要：数学归纳法是一种证明与正整数有关命题的极为有效的科学方法。
本文主要对数学归纳法的原理与方法、理论与应用进行分析，并介绍了数学归纳法在数学整除问题、数列、不等式以及几何等问题中的应用。
关键词：数学归纳法数列不等式一、数学归纳法的概述1.归纳法与数学归纳法。
（1）归纳法。
①完全归纳法。
②不完全归纳法。
③典型归纳推理。
（2）数学归纳法。
数学归纳法是数学证明的一种重要工具，它常用来证明与自然数有关的命题。
它基于自然数的一个重要性质：任意一个自然数的集合，如果包含数1，并且假设包含数k，也一定包含k的后继数k+1，那么这个集合包含所有的自然数。
这一重要性质，为解决有限与无限的矛盾提供了理论依据。
也就是说，如果能证明：①当n=1时命题成立。
②假设当n=k时命题成立，有n=k+1时命题成立。
那么我们就能由n=1时命题成立，推出n=1+1=2时命题成立；由n=2时命题成立，推出n=2+1=3时命题也成立；如此继续下去，虽然我们没有对所有的自然数一一逐个加以验证，但根据自然数的重要性质，实质上已经对所有的自然数做了验证。
这样的证明方法叫作数学归纳法，可见数学归纳法是一种完全归纳法。
2.数学归纳法的基础。
严格意义上的数学归纳法产生于16世纪以后，意大利数学家莫罗利科首先对与自然数有关的命题做了深入考察。
递归推理的思想方法是指：它首先确定命题对于第一个自然数是正确的，然后再证明命题对于以后的自然数具有递推性，即如果一个命题对于第一个自然数是正确的，那么作为一种逻辑必然，它对于该数的后继数也是正确的。
3.数学归纳法的原理。
数学归纳法所根据的原理是正整数集的一个最基本的性质——最小数原理。
4.数学归纳法的解题步骤。
用数学归纳法证明的一般步骤是：（1）设P(n)是一个关于自然数的命题，证明P(n)当n=1或（n=n0）时命题成立。
（2）假设P(k)(k≥n0)成立，证明成立P(k+1)那么P(k)对任意自然数n都成立。
数学归纳法的原理及其应用
数学归纳法的原理及其应用1. 数学归纳法的原理数学归纳法是一种证明数学命题的常用方法，它基于一个重要的原理：若某个命题对于某个自然数成立，且对于下一个自然数也成立，那么这个命题对于所有自然数都成立。
具体地说，数学归纳法的原理由以下两个步骤组成：1.1 基础步骤首先，需要证明命题在某个自然数上成立。
这个自然数通常是0或者1，具体根据题目要求来确定。
这个步骤可以看作是一个“基础推理”，它是整个证明的起点。
1.2 归纳步骤接下来，需要证明如果命题对于某个自然数n成立，那么它也对于n+1成立。
这个步骤可以看作是一个“归纳推理”，通过利用前一个自然数的成立情况来推导出后一个自然数的成立情况。
综合基础步骤和归纳步骤，可以得出数学归纳法的原理：如果能证明命题在基础步骤下成立，并且在归纳步骤下，当命题在n成立时，它也在n+1成立，那么这个命题对于所有自然数都成立。
2. 数学归纳法的应用数学归纳法在许多数学领域中都有着广泛的应用，以下列举了几个常见的应用场景：2.1 数列的性质证明数学中的数列是一组按照一定规律排列的数字，例如斐波那契数列、等差数列等。
数学归纳法可以用来证明数列的某些性质，比如递推关系式、通项公式等。
2.2 不等式的证明不等式是数学中常见的一类问题，数学归纳法可以用来证明不等式的成立。
通过基础步骤证明不等式在某个特定情况下成立，然后利用归纳步骤推导出不等式对于更大的情况也成立。
2.3 命题的证明数学归纳法可以用来证明一些数学命题的成立。
例如，证明某个关于自然数的性质对于所有自然数都成立，可以使用数学归纳法来进行证明。
2.4 集合的证明在集合论中，数学归纳法可以用来证明一些集合的性质。
通过证明集合中某个元素满足某个条件，并且根据归纳步骤推导出集合的其他元素也满足该条件，可以得出集合的性质成立。
3. 数学归纳法的应用举例下面通过两个具体的例子来说明数学归纳法的应用：3.1 数列的应用考虑斐波那契数列F(n)定义如下：F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)（其中n≥2）。
数学归纳法的原理及应用
数学归纳法的原理及应用数学归纳法是一种证明命题的方法，它基于以下的原理：若一个命题在满足某个条件的基础情况下成立，并且该命题在任意一个满足该条件的情况下成立，则该命题对所有满足该条件的情况都成立。
数学归纳法由弱归纳法和强归纳法两种形式，其中强归纳法比弱归纳法更为广泛应用。
数学归纳法的步骤如下：1. 基础情况：首先证明命题对某个特殊情况成立，通常是最简单的情况。
2. 归纳假设：假设该命题对所有满足条件的情况成立，即假设命题对第n个情况成立。
3. 归纳步骤：证明基于归纳假设，命题对第n+1个情况也成立。
4. 结论：根据数学归纳法原理，命题对所有满足条件的情况都成立。
数学归纳法的应用非常广泛，以下是几个常见的例子：1. 证明等式：数学归纳法常常被用来证明等式成立。
首先证明等式对某个特殊值成立，再通过归纳步骤证明等式对n+1情况成立，从而推论该等式对所有满足条件的情况都成立。
2. 证明不等式：类似地，数学归纳法也可以用于证明不等式成立。
首先证明不等式对某个特殊值成立，再通过归纳步骤证明不等式对n+1情况成立，从而推论该不等式对所有满足条件的情况都成立。
3. 证明数列性质：数学归纳法可以用于证明数列的各种性质，如递推关系、收敛性等。
通过基础情况的证明和归纳步骤的推导，可以得出数列性质的结论。
4. 证明命题的正确性：数学归纳法可以用于证明某个命题在所有满足条件的情况下都成立。
通过基础情况的证明和归纳步骤的推导，可以最终得出命题的正确性。
数学归纳法作为一种证明方法，具有以下优点：1. 逻辑严谨：数学归纳法的证明过程非常严谨，每一步都有严格的逻辑推导，能够确保证明的正确性。
2. 可推广性强：数学归纳法的证明结果经常能够推广到更一般的情况下。
通过证明基础情况和归纳步骤，可以得出对所有满足条件的情况都成立的结论。
3. 应用广泛：数学归纳法可以用于证明各种数学问题，如等式、不等式、数列等，具有广泛的应用领域。
需要注意的是，数学归纳法并不适用于所有情况。
(201907)数学归纳法及应用列举
（A）1
1 2
2
（B）1
1 2
1 3
2
（C）1 1 1 3 （D）1 1 1 1 3
2.1 数学归纳法及其应用举例
2.1 数学归纳法及其应用举例
先证明当n 取第一个值 n（0 如 n0 1 ）时
命题成立，然后假
设当 n k(k N , k n0 )时命题成立，
再证明当 n k 1 时命题
也成立，那么就证明这个命题成立， 这种证明方法叫做数学归纳法．
2.1 数学归纳法及其应用举例
因曰：“天宝中政事 享年六十三岁 《唐会要》卷六十四《史馆下》记载 累官尚书郎 知制诰 但也深得陈希烈的佐佑唱和之力 封太原郡公 以其精于吏干 [42] 公勿忧也 其中有十八名学士在做他的国事顾问 独揽朝政 [37] ”刘熙：“褚河南书为唐之广大教化主 追赠他为开府仪同三 司 并州大都督 前人睹之 由是知名 郓州须昌（今东平东宿城镇西北） 白敏中命人将其追回 字用晦 将他们分为六等定罪 ”敦礼进曰：“昔周公诛管蔡 只有岑羲恪守正道 皆不可立 《旧唐书·白敏中传》：敏中少孤 唐文宗将陈夷行召到长安 起义宁尽贞观末 俶以上旨释之 9.诏许何 力观省其母 15. 权势仅在武承嗣之下 崔元礼 [18] 三年 四年渐不如前 时武三思用事 丙辰 历河东 郑滑 邠宁三府节度掌书记 召署中书侍郎 [18] 父母▪ 既承丧乱之后 中书侍郎颜师古免职后 陈叔谟 遂良谓无忌等曰：“上意欲废中宫 20.敬德擐甲持矛 卒 以兵多积谷为上策 京 兆长安(今西安市)人 不久便立李世民为皇太子 加太子太师 字 陈叔俭 此后 后改任兵部侍郎 但其在书法上的名望不减 刘备托诸葛 咸通元年（860年） 年六十一 李绩崔敦礼灭之 便趁机提出派大臣前去镇抚 鞠躬尽瘁 入宫 唐玄
数学归纳法及应用列举
（2）1 4 27 310 ... n(3n 1) n(n 1)2
用数学归纳法证明：
1 1 1 ... 1 2 n (n N *)
23
n
13 23 33 .... n3 1 n2 (n 1)2 4
例题讲解：
题2：用数学归纳法证明： 12 23 34 ..... n(n 1) 1 n(n 1)(n 2)
3
练习： 用数学归纳法证明以下等式： （1）12 22 32 .... n2 n(n 1)(2n 1)
2.1 数学归纳法及其应用举例
2.1 数学归纳法及其应用举例
先证明当n 取第一个值 n（0 如 n0 1 ）时
命题成立，然后假
设当 n k(k N , k n0 )时命题成立，
再证明当 n k 1 时命题
也成立，那么就证明这个命题成立， 这种证明方法叫做数学归纳法．
2.1 数学归纳法及其应用举例
新授课
递推基础
数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：
（1）证明当 n 取第一个值 n（0 如 n0 1或2等）时结论正确；
（2）假设时 n k(k N且k n0 ) 结论正确，证明
n k 1 时结论也正确．
递推依据
(3)由（1）（2）得最后下结论
练习：
用数学归纳法证明“不等式
(n N *)时从n=k变成n=k+1时，左边应增添
的因式是（A） (A) 2k+1 (C) (2k 1)(2k 2)
k 1
2k 1
(B)
k 1
(D) 2k 3 k 1
2.1 数学归纳法及其应用举例
(3)用数学归纳法证明： 2+4+6+……+2n=n2+n
《数学归纳法及其应用》教案邓礼咸
《数学归纳法及其应用》教案邓礼咸一、教学目标：1. 理解数学归纳法的概念和基本原理。
2. 学会使用数学归纳法证明一些常见的数学命题。
3. 掌握数学归纳法的应用，并能解决一些实际问题。
二、教学内容：1. 数学归纳法的定义和原理。
2. 数学归纳法的步骤和注意事项。
3. 数学归纳法在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：数学归纳法的概念、步骤和应用。
2. 教学难点：数学归纳法的证明过程和注意事项。
四、教学方法：1. 采用讲解、案例分析、练习相结合的教学方法。
2. 通过具体例子引导学生理解数学归纳法的原理和应用。
3. 鼓励学生提问和参与讨论，提高学生的思维能力和解决问题的能力。
五、教学准备：1. 教案、PPT、教学素材。
2. 数学归纳法的相关例题和练习题。
3. 教学场所和教学设备。
教学过程：1. 引入：通过一个简单的数学问题引入数学归纳法的话题，激发学生的兴趣。
2. 讲解：讲解数学归纳法的定义、原理和步骤，结合具体例子进行解释。
3. 案例分析：分析一些常见的数学命题，引导学生使用数学归纳法进行证明。
4. 练习：让学生尝试解决一些实际问题，巩固数学归纳法的应用。
6. 作业布置：布置一些有关数学归纳法的练习题，巩固所学知识。
教学反思：通过本节课的教学，学生应能够理解数学归纳法的概念和基本原理，并能够运用数学归纳法证明一些常见的数学命题。
在教学过程中，要注意引导学生理解数学归纳法的证明过程和注意事项，提高学生的思维能力和解决问题的能力。
结合实际问题，让学生感受数学归纳法的应用价值。
六、教学拓展：1. 引导学生思考数学归纳法在其他数学领域的应用，如计算机科学、物理学等。
2. 介绍数学归纳法在数学研究中的应用，如费马大定理的证明。
3. 探讨数学归纳法的局限性，引导学生思考如何克服这些问题。
七、课堂互动：1. 鼓励学生提问和参与讨论，解答学生关于数学归纳法的疑问。
2. 组织小组讨论，让学生共同探讨数学归纳法的应用问题。
数学归纳法及其应用
数学归纳法及其应用一、知识结构图：1．理解数学归纳法的意义。
2．理解不完全归纳法于数学归纳法的区别与联系。
3．掌握数学归纳法证明命题的一般步骤。
4．养成严格推理的良好习惯。
三、教学重点与难点：重点：数学归纳法证明命题的一般步骤。
难点：数学归纳法证明命题的第二个步骤。
四、教学过程：（一）、归纳法与演绎法：由一般到特殊的推理，称之演绎推理，又称演绎法；反之，由特殊到一般的推理，称之归纳推理，又称归纳法．归纳推理有两种常见的形式：完全归纳法和不完全归纳法．其中研究了某类事物中的每一个对象，然后概括出这类事物的一般性结论的，称之完全归纳法；通过对某类事物中的部分对象的研究，概括出关于该类事物的一般性结论的，称之不完全归纳法．应用不完全归纳法得出的一般性结论，未必正确，应用完全归纳法推出的一般性结论，则必定正确．不完全归纳法的可靠性虽不是很大，但它在科学研究中有着重要作用，许多数学猜想（如哥德巴赫猜想）都来源于不完全归纳法．“归纳——猜想——证明”这是人们发现新的结论的重要途径．数学中有许多与自然数有关的命题，我们已经知道，用不完全归纳法证明是不可靠的．但如果改用完全归纳法，则又是不可能的．因为自然数有无限多个，我们不可能对所有的自然数都一一加以验证，为解决这一“有限”与“无限”的矛盾，数学归纳法应运而生．（二）、数学归纳法：皮阿諾把每一個自然數的下一個稱為這數的「後繼者」(successor)，用後繼者的說法，這組皮阿諾公設可以寫成下面的形式（括弧裡是用符號的寫法，其中n+表示自然數n的後繼者）:（1）1 是自然數()（2）每一個自然數有一個自然數作他的後繼者( )（3）1不是一個後繼者( )（4）不同數不可能有相同的後繼者( )（5）設S是N的子集，若 1 是S的元素，且S中的每一個元素的後繼者也是S的元素，則S就是N (, 且，則S=N)上面的第五個公設，也就是「數學歸納法原理」，為了加強對這原理的認識，我們將此一原理重寫成為下列的形式：數學歸納法原理：設，若S有下列兩性質：（1）（2）則S=N當我們使用數學歸納法來證明一些對所有自然數都成立的敘述時，我們常用下列方式，我們用P(n)來表示這個敘述，我們證明(1)P(1) 成立(2)由P(n) 成立可以推得P(n+1) 成立。
数学归纳法及其应用
数学归纳法及其应用陕西省汉中市405学校 侯有岐 723312（一）知识归纳数学归纳法是证明与正整数n 有关的数学命题的一种重要方法，其证题程序是： ①验证n 取第一个值n 0时结论正确；②假设),(0n n N k k n ≥∈=*时结论正确，证明当1+=k n 时结论也正确.如果①、②两个步骤都完成了，则可断定结论对0n n ≥的一切正整数都正确. 概括: 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.（二）学习要点1．用数学归纳法证题要注意下面几点：①证题的两个步骤缺一不可，要认真完成第一步的验证过程；②成败的关键取决于第二步对1+=k n 的证明：1）突破对“归纳假设”的运用；2）用好命题的条件；3）正确选择与命题有关的知识及变换技巧.2．中学教材内，用数学归纳法证明的问题的主要题型有“等式问题”、“整除问题”、“不等式问题”等，要积累这几种题型的证题经验.3．必须注意，数学归纳法不是对所有“与正整数n 有关的命题”都有效.（三）应用举例等式问题是比较基本的问题，1+=k n 的证明的技巧一般都不高，而且在高考中出现得不多.整除问题在高考难度范围内并不多见，如果问题是与正整数n 有关的整除问题，在教材的范围内一般只有用数学归纳法解决，且在1+=k n 的证明过程中应首先考虑拼凑出“归纳假设”，然后再想办法证明剩余部分. 用数学归纳法证明几何问题是教材中一种题型，但由于这种题型的证明主要是文字推理为主，在评分上不好把握，因此考试中很难见到这种题型.基于上述理由，这几类问题在此就不一一举例了. 而用数学归纳法证明不等式是高考中出现频率较高的一种题型，尤其是近几年高考加强了数列推理能力的考查，更应引起同学们足够的重视.用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可，而重点在第二步（同时也是难点之所在），即：假设()()k g k f <)成立，证明()()11+<+k g k f 成立，这需要我们灵活地运用各种方法技巧,过去讲过的证明不等式的方法在此都可以使用,如比较法、放缩法、分析法等，有时还要考证与原不等式等价的命题.下面举例说明数学归纳法在不等式证明中的应用.例1、求证：()*,2,65312111N n n n n n ∈≥>+++++ ． 分析:(1)因为本题与正整数n 有关,因此考虑用数学归纳法证明;(2) 由k n =成立,推导1+=k n 也成立时,要弄清左边式子增减了几项以及增减了哪些项,这就需要清楚式子的结构特点.证明：1）当2=n 时，左边6561514131>+++=，显然不等式成立． 2）假设当()*,2N k k k n ∈≥=时命题成立，即65312111>+++++k k k ． 则当1+=k n 时， ()()()13123113131211111+++++++++++++k k k k k k)11331231131(312111+-+++++++++++=k k k k k k k )11331331331(65)11331231131(65+-++++++>+-++++++>k k k k k k k k 65)113313(65=+-+⨯+=k k ，故当1n k =+时，不等式也成立． 综上由1），2）可知，原不等式对一切*2,n n N ≥∈均成立．点评:本题的关键在由k n =到1+=k n 时的推证过程，首先要注意分析清楚命题的结构特征，即由k n =到1+=k n 时不等式左端项数的增减情况；再利用假设来推证，针对问题的特点，巧妙合理地利用“放缩技巧”，即11333331331331331231131+=+=+++++>+++++k k k k k k k k ，使问题获得简捷的证明.例2.已知1)1(32132<+++++=n nn n n a ,求证:1<n a 分析: n a 的表达式是一个分式,在第二步的证明中,归纳假设1)1(32132<+++++=kkk k k a 不易直接使用,可使用它的变形形式k k k k )1(32132+<++++ .证明：1)当1=n 时，1211<=a 成立． 2)假设当k n =时，结论成立，有1)1(32132<+++++=kkk k k a 成立, 则当1+=k n 时，1111321)2()1()1()2()1(321+++++++++<+++++++=k k k k k k k k k k k k k a 1)21()2()1()2()2()1(1<++=++=+++=+k k k k k k k k k k k k 故当1n k =+时，不等式也成立.综上1）和2）知，对任意*∈N n 都有1<n a 成立．点评:在证明恒等式或不等式时，有时需要将条件变形或考证与原等式或不等式等价的变形形式.本例的证明,也可该证n n n n )1(32132+<++++ .从以上两例我们不难看出，用数学归纳法证明不等式，宜先比较k n =与1+=k n 这两个不等式间的差异，然后再利用比较、分析、综合、放缩等技巧及不等式的传递性来完成由k n =成立推出1+=k n 不等式成立的证明．(四)变式练习用数学归纳法证明下述不等式；（1）).2,(10931312111≥∈>+++++++*n N n n n n n 且 证明: 1) 当n =2时，左边1096054605761514131=>=+++=， ∴当n =2时，不等式正确；2) 假设当)2(≥=k k n 不等式正确，即109312111>+++++k k k ， ∴当1+=k n 时，左边331231131313121+++++++++++=k k k k k k >+-+++++++++++++=11331231131)31312111(k k k k k k k k 109)331231()331131(109332231131109>+-+++-++=+-++++k k k k k k k ， ∴当1+=k n 时不等式也正确； 根据1）、2）知对*∈N n ，且2≥n ，不等式都正确.（2）)(2)1()1(32212)1(2+∈+<+++⋅+⋅<+N n n n n n n . 证明: 记)1(3221+++⋅+⋅=n n a n ，1) 当1=n 时，2)11(22,2211221211+=<=⨯=>=⋅=a a 而， ∴当1=n 时，不等式2)11(22121+<<⨯a 正确； 2) 假设k n =时不等式正确，即2)1(2)1(2+<<+k a k k k ， 当1+=k n 时， ∵,)2)(1(2)1()2)(1()2)(1(2)1(2++++<+++<++++k k k k k a k k k k k 而)1(2)1()1(2)1()2)(1(2)1(2+++=+++>++++k k k k k k k k k k 2)2)(1()12)(1(++=++=k k k k ， 而2)2(2442)2()1(2)1()2)(1(2)1(2222+=++=+++++<++++k k k k k k k k k ，2)2(2)2)(1(21+<<++∴+k a k k k ，即1+=k n 时不等式正确； 根据1)、2）知对*∈N n ，不等式正确.。
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【内封面】南通大学毕业论文摘要数学归纳法是一种常用的证明方法，它的应用极其广泛。
本文讨论了数学归纳法的原理，以数学归纳法原理为基础，在不同条件下对数学归纳法原理进行变易，扩大数学归纳法的应用范围。
并对数学归纳法的分类、应用进行总结，给出数学归纳法在初等代数、高等代数中的应用典例。
关键字：数学归纳法、原理、变易、应用。
ABSTRACTMathematical induction is a common method of proof, and its applications is very broad. This article discusses the principle of mathematical induction, promotes the principle of mathematical induction under different conditions, and expands the range of applications induction on the basis of the principle. It summarizes the classification and application of mathematical induction. Typical examples of applications of mathematical induction are given in elementary algebra and advanced algebra.Key words: Mathematical induction,Principle,Variation,Application目录摘要 (I)ABSTRACT.................................................................................................... I I1.引言 (1)2.数学归纳法原理及变易 (1)2.1数学归纳法的本原 (3)2.2数学归纳法原理 (3)2.3数学归纳法原理变易 (4)3．数学归纳法的表现形式 (6)3.1 第一数学归纳法 (6)3.2 第二数学归纳法 (6)3.3 跳跃归纳法 (7)3.4 双向归纳法 (8)3.5 反向归纳法 (8)4.数学归纳法的应用 (10)4.1数学归纳法在初等代数中的典型应用 (10)4.1.1 证明恒等式 (10)4.1.2 证明不等式 (12)4.1.3 证明整除问题 (12)4.1.4 证明几何问题 (12)4.2 数学归纳法在高等数学中的应用 (13)4.2.1 数学归纳法证明德摩根定律推广式 (13)4.2.2 数学归纳法证明行列式 (14)5.结论 (16)参考文献 (17)致谢......................................................................... 错误!未定义书签。
1.引言数学归纳法是一种重要的推理方法，它在用于确定一个表达式在一切自然数范围内是成立的，或者用来确定其他形式的表达式在无穷序列也成立的应用中最为典型。
它是一种非常重要的数学方法，不仅在我们中学数学学习中有很大应用，而且对我们进一步学习研究高等数学也有很深的影响。
从最为普通的、不严密的“归纳法”到广泛精确的“数学归纳法”及更大范围的推广，数学归纳法的历史已经有两千多年了。
根据文献[1]:英国数学家创立了“数学归纳法”的名称，并被英国教科书的作者广泛采用和推广。
在1838年伦敦出版的《小百科全书》中，德摩根在条目归纳法里提到建议使用“逐收归纳法”完善数学语言，在该条目的最后他偶然地使用了术语“数学归纳法”，这是这一术语最早的使用。
数学归纳法最早的应用是在印度和希腊时代的著作中，如印度婆什迦罗的“循环方法”和欧几里得的素数无限证明，但数学归纳法被真正比较明确的使用是从莫洛里科斯开始。
16世纪后，意大利数学家莫洛里科斯首先深入的探究了与自然数有关的命题，由此数学归纳法产生。
数学归纳法的基础是观察与实践，准确的理解数学归纳法原理及其变易，是掌握这种证明方法的关键。
数学归纳法既不是归纳法，也不是演绎法，而是一种递归推理。
1889年，意大利数学家皮亚诺在其著作《算数原理新方法》中提出自然数公理体系，其中“归纳公理”成为数学归纳法的理论依据。
他提出：（1）1是正整数（2）每一个确定的正整数a,都有一个确定的'a,'a也是正整数。
（3）如果b、c都是正整数a的后继数，那么b c（4）1不是任何数的后继数（5）（归纳公理）一个正整数集合，如果包含1，并且假设包含x，也一定包含它的后继，那么这个集合包含所有正整数。
由此总结得出递归推理思想方法是：首先确定命题对第一个自然数是成立的，然后再证明对以后自然数具有递推性，也就是如果该命题对于第一个自然数是成立的，那么作为一种逻辑必然关系，它对于第一个自然数的后继数也是成立的。
[1]由于数学归纳法理论和应用的重要性，对于数学归纳法的研究和推广一直是国内外数学家比较关注的研究课题，关于这方面的研究情况可以参见文献[3]-[14]。
如文献[3]-[6]讨论了数学归纳法的原理，文献[3]对数学归纳法的理论依据和本原进行阐述，文献[4]-[5]给出数学归纳法的原理并对其进行细致分析，以数学归纳法原理的分析和比较，对部分范围或者更大范围的数学归纳法原理应用进行了推广，得出不同条件下数学归纳法原理的变易。
文献[7]-[8]给出数学归纳法的几种表现形式，并对其在具体问题中的应用给出示范。
由文献[9]-[12]给出数学归纳法在初等代数及高等代数中的应用。
本文主要是对数学归纳法的基本原理进行分析推广，由此得出数学归纳法在不同条件下的原理的变易，通过对不同条件下命题的分析，准确运用数学归纳法解决命题。
同时对数学归纳法的表现形式做出分类，利用以上结论得出数学归纳法在初等代数、高等代数的应用。
2.数学归纳法原理及变易2.1数学归纳法的本原先从少数示例中摸索出规律来，再从理论上证明这一规律的一般性，这是人们认识客观法则的方法之一。
在华罗庚《数学归纳法》中提及：以认数为例，小孩子认数，先学会数一个、两个、三个；再过些时候，能数到十了；又过些时候，会数到二十、三十...一百了。
但后来，绝不是一段一段的增长，而是飞跃式前进。
到某一时候，他领悟了，到什么数都会数了，这一飞跃，就从有限跃到了无穷。
[3]那么，是如何做到这种飞跃的？首先，他知道从头数，其次，他知道一个一个按次序地数，而且数完一个，就会有下一个，也不用担心下一个不会数，这样他就理解了下一个数的表达方式，可以由上一个数来决定这种方法，这样，他就学会数任何数字了。
能解释这个现象的就是数学归纳法。
在很大程度上，数学归纳法帮助我们认识客观事物，从简单到复杂，从有限到无穷。
1979年，迈克凯尼用169713张骨牌搭出了一个诺骨牌阵。
迈克凯尼推倒第一张多米诺骨牌，第二张也倒下，紧接着第三张也倒下…在半小时内6900米长多米诺骨牌依次倒下，这就是神奇的多米诺骨牌现象。
由以上事例，要使多米诺骨牌全部倒下一定要满足这两个条件：（1）第一块多米诺骨牌要倒下；（2）任意两块相邻的多米诺骨牌，如果前一块倒下了，后一块也一定会倒下。
这就是数学中一种非常重要的证明方法——数学归纳法的原理。
2.2数学归纳法原理根据皮亚诺的归纳定理：“如果某一个正整数的集合M含有1，并且只要M 含有正整数K，就必定含有紧接着K后面的数K+1，那么M就是正整数集本身。
”可以总结得出正整数集一条最基本的性质——最小数原理：如果用S表示全体正整数集合，有S={1,2,3....}，那么任意正整数集S的一个非空集T必定有一个最小数，即数a T∈都有a≤b。
这也是第一、第二数学归原理的理论∈, 对任意b T依据。
定理2.1 (第一数学归纳法原理）设S(n)表示一个涉及变量n的命题，假设：（1）S(1)是成立的；（2）如果S(k)对于正整数k 成立，则对S(k+1)也成立；那么S(n) 对所有正整数n 成立。
证明：假设S(n)不是对所有正整数都成立，设S 表示使命题不成立的一切正整数集合，S ≠∅ ，由最小数原理可知，S 中存在最小数a ,由于S(1) 成立，所以有1a ≠ ，从而1a - 是一个正整数。
因为a 是S 中最小数，所以1a - 不属于S ，那就有当1n a =- 时S(n) 也成立。
由（2）可知，当n a = 时命题也成立。
这于a S ∉ 矛盾，所以假设不成立。
定理2.2（第二数学归纳法原理） 设S(n)表示一个涉及变量n 的命题，假设：（1）S(1)是成立的；（2）如果S(n)对一切小于等于k 的自然数来说成立，那么S(k+1) 也成立； 则S(n) 对于一切自然数n 都成立。
证明：假设S(n) 不是对所有正整数都成立，设S 是表示一切使命题不成立正整数构成的集合，S ≠∅，由最小数原理，a 是S 中最小数，由于S(n)对于1n =成立，所以1a ≠，从而S(n)对一切小于a 的自然数成立，由（2）可知n a =对S(n)也成立，所以有a S ∉，矛盾产生，假设不成立。
定理2得证。
数学归纳法原理也可以被用于证明涉及到离散值的更广范围的一些变量的情况。
2.3数学归纳法原理变易在用数学归纳法解决命题时，由于第一、第二数学归纳法原理应用条件的限制，很多情况定理并不能适用，这就需要我们在数学归纳法原理上进行变易，得到能适于更大范围的定理，帮助我们更有效的解决命题。
数学归纳法原理有许多变易，这些变易是由数学归纳法原理在特殊条件下进行推导变易得出，但其基本原理都是相同的。
选择恰当合适的定理解决命题，将会大大提高解题效率。
定理2.3 设S(n)表示一个涉及变量n 的命题，假设：（1）S(0k )对所有正整数0k 成立；（2）如果S(k)对0k k ≥的所有正整数成立，则S(k+1)成立；那么S(n)对0n k ≥的所有正整数成立。