2011届高考数学第一次模拟测试题7

广元中学高2010级数学模拟试卷
第Ⅰ卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。

参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式
()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=
如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径
()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式
如果事件A 在一次实验中发生的概率是p ，那么 34
3
V R π=
n 次独立重复实验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径
()()
()1,0,1,2,,n k
k k
n n P k C p p k n -=-=
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．设全集U={1,3,5,7}，M={1,|a-5|},M ⊆U, ＣU M={5,7},则a 的值为（ ）
A ．2或8-
B ．8-或2-
C ．2-或8
D ．2或8 2． “a=2”是“直线2x+ay=0与直线ax+2y 2-=0平行”的( )
A ．充分必要条件
B ．充分而不必要条件
C ． 必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
3．圆1222
2=+y x 与直线),2
(01sin z k k y x ∈+
≠=-+π
πθθ的位置关系是（ ）
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．与θ有关
4．函数)0)(2sin(παα<<+=x y 的图象关于y 轴对称,则函数)2cos(α-=x y 是( )函数.
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既奇又偶
D ．非奇非偶
5．设定义在R 上的函数)(x f 存在反函数,且对于任意x ∈R 恒有)3()1(--++x f x f =2,则)2007()2009(11
-+---x f x f
的值是( )
A.2-
B.0
C.2
D.不确定,与x 有关
6．分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道。

要求4名水暖工都分配出去，且
每名水暖工去哪家相互独立，那么每个居民家都有人去检查的概率为（ ）
A ．33
4
4A B ．313334A A C ．433243A C D ．4
3313143
A C C 7． 102)1()1()1(x x x ++++++ 的展开式中各项系数和为（ ）
A ．22
11
+ B ．2211- C ．2210+ D ．2210-
8．在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n
+=++，则n a =( )
A ．2ln n +
B ．2(1)ln n n +-
C ．2ln n n +
D ．1ln n n ++ 9．对于R 上可导的任意函数)(x f ，满足,0)()1('≥-x f x 则必有（ ）
A ．)1(2)2()0(f f f <+
B ．)1(2)2()0(f f f ≤+
C ．)1(2)2()0(f f f ≥+
D ．)1(2)2()0(f f f >+
10．若实数a 、b 、c 成公差不为0的等差数列，则下列不等式不成立．．．
的是（ ） A ．2|1
|≥-+
-b
c a b B ．222c b a ca bc ab ++≥++ C ．ac b ≥2
D ．||||||||b c a b -≤- 11．已知非零向量,和满足|
||
|AC AB +
0=∙,2
2
|
|||=
∙BC AC ,则ABC ∆为（ ）
A ．等边三角形
B ．等腰非直角三角形
C ．非等腰三角形
D ．等腰直角三角形
12．若动点P 满足条件5)3()4(2
222=+-+-+y x y x 的轨迹为C ，在曲线C 上有三
个点到原点的距离构成等比数列，则该等比数列的公比q 的取值范围是（ ） A ．)312,412( B ．]312,412[ C ．(315,515) D ．[3
15
,
515]
广元中学2010级文科数学模拟试卷
班级＿＿姓名＿＿＿＿学号＿＿
第Ⅰ卷
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。

把答案填在题中横线上。

13．已知圆36)2(22=++y x 的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N （2，0），线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是___________________；
14．若A 、B 两点在半径为2的球面上，且以线段AB 为直径的小圆周长为π2，则A 、B
两点间的球面距离为_________________；
15．已知x 、y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥≤+≤242y y x x y ,则22222+-++=y x y x s 的最小值是______________；
16．下列四个命题：①曲线在53123+-=
x x y 在1=x 处的切线的倾斜角为4
π3 ；②设直线m 与平面α相交但不．垂直，则与直线m 平行的平面不．
可能与平面α垂直；③若向量)5,3(),2,(--==λ且向量与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（+∞-
,3
10
）；④若f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (1+x )=f (1-x )，则“f (x )为偶函数”是“2为函数f (x )的一个周期”的充要条件；其中真命题的序号为_______________________． 三、解答题
17．（本小题满分12分）设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知4
3
tan =
B ，6sin =
C b ．（1）求边长c 的值；（2）若ABC ∆的面积24=s ，求ABC ∆的周长 ．
18．（本小题满分12分）某投资商准备在某市投资甲、乙、丙三个不同的项目，这三个项
至少有两个项目投资成功就算“投资成功”，求该投资商在全国五个城市的投资有三个“投资成功”的概率。

19．（本小题满分12分）已知x ax x x f 332)(23--=
)(R x ∈.(1) 当|a|2
1
≤时，求证：)(x f 在（1,1-）内是减函数；（2）若=y )(x f 在（1,1-）内有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围.
20．（本小题满分12分）如图，在几何体ACDEB 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠ABC=90°，BE 、CD 都垂直于平面ABC ，且BE=AB=2，CD=1，点F 是AE 的中点。

（1）求证DF ∥平面ABC ；
（2）求AB 与平面BDF 所成角的大小。

21．（本小题满分12分）如图，已知点)0,1(F ,直线1-=x ： ，P 为平面上的动点，过P 作直线 的垂线，垂足为点Q ，且
.∙=∙(1)求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点
F 的直线交轨迹C 于A 、B 两点，交直线 于点M ，已知
1λ=,2λ=,求21λλ+的值。

22．（本小题满分14分）
已知各项均为正数的数列{a n }满足022
121=--++n n n n a a a a ，且423,2a a a 是+的等差
中项。

（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）若,log 2
1n n n a a b =求数列{b n }的前n 项和为S n 。

广元中学高2010级数学模拟试卷
（参考答案）
第Ⅰ卷
第Ⅱ卷
二、填空题：
13． _________椭圆__________；14． _________
3
2π
________； 15． ________2______；16． _____①④__________________． 三、解答题
17.解：（1）由正弦定理得 6s i n s i n ==C b B c . 又,43tan =
B 可知B 为锐角，且53
sin =B , 所以 c=10. （2）由S=
,24sin 2
1
=C ab 得 a=8. 由余弦定理 36cos 22
2
2
=-+=B ac c a b , 所以 b=6.
故周长.24=++=c b a
18.解：（1）：P(一个项目投资成功)=367；（2）P （至少有一个项目投资成功）=36
35； （3）P （五个城市的投资有三个“投资成功”）=23
35)9
71()97(-C =
19.解：（1）322)('2
--=ax x x f 当|a|2
1
21,21≤≤-≤
a 即时，有012)1('≤-=-a f 且012)1('≤--=a f ∴在（-1，1）内恒有）内是减函数。

，在（即11)(.0)('-<x f x f （2）要使），在（11)(-=x f y 内有且仅有一个极值点0x ，则必有
0)('=x f 且0)1(')1('<-f f 解得2
121>-<a a 或
当2
1
-<a 时，012)1('<-=-a f ，012)1('>--=a f
0)('10<-∴x f x ）上，在（，0)('1,0>x f x ）上在（，0x 是极小值点。

当012)1(',012)1('2
1
<--=>-=->
a f a f a 时， 0)('10>-∴x f x ）上，在（，0)('1,0<x f x ）上在（，0x 是极大值点。

故，当),2
1()21
,(+∞--∞∈ a 时，y=)(x f 在（1,1-）内有且仅有一个极值。

20．本小题满分12分 解：（1）取AB 的中点G ，连接CG ，FG ，
则FG ∥BE ，且FG=
2
1
BE ， ∴FG ∥CD ，且FG=CD ，2分 ∴四边形FGCD 是平行四边形， ∴DF ∥CG ， 又∵CF ⊂平面ABC ， ∴DF ∥平面ABC, 6分
（2）解法一：设A 到平面BDF 的距离为h ，
由BDF
ABF ABF D BDF A S CB
S h V V ∆∆--⋅=
==得
8分
在△BDF 中12
1,3
2,5,2==
=
∴=
==∆∆∆ABE ABF BDF S S S DF BD BF 又
且CB=2,∴3
4=
h
10分
设AB 于平面BDF 所成的角为θ，则,3
2
234sin ===AB h θ
故AB 与平面BDF 所成的角为3
2
arcsin
12分
解法二：以点B 为原点，BA 、BC 、BE 所在的直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角
坐标系，则B （0，0，0），A （2，0，0），C （0，2，0），D （0，2，1） E （0，0，2），F （1，0，1）。

………………………………………… 8分 ∴ BD =（0，2，1），DF =（1，-2，0）…………………………… 8分
设平面BDF 的一个法向量为n=（2，a ，b ），
∵ n ⊥，n ⊥，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
0n DF n
即()()()(),.01,2,0,,2,00,2,1,,2⎩⎨
⎧=⋅=-⋅b a b a 解得⎩⎨
⎧-==.
2,
1b a
∴ n=（2，1，-2）……………………………10分
又设AB 与平面BDF 所成的角为θ，则法线n 与所成的角为θπ
-2
，
∴cos(
θπ
-2
=
32)2,1,2()0,0,2(⨯-⋅=3
2
,
即sin 32=
θ,故AB 与平面BDF 所成的角为arcsin 3
2
.………………… 12分
21.解：（1）设点P(x,y),则Q(-1,y),由FQ FP QF QP ∙=∙得： （x+1,0）·(2,-y)=(x-1,y) ·(-2,y),化简得C:x y 42=。

（2）设直线AB 的方程为：x=my+1 (m ≠0),A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，则 M （-1，m
2
-
）。

由⎩⎨⎧+==1
42my x x y 消去x 得：0442=--mx y .016)4(2>+-=∆m . ∴ y 1 +y 2 = 4m, y 1 y 2= - 4.
由21,λλ=-=得：y 1+112y m λ-=，y 2+222
y m
λ-= 整理得：1
12
1m y -
-=λ，2221my --=λ
∴04
42222)11(2221212121=-⋅--=+⋅--=+-
-=+m
m y y y y m y y m λλ.
22．本小题满分14分 解：（1）∵2
1+n a -212n n a an a -+=0,因为（n n a a ++1）（n n a a 21-+）=0，
∵数列{}n a 的各项均为正数，∴n n a a ++1>0，∴n n a a 21-+=0，
即n n a a 21=+所以数列{}n a 是以2为公比的等比数列…………………………4分 ∴23+a 是42,a a 的等差中项，∴42342+=+a a a ，∴,4882111+=+a a a
,21=a ∴数列{}n a 的通项公式n n a 2=……………………………………
8分 （2）由（1）及n n a b =log 2
1n a 得，n n n b 2⋅-=，……………………… 10分
∵++=21b b S n …,n b
∴2222423222⋅-⋅-⋅--=n S -…-2
2⋅n ① ∴543224232222⋅-⋅-⋅--=n S -…-122)1(+⋅-⋅-n n n n ②
②-①得，543222222++++=n S +…+1
2
+n
=
.22)1(22
1)
21(211-⋅-=⋅---++n n n n n ……………………… 14分。