【精选试卷】宁夏石嘴山市数学高二下期末经典练习题(含解析)

一、选择题
1．(0分)[ID ：13884]如图，,,,A B C D 是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（ ）
A ．A
B CD B
C DA +=+ B ．AC B
D BC AD +=+ C ．AC DB DC BA +=+
D ．AB DA AC DB +=+
2．(0分)[ID ：13878]已知关于x 的方程20ax bx c ++=，其中,,a b c 都是非零向量，且
,a b 不共线，则该方程的解的情况是（ ）
A ．至少有一个解
B ．至多有一个解
C ．至多有两个解
D ．可能有无数个解
3．(0分)[ID ：13875]已知A （1，0，0），B （0，﹣1，1），OA OB λ+与OB （O 为坐标原点）的夹角为30°，则λ的值为（ ） A ．
6
6
B ．66
±
C ．
62
D ．62
±
4．(0分)[ID ：13860](1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值是( ) A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2 5．(0分)[ID ：13893]已知,αβ为锐角，且，5
sin 13α=
，则cos β的值为（ ） A ．
5665
B ．
3365
C ．
1665
D ．
6365
6．(0分)[ID ：13887]将函数()()()()sin 23cos 20f x x x ϕϕϕπ=++<<的图象向左平移4π个单位后，得到函数的图象关于点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，则ϕ等于（ ） A ．6
π-
B ．
6
π
C ．
4
π D ．
3
π 7．(0分)[ID ：13868]已知2sin2α＝1＋cos2α，则tan2α＝（ ） A ．43
-
B ．
43
C ．4
3
-
或0 D ．
4
3
或0
8．(0分)[ID ：13847]若将函数y =cos2x 的图象向左平移π
12
个单位长度，则平移后图象的
对称轴为（ ） A ．x =kπ2−π
6(k ∈Z ) B ．x =kπ2+π
6(k ∈Z )x C ．x =
kπ2
−π
12(k ∈Z )
D ．x =
kπ2
+π
12(k ∈Z )
9．(0分)[ID ：13844]将函数y =2sin （ωx +π6）（ω>0）的图象向右移2π3
个单位后，所得图象关于y 轴对称，则ω的最小值为 A ．2 B ．1 C ．
1
2
D ．
14
10．(0分)[ID ：13841]已知2sin()
3
,且(,0)2απ
∈-，则tan(2)πα-=
（ ） A ．
25
5
B ．25
5
-
C ．
52
D ．52
-
11．(0分)[ID ：13840]已知4
cos 25
πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ） A ．
7
25
B ．725-
C ．
2425
D ．2425
-
12．(0分)[ID ：13837]已知复数1cos 2()z x f x i =+，(
)
23sin cos z x x i =
++，x ∈R .
在复平面上，设复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，若1290Z OZ ∠=︒，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最大值为（） A ．14
-
B ．
14
C ．12
-
D ．
12
13．(0分)[ID ：13924]若平面四边形ABCD 满足0,()0AB CD AB AD AC +=-⋅=，则该四边形一定是( ) A ．正方形
B ．矩形
C ．菱形
D ．直角梯形
14．(0分)[ID ：13923]已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足
()()0a c b c -⋅-=，则c 的最大值是( )
A ．1
B ．2
C ．
D ．
15．(0分)[ID ：13905]已知向量(2,0)OB =，向量(2,2)OC =，向量
(22)CA αα=，则向量OA 与向量OB 的夹角的取值范围是（ ）．
A ．π0,4
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．π5π,
412⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C ．5ππ,122⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦ D ．π5π,1212⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦
二、填空题
16．(0分)[ID ：14022]如图，已知△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝30°，点P 在线段BC 上运动，且满足CP CB λ=，当PA PC ⋅取到最小值时，λ的值为_________ .
17．(0分)[ID ：14009]已知sin76m ︒=，则cos7︒=________.（用含m 的式子表示） 18．(0分)[ID ：14004]已知1tan 43
πα⎛
⎫
-=- ⎪⎝
⎭，则2sin sin()cos()απαπα--+的值为__________.
19．(0分)[ID ：13968]函数1ππ
()sin ()cos ()536
f x x x =
++-的最大值为___________. 20．(0分)[ID ：13957]计算：
2tan
8
1tan
8
π
π
=- __________．
21．(0分)[ID ：13950]设(1,3,2)a =-，(2,+1,1)b m n =-，且a //b ，则实数
m n -=_____．
22．(0分)[ID ：13947]已知0>ω，在函数sin y x ω=与cos y x ω=的图象的交点中，距3，则ω值为__________． 23．(0分)[ID ：13943]已知已知sin π3
()25
α+=，α∈π(0,)2，则sin(π＋α)等于
__________
24．(0分)[ID ：13942]已知函数()tan 0y x ωω=>的图像与y m =（m 为常数）的图像相交的相邻两交点间的距离为2π，则=ω__________． 25．(0分)[ID ：13941]已知向量a b ，均为单位向量，a 与b 夹角为
3
π
，则|2|a b -=__________．
三、解答题
26．(0分)[ID ：14120]在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且
22222230a c b ac +-+=.
（1）求cos B 的值； （2）求sin 24B π⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
的值. 27．(0分)[ID ：14117]已知函数()3)0,2
2f x x π
πωϕωϕ⎛
⎫
=+>-
≤≤
⎪⎝
⎭
的图象关于
直线3
x π
=
对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
（1）求ω与ϕ的值；
（2）若226
3f αππα⎛⎫⎫=<<
⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，求3cos 2πα⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的值.
28．(0分)[ID ：14104]已知函数()2
sin cos f x x x x =. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）若()f x 在区间,3m π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值为32，求m 的最小值.
29．(0分)[ID ：14080]已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛
⎫
=+>>< ⎪⎝
⎭
在一个周期内的图像经过点,412π⎛⎫
⎪⎝⎭
和点5,412π⎛⎫
-
⎪⎝⎭，且()f x 的图像有一条对称轴为12x π=. （1）求()f x 的解析式及最小正周期； （2）求()f x 的单调递增区间.
30．(0分)[ID ：14035]已知函数()cos 22f x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调区间.
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案
**科目模拟测试
一、选择题 1．B 2．B 3．C 4．D
5．A
6．B
7．D
8．C
9．B
10．A
11．B
12．B
13．C
14．C
15．D
二、填空题
16．【解析】【分析】将用表示出来注意的数量关系再根据的二次函数求最值【详解】设因为所以；所以故当时有最小值【点睛】图形中向量的数量积问题主要是将未知的向量用已知的向量表示这样可以方便计算
17．【解析】【分析】通过寻找与特殊角的关系利用诱导公式及二倍角公式变形即可【详解】因为即所以所以所以又【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用意在考查学生分析解决问题的能力
18．【解析】【分析】先根据已知求出最后化简代入的值得解【详解】由题得由题得=故答案为【点睛】本题主要考查差角的正切和同角的商数关系平方关系意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力
19．【解析】分析：利用诱导公式化简函数的解析式通过正弦函数的最值求解即可详解：函数故答案为点睛：本题考查诱导公式的应用三角函数的最值正弦函数的有界性考查计算能力
20．【解析】根据正切公式的二倍角公式得到故答案为：
21．8【解析】由题意得
22．【解析】由题意令则所以即当；当如图所示由勾股定理得解得
23．【解析】由题意得
24．【解析】由题意得
25．【解析】【分析】【详解】由已知得到向量的数量积为所以所以故答案为
三、解答题
26．
27．
28．
29．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
用不同的方法表示出同一向量，然后对式子进行化简验证．
【详解】
=-，
=-，DC AC AD
DC BC BD
∴AC AD BC BD
-=-，
∴AC BD BC AD
+=+．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了平面向量的加减法及其几何意义，属于容易题．
2．B
【解析】 【分析】
根据平面向量基本定理可知(),c a b R λμλμ=+∈，从而将方程整理为
()()2
0x a x b λμ+++=，由,a b 不共线可得20
0x x λμ⎧+=⎨+=⎩
，从而可知方程组至多有一个
解，从而得到结果. 【详解】
由平面向量基本定理可得：(),c a b R λμλμ=+∈
则方程20ax bx c ++=可变为：20ax bx a b λμ+++= 即：(
)()2
0x
a x
b λμ+++=
,a b 不共线 20
x x λμ⎧+=∴⎨+=⎩
可知方程组可能无解，也可能有一个解
∴方程20ax bx c ++=至多有一个解
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用，关键是能够利用定理将方程进行转化，利用向量和为零和向量不共线可得方程组，从而确定方程解的个数.
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
运用向量的坐标运算及夹角公式直接求解即可． 【详解】
解：(1,0,0)(0,,)(1,,)OA OB λλλλλ+=+-=-，
∴2||12,||2OA OB OB λλ+=+=，
()2OA OB OB λλ+=，
∴
cos302λ︒=， ∴
4λ=，则0λ>，
∴λ=
． 故选：C ． 【点睛】
本题考查空间向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．
解析：D 【解析】
()()
1tan171tan28++0000000000
1tan17tan 28tan17tan 281tan(1728)(1tan17tan 28)tan17tan 28=+++=++-+
000001tan 45(1tan17tan 28)tan17tan 282=+-+=，选D.
点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
5．A
解析：A 【解析】 解：
根据题意，α，β为锐角，若sinα=513，则cosα=1213
， 若cos （α+β）=3
5
，则（α+β）也为锐角， 则sin （α+β）=
45
， 则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos （α+β）cosα+sin （α+β）sinα=35×1213+45×513=5665
， 点睛：
由cos （α+β）与sinα的值，结合同角三角函数基本关系式计算可得sin （α+β）与cosα的值，进而利用β=[（α+β）﹣α]可得cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos （α+β）cosα+sin （α+β）sinα.
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
先利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简，并求出平移变换后的函数解析式，由
变换后的函数图象关于点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，可得出ϕ的表达式，结合ϕ的范围可求出ϕ的值.
【详解】
()()()
sin 222sin 23f x x x x πϕϕϕ⎛⎫
=+++=++ ⎪⎝⎭
,
将函数()y f x =的图象向左平移
4
π
个单位后， 所得图象的函数解析式为()52sin 22sin 2436g x x x ππ
πϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
=+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
， 由于函数()y g x =的图象关于点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，则()5226k k Z ππϕπ⨯++=∈， 得()116k k Z ϕπ⎛
⎫=-∈ ⎪⎝⎭，0ϕπ<<，2k ∴=，6
π
=ϕ. 故选：B. 【点睛】
本题考查利用三角函数的对称性求参数值，同时也考查了三角函数图象的平移变换，根据对称性得出参数的表达式是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
7．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：把2sin 21cos2αα=+的两边平方得2
2
4sin 2(1cos 2)αα=+，整理可得
2244cos 412cos 2cos 2ααα-=++，即25cos 22cos 230αα+-=，所以(5cos 23)(cos 21)0αα-+=，解得3cos 25α=
或cos21α=-，当2
312sin 5
α-=时，1cos 244
sin 2,tan 2253
ααα+=
==；当cos21α=-时，1cos 2sin 20,tan 202ααα+=
==，所以4
tan 23
α=或0，故选D. 考点：三角函数的基本关系式及三角函数的化简求值.
8．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：由题意得，将函数y =cos2x 的图象向左平移π
12个单位长度，得到y =cos2(x +π
12)=cos (2x +π
6)，由2x +π
6=kπ,k ∈Z ，得x =kπ2
−π
12,k ∈Z ，即平移后的
函数的对称轴方程为x =
kπ2
−π
12(k ∈Z )，故选C ．
9．B
解析：B 【解析】 将函数y =2sin （ωx +
π6）（ω>0）的图象向右移2π3
个单位后，可得y =2sin （ωx –2π3ω+π6）的图象，再根据所得图象关于y 轴对称，∴–2π3ω+π6=kπ+π
2
，k ∈Z ，即ω=–31
–22
k ，∴当k =–1时，ω取得最小值为1，故选B ． 10．A
解析：A 【解析】 【分析】
由三角函数的诱导公式，求得2
sin
3
，再由三角函数的基本关系式，求得5cos α
3
， 最后利用三角函数的基本关系式，即可求解tan(2)πα-的值，得到答案. 【详解】
由三角函数的诱导公式，可得2sin()sin 3
παα-==-，
因为(,0)2απ∈-
，所以cos 3
α==，
又由sin tan(2)tan cos 5
απααα-=-=-=
，故选A. 【点睛】
本题主要考查了三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式的化简、求值问题，其中解答中熟练应用三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
由题意首先求得sin α的值，然后利用二倍角公式整理计算即可求得最终结果. 【详解】
由题意结合诱导公式可得：4
sin cos 25
παα⎛⎫=-=
⎪⎝⎭， 则2
2
47cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯=- ⎪⎝⎭
.
本题选择B 选项. 【点睛】
本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据向量垂直关系的坐标运算和三角函数的最值求解. 【详解】
据条件，()1cos ,2()Z x f x ，(
)
23sin cos ,1Z x x +，且12OZ OZ ⊥，
所以，(
)
cos 3sin cos 2()0x x x f x ⋅++=，化简得，11()sin 2264
f x x π⎛
⎫=-+- ⎪⎝⎭，
当sin 216x π⎛
⎫
+=- ⎪⎝
⎭时，11()sin 2264f x x π⎛
⎫=-+- ⎪⎝⎭取得最大值为14
. 【点睛】
本题考查向量的数量积运算和三角函数的最值，属于基础题.
13．C
解析：C 【解析】
试题分析：因为0,AB CD AB DC +=∴=,所以四边形ABCD 为平行四边形，又因为
()0,0AB AD AC DB AC -⋅=∴⋅=,所以BD 垂直AC ，所以四边形ABCD 为菱形.
考点：向量在证明菱形当中的应用.
点评：在利用向量进行证明时，要注意向量平行与直线平行的区别，向量平行两条直线可能共线也可能平行.
14．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：由于
垂直，不妨设
，
，
，则
，
，
表示
到原点的距离，表示圆心
，
为半径的圆，因此
的最大值
，故答案为
C ．
考点：平面向量数量积的运算．
15．D
解析：D 【解析】 不妨设(0,0)O
∵(2,2)OC =，(2cos ,2sin )CA αα=． ∴(2,2)C 、(22,22sin )A cos αα++． ∴点A 在以(2,2)为圆心半径为2的圆上． ∴OA 与OB 的夹角为直线OA 的倾斜角． 设:OA l y kx = ∴2
2121
k d r k -=
≤=+．
即2410k k -+≤，则[23,23]k ∈-+． 又∵π23tan
12-=，5
23tan
π12
+=． ∴OA 、OB 夹角[23,23]θ∈-+．
故选D ．
二、填空题
16．【解析】【分析】将用表示出来注意的数量关系再根据的二次函数求最值【详解】设因为所以；所以故当时有最小值【点睛】图形中向量的数量积问题主要是将未知的向量用已知的向量表示这样可以方便计算
解析：1
8
【解析】 【分析】
将PA PC ⋅用AB ，AC 表示出来，注意AB ，AC 的数量关系，再根据λ的二次函数求最值. 【详解】
设AC a =，因为90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，所以3AB a =
，2BC a =；
22()()PA PC PC CA PC BC CA BC BC BC CA λλλλ⋅=+⋅=+⋅=+⋅，
所以2
2
2
2
2142cos1204()816
a PA PC a a a a λλλ⋅=+⋅⋅⋅︒=--，故当18λ=时，PA PC
⋅有最小值. 【点睛】
图形中向量的数量积问题，主要是将未知的向量用已知的向量表示，这样可以方便计算.
17．【解析】【分析】通过寻找与特殊角的关系利用诱导公式及二倍角公式变形即可【详解】因为即所以所以所以又【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用意在考查学生分析解决问题的能力
解析：
2
【解析】 【分析】
通过寻找76︒，7︒与特殊角90︒的关系，利用诱导公式及二倍角公式变形即可． 【详解】
因为sin76m ︒=，即()sin 9014m ︒-︒=，所以cos14m ︒=， 所以22cos 71m ︒-=，所以2
1cos141cos 722
m
+︒+︒==，
又cos 72
ο==
. 【点睛】
本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用，意在考查学生分析解决问题的能力．
18．【解析】【分析】先根据已知求出最后化简代入的值得解【详解】由题得由题得=故答案为【点睛】本题主要考查差角的正切和同角的商数关系平方关系意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力
解析：3
5
【解析】 【分析】
先根据已知求出tan α，最后化简2
sin sin()cos()απαπα--+,代入tan α的值得解. 【详解】 由题得
tan 111
,tan 1+tan 32
ααα-=-∴=.
由题得22
2
22
sin +sin cos sin sin()cos()=sin +sin cos =sin +cos ααααπαπαααααα
--+ =
2
211
tan tan 3
421tan 1514
ααα++==++.
故答案为
35
【点睛】
本题主要考查差角的正切和同角的商数关系平方关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
19．【解析】分析：利用诱导公式化简函数的解析式通过正弦函数的最值求解即可详解：函数故答案为点睛：本题考查诱导公式的应用三角函数的最值正弦函数的有界性考查计算能力 解析：
65
【解析】
分析：利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可． 详解：函数()1ππ1πsin cos 353
656f
x x x sin x cos x π⎛⎫⎛
⎫=
++-=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（）（） 1ππ6π6
533535
sin x sin x sin x =+++=+≤（）（）（）． 故答案为
6
5
． 点睛：本题考查诱导公式的应用，三角函数的最值，正弦函数的有界性，考查计算能力．
20．【解析】根据正切公式的二倍角公式得到故答案为：
解析：
12
【解析】 根据正切公式的二倍角公式得到2
2tan 8tan
tan 214
8
1tan 8
π
π
π
π
=⨯
=
=-，
2
tan
18
2
1tan 8
π
π
=
-. 故答案为：
12
. 21．8【解析】由题意得
解析：8 【解析】 由题意得
2115,3,8132
m n m n m n +-==∴==--=- 22．【解析】由题意令则所以即当；当如图所示由勾股定理得解得
解析：π
【解析】
由题意，令sin cos x x ωω=， sin cos 0x x ωω-=，则sin 04x πω⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，所以
4
x k π
ωπ-
=， k Z ∈，即14x k ππω⎛⎫=
⋅+ ⎪⎝⎭，当10,4k x πω==， 122
y =；当251,4k x πω==
， 22
2
y =-，如图所示，由勾股定理得()()
()2
2
2
21213y y x x -+-=
，解得ωπ=.
23．【解析】由题意得
解析：4
-5
【解析】 由题意得3π44cos ,(0,)sin ,sin(π)sin 5255
ααααα=
∈∴=+=-=- 24．【解析】由题意得
解析：1
2
【解析】
由题意得π12π2π2
T ω=⇒=
= 25．【解析】【分析】【详解】由已知得到向量的数量积为所以所以故答案为 3
【解析】 【分析】 【详解】
由已知得到向量a ，b 的数量积为1
cos 3
2
a b π
⋅==
，所以22
2|2|444213a b a a b b -=-⋅+=-+=，所以23a b -=，故答案为3.
三、解答题 26． （1）34-
（22314-【解析】
试题分析：（1）利用余弦定理表示出cosB ，将已知等式代入即可求出cosB 的值；（2）由cosB 可求出sin 2,cos 2B B 的值，然后利用两角和的余弦公式可得结果. 试题解析：（1）由22222230a c b ac +-+=，得2
2
2
3
2
a c
b a
c +-=-
， 根据余弦定理得
222332cos 224
ac
a c
b B a
c ac -+-===-
； （2）由3cos 4B =-
，得sin B =
∴sin22sin cos 8
B B B ==-
，2
1cos22cos 18B B =-=，
∴1sin 2sin2cos cos2sin 4442816
B B B πππ⎫⎛
⎫+=+=+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 27．
（1）2ω=，6
π
ϕ=-；（2
）
8
【解析】 【分析】
（1）根据最高顶点间的距离求出周期得2ω=，根据对称轴求出6
π
ϕ=-；
（2）根据题意求出1sin 64
πα⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭，结合诱导公式及和差公式求解. 【详解】
解：（1）因()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π， ∴()f x 的最小正周期T π=，从而22T
π
ω==. 又因()f x 的图象关于直线3
x π
=对称，
∴2()3
2
k k Z π
π
ϕπ⋅+=+∈.
∵2
2
π
π
ϕ-
≤≤
，
∴0k =，此时22
36
ππϕπ
=-
=-. （2）由（1
）得26f απα⎛⎫⎛
⎫=-= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭ ∴1sin 64
πα⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭，
由
26
3
π
πα<<
得062ππα<-<，
∴cos 6πα⎛
⎫
-== ⎪⎝
⎭， ∴3cos sin sin 2
66πππααα⎡⎤⎛
⎫
⎛⎫+
==-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎣⎦
sin sin cos cos sin 666666ππππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-+=-+-=
⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
. 【点睛】
此题考查根据三角函数图像性质求参数的值，结合诱导公式和差公式处理三角求值的问题.
28．
（Ⅰ）π ；（Ⅱ）π
3
. 【解析】 【分析】
（I ）将()f x 化简整理成()sin()f x A x ωϕ=+的形式，利用公式2||
T π
ω=可求最小正周期；（II ）根据[,]3
x m π
∈-，可求26
x π
-
的范围，结合函数图象的性质，可得参数m 的
取值范围. 【详解】
（Ⅰ）()1cos211π1cos2sin 222262x f x x x x x -⎛
⎫=
=-+=-+ ⎪⎝
⎭， 所以()f x 的最小正周期为2π
π2
T =
=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知()π1sin 262f x x ⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭. 因为π,3x m ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
，所以π5ππ2,2666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦.
要使得()f x 在π,3m ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值为32，
即πsin 26x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭在π,3m ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值为1. 所以ππ262m -
≥，即π3
m ≥. 所以m 的最小值为
π
3
.
点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.
29．
（1）()4sin 34f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，
23π
；（2）22,()4
3123k k k ππππ⎡⎤
-+
+∈⎢⎥⎣⎦
Z . 【解析】 【分析】
（1）由函数的图象经过点412，π⎛⎫
⎪⎝⎭
且f （x ）的图象有一条对称轴为直线12x π=， 可得最大值A ，且能得周期并求得ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得函数的解析式． （2）利用正弦函数的单调性求得f （x ）的单调递增区间． 【详解】
（1）函数f （x ）＝A sin （ωx +
ϕ）（A ＞0，ω＞0，2
π
ϕ＜）在一个周期内的图象经过
点412，π⎛⎫
⎪⎝⎭，5412π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，，且f （x ）的图象有一条对称轴为直线12x π=，
故最大值A ＝4，且5212123
T πππ
=-=, ∴2T 3
π=， ∴ω2T
π
=
＝3． 所以()4sin(3)f x x ϕ=+.
因为()f x 的图象经过点,412π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，所以44sin 312πϕ⎛⎫
=⨯+ ⎪⎝⎭，
所以24
k ϕπ
=
+π，k Z ∈. 因为||2ϕπ<
，所以4
πϕ=， 所以()4sin 34f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
. （2）因为()4sin 34f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，所以2322
4
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+，k Z ∈，
所以224
3123
k k x π
πππ
-
+
≤≤+，k Z ∈， 即()f x 的单调递增区间为22,()43123k k k ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
Z . 【点睛】
本题主要考查由函数y ＝A sin （ωx +
ϕ）的性质求解析式，通常由函数的最大值求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，考查了正弦型函数的单调性问题，属于基础题．
30．
(1) ()f x 的最小正周期为2π (2) ()f x 的单调增区间为()72,266k k k Z ππππ⎡⎤
++∈⎢⎥⎣⎦
【解析】
试题分析：（1）化简函数的解析式得()2sin 3f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，根据周期公式求得函数的周
期；（2）由()222
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-+≤+
≤
+∈，求得x 的取值范围即为函数的单调增
区间，由
()3222
3
2
k x k k Z ，π
π
π
ππ+≤+
≤
+∈求得x 取值范围即为函数的单调减区间。

试题解析：
（Ⅰ）()cos 22f x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
sin x x =+
2sin 3x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
∴()f x 的最小正周期为2π. （Ⅱ）由()222
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-+≤+
≤
+∈，，
得()52266
k x k k Z ππ
ππ-
+≤≤+∈ ∴()f x 的单调增区间为()52,266k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
由()3222
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ+≤+≤
+∈，， 得
()72266
k x k k Z π
π
ππ+≤≤
+∈ ∴()f x 的单调减区间为()72,266k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢
⎥⎣⎦。