辽宁省瓦房店市高级中学高二数学下学期期末考试试题文

第11题
图（2）
′
图（1）
左视图
主视图
4
2015——2016学年度下学期高二期末考试
数学试题（文科）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求. 1. 复数2
(12)i +（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ）
A ． 4
B ． 4-
C ． 4i
D ． 4i - 2．已知集合2
1
1{|(),}2
x
A y y x R +==∈，则满足A
B B ⋂=的集合B 可以是（ ）
A ．1{0,}2
B ．{|11}x x -≤≤
C ．1{|0}2
x x << D ．{|0}x x > 3. 式子
)(sin 21
cos 2122R ∈-+-θθθ的最小值为（ ）
A. 43
B. 23
C. 34
D. 32
4. 《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（ ）
A ．30尺
B ．90尺
C ．150尺
D ．180尺 5. 设n m ,是不同的直线，βα,是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A ．若n m n m ⊥⊥,,//βα，则βα⊥；
B ．若n m n m //,,//βα⊥，则βα⊥；
C ．若n m n m ⊥⊥,,//βα，则βα//；
D ．若n m n m //,,//βα⊥，则βα//；
6. 某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的 直观图是矩形1111O A B C 如图（2），其中116O A =，
112O C =，则该几何体的侧面积为（ ）
A ．48
B ．64
C ．96
D ．128
7．在平面直角坐标系xOy 中，过定点)1,1(Q 的直线l 与曲线1
-=x x
y 交于N M 、点，则 =⋅-⋅OQ MO OQ ON （ ）
A.2
B.4
C.6
D.8
8. 在区间[－1,1]上随机取一个数x ，则sin πx 4的值介于－12与2
2
之间的概率为 ( )
A.14
B.13
C.23
D.56
9. 已知21,F F 分别是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限
内的一点，O 为坐标原点，222||OF OF OA =⋅，若椭圆的离心率等于
2
2
，则直线OA 的方程是( ) A ．x y 2
1
=
B ．x y 22=
C ．x y 23=
D ． x y = 10．若执行右面的程序框图，则输出的k 值是 ( )
A ．7 B. 6 C. 5 D. 4
11. 已知向量,为平面向量，若+与的夹角为3π，+与的 夹角为4
π
，
=（ ）
A ．
33 B ．46 C ．35 D ．3
6 12. 已知不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥-≥+224
x y x y x 表示的平面区域为D ，点)0,1(),0,0(A O ，若点M 是
D
的最小值是（ ）
A ．
10103 B ．55 C ．2
2
D ．1010
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分
13. 双曲线122
2
=-y x 的渐近线方程为____________. 14. 等比数列
{}
n a 的各项均为正数，且5
12911102e a a a a =+，则
=+++2021ln ln ln a a a _____.
15. 若函数)(x f 是定义域为R 且周期为4的奇函数，它在[]2,0上的解析式为
⎩⎨
⎧≤<≤≤-=2
1,sin 10),1()(x x x x x x f π，则=+)641
()429(f f _________.
16.已知函数)(x f 定义域为R ，满足1)1(=f 且2
1)('<x f ，则不等式212)(22
+<x x f 的解集为____________________．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别是c b a ,,,且cos cos sin A B C
a b c
+=. （1）证明：sin sin sin A B C =； （2）若2
2
2
6
5
b c a bc +-=
，求tan B .
18. 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出
售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n ∈N )的函数解析式；
(2)日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10
)的平均数；
②若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，
求当天的利润不少于75元的概率．
19. 如图所示，四边形ABCD 为矩形，四边形ADEF 为梯形，AD ∥FE ，∠AFE ＝60°，
且平面ABCD ⊥平面ADEF ，AF ＝FE ＝AB ＝1
2
AD ＝2，点G 为AC 的中点．
(1)求证：EG ∥平面ABF ； (2)求三棱锥B －AEG 的体积；
(3)试判断平面BAE 与平面DCE 是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．
20. 椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3
6
，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于
32.
（1）求椭圆C 的标准方程； （2）过原点且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于P,Q 两点，A 是椭圆C 的右顶点，直线AP,AQ
分别与y 轴交于点M,N ，问：以MN 为直径的圆是否恒过x 轴上的定点？若恒过x 轴上的定点，请求出该定点的坐标；若不恒过x 轴上的定点，请说明理由.
21. 已知函数()()e ln 1.x
f x x =++
（1）求曲线()y f x =在点()0(0)f ，处的切线方程； （2）当0x ≥时，()1f x ax ≥+成立，求实数a 的取值范围.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，已知AB 是⊙O 的直径，点D 是⊙O 上一点，过点D 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点C ，过点C 作AC 的垂线，交AD 的延长线于点E .
（1）求证：CDE ∆为等腰三角形；
（2）若2
1
2==CE BC AD ，
，求⊙O 的面积.
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在以直角坐标原点O 为极点，x 的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线1C 的方程是1ρ=，将1C 向上平移1个单位得到曲线2C . (1)求曲线2C 的极坐标方程；
(2)若曲线1C 的切线交曲线2C 于不同两点,M N ,切点为T .求TM TN ⋅的取值范围.
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()R a a x x x f ∈++-=,22. （1）当1=a 时，解不等式()5≥x f ；
（2）若存在0x 满足()3200<-+x x f ，求a 的取值范围.
2015——2016学年度下学期高二期末考试
数学（文科）参考答案
一、选择题
二、填空题 13、x y 22±= 14、50 15、16
5
16、),1()1,(+∞⋃--∞ 三、解答题
17、解：（1）根据正弦定理，设
sin a A =sin b B =sin c
C
=k(k>0)． 则a=ksin A ，b=ksin B ，c=ksin C ． 代入
cos A a +cos B b =sin C c 中，有cos sin A k A +cos sin B k B =sin sin C
k C
，变形可得 sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)．
在△ABC 中，由A+B+C=π，有sin(A+B)=sin(π–C)=sin C ， 所以sin Asin B=sin C ．………………6分
（2）由已知，b 2
+c 2
–a 2
=6
5bc ，根据余弦定理，有cos A=2222b c a bc +-=35
．………8分
所以
=
4
5
．………………9分 由（Ⅰ），sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B ，所以45sin B=45cos B+3
5
sin B ， 故tan B=
sin cos B
B
=4．………12分 18、解：(1)当日需求量n≥17时，利润y ＝85. ………………2分
当日需求量n<17时，利润y ＝10n －85. ………………4分
所以y 关于n 的函数解析式为y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
10n －85，n<17
85，n≥17(n ∈N )．………………6分
(2)①这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，
16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，
所以这100天的日利润的平均数为1
100
×(55×10＋65×20＋75×16＋85×54)＝
76.4. ………………9分
②利润不低于75元时日需求量不少于16枝，
故当天的利润不少于75元的概率为p ＝0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7. …12分
19、解： (1)证明：取AB 中点M ，连FM ，
GM.
∵G 为对角线AC 的中点，∴GM ∥AD ，且GM ＝1
2
AD.
又∵FE ∥AD ，FE=1
2
AD ∴GM ∥FE 且GM ＝FE.
∴四边形GMFE 为平行四边形，∴EG ∥FM.
又∵EG ⊄平面ABF ，FM ⊂平面ABF ，∴EG ∥平面ABF. ………………4分 (2)作EN ⊥AD ，垂足为N ，
由平面ABCD ⊥平面AFED ，平面ABCD∩平面AFED ＝AD ， 得EN ⊥平面ABCD ，即EN 为三棱锥E －ABG 的高． ∵在△AEF 中，AF ＝FE ，∠AFE ＝60°， ∴△AEF 是正三角形．
∴∠AEF ＝60°，EF ∥AD 知∠EAD ＝60°，∴EN ＝AEsin60°＝ 3.
∴三棱锥B －AEG 的体积为V ＝13·S △ABG ·EN＝13×2×3＝23
3
.………………8分
(3)平面BAE ⊥平面DCE.证明如下：
∵四边形ABCD 为矩形，且平面ABCD ⊥平面AFED ， ∴CD ⊥平面AFED ，∴CD ⊥AE.
∵四边形AFED 为梯形，FE ∥AD ，且∠AFE ＝60°， 又在△AED 中，EA ＝2，AD ＝4，∠EAD ＝60°，
由余弦定理，得ED ＝23，∴EA 2＋ED 2＝AD 2
， ∴ED ⊥AE.
又∵ED∩CD＝D ，∴AE ⊥平面DCE.
又AE ⊂平面BAE ，∴平面BAE ⊥平面DCE. ………………12分
20、解：（1）依题意，得222,63,a b c c
a a
b ⎧=+⎪
⎪=⎨⎪
⎪=⎩
………3分
解得3,
1,
a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故椭圆C 的标准方程为2213x y +=. …………4分 （2） 设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --
则直线AP 方程：)3(300--=
x x y y
直线AQ 方程：)3(3
00
-+=
x x y y
令0=x 得)3
3,
0(00--x y M ，)3
3,
0(00+-x y N …………6分
假设存在满足题意的x 轴上的定点(,0)R t ，则有RM RN ⊥，即0RM RN ⋅=.……8分
所以2
0t =，整理，得2
2
020
33y t x =--，……10分
又由2
20013
x y +=得220033y x =-，所以21t =，解得1t =或1t =-. 故以MN 为直径的圆恒过x 轴上的定点(1,0)-，(1,0). …………12分 21、解： （1） ()11x f x e x '=+
+，∴()010201
f e '=+=+ 又切点)1,0(∴()y f
x =在点()()0,0f 处的切线方程为：()120y x -=-，
即21y x =+. …………4分
（2）令1)1ln(1)()(--++=--=ax x e ax x f x F x
则a x e x F x -++
=1
1
)('，2)1(1)(''+-
=x e x F x …………6分 )(''x F 在[)+∞,0上递增，0)0('')(''=≥∴F x F ，
)('x F ∴在[)+∞,0上递增，a F x F -=≥∴2)0(')('…………8分
① 若2a ≤，则0)('≥x F ，)(x F ∴在[)+∞,0上递增，0)0()(min ==∴F x F
此时不等式()1f x ax ≥+成立…………9分 ② 若2a >，设0)('=x F 的根为0x （00>x ）， 则在),0(0x ，0)('<x F ；在),(0+∞x ，0)('>x F
)()(0min x F x F =∴，又0)0(=F ，)(0x F ∴一定小于0，不合题意舍 (11)
分
综上， a 的取值范围为(],2-∞.…………12分
22、解：（1）连接线段DB ， 因为DC 为⊙O 的切线，所以DAB BDC ∠=∠，……3分
又因为AB 为⊙O 的直径，BD AE ⊥，
所以90CDE CDB DAB AEC ∠+∠=∠+∠=, …………4分
所以CDE AEC ∠=∠，
从而CDE ∆为等腰三角形. …………5分
（2）由（Ⅰ）知CE CD =, 因为DC 为⊙O 的切线， 所以CA CB CD ⋅=2, ……7分
所以CA CB CE ⋅=2，即
2
1
==CA CE CE CB . …………8分 又ABD Rt ∆∽AEC Rt ∆，故
21
=
=AD BD CA CE .
…………9分 因为2=AD ，所以1=BD ，5=AB
，2
524S π
π⎛== ⎝⎭,
所以⊙O 的面积为
54π
. …………10分 23、解：（1）依题,因222x y ρ=+,所以曲线1C 的直角坐标下的方程为22
1x y +=,
所以曲线2C 的直角坐标下的方程为2
2
(1)1x y +-=,…3分 又sin y ρθ=，所以2
2sin 0ρρθ-=,
即曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=.…………………5分 (2)由题令00(,)T x y ，0(0,1]y ∈，切线MN 的倾斜角为θ， 所以切线MN 的参数方程为: 00cos sin x x t y y t θ
θ=+⎧⎨
=+⎩
(t 为参数).…………………7分
代入2C 的直角坐标方程得,2
0002(cos sin sin )120t x y t y θθθ++-+-= , (8)
分
∴012TM TN y ⋅=-，因为012[1,1)y -∈-所以TM TN ⋅[0,1]∈. (10)
分
24、解：（1）当1=a 时，122)(++-=x x x f . 由5)(≥x f 得5122≥++-x x .
当2≥x 时，不等式等价于5122≥++-x x ，解得2≥x ，所以2≥x ； …1分
当22
1
<<-x 时，不等式等价于5122≥++-x x ，即2≥x ，所以x ∈∅；…2分
当21-≤x 时，不等式等价于5122≥---x x ，解得34-≤x ，所以3
4-≤x .…3分
所以原不等式的解集为{3
4
|-
≤x x 或}2≥x . …………5分
（
2
）
4
)42(22422222)(+=--+≥++-=++-=-+a x a x a x x a x x x x f .
…………7分
因为原命题等价于min (()|2|)3f x x +-<， …………9分
所以43
a +<，所以71a -<<- (10)。