1.5-1.6 实变函数第九讲

(*)有界闭集的紧性
定理（Heine-Borel定理的逆命题成立） 若一个集合的任意开覆盖都有有限子覆 盖，则其为有界闭集（紧集） 证明：有界性显然。任取集合外一点y， 再任取集合内一点x，两点之间存在一 定的距离。所以可以做两个开球将两点 分开。遍历所有集合内的点，得到开覆 盖，由条件可知其有有限子覆盖，从而 集合外的点y到集合的距离大于0.
（*）有界闭集的紧性
定理（Heine-Borel） 有界闭集的任意开覆盖有有限子覆盖 证明：
首先，任意开覆盖必然有可数子覆盖。(why?) （因为任意点均和某个有理点共邻域。） 然后，从此有界闭集中，依次去掉开覆盖。 若有限步去完，证毕。 若有限步去不完，得到一列有界递减的闭集列 ，由闭集套定理，得矛盾。
第一章作业：
习题1： 3, 7,16,22,23,26
六选三。
(*) Cantor集
常用来构造各种反例、具有奇怪性质的 一个集合。
第一步：将集合[0,1]正中间开区间挖掉 。 第二步：将剩下两个区间的正中间挖掉 第三步：将剩下4个区间的正中间挖掉。 …… 最后剩下的集合是非空的，称为Cantor 集
点集的距离
对距离空间两非空集合，其距离定义为
d ( E1, E2 ) inf{d ( x, y) | x E1, y E2}
yF f ( y) B( x, M ), 使得
zF B ( x , M )
n
f ( z ) d ( F ,{x})
点集的距离
推论2：若F,K是非空闭集，且至少一个 有界，则两集合距离有：
x F , y K , d (F , K ) d ( x, y)
证明：因为：f : F R f ( z ) d ( z, K ), 比如F 有界 是一个有界闭集上的连续函数。
可数个不交开区间的并可数个开球的并可列个半开闭矩体并定理heineborel有界闭集的任意开覆盖有有限子覆盖证明
实变函数论
第九讲 Borel集与距离
复习
1. 闭集：导集属于原集合的集合。 任意交封闭。 闭集外的点到闭集的距离大于0. 2. 开集：闭集的补集。 任意点都是内点。 3. 开集的构造：可数个不交开区间的并 可数个开球的并，可列个半开闭矩体并
称为一个 代数
Sigma-代数
(W, , P) 概率空间： 我们关心的概率是可列可加的。
(*)生成sigma-代数：包含这些子集的最小 的sigma代数。
代数 : 包含所有开集的最小 代数 Borel 其中的集合称为Borel集。
Borel代数
开集是Borel集。 所以闭集是Borel集。 可列个闭集的并是Borel集。 可列个开集的交是Borel集。 把上述集合可数次做并交补，都是Borel 集 可列集一定是Borel集。
性质：固定集合E，函数
f : Rn R f ( x) d ( x, E )
是全空间上的一致连续函数。(Lip连续)
点集的距离
证明：考虑空间中的两点x,y
0, z E, s.t. d ( x, z ) d ( x, E )
所以： d ( y, E ) d ( y, z ) d ( x, y) d ( x, z ) 从而： d ( y, E ) d ( x, y) d ( x, E ) 由 任意性得到： d ( y, E ) - d ( x, E ) d ( x, y) 同理可得： d ( x, E ) - d ( y, E ) d ( x, y)
1.
2. 有界闭集上的连续函数具有有界性、 最大值最小值的可达性、一致连续性
证明：反证法，讨论序列，或用HeineBorel定理
Sigma-代数
是全集的一些子集构成的 设 W 是全集， 集合，满足以下性质： 1. c 如果 A ， 有 A 2. 3. 如果An ， 有n1 An
思考：构造两集合F,K都是无界闭集，但 不存在这样的两点。
(*)连续延拓
定理：闭集上的有界连续函数可以延拓 为全空间上的有界连续函数。 证明：略。 开集上的有界连续函数不能延拓的例子
1 f ( x) sin , x (0,1) x
第一章的主要内容(必需)
1. 2. 3.
4.
5.
集合的概念：掌握幂集和极限集。 映射：一一映射和原像集。 基数：基数的定义，可列基数和连续 基数的一些性质：有理数怎么数？有 没有最大的基数？ 欧氏空间：球和矩体，点集的极限点 拓扑：闭集、开集及其性质：a. 闭集 外的点到闭集的距离。 b. 开集的所有 点都是内点。c. 距离是个连续函数。
一般集合上的连续函数
核心：在原来的连续的定义中，将一般 的邻域换成与此集合的相交邻域。 具体如下：
0 0x( x E B( x0 , ) |f ( x) f ( x0 )|< )
称为E上的连续函数f.
（*）连续函数性质（思考题 ）
连续函数在一致收敛下封闭。 证明：3分之e法.
此即： | f ( x) f ( y) || x y |
点集的距离
推论1：若F是非空闭集，则对任一点x， 都存在F中的一点y,使得
d ( x, F ) d ( x, y)
证明：因为， f : F B( x, M ) R f ( z ) d ( z,{x}) 是一个有界闭集上的连续函数。 由最小值性质，存在