四川省雅安市高一下学期期末考试数学答案

雅安市2014—2015学年下期期末统一检测
高一数学试题参考答案及评分意见
一、选择题：DAABC CDDCB
二、填空题：11、 12、1 13、1008 14、 15、①③
三、解答题：
16．（本小题满分12分）
解：（1）∵=（﹣3，﹣4），=（5，﹣12），
∴=+=（﹣3+5，﹣4﹣12）=（2，﹣16），
=﹣=（﹣3﹣5，﹣4+12）=（﹣8，8）；
∴点C （2，﹣16），点D （﹣8，8）...................................8分
（2）•=2×（﹣8）+（﹣16）×8=﹣144．............................12分
17．（本小题满分12分）
(1)设等差数列{a n }的公差为d ，
则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝2a 1＋4d ＝8，
∴a 1＝0，d ＝2.
∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －2....................................6分
(2)设等比数列{b n }的公比为q ，则由已知得q ＋q 2
＝a 4，
∵a 4＝6，∴q ＝2或q ＝－3.
∵等比数列{b n }的各项均为正数，∴q ＝2. ∴{b n }的前n 项和1(1)1(12)21112
n n n n b q T q -⨯-===---.....................12分
18．（本小题满分12分）
(1)解法一 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ＝2R ，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， c ＝2R sin C ，代入cos B cos C ＝－b 2a ＋c ，得cos B cos C ＝－sin B 2sin A ＋sin C
， 即2sin A cos B ＋sin C cos B ＋cos C sin B ＝0，所以2sin A cos B ＋sin(B ＋C )＝0. 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A .所以2sin A cos B ＋sin A ＝0.
又sin A ≠0，所以cos B ＝－12
.又角B 为三角形的内角，
所以B ＝2π3
....................6分 解法二 由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
， 代入cos B cos C ＝－b 2a ＋c ，得a 2＋c 2－b 2
2ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c . 整理，得a 2＋c 2－b 2
＋ac ＝0，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12. 又角B 为三角形的内角，所以B ＝2π3
...................................6分 (2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝2π3
代入余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ， 得13＝a 2＋(4－a )2－2a (4－a )·cos 2π3
， 整理，得a 2－4a ＋3＝0，解得a ＝1或a ＝3.............................12分
19. （本小题满分12分）
解：（1）22113sin 15cos 15+sin(15)cos151sin 301244
︒︒︒︒-︒+-=-=-=（）. …4分 （2）22sin cos ()sin cos()66ππ
αααα++++=. ……… 8分
111cos 21[cos(2)cos 2]223422
11111[cos 22cos 2]2cos 22244
πααααααααα-=++-+-⋅=+--+左边 ………………………………………………………………………………12分
20．（本小题满分13分）
解 (1)由图知A ＝2，T ＝π，于是ω＝2πT ＝2，将y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12
，得y ＝2sin(2x ＋φ)的图象．于是φ＝2·π12＝π6
，
∴f (x )＝2sin(2x ＋π6
).............................................6分 (2)依题意得g (x )＝2sin[2(x －π4)＋π6]＝－2cos(2x ＋π6
)..............8分 故y ＝f (x )＋g (x )＝2sin(2x ＋π6)－2cos(2x ＋π6)＝22sin(2x －π12)．
由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝6
y ＝22sin(2x －π12)得sin(2x －π12)＝32
.....................10分 ∴2x －π12＝π3＋2k π或2x －π12＝2π3
＋2k π(k ∈Z)， ∴x ＝5π24＋k π或x ＝3π8
＋k π (k ∈Z)．∵x ∈(0，π)， ∴x ＝5π24或x ＝3π8
.................................................12分 ∴交点坐标为(5π24，6)，(3π8
，6)．..............................13分
21. （本小题满分14分）
解：（1）f (x )对任意()(1)2x R f x f x ∈+-=都有 1111()(1)2()12222
x f f f =
+-=∴=时有 ............... ...............……2分 令111(*)()(1)2x n N f f n n n
=∈+-=时有 11()()2n f f n n -∴+= .. ............................………4分 （2）证明：f (x )对任意x ∈R 都有 则令()()2k k n k x f f n n n
-=
+=时有 ............... ............... . ……6分 1121(0)()()()(1)121(1)()()()(0)11112[(0)(1)][()()][()()][(1)(0)]22n 1)(*)
1(*)
(2)(11(*)
n n n n n n n n a f f f f f n n n
n n a f f f f f n n n
n n a f f f f f f f f n n n n
a n N a n n N a a n n n N +-=+++++--∴=+++++--∴=++++++++∴=+∈∴=+∈∴-=+-+=∈（） ∴{a n }是等差数列. ………………………………………………………10分
（3）解：由（2）有11(*)1n n b n N a n
==∈-
22221444112()441(21)(21)2121
n b n n n n n n n ∴==<==--+--+
2222121111112[(1)()()]3352121142(1)2121
n n n T b b b b n n n S n n ∴=+++
+<-+-++--+=-==++ ..............................................14分。