小学奥数知识讲解-最短路线问题

最短路线
在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问
题。

比如：邮递员送信，要穿遍所有的街道，为了少走冤枉路，需要
选择一条最短的路线；旅行者希望寻求最佳旅行路线，以求能够走最
近的路而达到目的地，等等。

这样的问题，就是我们所要研究学习的
“最短路线问题”。

典型例题
例 [1] 假如直线 AB 是一条公路，公路两旁有甲乙两个村子，如下
图 1。

现在要在公路上修建一个公共汽车站，让这两个村子的人到汽车
站的路线之和最短。

问：车站应该建在什么地方？
甲甲
A B A B
乙乙图1图2
分析如果只考虑甲村的人距离公路AB 最近，只要由甲村向公
路 AB 画一条垂直线，交 AB 于 C 点，那么 C 点是甲村到公路AB 最
近的点，但是乙村到 C 点就较远了。

反过来，由乙村向公路 AB 画垂线，交 AB 于 D 点，那么 D 点是乙村到公路 AB 最近的点。

但是这时甲村到公路 AB 的 D 点又远了。

因为本题要求我们在公路 AB 上取的建站点，能够兼顾甲村和乙村的人到这个车站来不走冤枉路（既路程之和最短），根据我们的经验：两个地点之间走直线最近，所以，只要在甲村乙村间连一条直线，这
条直线与公路 AB 交点 P，就是所求的公共汽车站的建站点了（图 2）。

解用直线把甲村、乙村连起来。

因为甲村乙村在公路的两侧，所以这条连线必与公路AB 有一个交点，设这个交点为P，那么在P 点建立汽车站，就能使甲村乙村的人到汽车站所走的路程之和最短。

例 [2] 一个邮递员投送信件的街道如图 3 所示，图上数字表示各段街道的千米数。

他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局。

问：走什么样的路线最合理？全程要走多少千米？
12421
3
分析选择最短的路线最合理。

那么，什么路线最短呢？一笔画
路线应该是最短的。

邮递员从邮局出发，还要回到邮局，按一笔画问
题，就是从偶点出发，回到偶点。

因此，要能一笔把路线画出来，必
须途径的各点全是偶点。

但是图中有 8 个奇点，显然邮递员要走遍所
有街道而又不走重复的路是不可能的。

要使邮递员从邮局出发，仍回
到邮局，必须使 8 个奇点都变成偶点，就是要考虑应在哪些街道上重
复走，也就是相当于在图上添哪些线段，能使奇点变成偶点。

如果有
不同的添法，就还要考虑哪一种添法能使总路程最短。

为使 8 个奇点变成偶点，我们可以用图 4 的 4 种方法走重复的路1242112421
线。

33
( a )( b )
1242112421
33
( c )
( d )
图 4
图 4 中添虚线的地方，就是重复走的路线。

重复走的路程分别为：
（a） 3×4=12（千米）
（b） 3×2＋2×2=10（千米）
（c） 2×4=8（千米）
（d） 3×2＋4×2=14（千米）
当然，重复走的路程最短，总路程就最短。

从上面的计算不难找
出最合理的路线了。

解邮递员应按图4（ c）所示的路线走，这条路重复的路程最短，所以最合理。

全程为：
（1＋2＋4＋2＋1）×2＋3×6＋2×4
=20＋18＋8
=46（千米）
例 [3] 图 5 中的线段表示的是小明从家到学校所能经过的所有街道。

小明上学走路的方向都是向东或向南，因为他不想偏离学校的
方向而走冤枉路。

那么小明从家到学校可以有多少条不同的路线？
北
小明家
学校分析为了叙述的方便，我们在各交叉点标上字母（见图6）。

A B F
E F
小明家
D E F
我们从小明家出发，顺序往前推。

由于从小明家到 A、B、C、D 各处都
是沿直线行走，所以都只有一种走法。

我们分别在交叉点处标上
“1”。

而从小明家到 E 处，就有先到 A 或先到 D 的两种走法，正好是
两个对角上标的数 1+1 的和。

从小明家到 F 点，则有 3 条路线，又正好
是两个对角上标的数 1+2 的和。

标在各交叉点的数，就是依次顺序推出的到各交叉点能有多少种
不同的路线的数。

从中我们可以看出，每个格内上右角与下左角两
个对角上的数的和，正好等于下右角上的数。

解从小明家到学校有 13 条不同的路线。

如图 7 所示。

北小明家
A B C
111
1234
D E F G4H
25913
M K
N
学校
图 7
小结寻找最短路线，不应该走“回头路”。

要按照一定的逻辑次序来排列可能路线，既要做到不重复数，也不漏数。

对比较复杂的图形，可以借助图表来寻找路线。