高考数学一轮专项复习ppt课件-同角三角函数基本关系式及诱导公式(北师大版)

第四章
§4.2 同角三角函数基 本关系式及诱导公式
课标要求
1.理解同角三角函数的基本关系式 sin2α＋cos2α＝1，csoins αα＝ tan αα≠π2＋kπ，k∈Z. 2.掌握诱导公式，并会简单应用.
内容索引
第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型
课时精练
第一部分
落实主干知识
知识梳理
思维升华
(1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求 条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形. (2)注意角的范围对三角函数值符号的影响.
跟踪训练 3 (1)(2024·榆林模拟)已知 tan(α－π)＝13，则
2cosαs－inπ2α＋＋s32iπnα＋π等于
1 A.3
的值为 α
6 12
.
自主诊断
因为－π2<α<0， 所以 sin α＝－ 1－152＝－256， 所以 tan α＝－2 6.
则tanα＋cπoscoπ2s＋－ααtan
α＝tan
－sin α αcos αtan
α＝－tan1
α＝2
1
6＝
6 12 .
返回
第二部分
探究核心题型
题型一 同角三角函数基本关系式
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系： sin2α＋cos2α＝1 .
(2)商数关系：
sin cos
αα＝tan
αα≠π2＋kπ，k∈Z
.
知识梳理
2.三角函数的诱导公式
公式
角
正弦 余弦 正切 口诀
一 2kπ＋α (k∈Z)
sin α cos α tan α
二
三
四
五
π＋α
－α
π－α
π2－α
_－__si_n__α_ _－__s_in__α_ __si_n_α__ _c_o_s_α__ _－_c_o_s__α_ _c_o_s_α_ _－__c_o_s _α_ _s_in__α_
(2)已知 sinα＋π3＝1132，则 cosπ6－α等于
5 A.13
√B.1123
C.－153
D.－1132
因为 sinα＋π3＝1132， 所以 cosπ6－α＝sinπ2－π6－α＝sinα＋π3＝1132.
延伸探究
若
把
本
例
(2)
中
条
件
换
为
“cos
π6＋α
＝
－
1 3
”
，
那
么
sin 23π＋α 的 值
(2)(2023·全国乙卷)若 θ∈0，π2，tan θ＝12，则 sin θ－cos θ＝
－
5 5
.
因为 θ∈0，π2，则 sin θ>0，cos θ>0， 又因为 tan θ＝csoins θθ＝12，则 cos θ＝2sin θ， 且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.以下四个数中，与sin 2 024°的值最接近的是
A.－12
1 B.2
√C.－
2 2
2 D. 2
sin 2 024°＝sin(360°×5＋224°)＝sin 224°＝sin(180°＋44°)＝－sin 44°，
∵sin
自主诊断
3.若 sin α＝ 55，π2<α<π，则 tan α 等于
A.－2
B.2
1 C.2
√D.－12
∵π2<α<π，∴cos α＝－ 1－sin2α＝－255，∴tan α＝csoins αα＝－12.
自主诊断
4.若
cos
α＝15，－π2<α<0，则tanα＋cπoscoπ2s＋－ααtan
∴θ∈π2，π，故 A 正确；
(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝4295，
∴sin θ－cos θ＝75，
②
故D正确；
由①②得 sin θ＝45，cos θ＝－35，故 B 正确； tan θ＝csoins θθ＝－43，故 C 错误.
思维升华
(1)利用 sin2α＋cos2α＝1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化，利用csoins αα＝ tan α 可以实现角 α 的弦切互化.
－cos α，此时 cos α＝－13，故 B 错误； 若 α≠k2π(k∈Z)，则 tanπ2＋α＝csoinsπ2π2＋＋αα＝－cossinαα＝－tan1 α，故 C 正确；
将等式sin α＋cos α＝1两边平方，得sin αcos α＝0， 所以sin α＝0或cos α＝0. 若sin α＝0，则cos α＝1，此时sinnα＋cosnα＝1； 若cos α＝0，则sin α＝1，此时sinnα＋cosnα＝1， 故sinnα＋cosnα＝1，故D正确.
asin α＋bcos α (2)形如csin α＋dcos α，asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α 等类型可进行弦化切. (3)对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2 ＝1±2sin αcos α，可以知一求二.
又 sin xcos x＝－2152<0，∴cos x>0，
∴sin x－cos x<0，∴sin x－cos x＝－75.
∴
sin
2x＋2sin 1－tan x
2x
＝
2sin
xcos x＋sin
1－csoins
x x
x
＝
2sin
xcos cos
xcos x＋sin x－sin x
x
＝
－22745×15＝－12745. 5
为 －13 .
因为 cosπ6＋α＝－13， 所以 sin23π＋α＝sinπ2＋π6＋α＝cosπ6＋α＝－13.
思维升华
诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
跟踪训练2 (1)化简：
sinθ－sin5θπ－co32sπ－sin2π－－θθc－os4π8π－θ等于
√A.－sin θ
C.cos θ
B.sin θ D.－cos θ
原式＝sinθ－coπsθcsoisn2π－＋θθcos θ＝－sicnosθθ－－ssininθθcos θ＝－sin θ.
(2)已知 cosx－π3＝35，则 cos43π－x等于
A.－45
√B.－35
3 C.5
4 D.5
cos43π－x＝cosπ－x－π3＝－cosx－π3＝－35.
例 1 (1)(2023·深圳模拟)已知 tan α＝－3，则sin3cαo－s αsin α等于
A.－34
B.34
√C.130
D.－130
因为tan α＝－3， 所以sin3cαo－s αsin α＝sin αcsoins 2αα－1＝－sincαocsoαs2α＝－sisni2nαα＋cocsosα2α＝ －tanta2nα＋α 1＝－9－＋31＝130.
题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
例 3 (1)已知 α 为锐角，且 2tan(π－α)－3cosπ2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋ 6sin(π＋β)－1＝0，则 sin α 的值是
25 A. 5
27 B. 7
√C.3 1010
1 D.3
由已知得3tasninαβ－－62sitnanβα－＋15＝＝00，， 消去sin β，得tan α＝3， ∴sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1， 化简得 sin2α＝190， 又 α 为锐角，∴sin α>0，则 sin α＝31010.
√C.若 α≠k2π(k∈Z)，则 tanπ2＋α＝－tan1 α √D.若sin α＋cos α＝1，则sinnα＋cosnα＝1
由诱导公式二知当α∈R时，sin(π＋α)＝－sin α，故A错误； 当 n＝2k(k∈Z)时，cos(nπ－α)＝cos(－α)＝cos α，此时 cos α＝13； 当 n＝2k＋1(k∈Z)时，cos(nπ－α)＝cos[(2k＋1)π－α]＝cos(π－α)＝
自主诊断
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当α为钝角时，cos(π－α)＝cos α.( × ) (2)若 sin(2kπ－α)＝35(k∈Z)，则 sin α＝35.( × ) (3)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.( × ) (4)若 α∈R，则 tan α＝csoins αα恒成立.( × )
跟踪训练 1 (1)已知 sin αcos α＝38，且π4<α<π2，则 cos α－sin α 的值为
1 A.2
1 B.±2
C， ∴(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin αcos α＋sin2α＝1－2sin αcos α＝1－
2×38＝14， ∵π4<α<π2，∴cos α<sin α， 即cos α－sin α<0， ∴cos α－sin α＝－12.
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课时精练
知识过关
一、单项选择题 1.若角 α 的终边在第三象限，则 1c－ossiαn2α＋ 12－sincoαs2α等于
A.3
√B.－3
C.1
D.－1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
由角α的终边在第三象限， 得sin α<0，cos α<0， 故原式＝|ccooss αα|＋2|ssiinnαα|＝－cocsosαα＋－2ssiinnαα＝－1－2＝－3.
(2)(多选)(2023·天津模拟)已知 θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝15，则
√A.θ∈π2，π
√B.cos θ＝－35
C.tan θ＝－34
√D.sin θ－cos θ＝75
∵sin θ＋cos θ＝15，
①
∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝215，
∴2sin θcos θ＝－2245， ∵θ∈(0，π)，∴sin θ>0，cos θ<0，
(2)
已
知
－
π<x<0
，
sin(π
＋
x)
－
sin
π2－x
＝
－
1 5
，
则
sin 2x＋2sin2x 1－tan x
的
值
为 －12745 .
由已知得 sin x＋cos x＝15， 两边平方得 sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝215，
整理得 2sin xcos x＝－2245， ∴(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝4295. 由－π<x<0知，sin x<0，
45°＝
22，∴sin
2
024°的值最接近－
2 2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
3.(2023·安康模拟)已知 sinπ3＋θ＝14，－π2<θ<π6，则 sin56π＋θ等于
A.－14
B.－
15 4
√C.
15 4
1 D.4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
自主诊断
2.(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是
A.sin(－x)＝sin x
B.sin32π－x＝cos x
√C.cosπ2＋x＝－sin x
√D.cos(x－π)＝－cos x
自主诊断
sin(－x)＝－sin x，故A不成立； sin32π－x＝－cos x，故 B 不成立； cosπ2＋x＝－sin x，故 C 成立； cos(x－π)＝－cos x，故D成立.
解得 sin θ＝ 55或 sin θ＝－ 55(舍去)， 所以 sin θ－cos θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－ 55.
题型二 诱导公式
例 2 (1)(2024·安康模拟)若 sin(π＋α)＝－45，则 cos(π－2α)等于
3 A.5
B.－35
√C.275
D.－275
∵sin(π＋α)＝－45，∴sin α＝45， ∴cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin2α)＝2×452－1＝275.
_t_an__α_ _－__ta_n__α_ －tan α 奇变偶不变，符号看象限
六 π2＋α _c_o_s__α_ _－__s_in__α_
常用结论
同角三角函数的基本关系式的常见变形 (1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos αα≠π2＋kπ，k∈Z.
B.3
√C.－13
D.－3
由 tan(α－π)＝13，解得 tan α＝13， 则2cosαs－in2πα＋＋s32iπnα＋π＝－sicnosαα＝－tan α＝－13.
(2)(多选)下列结论中，正确的是 A.sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是角α是锐角 B.若 cos(nπ－α)＝13(n∈Z)，则 cos α＝13