2020-2021学年辽宁省丹东市高一下学期期末教学质量监测数学试题

2020-2021学年辽宁省丹东市高一（下）期末数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．在复平面内，复数对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
解：由．
知复数的实部为，虚部为．
所以，复数对应的点位于第二象限．故选：B．
2．已知向量，，若，则＝（）A．﹣3B．﹣C．D．3
解：因为向量，，若，
所以﹣cosθ﹣2sinθ＝0，可得tanθ＝﹣，
则＝＝＝．故选：C．
3．用与球心距离为1的平面去截球所得的截面面积为π，则球的表面积为（）A．2πB．4πC．8πD．
解：∵用与球心距离为1的平面去截球所得的截面面积为π，
∴截面的半径r＝1，
∴球半径R＝＝，
∴球的表面积S＝4πR2＝8π．故选：C．
4．下列命题正确的是（）
A．如果直线m平行于直线n，则m平行于经过n的任何一个平面
B．如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行
C．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行
D．如果一条直线与一个平面平行，则它与该平面内的任何直线都平行
解：对于A，如果直线m平行于直线n，则m平行于经过n的平面或m⊂经过
n的平面，故A错误；
对于B，如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行或相交，故B错误；
对于C，因为过直线外一点可以作无数个平面与已知直线平行，
所以只须这些平面经过这条直线的平行线且不过这条直线即可，
所以过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行，故C正确；
对于D，如果一条直线与一个平面平行，则它与该平面内的任何直线都平行或异面，故D错误．故选：C．
5．若z＝1﹣i，则|z•﹣2z|＝（）
A．0B．1C．D．2
解：∵z＝1﹣i，
∴z•﹣2z＝（1﹣i）（1+i）﹣2（1﹣i）＝2i，
∴|z•﹣2z|＝|2i|＝．故选：D．
6．在△ABC中，cos A+sin A＝，则cos A﹣sin A＝（）
A．±B．±C．﹣D．
解：在△ABC中，cos A+sin A＝，
两边平方，可得1+sin2A＝，可得sin2A＝，
因为A∈（0，π），
则cos A﹣sin A＝±＝＝＝±．故选：A．
7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别棱B1C1，D1C1的中点，若AB＝2，则棱台MNC1﹣BDC的体积为（）
A．B．C．D．
解：如图S，S，
棱台MNC1﹣BDC的高为CC1＝2，
∴棱台MNC1﹣BDC的体积V＝＝
＝．故选：B．
8．在△ABC中，A＝，AB＝4，则|4﹣|的最小值是（）A．4B．4C．6D．6
解：设AC＝b，
则4＝4（）﹣＝3，
所以|4|＝|3|＝
＝＝4
＝4，当b＝时，|4|取得最小值为4×，故选：D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．在平面直角坐标系中，集合中的元素所表示角的终边不会出现在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
解：在平面直角坐标系中，集合中，
当k＝3n，n∈Z时，α的终边落在x轴的非负半轴上；
当k＝3n+1，n∈Z时，α的终边落在与相同的终边上；
当k＝3n+2，n∈Z时，a的终边落在与相同的终边上．
则终边不会出现在第一象限和第四象限故选：AD．
10．以下的A，B，C，D四个结论对于任意非零实数a，b都成立，那么对于任
意非零复数a，b仍然成立的是（）
A．a+≠0B．若a2＝ab，则a＝b
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．|a|2＝a2
解：对于A，取a＝i，则，故A错误；
对于B，若a2＝ab，则a（a﹣b）＝0，∵复数a≠0，∴a﹣b＝0，即a＝b，故B正确；
对于C，由复数满足多项式乘多项式运算，可得（a+b）2＝（a＝b）（a+b）＝a2+2ab+b2，故C正确；
对于D，取a＝i，则|a|2＝|i|2＝1，a2＝i2＝﹣1，故D错误．故选：BC．11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C＝75°，a＝2b cos B，则A的可能取值为（）
A．30°B．35°C．45°D．70°
解：在△ABC中，已知C＝75°，
所以A+B＝105°，
由于a＝2b cos B，
利用正弦定理，sin A＝2sin B cos B＝sin（180°﹣A），
sin2B＝sin[2（180°﹣A﹣C）]＝sin（210°﹣2A），
所以A＝2B或180°﹣A＝210°﹣2A；
（1）当A＝2B时，由于A+B+C＝180°，所以B＝35°，
故A＝70°，
（2）当180°﹣A＝210°﹣2A时，解得A＝30°．
故：A＝30°或70°．故选：AD．
12．将函数y＝sin x的图像向左平行移动个单位，再将所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数y＝f（x）的图像，那么（）
A．
B．若x1，x2是f（x）的2个零点，则x1﹣x2＝，k∈Z
C．函数y＝f（x）﹣0.9在（﹣π，π）内有4个零点
D．若f（x+φ）是奇函数，则|φ|的最小值为
解：将函数y＝sin x的图像向左平行移动个单位，可得y＝sin（x+）的图像，
再将所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的，可得f（x）＝sin（2x+）的图像，
故A错误；
若x1，x2是f（x）的2个零点，则x1﹣x2＝k×＝k××＝，k∈Z，故B正确；
函数y＝f（x）﹣0.9，即sin（2x+）＝0.9，在（﹣π，π）内，2x+∈（﹣，），
sin＝sin（﹣）＝＜0.9，
故f（x）的图像和直线y＝0.9在（﹣π，π）内有4个交点，故C正确；
若f（x+φ）＝sin（2x+2φ+）是奇函数，则2φ+＝kπ，k∈Z，
则|φ|的最小值为﹣，此时，k＝0，故D正确，故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．圆锥的轴截面是正三角形，则其侧面积是底面积的2倍．解：如图，
设圆锥的底面半径为r，则母线长为2r，
∴圆锥的侧面积为，
圆锥的底面积为πr2，
∴侧面积是底面积的2倍．
故答案为：2．
14．写出一个最小正周期为1的偶函数f（x）＝cos2πx．
解：一个最小正周期为1的偶函数f（x）＝cos2πx，
故答案为：cos2πx．
15．已知单位向量，满足与垂直，则与的夹角＜，＞＝135°．解：根据题意，单位向量，满足与垂直，则有（）•＝2+•＝0，
变形可得：•＝﹣，
则cos＜，＞＝＝﹣，
又由0°≤＜，＞≤180°，
故＜，＞＝135°，
故答案为：135°．
16．中国古代的数学具有很高水平，宋代数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，是据三角形三边长度计算三角形面积的算法：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．也就是说：若△ABC的三边长度分
别为a，b，c，则△ABC的面积S＝．那么“三斜求积术”
的这个公式中的①处应该填写的式子是c2+a2﹣b2．（用关于a，b，c的式子表示）
解：＝＝
＝．
故答案为：a2+c2﹣b2．
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．设函数f（x）＝cos（x﹣2π）sin（x+π）tan x+cos（﹣x）sin（x+）．
（1）化简f（x）；
（2）若tanα＝2，求f（α）值．
解：（1）因为cos（x﹣2π）＝cos x，sin（x+π）＝﹣sin x，，cos （﹣x）＝cos x，．
所以f（x）＝﹣sin2x+cos2x＝cos2x．
（2）因为．
将tanα＝2，代入可得．
18．如图，为了测量两山顶M，N之间的距离，飞机沿水平方向A，B两点进行测量，已知A，B，M，N在同一个铅锤平面内（如图所示）．已知在点A处测得山顶M，N的俯角分别为75°，30°，点B处测得山顶M，N的俯角为45°，60°．已知AB＝100m．求两山顶点M，N之间的距离MN．
解：由题设∠AMB＝60°
在△ABM中，根据正弦定理得．
因为，可得．
由题设∠ABN＝120°，∠ANB＝30°，所以AB＝BN，因此AN＝2AB cos30°＝300．
在△MAN中，∠MAN＝45°，根据余弦定理得
．
19．如图，正四面体A﹣BCD棱长为6．
（1）求正四面体A﹣BCD的体积；
（2）若P是侧面ACD内的一点，过点P作一个截面α，使得AB与CD都与
截面α平行，作出截面α与正四面体A﹣BCD各面的交线，并写出作法．
解：（1）设△BCD中心为O，连接AO，OD，则AO⊥平面BCD．
因为正四面体A﹣BCD棱长为6，所以．
从而．
因为△BCD的面积，于是四面体A﹣BCD的体积为．（2）在平面ACD内过点P作与CD平行的直线，分别与AC，AD相交于点E，F．
在平面ABD内过点F作与AB平行的直线，与BG相交于点G．
在平面BCD内过点G作与CD平行的直线，与BC相交于点H，连接EH．则截面α与正四面体A﹣BCD各面的交线分别为EF，FG，GH，HE．20．已知函数f（x）＝x．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若f（x）在区间上的最大值为，求m的最小值．
解：（1），
f（x）的最小正周期T＝π，
由，可得f（x）的单调递增区间为
，k∈Z．
（2）当时，，
因为f（x）在区间上的最大值为，所以可以取到最大值1，
从而，
可得，
m的最小值为．
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．
（1）证明：平面PCD⊥平面PAE；
（2）已知二面角P﹣CD﹣A的平面角的余弦为，求PD与平面PAE所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：连接AC，由题设得AC＝＝5＝AD，
因为E是CD的中点，所以AE⊥CD，
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，
因为AE∩PA＝A，所以CD⊥平面PAE，
因为CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAE；
（2）解：由题设可得CD＝2，AE＝2，所以PE＝，
由（1）可得∠PAE是二面角P﹣CD﹣A的平面角，因为二面角P﹣CD﹣A的平面角的余弦为，
即cos∠PEA＝，从而＝，
解得PA＝5，故PD＝5，
由（1）可知∠DPE是PD与平面PAE所成角，
所以sin∠DPE＝＝，
则PD与平面PAE所成角的正弦值为．
22．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin（B+C）＝2．（1）求cos A；
（2）点D在平面ABC内，D与A在直线BC两侧，若AD＝c＝3b，∠BDC ＝90°，求tan∠DBC．
解：（1）由题设得，
两边平方可得1﹣cos2A＝2（1﹣cos A）2，
因为1﹣cos A≠0，故．
（2）根据余弦定理得，可得a2＝8b2．
故c2＝a2+b2，C＝90°．
于是，．
设∠DBC＝α，则∠ADB＝∠ABD＝B+α，∠ADC＝90°
﹣B﹣α，∠ACD＝180°﹣α．
在△ADC中，因为AD＝3b，AC＝b，根据正弦定理得．所以sin（180°﹣α）＝3sin（90°﹣B﹣α），
可得，于是．
即tan∠DBC＝．。