2020年北京东直门中学 高三数学文联考试题含解析

2020年北京东直门中学高三数学文联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知正四面体A-BCD的内切球的表面积为36π，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体A-BCD，则所得截面的面积为（）
A. 27
B. 27
C. 54
D. 54
参考答案：
C
【分析】
先由内切球表面积求出其半径，结合图像，找出球心半径，用相似三角形列方程求出正四面体边长，再求出所需截面即可.
【详解】解：由内切球的表面积，得内切球半径
如图，过点作平面，则点为等边的中心
连接并延长交于点，且点为中点，连接
记内切球球心为O，过O作，设正四面体边长为
则，，，
又因为，所以
由，得，即，解得
因为过棱和球心O，所以即为所求截面
且
故选：C. 【点睛】本题考查了空间几何体的内切球，找到球心求出半径是解题关键.
2. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（）
A．63 B．45 C．36 D．27
参考答案：
B
【考点】等差数列的性质．
【分析】观察下标间的关系，知应用等差数列的性质求得．
【解答】解：由等差数列性质知S3、S6﹣S3、S9﹣S6成等差数列，即9，27，S9﹣S6成等差，∴S9﹣
S6=45
∴a7+a8+a9=45
故选B．
3. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若且，则△ABC的面积为（）
A. B. C.
D.
参考答案：
B
4. 某校进行青少年法律知识测试，测试成绩经过统计得到如图所示的频率分布直方图，若用扇形统计图表示，则在扇形图中[70,80)分所对应的圆心角大小为（）
A. B. C. D. 参考答案：
B
【分析】
1、计算出的频率。

2、用乘的频率。

【详解】由图可得的频率.所以圆心角
【点睛】频率分布直方图
5. 若为虚数单位，则等于
A. B. C.1 D.－1
参考答案：
A
略
6. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于（）
A．B．C． D. 63 参考答案：
D
略
7. 的三个内角所对的边分别为，
，则
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
D
略
8. sin15°﹣cos15°=（）
A． B． C．﹣ D．﹣
参考答案：
C
考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．
分析：利用两角和差的正弦公式，进行化简即可．
解答：解：sin15°﹣cos15°=sin（15°﹣45°）==﹣，
故选：C．
点评：本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的正弦公式以及辅助角公式是解决本题的关键．
9. 各项为正数的等比数列中，，则的值为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
参考答案：
Ｂ
10. 如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）
B．产品的生产能耗与产量呈正相关
C．t的取值必定是3.15
D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨
参考答案：
C
【考点】BK：线性回归方程．
【分析】根据回归直线的性质分别进行判断即可．
【解答】解： =（3+4+5+6）==4.5，
则=0.7×4.5+0.35=3.5，即线性回归直线一定过点（4.5，3.5），故A正确，∵0.7＞0，∴产品的生产能耗与产量呈正相关，故B正确，
∵=（2.5+t+4+4.5）=3.5，得t=3，故C错误，A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨，故D正确
故选：C
【点评】本题主要考查命题的真假判断，根据回归直线的性质分别进行判断是解决本题的关键．比较基础．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设、分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时且
，则不等式的解集
为．
参考答案：
12. 如图放置的等腰直角三角形ABC薄片(∠ACB＝，AC＝)沿x轴滚动，设顶点A(x，y)的轨迹方程是y＝，则在其相邻两个零点间的图象与x轴所围区域的面积为．
参考答案：
略
13. 已知平面向量不共线，且两两之间的夹角都相等,若，则
与的夹角是．
参考答案：
14. 在等比数列{a n}中，，则______________．
参考答案：
240 15. 已知，，且，则
．
参考答案：
－ 2
16. (07年全国卷Ⅱ文)一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ． 参考答案：
答案：
解析：一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为．
17. 三棱锥
及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱
的长为
_________.
参考答案：
取AC 的中点，连结BE,DE 由主视图可知
.
且
.所以
，即。

三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 对于定义在
上的函数
，若存在
，对任意的
，都有
或者
，则称
为函数
在区间
上的“下确界”或“上确界”．
（Ⅰ）求函数
在
上的“下确界”；
（Ⅱ）若把“上确界”减去“下确界”的差称为函数
在
上的“极差
”， 试求函数
在
上的“极差
”；
（Ⅲ）类比函数的“极差”的概念， 请求出
在
上的“极差
”．
参考答案：
解：（Ⅰ） 令，则，
显然，
，列表有：
所以，
在
上的“下确界”为
.
（Ⅱ）①当时，
， ，
极差
；
②当时，，， ks5u
极差
；ks5u
③当时， ，，极差；
④当时，，
极差；
⑤当时，，，极差；
⑥当时，, ，
极差.
综上所述：
（Ⅲ）因为，
当或时等号成立，所以的最大值为1．
令，则
令，则
，
令，得是的极大值点，也是的最大值点，
，从而，
所以
当时等号成立，所以的最小值为．
由此
略
19. （本小题满分12分）
设向量，，其中，，函数
的图象在轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为，在原点右侧与轴的第一个交点为.
（Ⅰ）求函数的表达式；
（Ⅱ）在中，角A，B，C的对边分别是，若，
且，求边长．
参考答案：
（I）因为， -----------------------------1分由题意， -----------------------------3分
将点代入，得，
所以，又因为 -------------------5分
即函数的表达式为． ---------------------6分
（II）由，即
又 ------------------------8分
由，知，
所以
-----------------10分
由余弦定理知
所以 ----------------------------------------------------12分
20. 已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）．
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内有两个不同的极值点．
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1?x2＞e2．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）对f（x）求导，利用导数来判断f（x）的图形单调性；
（Ⅱ）（i）函数f（x）在其定义域内有两个不同的极值点转化为：方程lnx﹣ax=0在x＞0上有两个不同根．
（ii）x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2；不妨设x1＞x2，作差得，
ln=a（x1﹣x2），即a=．原不等式等价于
．
【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=xlnx﹣x．
函数f（x）的定义域为x＞0，f'（x）=lnx；
当x＞1时，f'（x）＞0；当0＜x＜1时，f'（x）＜0．
所以，f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增．（Ⅱ）（ⅰ）依题意，函数f（x）的定义域为x＞0，f'（x）=lnx﹣ax
所以方程f'（x）=0在x＞0上有两个不同根，即：
方程lnx﹣ax=0在x＞0上有两个不同根，转化为：函数y=lnx与函数y=ax 的图象在x＞0上有两个不同交点，如图．
可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．令切点A（x0，lnx0），所以k=，又k=，所以，
解得：x0=e，于是k=，
所以，0＜a＜．
（ⅱ）由（i）可知x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，
即lnx1=ax1，lnx2=ax2，
不妨设x1＞x2，作差得，ln=a（x1﹣x2），即a=．
原不等式
等价于
令，则t＞1，
设，，
∴函数g（t）在（1，+∞）上单调递增，
∴g（t）＞g（1）=0，
即不等式成立，
故所证不等式成立．
【点评】本题主要考查了导数研究函数的单调性，方程与函数思想，转化思想，属中等题． 21. 某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路通畅状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：
（Ⅱ）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．
参考答案：
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（Ⅰ）求T 的分布列即求出相应时间的频率，频率=频数÷样本容量，数学期望ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32（分钟）；
（Ⅱ）设T 1，T 2分别表示往、返所需时间，事件A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”，先求出P （）=P （T 1=35，T 2=40）+P （T 1=40，T 2=35）+P （T 1=40，T 2=40）=0.09，即P （A ）=1﹣P （）=0.91．
【解答】解（Ⅰ）由统计结果可得T 的频率分布为
（Ⅱ）设T 1，T 2分别表示往、返所需时间，T 1，T 2的取值相互独立，且与T 的分布列相同，设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”
P （）=P （T 1+T 2＞70）=P （T 1=35，T 2=40）+P （T 1=40，T 2=35）+P （T
1=40，T 2=40）=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09 故P （A ）=1﹣P （）=0.91
故答案为：（Ⅰ）分布列如上表，数学期望ET=32（分钟）（Ⅱ）0.91 22. （本小题满分12分）如图1，直角梯形
中，
，分别为边和
上的点，且
，
．将四边形
沿
折起成如图2的
位置，使． （1）求证：平面；
（2）求平面
与平面
所成锐角的余弦值.
参考答案：
（2）如图以
中点为原点，
为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，
，
，
所以的中点坐标为因为，所以易知是平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为
由
令则，，。