函数的概念与基本初等函数多选题知识点-+典型题及解析

函数的概念与基本初等函数多选题知识点-+典型题及解析
一、函数的概念与基本初等函数多选题
1．若实数2a ≥，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A ．21(1)(2)a a a a +++>+
B ．1log (1)log (2)a a a a ++>+
C ．1
log (1)a a a a ++< D ．12
log (2)1
a a a a +++<
+ 【答案】ABD 【分析】
对于选项A ：原式等价于
()()
ln 1ln 212
a a a a ++>
++，对于选项C ：1
log (1)a a a a ++<
()ln 11ln a a a a ++⇔<()ln 1ln 1a a a a
+⇔<
+，对于选项D ：变形为()()ln 2ln 121
a a a a ++<
++，构造函数()ln x
f x x =，通过求导判断其在(),x e ∈+∞上的单调性即可判断；
对于选项B ：利用换底公式：1log (1)log (2)a a a a ++>+()()
()
ln 1ln 2ln ln 1a a a a ++⇔
>+， 等价于()()2
ln 1ln ln 2a a a +>⋅+，利用基本不等式2
2a b ab +⎛⎫≤ ⎪
⎝⎭
，再结合放缩法即可
判断； 【详解】 令()ln x f x x =
，则()21ln x f x x -'=0<在()3,x ∈+∞上恒成立，所以函数()
ln x
f x x
=在(),x e ∈+∞上单调递减， 对于选项A ：因为2a ≥，所以
21(1)(2)a a a a +++>+()()()()2ln 11ln 2a a a a ⇔++>++，
即原不等式等价于
()()
ln 1ln 212
a a a a ++>
++，因为12a a +<+，所以()()ln 1ln 212a a a a ++>
++，从而可得2
1(1)(2)a a a a +++>+，故选项A 正确； 对于选项C ：1
log (1)a a a a ++<()ln 11ln a a a a ++⇔<()ln 1ln 1a a a a
+⇔<
+， 由于函数()ln x f x x =在(),e +∞上单调递减，所以()()43f f <，即ln 4ln 3
43
<，
因为
ln 42ln 2ln 2442==，所以ln 2ln 3
23<，取2a =，则()ln 1ln 1a a a a
+>+，故选项C 错
误；
对于选项D ：12log (2)1a a a a +++<+()()ln 22ln 11a a a a ++⇔<++()()ln 2ln 121
a a a a ++⇔<++，与选项A 相同，故选项D 正确.
对于选项B ：1log (1)log (2)a a a a ++>+()()
()
ln 1ln 2ln ln 1a a a a ++⇔
>+，因为2a ≥， 所以等价于()()2
ln 1ln ln 2a a a +>⋅+，因为()()2
ln ln 2ln ln 22a a a a ++⎡⎤⋅+<⎢⎥⎣⎦
，
因为()()()()2
2
2
22
2ln 2ln 21ln ln 2ln 1222a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤+++++⎡⎤⎢
⎥⎢⎥=<=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 所以不等式1log (1)log (2)a a a a ++>+成立，故选项B 正确； 故选：ABD 【点睛】
本题考查利用对数的换底公式、构造函数法、利用导数判断函数的单调性、结合基本不等式和放缩法比较大小；考查逻辑推理能力、知识的综合运用能力、转化与化归能力和运算求解能力；属于综合型强、难度大型试题.
2．已知函数2
ln(1),0
()21,0
x x f x x ax x +≥⎧=⎨
-+<⎩，其中实数 a ∈R ，则下列关于 x 的方程f 2 (x ) − (1+ a )⋅ f (x ) + a = 0的实数根的情况，说法正确的有（ ） A ．a 取任意实数时，方程最多有5个根 B
．当
1122
a -+<<
时，方程有2个根 C ．当
12
a --=
时，方程有3个根 D ．当 a ≤ −4时，方程有4个根 【答案】CD 【分析】
先化简方程为()1f x =或()f x a =，再对a 进行分类讨论，结合图象来确定()1f x =或
()f x a =分别有几个根，根据结果逐一判断选项正误即可.
【详解】
解：关于x 的方程f 2 (x ) − (1+ a )⋅ f (x ) + a = 0，即[][]
()1()0f x f x a --=，故()1f x =或
()f x a =.
函数2
ln(1),0()21,0
x x f x x ax x +≥⎧=⎨-+<⎩中，()0,()ln 1x f x x ≥=+单调递增，
()2
220,(2)11x a x f x a x x a -+=-<=+-，对称轴为x a =，判别式
()()411a a ∆=+-.
（1）当0a ≥时，函数()f x 图象如下：
由图象可知，方程()1f x =有1个根，1a >时方程()f x a =有2个根，01a ≤≤时，方程
()f x a =有1个根，故1a >时已知方程有3个根，01a ≤<时，已知方程有2个根，
1a =时已知方程有1个根；
（2）1a =-时，函数()f x 图象如下：
10a -<<时，函数()f x 图象如下：
由两个图象可知，10a -≤<时，方程()1f x =有2个根，方程()f x a =没有根，故已知方程有2个根；
（3）1a <-时，函数()f x 图象如下：方程()1f x =有两个根.
下面讨论最小值21a -与a 的关系，由21a a -<解得15
a --<， 故当15
a --<
时，21a a -<，直线y a =如图①，方程()f x a =有2个根，故已知方程有4个根； 当15
2
a -=
时，21a a -=，直线y a =如图②，方程有()f x a =有1 个根，故已知方程有3个根； 当
15
12
a -<<-时，21a a ->，直线y a =如图③，方程()f x a =没有根，故已知方程有2个根.
综上可知，a 取任意实数时，方程最多有4个根，选项A 错误；
15
12
a --<<时方程有2个根，1a =时已知方程有1个根，1a >时方程有3个根，故选项B 错误；当
15a --=
3个根，C 正确；当 15
42
a --≤-<时，方程有4个根，故D 正确. 故选：CD. 【点睛】 关键点点睛：
本题的解题关键在于分类讨论确定二次函数的图象，以及其最低点处21a -与a 的关系，以确定方程()f x a =的根的情况，才能突破难点.
3．已知函数2
22,0
()log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩
，若x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则下列
结论正确的是（ ） A ．x 1＋x 2＝－1 B ．x 3x 4＝1 C ．1<x 4<2
D ．0<x 1x 2x 3x 4<1
【答案】BCD 【分析】
由解析式得到函数图象，结合函数各分段的性质有122x x +=-，341x x =，
341
122
x x <<<<，即可知正确选项. 【详解】
由()f x 函数解析式可得图象如下：
∴由图知：122x x +=-，121x -<<-，而当1y =时，有2|log |1x =，即1
2
x =或2， ∴341
122
x x <<<<，而34()()f x f x =知2324|log ||log |x x =：2324log log 0x x +=， ∴
341x x =，21234121(1)1(0,1)x x x x x x x ==-++∈.
故选：BCD 【点睛】
关键点点睛：利用分段函数的性质确定函数图象，由二次函数、对数运算性质确定
1234,,,x x x x 的范围及关系.
4．已知函数21,01()(1)1,1
x x f x f x x ⎧-≤<=⎨-+≥⎩，方程()0f x x -=在区间0,2n
⎡⎤⎣⎦
(*n N ∈)上的所有根的和为n b ，则（ ） A ．()20202019f = B ．()20202020f = C ．21
12
2n n n b --=+
D ．(1)
2
n n n b +=
【答案】BC 【分析】
先推导出()f x 在[)(
)*
,1n n n N
+∈上的解析式，然后画出()f x 与y x =的图象，得出
()f x x =时，所有交点的横坐标，然后得出n b .
【详解】
因为当[)0,1x ∈时，()21x
f x =-，所以当[)1,2x ∈
时，[)10,1x -∈，
则()1
12
1x f x --=-，故()()11112112x x f x f x --=-+=-+=，
即[
)10,1x -∈时，[
)10,1x -∈，()1
2x f x -= 同理当[)2,3x ∈时，[)11,2x -∈，()()2
1121x f x f x -=-+=+；
当[)3,4x ∈时，[)12,3x -∈，则()()3
1122x f x f x -=-+=+；
………
故当[
),1x n n ∈+时，()()2
1x n
f x n -=+-，
当21,2n n
x ⎡⎤∈-⎣⎦时，()()()212
22n x n f x --=+-. 所以()20202020f =，故B 正确；
作出()f x 与y x =的图象如图所示，则当()0f x x -=且0,2n
⎡⎤⎣⎦时，x 的值分别为：
0,1,2,3,4,5,6,
,2n
则
()()121122101222221222
n n n n n n n n b ---+=+++++=
=+=+，故C 正确.
故选：BC.
【点睛】
本题考查函数的零点综合问题，难度较大，推出原函数在每一段上的解析式并找到其规律是关键.
5．已知定义域为R 的奇函数()f x ，满足22
,2()23
22,02x f x x x x x ⎧>⎪
=-⎨⎪-+<≤⎩
，下列叙述正确的是（ ）
A ．存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根
B ．当1211x x -<<<时，恒有12()()f x f x >
C ．若当(0,]x a ∈时，()f x 的最小值为1，则5[1,]2
a
∈ D ．若关于x 的方程3()2f x =和()f x m =的所有实数根之和为零，则32
m =- 【答案】AC 【分析】
根据奇函数()()f x f x -=-，利用已知定义域的解析式，可得到对称区间上的函数解析式，然后结合函数的图象分析各选项的正误，即可确定答案 【详解】
函数是奇函数，故()f x 在R 上的解析式为：
2
22
,22322,20()0,022,022
,223
x x x x x f x x x x x x x ⎧<-⎪+⎪----≤<⎪⎪
==⎨⎪-+<≤⎪⎪>⎪-⎩
绘制该函数的图象如所示：
对A ：如下图所示直线1l 与该函数有7个交点，故A 正确；
对B ：当1211x x -<<<时，函数不是减函数，故B 错误； 对C ：如下图直线2:1l y =，与函数图交于5(1,1),(,1)2
， 故当()f x 的最小值为1时有5[1,]2
a ∈，故C 正确
对D ：3()2f x =
时，函数的零点有136x =、21x =+、2
1x =-； 若使得其与()f x m =的所有零点之和为0， 则32
m =-
或3
8m =-，如图直线4l 、5l ，故D 错误
故选：AC 【点睛】
本题考查了分段函数的图象，根据奇函数确定对称区间上函数的解析式，进而根据函数的图象分析命题是否成立
6．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定
义了一个“奇怪的函数” ()1,0,R x Q
y f x x C Q ∈⎧==⎨∈⎩
其中R 为实数集,Q 为有理数集.则关于函
数()f x 有如下四个命题,正确的为( ) A ．函数()f x 是偶函数
B ．1x ∀,2R x
C Q ∈,()()()1212f x x f x f x +=+恒成立 C ．任取一个不为零的有理数T ,f x T
f x 对任意的x ∈R 恒成立
D ．不存在三个点()()11,A x f x ,()()22,B x f x ,()()
33C x f x ，,使得ABC ∆为等腰直角三角形 【答案】ACD 【分析】
根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可． 【详解】
对于A ，若x Q ∈，则x Q -∈，满足()()f x f x =-；若R x C Q ∈，则R x C Q -∈，满足()()f x f x =-；故函数()f x 为偶函数，选项A 正确；
对于B ，取12,R R x C Q x C Q ππ=∈=-∈，则()()1201f x x f +==，
()()120f x f x +=，故选项B 错误；
对于C ，若x Q ∈，则x T Q +∈，满足()()f x f x T =+；若R x C Q ∈，则
R x T C Q +∈，满足()()f x f x T =+，故选项C 正确；
对于D ，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：
①直角顶点A 在1y =上，斜边在x 轴上，此时点B ，点C 的横坐标为无理数，则BC 中点的横坐标仍然为无理数，那么点A 的横坐标也为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；
②直角顶点A 在1y =上，斜边不在x 轴上，此时点B 的横坐标为无理数，则点A 的横坐
标也应为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；
③直角顶点A 在x 轴上，斜边在1y =上，此时点B ，点C 的横坐标为有理数，则BC 中点的横坐标仍然为有理数，那么点A 的横坐标也应为有理数，这与点A 的纵坐标为0矛盾，故不成立；
④直角顶点A 在x 轴上，斜边不在1y =上，此时点A 的横坐标为无理数，则点B 的横坐标也应为无理数，这与点B 的纵坐标为1矛盾，故不成立．
综上，不存在三个点()()
11,A x f x ，()()22,B x f x ，()()
33C x f x ，，使得ABC ∆为等腰直角三角形，故选项D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】
本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识的运用能力，意在考查学生运用分类讨论思想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题．
7．已知()x x f x e ke -=+（k 为常数），那么函数()f x 的图象不可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】AD 【分析】
根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()x
x f x e e -=+为偶函数，
当1k =-时，()x
x f x e e -=-为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．
【详解】
由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性． 当1k =时，()x x f x e
e -=+为偶函数，
当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t
=+在1) [,t ∈+∞上单调递增， 故函数()x
x f x e
e -=+在0) [,x ∈+∞上单调递增，故选项C 正确，D 错误；
当1k =-时，()x
x f x e e -=-为奇函数，
当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t
=-在1) [,t ∈+∞上单调递减， 故函数()x
x f x e e -=-在0) [,x ∈+∞上单调递减，故选项B 正确，A 错误.
故选:AD ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查函数性质与图象，本题的关键是根据函数图象的对称性，可知1k =或1k =-，再判断函数的单调性.
8．已知函数1()x x f x e
+=，当实数m 取确定的某个值时，方程2
()()10f x mf x ++=的根的个数可以是（ ） A ．0个 B ．1个
C ．2个
D ．4个
【答案】ABC 【分析】
令()t f x =，画出1
()x x f x e
+=，结合210t mt ++=的解的情况可得正确的选项. 【详解】
()x
x f x e '=-
， 故当0x <时，0f x ，故()f x 在,0上为增函数；
当0x >时，0f
x
，故()f x 在0,
上为减函数，
而()10f -=且当0x >时，()0f x >恒成立，故()f x 的图象如图所示：
考虑方程210t mt ++=的解的情况.
24m ∆=-，
当2m <-时，>0∆，此时方程210t mt ++=有两个不等的正根12t t <， 因为121t t =，故101t <<，21t >，
由图象可知方程()1t f x =的解的个数为2，方程()2t f x =的解的个数为0， 故方程2
()()10f x mf x ++=的根的个数是2.
当2m =-时，0∆=，此时方程210t mt ++=有两个相等的正根121t t ==， 由图象可知方程1f x
的解的个数为1，
故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是1.
当22m -<<时，∆<0，此时方程210t mt ++=无解， 故方程2
()()10f x mf x ++=的根的个数是0.
当2m =时，0∆=，此时方程210t mt ++=有两个相等的负根121t t ==-， 由图象可知方程()1f x =-的解的个数为1， 故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是1.
当2m >时，>0∆，此时方程210t mt ++=有两个不等的负根12t t <，
由图象可知方程()1t f x =的解的个数为1，方程()2t f x =的解的个数为1， 故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是2. 故选：ABC ． 【点睛】
本题考查复合方程的解，此类问题，一般用换元法来考虑，其中不含的参数的函数的图象应利用导数来刻画，本题属于难题．
二、导数及其应用多选题
9．若存在常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：
()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直
线”．已知函数()2
2
x f x =（x ∈R ），()12g x x =（0x <），()ln h x e x =，（e 为自
然对数的底数），则（ ）
A ．()()()m x f x g x =-在
0x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递减 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为2- C ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]
2,1-
D ．()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”，方程为2
e
y =-
【答案】BD 【分析】
对于A ：令()()()m x f x g x =-，利用导数可确定()m x 单调性，进而作出判断； 对于B 和C ：利用二次函数的性质以及不等式恒成立的知识求出b 、k 的范围，进而作出判断；
对于选项D ：根据隔离直线过()f x 和()h x 的公共点，可假设隔离直线为
2e y kx =-；可得到222
x e
kx ≥-，再利用恒成立得出k 的值，最后尝试利用
导数证明()2
e
h x ≤-
，进而作出判断. 【详解】
对于A ，()()()21
22x m x f x g x x =-=-
， ()322
121
022x m x x x x
+'∴=+=>，
当x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x '
>，()m x ∴单调递增，故A 错误； 对于B ，C ，设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，
2
2
x kx b ≥+对任意x ∈R 恒成立，即2220x kx b --≥对任意x ∈R 恒成立， 所以2
1480k b ∆=+≤，所以0b ≤，
又
1
2kx b x ≤+对任意(),0x ∈-∞恒成立，即22210kx bx +-≤对任意(),0x ∈-∞恒成立，
因为0b ≤，所以0k ≤且2
1480b k ∆=+≤，
所以22k b ≤-且22b k ≤-，4248k b b ≤≤-，解得20k -≤≤，同理20b -≤≤， 所以b 的最小值为2-，k 的取值范围是[]
2,0-， 故B 正确，C 错误； 对于D ，
函数()f x 和()h x
的图象在x =
∴若存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，
设隔离直线的斜率为k
，则隔离直线方程为(2
e y k x -
=
，即2e y kx =-，
则222
x e
kx ≥-（x ∈R
），得2220x kx e -+≥对x ∈R 恒成立，
则()
2
4420k e ∆=-≤
，解得k =，
此时隔离直线方程为：2
e
y =-，
下面证明(
)2
e h x ≤-
， 令(
)(
)ln 22e e G x h x e x =--=--（0x >），则(
)x G x x
'=，
当x =
()0G x '=
；当0x <<()0G x '<
；当x >()0G x '
>；
∴
当x =()G x 取到极小值，也是最小值，即(
)0min G x G
==，
(
)()02e G x h x ∴=--≥在()0,∞+上恒成立，即(
)2
e
h x ≤-，
∴函数()f x 和()h x
存在唯一的隔离直线2
e
y =-
，D 正确. 故选：BD . 【点睛】
关键点睛：本题考查导数中的新定义问题的求解；解题关键是能够充分理解“隔离直线”的
定义，将问题转化为根据不等式恒成立求解参数范围或参数值、或不等式的证明问题，属于难题.
10．对于定义域为R 的函数()f x ，()'f x 为()f x 的导函数，若同时满足：①()00f =；②当x ∈R 且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当120x x <<且12x x =时，都有
()()12f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（ ）
A ．21()x
x f x e
e x =--
B ．2()1x
f x e x =+-
C ．31,0
(),0
x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩
D ．42,0
()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩
【答案】ACD 【分析】
结合“偏对称函数”的性质，利用导数的方法，分别讨论四个函数是否满足三个条件，即可
得到所求结论． 【详解】
条件①()00f =；
由选项可得：001(0)00f e e =--=，0
2(0)010f e =+-=，03(0)10f e =-=，
4()ln(10)0f x =-=，即ABCD 都符合；
条件②0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨
'>⎩，或0
()0
x f x <⎧⎨'<⎩；
即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增； 对于21()x
x f x e
e x =--，则()()21()11212x x x x
f x e e e e =-+-=-'，
由0x >可得，(
)()
120(1)1x x
f x e e '-=+>，即函数1()f x 单调递增；
由0x <可得，()()1
20(1)1x
x
f x e
e '-=+<，即函数1
()f x 单调递减；满足条件②；
对于2()1x
f x e x =+-，则2()10x f x e =+>'显然恒成立，所以2()1x
f x e x =+-在定义域上单调递增，不满足条件②；
对于31,0
(),0
x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，当0x <时，3()f x x =-显然单调递减；当0x ≥时，
3()1x f x e =-显然单调递增；满足条件②；
对于42,0
()ln(1),0
x x f x x x >⎧=⎨
-≤⎩，当0x ≤时，4()ln(1)f x x =-显然单调递减；当0
x >时，4()2f x x =显然单调递增，满足条件②； 因此ACD 满足条件②；
条件③当120x x <<且12x x =时，12x x -=，都有()()12f x f x <，即
()()()()21220f x f x f x f x -=-->，
对于21()x
x f x e
e x =--，
()()2121222
11211x x x x f x f x e e e e x x -=-+--+()()()()22222222222222x x x x x x x x x e e e e e e e x e ----=----=-+-，
因为222x x e e -+≥=，当且仅当22x x e e -=，即20x =时，等号成立， 又20x >，所以222x x e e -+>， 则()()(
)()22
2212
2211222x
x x x f x f x e e
e e x
x ----=--->
令()x
x
g x e e
x -=--，0x >，
所以()1110x x e e g x -'=+->=>在0x >上显然恒成立， 因此()x
x
g x e e
x -=--在0x >上单调递增，所以()()00g x g >=，
即()()(
)22
2121120x
x f x f x e e
x -->-->，所以()()1211f x f x >满足条件③；
对于31,0(),0
x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，()()2232311211x x
f x f x e x x e -=--=-+，
令()1x
h x e x =--，0x >，则()10x
h x e '=->在0x >上显然恒成立，
所以()()00h x h >=，则()()23231210x
f x f x e x --=>-，即()()3231f x f x >满足条
件③； 对于42,0
()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨
-≤⎩
，()()()()212122442ln 12ln 1f x f x x x x x -=--=-+，
令()()2ln 1u x x x =-+，0x >， 则()1
221101u x x
'=-
>-=>+在0x >上显然恒成立，所以()()00u x u >=， 则()()()1422422ln 10f x f x x x -=-+>，即()()1442f x f x >满足条件③； 综上，ACD 选项是“偏对称函数”， 故选：ACD. 【点睛】 思路点睛：
求解此类函数新定义问题时，需要结合函数新定义的概念及性质，结合函数基本性质，利用导数的方法，通过研究函数单调性，值域等，逐项判断，即可求解.（有时也需要构造新的函数，进行求解.）。