2015-2016学年高二数学人教版必修5课件：第二章 2.3 等差数列的前n项和
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10×2 9×D＝S100＝10. 又∵S10＝100，代入上式，得 D＝－22， ∴S110－S100＝S10＋(11－1)×D＝100＋10×(－ 22)＝－120， ∴S110＝－120＋S100＝－110.
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理解教材 新知
知识点一
知识点二
2.3
题型一
突破常考
题型二
第
等差
二
数列
章
的前n
题型
题型三
题型四
项和
跨越高分障碍
应用落实 体验
随堂即时演练
课时达标检测
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[导入新知]
数列的前n项和
数列的前 n 项和 对于数列{an}，一般地称 a1＋a2＋…＋an 为数列{an}的前 n 项和，用 Sn 表示，即 Sn＝ a1＋a2＋…＋an . [化解疑难]
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此时若 n＝1，an＝4n－5＝4×1－5＝－1＝a1， 故 an＝4n－5. (2)当 n＝1 时，a1＝S1＝31－2＝1； 当 n≥2 时，Sn－1＝3n－1－2， 则 an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝3n－3n－1 ＝3·3n－1－3n－1＝2·3n－1. 此时若 n＝1，an＝2·3n－1＝2·31－1＝2≠a1， 故 an＝12， ·3n－1，n≥n2＝. 1，
[类题通法] 求等差数列的前 n 项和 Sn 的最值通常有两种思路
(1)将 Sn＝na1＋nn2－1d＝d2n2＋(a1－d2)n 配方．转化为求 二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决．
(2)邻项变号法： 当 a1>0，d<0 时，满足aann≥ ＋1≤0，0 的项数 n 使 Sn 取最大值． 当 a1<0，d>0 时，满足aann≤ ＋1≥0，0 的项数 n 使 Sn 取最小值．
(2)当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为简便； 当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较好．
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等差数列前n项和的有关计算
[例 1] (2012·北京高考)(1)已知{an}为等差数列，Sn 为其前
n 项和，若 a1＝12，S2＝a3，则 a2＝__________；Sn＝________.
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问题 2：假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管， 如图所示，则这样共有多少钢管？
提示：(4＋9)×6＝78. 问题 3：原来有多少根钢管？ 提示：12×78＝39. 问题 4：能否利用前面问题推导等差数列前 n 项和公式 Sn＝a1＋a2＋…＋an?
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[解题流程]
求 an 及 Sn 的值，应求 a1 和 d.
由 a3＝7，a5＋a7＝26，可求首 项 a1 和公差 d，应列关于 a1 和 d 的方程组．
[类题通法] 等差数列的前 n 项和常用的性质
(1)等差数列的依次 k 项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k…组成公 差为 k2d 的等差数列．
(2)数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b 为常数)⇔数列{Snn} 为等差数列．
(3)若 S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，公差为 d，
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[导入新知]
等差数列的前 n 项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数
选用 公式
Sn＝na12＋an
Sn＝na1＋nn2－1d
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[化解疑难] 等差数列前 n 项和公式的特点
(1)两个公式共涉及到 a1，d，n，an 及 Sn 五个基本量，它 们分别表示等差数列的首项，公差，项数，通项和前 n 项和．
(2)[解]
an＝a1＋n－1d， 由Sn＝na1＋nn2－1d，
a1＋2n－1＝11， 得na1＋nn2－1×2＝35，
解方程组，得na1＝＝53， 或na1＝＝7－，1.
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[类题通法] a1，d，n 称为等差数列的三个基本量，an 和 Sn 都可以用 这三个基本量来表示，五个量 a1，d，n，an，Sn 中可知三求 二，即等差数列的通项公式及前 n 项和公式中“知三求二” 的问题，一般是通过通项公式和前 n 项和公式联立方程(组) 来求解．这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解 过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．
①当项数为偶数 2n 时，S 偶－S 奇＝nd，SS奇 偶＝aan＋n 1；
②当项数为奇数 2n－1 时，S 奇－S 偶＝an，SS奇 偶＝n－n 1.
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[活学活用] 3．(1)等差数列{an}中，a2＋a7＋a12＝24，则 S13＝________.
解析：因为 a1＋a13＝a2＋a12＝2a7， 又 a2＋a7＋a12＝24， 所以 a7＝8. 所以 S13＝13a12＋a13＝13×8＝104.
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[活学活用] 2．已知下面各数列{an}的前 n 项和 Sn 的公式，求{an} 的通项公式． (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n－2. 解：(1)当 n＝1 时，a1＝S1＝2×12－3×1＝－1； 当 n≥2 时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)＝2n2－7n＋5， 则 an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－(2n2－7n＋5) ＝2n2－3n－2n2＋7n－5 ＝4n－5.
数列的前 n 项和就是指从数列的第 1 项 a1 起，一直到第 n 项 an 所有项的和.
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等差数列的前n项和
[提出问题] 如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面 的一层有 4 根钢管，下面的每一层都比上 一层多一根，最下面的一层有 9 根．
问题 1：共有几层？图形的横截面是什么形状？ 提示：六层，等腰梯形．
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[类题通法] 已知数列{an}的前 n 项和公式 Sn，求通项公式 an 的步骤： (1)当 n＝1 时，a1＝S1. (2)当 n≥2 时，根据 Sn 写出 Sn－1，化简 an＝Sn－Sn－1. (3)如果 a1 也满足当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 的通项公式，那么 数列{an}的通项公式为 an＝Sn－Sn－1； 如果 a1 不满足当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 的通项公式，那么数 列{an}的通项公式要分段表示为 an＝SS1n，－nS＝n－11，，n≥2 (如本例)．
∴an＝Sn－Sn－1 ＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)
＝－4n＋3.
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又 a1＝S1＝1，不满足 an＝－4n＋3， ∴数列{an}的通项公式是 an＝1－，4nn＝ ＋13， ，n≥2. (2)由(1)知，当 n≥2 时， an＋1－an＝[－4(n＋1)＋3]－(－4n＋3)＝－4， 但 a2－a1＝－5－1＝－6≠－4， ∴{an}不满足等差数列的定义，{an}不是等差数列．
答案：104
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(2)在等差数列{an}中，若 S4＝1，S8＝4，则 a17＋a18＋a19
＋a20 的值为( )
A．9
B．12
C．16
D．17
解析：由等差数列的性质知 S4，S8－S4，S12－S8，…也 构成等差数列，不妨设为{bn}，且 b1＝S4＝1，b2＝S8－S4＝3， 于是可求得 b3＝5，b4＝7，b5＝9，即 a17＋a18＋a19＋a20＝b5 ＝9.
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[活学活用] 1．已知等差数列{an}． (1)a1＝56，a15＝－32，Sn＝－5，求 n 和 d； (2)a1＝4，S8＝172，求 a8 和 d.
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解：∵a15＝56＋(15－1)d＝－32，∴d＝－16. 又 Sn＝na1＋nn2－1·d＝－5， 解得 n＝15，n＝－4(舍)． (2)由已知，得 S8＝8a1＋2 a8＝84＋2 a8＝172， 解得 a8＝39， 又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
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法二：先求出 d＝－2(同法一)， ∵a1＝25＞0，由aann＝ ＋1＝252－5－22nn－＜10≥0 ， 得nn＞≤11231212，， 即 1212＜n≤1312. ∴当 n＝13 时，Sn 有最大值 169.
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答案：A
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等差数列前n项和的最值
[例 4] 在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求前 n 项和 Sn 的最大值．
[解] 法一：由 S17＝S9，得 25×17＋17×217－1d＝25×9＋9×29－1d， 解得 d＝－2， ∴Sn＝25n＋nn2－1×(－2)＝－(n－13)2＋169. 由二次函数性质得，当 n＝13 时，Sn 有最大值 169.
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已知Sn求通项公式an
[例 2] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝－2n2＋n＋2. (1)求{an}的通项公式； (2)判断{an}是否为等差数列？ [解] (1)∵Sn＝－2n2＋n＋2， ∴当 n≥2 时，Sn－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2 ＝－2n2＋5n－1，
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(1)[解析] 利用等差数列的性质及求和公式求解．因为 {an}是等差数列，所以 a1＋a11＝a4＋a8＝2a6＝16⇒a6＝8， 则该数列的前 11 项和为 S11＝11a12＋a11＝11a6＝88.
[答案] B (2)[解] ∵数列{an}为等差数列， ∴S10，S20－S10，S30－S20，…，S110－S100 也成等差数列． 设其公差为 D，则 S10＋(S20－S10)＋(S30－S20)＋…＋(S100 －S90)＝S100，
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[活学活用]
4．已知{an}是一个等差数列，且 a2＝1，a5＝－5. (1)求{an}的通项 an； (2)求{an}前 n 项和 Sn 的最大值． 解：(1)设{an}的公差为 d，
由已知条件，得aa11＋＋d4＝d＝1，－5， 解得 a1＝3，d＝－2.
(2)在等差数列{an}中，已知 d＝2，an＝11，Sn＝35，求 a1
和 n. (1)[解析] 设公差为 d，则由 S2＝a3 得 2a1＋d＝a1＋2d，
所以 d＝a1＝12，故 a2＝a1＋d＝1，Sn＝na1＋nn2－1d＝nn4＋1.
[答案]
1
nn＋1 4
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等差数列前n项和的性质
[例 3] (1)(2012·辽宁高考)在等差数列{an}中，已知 a4
＋a8＝16，则该数列前 11 项和 S11＝( )
A．58
B．88
C．143
D．176
(2)等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，求 S110.
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提示：Sn＝a1＋a2＋…＋an， Sn＝an＋an－1＋…＋a1， 相加：2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1) ＝n(a1＋an)， ∴Sn＝na12＋an. 问题 5：试用 a1，d，n 表示 Sn. 提示：∵an＝a1＋(n－1)d， ∴Sn＝n[a1＋a1＋2 n－1d]＝na1＋nn2－1d.
所以 an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5. (2)Sn＝na1＋nn2－1d＝－n2＋4n＝4－(n－2)2.
所以 n＝2 时，Sn 最大，且最大值为 4.
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3.求等差数列前n项和 [典例] 已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an} 的前 n 项和为 Sn.求 an 及 Sn.
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理解教材 新知
知识点一
知识点二
2.3
题型一
突破常考
题型二
第
等差
二
数列
章
的前n
题型
题型三
题型四
项和
跨越高分障碍
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随堂即时演练
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数列的前n项和
数列的前 n 项和 对于数列{an}，一般地称 a1＋a2＋…＋an 为数列{an}的前 n 项和，用 Sn 表示，即 Sn＝ a1＋a2＋…＋an . [化解疑难]
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此时若 n＝1，an＝4n－5＝4×1－5＝－1＝a1， 故 an＝4n－5. (2)当 n＝1 时，a1＝S1＝31－2＝1； 当 n≥2 时，Sn－1＝3n－1－2， 则 an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝3n－3n－1 ＝3·3n－1－3n－1＝2·3n－1. 此时若 n＝1，an＝2·3n－1＝2·31－1＝2≠a1， 故 an＝12， ·3n－1，n≥n2＝. 1，
[类题通法] 求等差数列的前 n 项和 Sn 的最值通常有两种思路
(1)将 Sn＝na1＋nn2－1d＝d2n2＋(a1－d2)n 配方．转化为求 二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决．
(2)邻项变号法： 当 a1>0，d<0 时，满足aann≥ ＋1≤0，0 的项数 n 使 Sn 取最大值． 当 a1<0，d>0 时，满足aann≤ ＋1≥0，0 的项数 n 使 Sn 取最小值．
(2)当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为简便； 当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较好．
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等差数列前n项和的有关计算
[例 1] (2012·北京高考)(1)已知{an}为等差数列，Sn 为其前
n 项和，若 a1＝12，S2＝a3，则 a2＝__________；Sn＝________.
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问题 2：假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管， 如图所示，则这样共有多少钢管？
提示：(4＋9)×6＝78. 问题 3：原来有多少根钢管？ 提示：12×78＝39. 问题 4：能否利用前面问题推导等差数列前 n 项和公式 Sn＝a1＋a2＋…＋an?
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第六页，编辑于星期五：八点 十二分。
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第三十页，编辑于星期五：八点 十二分。
[解题流程]
求 an 及 Sn 的值，应求 a1 和 d.
由 a3＝7，a5＋a7＝26，可求首 项 a1 和公差 d，应列关于 a1 和 d 的方程组．
[类题通法] 等差数列的前 n 项和常用的性质
(1)等差数列的依次 k 项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k…组成公 差为 k2d 的等差数列．
(2)数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b 为常数)⇔数列{Snn} 为等差数列．
(3)若 S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，公差为 d，
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[导入新知]
等差数列的前 n 项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数
选用 公式
Sn＝na12＋an
Sn＝na1＋nn2－1d
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[化解疑难] 等差数列前 n 项和公式的特点
(1)两个公式共涉及到 a1，d，n，an 及 Sn 五个基本量，它 们分别表示等差数列的首项，公差，项数，通项和前 n 项和．
(2)[解]
an＝a1＋n－1d， 由Sn＝na1＋nn2－1d，
a1＋2n－1＝11， 得na1＋nn2－1×2＝35，
解方程组，得na1＝＝53， 或na1＝＝7－，1.
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[类题通法] a1，d，n 称为等差数列的三个基本量，an 和 Sn 都可以用 这三个基本量来表示，五个量 a1，d，n，an，Sn 中可知三求 二，即等差数列的通项公式及前 n 项和公式中“知三求二” 的问题，一般是通过通项公式和前 n 项和公式联立方程(组) 来求解．这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解 过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．
①当项数为偶数 2n 时，S 偶－S 奇＝nd，SS奇 偶＝aan＋n 1；
②当项数为奇数 2n－1 时，S 奇－S 偶＝an，SS奇 偶＝n－n 1.
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[活学活用] 3．(1)等差数列{an}中，a2＋a7＋a12＝24，则 S13＝________.
解析：因为 a1＋a13＝a2＋a12＝2a7， 又 a2＋a7＋a12＝24， 所以 a7＝8. 所以 S13＝13a12＋a13＝13×8＝104.
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[活学活用] 2．已知下面各数列{an}的前 n 项和 Sn 的公式，求{an} 的通项公式． (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n－2. 解：(1)当 n＝1 时，a1＝S1＝2×12－3×1＝－1； 当 n≥2 时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)＝2n2－7n＋5， 则 an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－(2n2－7n＋5) ＝2n2－3n－2n2＋7n－5 ＝4n－5.
数列的前 n 项和就是指从数列的第 1 项 a1 起，一直到第 n 项 an 所有项的和.
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等差数列的前n项和
[提出问题] 如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面 的一层有 4 根钢管，下面的每一层都比上 一层多一根，最下面的一层有 9 根．
问题 1：共有几层？图形的横截面是什么形状？ 提示：六层，等腰梯形．
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[类题通法] 已知数列{an}的前 n 项和公式 Sn，求通项公式 an 的步骤： (1)当 n＝1 时，a1＝S1. (2)当 n≥2 时，根据 Sn 写出 Sn－1，化简 an＝Sn－Sn－1. (3)如果 a1 也满足当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 的通项公式，那么 数列{an}的通项公式为 an＝Sn－Sn－1； 如果 a1 不满足当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 的通项公式，那么数 列{an}的通项公式要分段表示为 an＝SS1n，－nS＝n－11，，n≥2 (如本例)．
∴an＝Sn－Sn－1 ＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)
＝－4n＋3.
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又 a1＝S1＝1，不满足 an＝－4n＋3， ∴数列{an}的通项公式是 an＝1－，4nn＝ ＋13， ，n≥2. (2)由(1)知，当 n≥2 时， an＋1－an＝[－4(n＋1)＋3]－(－4n＋3)＝－4， 但 a2－a1＝－5－1＝－6≠－4， ∴{an}不满足等差数列的定义，{an}不是等差数列．
答案：104
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(2)在等差数列{an}中，若 S4＝1，S8＝4，则 a17＋a18＋a19
＋a20 的值为( )
A．9
B．12
C．16
D．17
解析：由等差数列的性质知 S4，S8－S4，S12－S8，…也 构成等差数列，不妨设为{bn}，且 b1＝S4＝1，b2＝S8－S4＝3， 于是可求得 b3＝5，b4＝7，b5＝9，即 a17＋a18＋a19＋a20＝b5 ＝9.
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[活学活用] 1．已知等差数列{an}． (1)a1＝56，a15＝－32，Sn＝－5，求 n 和 d； (2)a1＝4，S8＝172，求 a8 和 d.
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解：∵a15＝56＋(15－1)d＝－32，∴d＝－16. 又 Sn＝na1＋nn2－1·d＝－5， 解得 n＝15，n＝－4(舍)． (2)由已知，得 S8＝8a1＋2 a8＝84＋2 a8＝172， 解得 a8＝39， 又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
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法二：先求出 d＝－2(同法一)， ∵a1＝25＞0，由aann＝ ＋1＝252－5－22nn－＜10≥0 ， 得nn＞≤11231212，， 即 1212＜n≤1312. ∴当 n＝13 时，Sn 有最大值 169.
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答案：A
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等差数列前n项和的最值
[例 4] 在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求前 n 项和 Sn 的最大值．
[解] 法一：由 S17＝S9，得 25×17＋17×217－1d＝25×9＋9×29－1d， 解得 d＝－2， ∴Sn＝25n＋nn2－1×(－2)＝－(n－13)2＋169. 由二次函数性质得，当 n＝13 时，Sn 有最大值 169.
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已知Sn求通项公式an
[例 2] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝－2n2＋n＋2. (1)求{an}的通项公式； (2)判断{an}是否为等差数列？ [解] (1)∵Sn＝－2n2＋n＋2， ∴当 n≥2 时，Sn－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2 ＝－2n2＋5n－1，
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(1)[解析] 利用等差数列的性质及求和公式求解．因为 {an}是等差数列，所以 a1＋a11＝a4＋a8＝2a6＝16⇒a6＝8， 则该数列的前 11 项和为 S11＝11a12＋a11＝11a6＝88.
[答案] B (2)[解] ∵数列{an}为等差数列， ∴S10，S20－S10，S30－S20，…，S110－S100 也成等差数列． 设其公差为 D，则 S10＋(S20－S10)＋(S30－S20)＋…＋(S100 －S90)＝S100，
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[活学活用]
4．已知{an}是一个等差数列，且 a2＝1，a5＝－5. (1)求{an}的通项 an； (2)求{an}前 n 项和 Sn 的最大值． 解：(1)设{an}的公差为 d，
由已知条件，得aa11＋＋d4＝d＝1，－5， 解得 a1＝3，d＝－2.
(2)在等差数列{an}中，已知 d＝2，an＝11，Sn＝35，求 a1
和 n. (1)[解析] 设公差为 d，则由 S2＝a3 得 2a1＋d＝a1＋2d，
所以 d＝a1＝12，故 a2＝a1＋d＝1，Sn＝na1＋nn2－1d＝nn4＋1.
[答案]
1
nn＋1 4
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等差数列前n项和的性质
[例 3] (1)(2012·辽宁高考)在等差数列{an}中，已知 a4
＋a8＝16，则该数列前 11 项和 S11＝( )
A．58
B．88
C．143
D．176
(2)等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，求 S110.
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提示：Sn＝a1＋a2＋…＋an， Sn＝an＋an－1＋…＋a1， 相加：2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1) ＝n(a1＋an)， ∴Sn＝na12＋an. 问题 5：试用 a1，d，n 表示 Sn. 提示：∵an＝a1＋(n－1)d， ∴Sn＝n[a1＋a1＋2 n－1d]＝na1＋nn2－1d.
所以 an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5. (2)Sn＝na1＋nn2－1d＝－n2＋4n＝4－(n－2)2.
所以 n＝2 时，Sn 最大，且最大值为 4.
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3.求等差数列前n项和 [典例] 已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an} 的前 n 项和为 Sn.求 an 及 Sn.