江西省大余县新城中学2021-2022高二数学上学期第一次月考试题(A卷)

新城中学2021-2022度第一学期第一次考试
高二年级数学试题（A 卷）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、已知α//a ，α⊂b ，则直线a 与直线b 的位置关系是（ ）
A 、平行
B 、相交或异面
C 、异面
D 、平行或异面
2、如图所示的直观图的平面图形ABCD 中AB=2,AD=2BC=4,则原四边形的面积是（ ）
A 、34
B 、3
8C 、12 D 、10
3、棱长为a 正四面体的表面积是 （ ）
A 、
343a B 、312
3a C 、243a D 、
23a 4.已知直线l ，平面α，β，α//β，α⊆l ，那么l 与平面β的关系是（ ）．
A ．l // β
B ．β⊆l
C ．l // β 或β⊆l
D ．l 与β相交
5.已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为32n n S a =⋅+，则实数a 的值为（ ）
A ．3-
B ．6-
C ．2
D ．1
6、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的棱的长是（ ）
A. 4
B. 6
C. 4
D. 4
7．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+，12a =，则
=5a （ ）
A ．12-
B ．10-
C ．10
D ．12
8．圆221:430C x y x +-+=与圆22
2:(1)(4)C x y a ++-=恰有三条公切线，则实数a 的值是
（ ）
A ．4
B ．6
C ．16
D ．36
9．已知点(2,3),(3,2)A B ---，直线l 方程为kx+y-k-1=0，且直线l 与线段AB 相交，求直线l 的斜
率k 的取值范围为（ ）
A ．34k ≥
或 4k ≤- B ．34k ≥或 14
k ≤- C ．344k -≤≤
D ．3
44
k ≤≤ 10、△ABC 中有:①若A>B ,则sinA>sinB ;②若sin2A=sin2B ,则△ABC 一定为等腰三角形;③若acosB-bcosA=c ,则△ABC 一定为直角三角形.以上结论中正确的个数有( ) A.0 B.1 C.2 D.3
11. 若直线y x b =+与曲线224y x x =--有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围是（ ） A ．22,2⎡⎤--⎣⎦
B ．(
22,2⎤--⎦
C ．()22,22-
D ．)
2,22⎡⎣
12、△ABC 中内角A,B,C 所对的边为a,b,c 已知a=5,4
3
25=
ABC s △且
=++=-+C B A c C ac a c b sin sin cos cos .2222
则( )
A 、3
B 、
2
3
9 C 、3 D 、33 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.已知直线3x+4y ﹣3=0与6x+my+14=0相互平行，则它们之间的距离是_____
14.已知等差数列{a n }，满足21152OP a OP a OP =+，其中P ，P 1，P 2三点共线，则数列{a n }的前16项和16S =_____．
15.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足2
223()S a b c =+-，则角C 的大小为__________．
16．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 平行的是_________
①②③ ④．
三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

)
17.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，且60DAB ∠=︒．点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ． (1)求证:AB ∥平面PCD (2) 求证：AB ∥EF ；
18.数列{a n }中，11a =，121n n a a n +=++. （1）求{a n }的通项公式；
（2）设141
n n b a =
-，求数列{b n }的前n 项和.
19．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为2
3sin a A
.
（1）求sin B sin C ;
（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长.
20.如图，四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为矩形，F 是AB 的中 点，E 是PD 的中点。

(1)证明：PB ∥平面AEC ；
(2)在PC 上求一点G ,使FG ∥平面AEC ，并证明你的结论。

21.已知数列
满足
，
，
，
.
求证：
是等差数列，并求出数列
的通项公式；
若数列满足，求数列的前项和.
22．（本小题满分12分）已知圆:C ()2
234x y +-=，直线:m 360x y ++=，过(1,0)A -的一条动直线l 与直线m 相交于N ，与圆C 相交于Q P ,两点，M 是PQ 中点．
(1)当23PQ =时，求直线l 的方程；
(2)设t AM AN =⋅，试问t 是否为定值,若为定值,请求出t 的值；若不为定值，请说明理由．
新城中学2021-2022度第一学期第一次考试
高二年级数学试题（A 卷）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、（ D ）
2、（C ）
3、（ D ） 4.（ A ）． 5（ A ） 6、（ D ） 7．（ B ）8（ C ）9．（ A ） 10、( C) 11.（ B ）12( C) 四、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.__2___ 14.___8__． 15.___
π
3
_______． 16．__②③④_______ 五、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

) 17. 证明：因为底面ABCD 是菱形，所以AB ∥CD ．
又因为AB ⊄面PCD ， CD ⊂面PCD ，所以AB ∥面PCD ．(5分） 又因为,,,A B E F 四点共面，且平面ABEF 平面PCD EF =，
所以AB ∥EF ．（10分）
18.（1）121n n a a n +=++可以采用累和法进行求解，利用等差数列的前n 项和公式，可以求出{}n a 的通项公式；
（2）2111141
22121n b n n n ⎛⎫
=
=
- ⎪--+⎝⎭
，可以采用裂项相消法求出数列{}n b 的前n 项和.
【详解】解：（1）因为121n n a a n +=++，所以当2n ≥时，
()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+-+ ()21321n n =+++-=.
由于11a =满足2n a n =，所以求{}n a 的通项公式为2
n a n =.
（2）因为2111141
22121n b n n n ⎛⎫
=
=
- ⎪--+⎝⎭
，
所以数列{}n b 的前n 项和为
1211111112335
2121n n T b b b n n ⎛⎫=++
+=
-+-++
- ⎪-+⎝⎭ 11122121
n
n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 19．
20解答：
(1)证明：连接BD ，设BD 与AC 的交点为O ，连接EO . 因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点。

又E 为PD 的中点,所以EO ∥PB .
因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，
所以PB∥平面AEC.
(2)PC的中点G即为所求的点。

证明如下：
连接GE，FG，∵E为PD的中点，
∴GE∥.12CD.
又F为AB的中点，且四边形ABCD为矩形，
∴FA∥.12CD.
∴FA∥.GE.
∴四边形AFGE为平行四边形，
∴FG∥AE.
又FG⊄平面AEC，AE⊂平面AEC，
∴FG∥平面AEC.
21解答：
数列是首项为3，公差为2的等差数列
综上所述，结论是：数列是等差数列，由知，
两式相减得
综上所述，结论是：
22.解答：(1) 当直线l与x轴垂直时,
易知1
-
=
x符合题意; ……2分
当直线与x轴不垂直时,
设直线l的方程为)1
(+
=x
k
y,
由于3
2
=
PQ,
所以.1
=
CM由1
1
3
2
=
+
+
-
=
k
k
CM,
解得
3
4
=
k. ……4分
故直线l的方程为1
-
=
x或0
4
3
4=
+
-y
x……5分
(2)当l 与x 轴垂直时,易得)3,1(-M ,)35
,1(--N ,又)0,1(-A 则),3,0(=AM
)35
,0(-=AN ,故5-=⋅AN AM . 即5t =- ……6分
当l 的斜率存在时,设直线l 的方程为)1(+=x k y ,代入圆的方程得 056)62()1(2222=+-+-++k k x k k x k . 则,13222
2
1k k
k x x x M ++-=+= 2213)1(k k k x k y M M ++=+=,……8分 即)13,13(2222k k k k k k M ++++-, =AM )13,113(222k k
k k k ++++
.……9分
又由⎩⎨⎧=+++=,063),1(y x x k y 得)315,316
3(k k
k k N +-+--, 则)315,315
(k k
k AN +-+-=. ……10分
故=t 5)1)(31()
1)(31(5)31)(1()3(5)31)(1(51522222-=+++
+-=+++-+++--=⋅k k k k k k k k k k k k AN AM .
综上,t 的值为定值,且5t =- ……12分
解法二（几何法）:
连结CA ,延长交m 于点R ，计算CA 斜率知m AR ⊥.又l CM ⊥于M , 故△ANR ∽△AMC .于是有AR AC AN AM ⋅=⋅.
由,105
,10==AR AC 得.5=⋅AN AM
故t AM AN =⋅=.5-。