第一学期高二数学期末调研考试 试题

2021-2021学年度第一学期高二数学期末调研考试
第一卷〔选择题，一共60分〕
一 选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分) 1
抛
物
线
214
x y =
，那么它的准线方程是
〔 D 〕
A 1y =-
B 14y =-
C 18y =
D 116
y =- 2 ,,0
a b R ab ∈<，
那
么
有
〔 B 〕
A ||||a b a b +>-
B ||||a b a b +<-
C ||||||a b a b +>- D
||||||||a b a b ->-
3 假设椭圆两准线间的间隔 是焦距的4倍，那么该椭圆的离心率为 〔 A 〕
A
12 B 13 C 3 D 1
4
4 直线210x ay +-=和直线(31)10a x ay ---=平行的充要条件是 〔 D 〕
A 16a =
B 0a =
C 23a =
D 1
6
a =或者0 5
22()232,()375
F x x x
G x x x =--=-+，那么
〔 B 〕
A ()()F x G x >
B ()()F x G x <
C ()()4F x G x x >- D
()()4F x G x x <-
6 以下命题：
① ,||||a b c d a c b d >>⇒->- ② 11,0a b ab a b
>>⇒
<
③ a b c a c b >⇒->- ④ 0,0a b c d >>>>⇒
>其中假命题的个数是〔 B 〕
A 1
B 2
C 3
D 0
7 直线l 将圆2
2
240x y x y +--=平分且与直线20x y +=垂直，那么直线l 的方程为〔 A 〕
A 2y x =
B 22y x =-
C 1322y x =-
+ D 13
22
y x =+ 8 点00(,)x y 在直线0(0,0)Ax By C A B ++=≠≠的上方，那么00Ax By C ++的值〔 C 〕 A 与A 同号 B 与A 异号 C 与B 同号 D 与B 异号 9 直线1l 的方向向量为(cos50,sin 50)a =︒︒，直线2l 的方向向量为(1,tan 20)a =︒，那么1l 到2l 的角是〔 C 〕
A 20︒
B 30︒
C 150︒
D 160︒ 10 不等式2
20ax bx ++>的解集是11
(,)23
-，那么b a -的值是 〔 C 〕 A －14 B －10 C 10 D 14
11 5
2
x ≥，那么245()24x x f x x -+=-有 〔 D 〕
A 最大值
54 B 最小值5
4
C 最大值1
D 最小值1 12 设点(,)P m n 在直线30ax by c ++=上，且2c 是实半轴长为a ，虚半轴长为b 的双曲
线
的
焦
距
，
那
么
22
m n +的最小值为
〔 B 〕
A 81
B 9
C 6
D 3
第二卷 〔非选择题〕
二 填空题
13 实数,x y
满足 30
x y x y +-≤≥≥ ，那么3x y +的最大值____9____
14 双曲线C 的渐近线方程是23y x =±
，且经过点9
(,1)2
M -，那么双曲线C 的方程是___
22
1188
x y -=______ 15 ,PA PB 是圆2
2
2
()()x a y b r -+-=的两条切线，,A B 为切点，90APB ∠=︒，那么点P 的轨迹方程为___2
2
2
()()2x a y b r -+-=________.
16 1,1a b >>，且100=，那么lg lg a b ⋅的最大值为______2_______；
17 椭圆
2212516x y +=和双曲线22
221(0,0)x y m n m n
-=>>具有一样的焦点12,F F ,设两曲线的一个交点为12,90Q QF F ∠=︒，那么双曲线的离心率为______
5
3
______； 18 以下关于圆锥曲线的四个命题：
① 设,A B 为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k -=，那么动点P 的轨迹是双曲线；
② 过定圆C 上一定点A 作圆的动弦,AB O 为坐标原点，假设1
()2
OP OA OB =+，那么动点P 的轨迹是圆〔点A 除外〕；
③ 方程2
2520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④ 到定点(1,0)的间隔 比到y 轴的间隔 大1的动点P 的轨迹是抛物线。

其中真命题的序号为______②③__________〔写出三友真命题的序号〕。

三 解答题 〔本大题一一共5小题，一共66分〕
19 〔本小题12分〕
抛物线的顶点在原点，它的准线经过双曲线22
221x y a b
-=的左焦点，且与x 轴垂直，抛
物线与此双曲线交于点3(2
，求抛物线和双曲线的方程。

解：由题意，设抛物线的方程为 2
2(0)y px p =>………………..2分
∵点3(2在抛物线上 ∴ 362,22
p p =⋅= ………………..4分 ∴抛物线的方程为 2
4y x = ……………….6分 ∵抛物线的准线方程1x =-
∴双曲线22221x y a b
-=的左焦点1(1,0)F -，那么1c = 22
1a b +=………8分
又点3(2在双曲线2
2
221x y a b -=上，∴ 22
9
6
41a b -= 10分
由 22221
9
6411a b a b c +=-== 解得2213,44
a b == ∴双曲线的方程为 224413y x -= ∴所求抛物线和双曲线的方程分别为2
4y x =， 2
2
4413
y x -= 12分 20〔本小题12分〕
解关于x 的不等式
2
()1
ax x x R ax >∈- 解：
01
x
ax >- 2分 0a >，解集为 1
{|0}x x x a
<>或 6分
0a =，解集为 {|0}x x < 8分
0a <，解集为 1
{|
0}x x a
<< 12分 21 〔本小题14分〕
如下图， ⊙P 的圆心在直线y x =上，且与直线210x y +-=相切，这个圆截y 轴的正半轴所得的弦AB 长为2，求此圆的方程。

解：由题意知，⊙P 的圆心在直线y x =上，1分
故设此圆的方程为2
2
2
()()(0)x a y a r a -+-=>
那么r =且22
2||()2AB a r +=
即 2
2
(31)15
a a -+=，(21)(2)0a a +-=，又
0a >
∴ 2,a r ==∴ 所求圆的方程为2
2
(2)(2)5x y -+-= 22 〔本小题14分〕
如图，某开发区旁边有一条东北走向的公路l ，开发区内有两工厂,(A B B 在A 正东4km 〕
，A 工厂到公路l 的间隔 为km 。

建立适当的坐标系，解决以下问题： 〔Ⅰ〕求公路l 所在直线的方程；
〔Ⅱ〕在公路l 上有一站点M 到,A B 两工厂路程之和最小，现要建一条经过M 的环行公路，使公路上每一点到,A B 两工厂路程之和相等，求环行公路所在曲线的方程；
〔Ⅲ〕开发区内有一物资储藏库C 位于B 工厂西北距B ，在〔Ⅱ〕中的环行公路上设一站点N ,使站点N 到,C B 两地的间隔 之和最小。

试问：满足要求的点N 在什么位置〔不要证明〕，并求||||NC NB +的值。

(,0)p
F
解：以,A B 所在直线我x 轴，中点为原点，建立直角坐标系，那么(2,0),(2,0)A B - 〔Ⅰ〕 设直线l 的方程：y x m =+，那么由题意知，2m >直线l 在点A 的右上方，
2|2m =-+=，由2m >得
m =∴ 直线l
的方程：y x =+〔Ⅱ〕设(,)P x y 设所求曲线上任意一点，那么由题意知 点(,)P x y 的轨迹是以,A B 为焦点，且长轴最短的椭圆。

设此椭圆的方程为22
2
2
14x y b b +=+
那么方程组 22
2
214x y b b y x +=+=+有唯一解
222222((4)(4)b y b y b b -++=+ 22222(24)(8)0
b y y b b +---=，
422224488(8)(2)4(16)0b b b b b b ∆=+-+=-=
224,8b a ==
所求椭圆的方程为22
184
x y += 法二 〔Ⅱ〕设(,)P x y 设所求曲线上任意一点，那么由题意知
点(,)P x y 的轨迹是以,A B 为焦点，且长轴最短的椭圆，即||||PA PB +最小。

即在直线l 求一点P ，使||||PA PB +最小。

设(2,0)A -关于直线l 的对称点'(2A --+
(||||)|'||||'|PA PB PA PB A B +=+≥=长轴长2a =，又24c =，那么2
2
4,8b a ==
所求椭圆的方程为2
2
184
x y += 〔Ⅲ〕由题意知(1,1)C
在〔Ⅱ〕中的环行公路上设一站点N ,使站点N 到,C B 两地的间隔 之和最小
即在题意22
184
x y +=上求一点N ，使||||NC NB + 最小. 显然，当N 为直线:320AC l x y -+=与椭圆22
184
x y +=交点之一时，||||NC NB + 最小
由方程组22
184
320
x y x y +=-+=得222
(32)28111240y y y y -+-=--= 解得 x y =
411611
x y --=
-=
当N 时， min (||||)2||16NC NB a AC +=-=
证明 设P 是椭圆上异于N 的一点
(||||||||||2||||||PC CA PB PA PB a NC CA NB ++>+==++ ||||||||PC PB NC NB +>+
23〔本小题14分〕 动圆过定点(
,0)2p ，且与直线2
p
x =-相切，其中0p >，动圆圆心M 的轨迹为C .设,A B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和
OB 的倾斜角分别为,αβ，且4
παβ+=。

〔Ⅰ〕求轨迹C 的方程
〔Ⅱ〕证明直线AB 恒过定点，并求出定点的坐标。

〔Ⅰ〕解：设动圆圆心(,)M x y ，定点(
,0)2p F ，那么||||2
p MF x =+
||2
p
x =+ 化简得 2
2y px =
〔Ⅱ〕证明：设1122(,),(,)A x y B x y ，那么22
2
1122,2y px y px == 那么11211122OA y py p k x y y =
==，222
2OB y p
k x y ==， 12122
1212
222()tan()122141OA OB
OA OB
p p k k y y p y y p p k k y y p y y αβ++++=
===-⋅--⋅ 有2
121242()y y p p y y =++
122
122()tan()14p y y y y p αβ++=
=-故120y y +≠， 212121
2AB y y p
k x x y y -==-+， 1211:()()2()AB l y y y y p x x +-=-
化简，得2
121212()2242()y y y px y y px p p y y +=+=+++
即 12()(2)2(2)y y y p p x p +-=+ 直线AB 恒过定点(2,2)p p -。