离散型随机变量的分布列 课件

ξ＝－1 有以下 6 种情况：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，
4)，(3，4)，故 P(ξ＝－1)＝166＝38；
ξ＝1 有以下 2 种情况：(3，2)，(4，3)，故 P(ξ＝1)＝126＝18，
所以随机变量 ξ 的分布列为
ξ －1 0 1
P
3 8
11 28
探究点 2 离散型随机变量的分布列的性质 设随机变量 X 的分布列 P(X＝k5)＝ak(k＝1，2，3，4，
5)． (1)求常数 a 的值； (2)求 P(X≥35)； (3)求 P(110＜X＜170)．
【解】 (1)由 P(X＝k5)＝ak，k＝1，2，3，4，5 可知，
k＝5 1P(X＝k5)＝k＝5 1ak＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，
解得 a＝115. (2)由(1)可知 P(X＝k5)＝1k5(k＝1，2，3，4，5)， 所以 P(X≥35)＝P(X＝35)＋P(X＝45)＋P(X＝1) ＝135＋145＋155＝45.
探究点 3 两点分布与超几何分布 一个袋中装有 6 个形状大小完全相同的小球，其中红
球有 3 个，编号为 1，2，3；黑球有 2 个，编号为 1，2；白球 有 1 个，编号为 1.现从袋中一次随机抽取 3 个球． (1)求取出的 3 个球的颜色都不相同的概率． (2)记取得 1 号球的个数为随机变量 X，求随机变量 X 的分布列．
随机变量 X 的分布列为 P(X＝k)＝k（k＋c 1），
k＝1，2，3，4，c 为常数，则 P 23＜X＜52 的值为(
)
A.4
B.5
5
6
C.2
D.3
3
4
解析：选 B.由题意1×c 2＋2×c 3＋3×c 4＋4×c 5＝1， 即45c＝1，c＝54， 所以 P23＜X＜52 ＝P(X＝1)＋P(X＝2) ＝54×1×1 2＋2×1 3 ＝56.故选 B.
【解】 (1)从袋中一次随机抽取 3 个球，基本事件总数 n＝C36 ＝20，取出的 3 个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为 C13C12C11＝6，所以取出的 3 个球的颜色都不相同的概率 P＝260＝ 3 10.
(2)由题意知 X＝0，1，2，3. P(X＝0)＝CC3336＝210，P(X＝1)＝CC13C36 23＝290， P(X＝2)＝CC23C36 13＝290，P(X＝3)＝CC3336＝210， 所以 X 的分布列为
答案：0.8
探究点 1 离散型随机变量的分布列 某班有学生 45 人，其中 O 型血的有 15 人，A 型血的
有 10 人，B 型血的有 12 人，AB 型血的有 8 人．将 O，A，B， AB 四种血型分别编号为 1，2，3，4，现从中抽 1 人，其血型 编号为随机变量 X，求 X 的分布列.
【解】 X 的可能取值为 1，2，3，4. P(X＝1)＝CC111455＝13，P(X＝2)＝CC114105＝29， P(X＝3)＝CC111425＝145，P(X＝4)＝CC14185＝485. 故 X 的分布列为
X0
1 …m
P
C0MCnN－－0M CnN
C1MCnN－－1M CnN
…
CmMCnN－－mM CnN
其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
如果随机变量 X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X 服
从超几何分布．
(1)超几何分布的模型是不放回抽样． (2)超几何分布中的参数是 M，N，n. (3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、 同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成．
(3)P(110＜X＜170)＝P(X＝15)＋P(X＝25)＋P(X＝35)＝115＋125＋135)利用离散型随机变量的分布列的性质可以求与概率有关的 参数的取值或范围，还可以检验所求分布列是否正确． (2)由于离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥 的，所以离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这 个范围内各个值的概率之和．
1
（1）离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随机变量所 刻画的随机现象.和函数的表示法一样，离散型随机变量的分布 列也可以用表格、等式 P（X＝xi）＝pi，i＝1，2，…，n 和图 象表示. （2）随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有可 能取值，而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小，从而反 映了随机变量在随机试验中取值的分布情况.
下列表中能成为随机变量 ξ 的分布列的是( ) A.
ξ －1 0 1
P 0.3 0.4 0.4 B.
ξ1 2 3
P 0.4 0.7 －0.1
C.
ξ －1 0 1
P 0.3 0.4 0.3 D.
ξ1 2 3
P 0.3 0.1 0.4
答案：C
若随机变量 X 服从两点分布，且 P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝ 0.2.令 Y＝3X－2，则 P(Y＝－2)＝________．
抛掷甲，乙两个质地均匀且四个面上分别标有 1，2，3，4 的正四面体，其底面落于桌面，记底面上的数字分 别为 x，y.设 ξ 为随机变量，若xy为整数，则 ξ＝0；若xy为小于 1
的分数，则 ξ＝－1；若xy为大于 1 的分数，则ξ＝1.
(1)求概率 P(ξ＝0)； (2)求 ξ 的分布列．
解：(1)依题意，数对(x，y)共有 16 种情况，其中使xy为整数的 有以下 8 种： (1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(4， 2)， 所以 P(ξ＝0)＝186＝12. (2)随机变量 ξ 的所有取值为－1，0，1. 由(1)知 P(ξ＝0)＝12；
X 012 3
P
133 888
1 8
求超几何分布问题的注意事项 (1)在产品抽样检验中，如果采用的是不放回抽样，则抽到的次 品数服从超几何分布． (2)在超几何分布公式中，P(X＝k)＝CkMCCnNnN－－kM，k＝0，1，2，…， m，其中，m＝min{M，n}，且 0≤n≤N，0≤k≤n，0≤k≤M， 0≤n－k≤N－M. (3)如果随机变量 X 服从超几何分布，只要代入公式即可求得相 应概率，关键是明确随机变量 X 的所有取值． (4)当超几何分布用表格表示较繁杂时，可用解析式法表示．
X12 3 4
P
1 3
2 9
4 15
8 45
求离散型随机变量分布列的一般步骤 (1)确定 X 的所有可能取值 xi(i＝1，2，…)以及每个取值所表示 的意义． (2)利用概率的相关知识，求出每个取值相应的概率 P(X＝xi)＝ pi(i＝1，2，…)． (3)写出分布列． (4)根据分布列的性质对结果进行检验．
某高校文学院和理学院的学生组队参加大学 生电视辩论赛，文学院推荐了 2 名男生，3 名女生，理学院推 荐了 4 名男生，3 名女生，文学院和理学院所推荐的学生一起 参加集训，由于集训后学生水平相当，从参加集训的男生中随 机抽取 3 人，女生中随机抽取 3 人组成代表队． (1)求文学院至少有一名学生入选代表队的概率； (2)某场比赛前，从代表队的 6 名学生再随机抽取 4 名参赛，记 X 表示参赛的男生人数，求 X 的分布列．
解：(1)由题意，参加集训的男、女学生各有 6 人，参赛学生全 从理学院中抽出(等价于文学院中没有学生入选代表队)的概率 为：CC6333CC3634＝1100，因此文学院至少有一名学生入选代表队的概 率为：1－1100＝19090.
(2)某场比赛前，从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛，X
离散型随机变量的分布列
1．离散型随机变量的分布列 (1)一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，…， xi，…，xn，X 取每一个值 xi(i＝1，2，…，n)的概率 P(X＝xi) ＝ pi ，以表格的形式表示如下：
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 这个表格称为离散型随机变量 X 的 概率分布列 ，简称为 X 的 分布列 ． (2)离散型随机变量的分布列的性质： ① pi≥0，i＝1，2，…，n ；
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以 为任意的实数．( × ) (2)在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于 它取这个范围内各值的概率之积．( × ) (3)在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为 1.( √ ) (4)超几何分布的模型是放回抽样．( × )
X012 3
P
199 20 20 20
1 20
1．[变问法]在本例条件下，记取到白球的个数为随机变量 η，求随机变量 η 的分布列．
解：由题意知 η＝0，1，服从两点分布，又 P(η＝1)＝CC2536＝12，
所以随机变量η的分布列为
η0 1
P
1 2
1 2
2．[变条件]将本例的条件“一次随机抽取 3 个球”改为“有放 回地抽取 3 次球，每次抽取 1 个球”其他条件不变，结果又如 何？
解：(1)取出 3 个球颜色都不相同的概率 P＝C13×C12×63 C11×A33 ＝16. (2)由题意知 X＝0，1，2，3. P(X＝0)＝3633＝18，
P(X＝1)＝C13×36×3 3×3＝38. P(X＝2)＝C23C13×63 3×3＝38， P(X＝3)＝3633＝18. 所以 X 的分布列为
2．两个特殊分布 (1)两点分布
X01 P 1－p p 若随机变量 X 的分布列具有上表的形式，则称 X 服从两点分布， 并称 p＝P(X＝1) 为成功概率．
(2)超几何分布
一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰 有 X 件次品，则 P(X＝k)＝CkMCCnNnN－－kM，k＝0，1，2，…，m， 即
表示参赛的男生人数，
则 X 的可能取值为：1，2，3. P(X＝1)＝CC13C46 33＝15，P(X＝2)＝CC23C46 23＝35，P(X＝3)＝CC13C46 33＝15. 所以 X 的分布列为
X 12 3
P
1 5
3 5
1 5