2020届艺术生高考数学二轮复习课时训练：第八章 平面解析几何 第5节 第2课时

(1)求椭圆 M 的方程； (2)若直线 l 过点 P(0,4)，则直线 l 何时与椭圆 M 相交？
2 解：(1)因为椭圆 M 的离心率为 2 ，
( ) 4－b2 2
所以 4 ＝ 2 2，得 b2＝2. x2 y2
所以椭圆 M 的方程为 4 ＋ 2 ＝1. (2)①过点 P(0,4)的直线 l 垂直于 x 轴时，直线 l 与椭圆 M 相交．
| | 1
1
45
－2－
∴S△OAB＝2·|OF|·|yA－yB|＝2×1×
3 ＝3，故选 B.]
1
3．中心为(0,0)，一个焦点为 F(0,5 2)的椭圆，截直线 y＝3x－2 所得弦中点的横坐标为2，则该椭圆
的方程是( )
2x2 2y2
x2 y2
A. 75 ＋ 25 ＝1 x2 y2
B.75＋25＝1 2x2 2y2
( ) a＋c bc
a＋c2 c2b2
，
行四边形，所以点 M 的坐标为 2 a ，代入椭圆方程得 4a2 ＋a2b2＝1，所以 5e2＋2e－3＝0，又
3
0<e<1，所以 e＝5.故选 A.] x2
6．已知斜率为 1 的直线过椭圆 4 ＋y2＝1 的右焦点交椭圆于 A、B 两点，则弦 AB 的长为
C.25＋75＝1
D. 25 ＋ 75 ＝1 x2 y2
解析：C [c＝5 2，设椭圆方程为a2－50＋a2＝1，联立方程Error!消去 y，整理得
(10a2－450)x2－12(a2－50)x＋4(a2－50)－a2(a2－50)＝0，
12a2－50
x2 y2
由根与系数的关系得 x1＋x2＝10a2－450＝1，解得 a2＝75，所以椭圆方程为25＋75＝1.]
( ) ( ) 14 14
－∞，－
，＋∞
综上，当直线 l 垂直于 x 轴或直线 l 的斜率的取值范围为
2∪2
时，直线 l 与椭
圆 M 相交．
4．已知 F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆 C 的两个焦点，过 F2 且垂直于 x 轴的直线与椭圆 C 交于 A，B 两 点，且|AB|＝3，则 C 的方程为( )
x2
x2 y2
A. 2 ＋y2＝1 x2 y2
B. 3 ＋ 3 ＝1 x2 y2
C. 4 ＋ 3 ＝1
x2 y2
D. 5 ＋ 4 ＝1
∴2b2(x1－x2)＋2a2(y1－y2)＝0，
∴b2(x1－x2)＝－a2(y1－y2)，
b2 y1－y2 1 ∴a2＝－x1－x2＝3，
6 ∴a2＝3b2，∴a2＝3(a2－c2)，∴2a2＝3c2，∴e＝ 3 .
6 答案： 3
x2 y22ຫໍສະໝຸດ 8．设焦点在 x 轴上的椭圆 M 的方程为 4 ＋b2＝1(b>0)，其离心率为 2 .
第八章 第 5 节 第 2 课时
x2 y2
1．直线 y＝2x－1 与椭圆 9 ＋ 4 ＝1 的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
解析：A [Error!得 4x2＋9(2x－1)2＝36，即 40x2－36x－27＝0，Δ＝362＋4×40×27>0，故直线与
椭圆相交，选 A.]
1
x2 y2
7．(2020·珠海质检)过点 M(1,1)作斜率为－3的直线 l 与椭圆 C：a2＋b2＝1(a>b>0): 相交于 A，B 两
点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率为 __________ .
解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题得
Error!，
∴b2(x1＋x2)(x1－x2)＋a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
x2 y2
2．过椭圆 5 ＋ 4 ＝1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A，B 两点，O 为坐标原点，则△
OAB 的面积为( )
4
5
A.3
B.3
5
10
C. 4
D. 3
解析：B [由题意知椭圆的右焦点 F 的坐标为(1,0)，则直线 AB 的方程为 y＝2x－2.
( )5 4
4
，
联立Error!解得交点坐标为(0，－2)，3 3 ，不妨设 A 点的纵坐标 yA＝－2，B 点的纵坐标 yB＝3，
②过点 P(0,4)的直线 l 与 x 轴不垂直时，可设直线 l 的方程为 y＝kx＋4.
由Error!消去 y，得(1＋2k2)x2＋16kx＋28＝0.
因为直线 l 与椭圆 M 相交，
所以 Δ＝(16k)2－4(1＋2k2)×28＝16(2k2－7)>0，
14
14
解得 k<－ 2 或 k> 2 .
解析：C [设椭圆 C 的方程为a2＋b2＝1(a>b>0)，则 c＝1.因为过 F2 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交 b2 3
于 A，B 两点，且|AB|＝3，所以 a ＝2，b2＝a2－c2，所以 a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，椭圆的方程为 x2 y2
4 ＋ 3 ＝1.]
x2 y2
5．(2020·浙江百校联盟联考)已知椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的右顶点和上顶点分别为 A、B，左焦点为
F.以原点 O 为圆心的圆与直线 BF 相切，且该圆与 y 轴的正半轴交于点 C，过点 C 的直线交椭圆于
M、N 两点．若四边形 FAMN 是平行四边形，则该椭圆的离心率为( )
3
1
A.5
B.2
2
3
C. 3
D.4
bc
bc
解析：A [因为圆 O 与直线 BF 相切，所以圆 O 的半径为 a ，即|OC|＝ a ，因为四边形 FAMN 是平
________ .
x2 解析： 4 ＋y2＝1 的右焦点为 F( 3，0)，故直线方程为 y＝x－ 3，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，Error!
83
8
8
得 5x2－8 3x＋8＝0，x1＋x2＝ 5 ，x1x2＝5，由弦长公式得|AB|＝ 1＋12[x1＋x22－4x1x2]＝5.
8
答案：5