四川省2020年上学期泸县第一中学高三数学理开学考试试题

四川省2020年上学期泸县第一中学高三数学理开学考试试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。

1．(12)(2)i i ++=（ ） A ．45i +
B ．5i
C ．-5i
D ．23i +
2．在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB →
=（ ） A ．2CD CA +
B ．2CD CA -
C ．2C
D CA -
D ．2CD CA +
3．在52)的展开式中，2x 的系数为（ ）． A ．5-
B ．5
C ．10-
D ．10
4．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ）． A ．(1,1)- B ．(,1)
(1,)-∞-+∞
C ．(0,1)
D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞
6．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ） A ．62%
B ．56%
C ．46%
D ．42%
7．设双曲线C 的方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若
C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（ ） A ．22
144
x y -=
B ．2
214
y x -=
C ．2214
x y -=
D ．221x y -=
8．已知2tan θ–tan(θ+π
4
)=7，则tan θ=（ ） A ．–2
B ．–1
C ．1
D ．2
9．设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A ．是偶函数，且在1(,)2
+∞单调递增
B ．是奇函数，且在11(,)22
-单调递减
C ．是偶函数，且在1
(,)2
-∞-单调递增
D ．是奇函数，且在1
(,)2
-∞-单调递减
10．若2233x y x y ---<-，则（ ）
A ．ln(1)0y x -+>
B ．ln(1)0y x -+<
C ．ln ||0x y ->
D ．ln ||0x y -<
11．设函数()f x =sin （5
x ωπ
+
）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 ③()f x 在（0,
10
π
）单调递增 ④ω的取值范围是[
1229510
，) 其中所有正确结论的编号是
A ．①④
B ．②③
C ．①②③
D ．①③④
12．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8
()9
f x ≥-
，则m 的取值范围是 A ．9,4
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
B ．7,3
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
C ．5,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
D ．8,3
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.
14C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________． 15．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
16．设12F F ，为椭圆22
:+13620
x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰
三角形，则M 的坐标为___________
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．(12分)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆
盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得
20
1
60i i
x
==∑，20
1
1200i i y ==∑，20
21
)80i i x x =-=∑（，
20
2
1
)9000i i
y y =-=∑
（，20
1
))800i i i x y x y =--=∑（（.
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数r =
1
2
2
1
1
))))n
i i
i
i
i
n n
i i x y x x y y y x ===----∑
∑
∑（（（（，
≈1.414.
18．(12分)ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2
A C
a b A +=． （1）求B ；
（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．
19．(12分)如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.
（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；
（2）若AE =A 1E ，求二面角B –EC –C 1的正弦值.
20．(12分)已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：
（1）()f x '
在区间(1,
)2
π
-存在唯一极大值点；
（2）()f x 有且仅有2个零点．
21．(12分)已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：
1
1
λ
μ
+
为定值．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y ，
θθ
=⎧⎨
=⎩（θ为参数），过点(0，且倾斜角为α的直线l 与
O 交于A B ，两点．
（1）求α的取值范围；
（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知()11f x x ax =+--.
（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；
（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.。