上海华亭学校八年级数学上册第一单元《三角形》测试卷(答案解析)

一、选择题
1．将一副直角三角板如图放置，使两直角重合DFB ∠的度数为（ ）
A ．145︒
B ．155︒
C ．165︒
D ．175︒ 2．如图，AB 和CD 相交于点O ，A C ∠=∠，则下列结论中不正确的是（ ）．
A ．
B D ∠=∠
B ．1A D ∠=∠+∠
C ．2
D ∠>∠
D ．C D ∠=∠ 3．如图，AD 是ABC 的外角CA
E ∠的平分线，35B ∠=︒，60=︒∠DAC ，则ACD
∠的度数为（ ）
A ．25︒
B ．85︒
C ．60︒
D ．95︒
4．内角和为720°的多边形是（ ）．
A ．三角形
B ．四边形
C ．五边形
D ．六边形
5．已知三角形的两边长分别为1和4，则第三边长可能是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
6．下列命题是真命题的个数为（ ）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．
②三角形的内角和是180°．
③在同一平面内平行于同一条直线的两条直线平行．
④相等的角是对顶角．
⑤两点之间，线段最短．
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 7．下列长度（单位：cm ）的三条线段能组成三角形的是（ ） A ．13，11，12 B ．3，2，1 C ．5，12，7 D ．5，13，5 8．已知，D 是ABC ∠的边BC 上一点，//D
E BA ，CBE ∠和CDE ∠的平分线交于点
F ，若F α∠=，则ABE ∠的大小为（ ）
A ．α
B ．52α
C ．2α
D ．32
α 9．若一个三角形的三个内角的度数之比为11:13:24，那么这个三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形 10．将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝47°，则∠β的度数是（ ）
A ．43°
B ．47°
C ．30°
D ．60°
11．下列四个图形中，线段CE 是ABC 的高的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 12．如图，105DBA ∠=︒，125ECA ∠=︒，则A ∠的度数是（ ）
A ．75°
B ．60°
C ．55°
D ．50°
二、填空题
13．如图1，△ABC 中，有一块直角三角板PMN 放置在△ABC 上（P 点在△ABC 内），使三角板PMN 的两条直角边PM 、PN 恰好分别经过点B 和点C .若∠A ＝52°，则∠1＋∠2＝__________；
14．如图1，ABC 纸片面积为24，G 为ABC 纸片的重心，D 为BC 边上的一个四等分点（BD CD <）连结CG ，DG ，并将纸片剪去GDC ，则剩下纸片（如图2）的面积为__________．
15．如图，在ABC 中，点,,D E F 分别在三边上，点E 是AC 的中点，,,AD BE CF 交
于一点,283BGD AGE G BD DC S S ===，，，则ABC 的面积是________．
16．AD 为ABC 的中线，AE 为ABC 的高，ABD △的面积为14，
7,2AE CE ==则DE 的长为_________．
17．如图，ABC 中，40A ∠=︒，72B ∠=︒，CE 平分ACB ∠，CD AB ⊥于D ，DF CE ⊥交CE 于F ，则CDF ∠=______．
18．如图，已知AE 是ABC 的边BC 上的中线，若8AB cm =，ACE △的周长比AEB △的周长多2cm ，则AC =______cm ．
19．一副分别含有30°和45°的直角三角板，拼成如图，则BFD ∠的度数是______．
20．把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中90C =∠，90F ∠=，30D ∠=，45A ∠=，则12∠+∠等于___________度．
三、解答题
21．在ABC ∆中，已知3,7AB AC ==，若第三边BC 的长为偶数，求ABC ∆的周长． 22．如图，直线AB 与直线MN 相交，交点为O ，OC ⊥AB ，OA 平分∠MOD ，若∠BON ＝20°，求∠COD 的度数．
23．如图所示，已知AD ，AE 分别是△ABC 的高和中线，AB =3cm ，AC =4 cm ，BC=5 cm ，∠CAB =90°．
(1)求AD 的长．
(2)求△ABE 的面积．
24．已知：180,BDG EFG B DEF ∠+∠=︒∠=∠．
（1）如图1，求证：//DE BC ．
（2）如图2，当90A EFG ∠=∠=︒时，请直接写出与C ∠互余的角．
25．从7根长度都是1的牙签中选取部分或者全部来摆放三角形（牙签不可以折断），你能摆放出多少种形状不同的三角形（两个全等三角形视为一种三角形）？并请你一一写出每种三角形的三边长．
26．（1）一个多边形的内角和等于1800度，求这个多边形的边数．
（2）一个多边形的每一个内角都是108°，求这个多边形的边数．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据三角形的内角和定理可求45E ∠=︒，利用补角的定义可求120FBE ∠=︒，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出DFB ∠的度数
【详解】
解：在DEC ∆中
∵90C ∠=︒，45CDE ∠=︒
∴45E ∠=︒
又∵60ABC ∠=︒
∴120FBE ∠=︒
由三角形的外角性质得
DFB E FBE ∠=∠+∠
45120=︒+︒
165=︒
故选：C
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，互为补角的定义及三角形的外角性质，解题的关键是掌握三角形的外角性质
2．D
解析：D
【分析】
利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可.
【详解】
∵∠1=∠2，∠A=∠C ，∠1=∠A+∠D ，∠2=∠B+∠C ，
∴∠B=∠D ，
∴选项A 、B 正确；
∵∠2=∠A+∠D ，
∴2D ∠>∠，
∴选项C 正确；
没有条件说明C D ∠=∠
故选：D.
【点睛】
本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键. 3．D
解析：D
【分析】
根据角平分线的定义可得∠DAC ＝∠DAE ，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠D ，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【详解】
解：
∵AD 是∠CAE 的平分线，60=︒∠DAC ，
∴∠DAC ＝∠DAE ＝60°，
又∵35B ∠=︒
由三角形的外角性质得，∠D ＝∠DAE−∠B ＝60°−35°＝25°，
∴在△ACD 中，∠ACD ＝180°−∠DAC －∠D ＝180°−60°−25°＝95°．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
4．D
解析：D
【分析】
根据多边形内角和的计算方法（n-2）•180°，即可求出边数．
【详解】
解：依题意有（n-2）•180°=720°，
解得n=6．
该多边形为六边形，
故选：D．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和，利用多边形的内角和计算公式正确计算是解题关键．5．B
解析：B
【分析】
根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围．
【详解】
解：根据三角形的三边关系，设第三边的长为x，
∵三角形两边的长分别是1和4，
∴4-1＜x＜4+1，即3＜x＜5．
故选：B．
【点睛】
此题考查了三角形的三边关系，关键是正确确定第三边的取值范围．
6．B
解析：B
【分析】
首先判断所给命题的真假，再选出正确的选项．
【详解】
解：∵两条直线被第三条直线所截，两直线平行，内错角相等，
∴①错误；
∵三角形的内角和是180°，∴②正确；
∵在同一平面内平行于同一条直线的两条直线平行，∴③正确；
∵相等的角可以是对顶角，也可以是内错角、同位角等等，∴④错误；
∵连接两点的所有连线中，线段最短，∴⑤正确；
∴真命题为②③⑤，
故选B ．
【点睛】
本题考查命题的真假判断，根据所学知识判断一个命题条件成立的情况下，结论是否一定成立来判断命题是真命题还是假命题是解题关键．
7．A
解析：A
【分析】
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析．【详解】
解：根据三角形的三边关系，
A 、11+12＞13，能组成三角形，符合题意；
B 、1+2=3，不能组成三角形，不符合题意；
C 、5+7=12，不能组成三角形，不符合题意；
D 、5+5＜13，不能组成三角形，不符合题意；
故选A ．
【点睛】
此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
8．C
解析：C
【分析】
先利用角平分线和三角形外角的性质可得2BED α∠=，再根据平行线的性质定理即可得出ABE ∠的大小．
【详解】
解：如下图所示，
∵CBE ∠和CDE ∠的平分线交于点F ，
∴21,22C CBE DE ∠∠==∠∠，
∵12F ∠+∠=∠，F α∠=，
∴21α∠-∠=，
∵EBD BED EDC ∠+∠=∠，
∴22212ED D C BE EBD α∠∠-∠=∠-==∠，
∵//DE BA ，
∴2ABE BED α∠==∠，
故选：C ．
【点睛】
本题考查三角形外角的性质，平行线的性质定理，与角平分线有关的计算．正确理解三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题关键．
9．B
解析：B
【分析】
根据角的度数之比，求得最大角的度数，根据最大角的性质判断即可.
∵三个内角的度数之比为11:13:24，
∴最大角的度数为°24180111324
⨯++=90°， ∴三角形是直角三角形，
故选B.
【点睛】 本题考查了三角形按角的分类，根据度数之比求得最大角的度数是解题的关键. 10．A
解析：A
【分析】
延长BC 交刻度尺的一边于D 点，利用平行线的性质，对顶角的性质，将已知角与所求角转化到Rt △CDE 中，利用内角和定理求解．
【详解】
如图，延长BC 交刻度尺的一边于D 点，
∵AB ∥DE ，
∴∠β＝∠EDC ，
又∵∠CED ＝∠α＝47°，∠ECD ＝90°，
∴∠β＝∠EDC ＝90°﹣∠CED ＝90°﹣47°＝43°．
故选：A ． 【点睛】
本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键． 11．B
解析：B
【分析】
利用三角形高的定义逐一判断选项，可得答案．
【详解】
A ．CE 不垂直A
B ，故CE 不是AB
C 的高，不符合题意，
B ．CE 是AB
C 中AB 边上的高，符合题意，
C ．CE 不是ABC 的高，不符合题意，
D ．C
E 不是ABC 的高，不符合题意．
故选B ．
此题主要考查了三角形的高，关键是掌握从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
12．D
解析：D
【分析】
根据邻补角的定义可求得ABC ∠和ACB ∠，再根据三角形内角和为180°即可求出A ∠．
【详解】
解：
105DBA ∠=︒，125ECA ∠=︒，
18010575ABC ∴∠=︒-︒=︒，
18012555ACB ∠=︒-︒=︒．
180755550A ∴∠=︒-︒-︒=︒．
故选D ．
【点睛】 本题考查了邻补角和三角形内角和定理，识记三角形内角和为180°是解题的关键．
二、填空题
13．38°【分析】根据三角形内角和定理易求∠ABC ＋∠ACB 的度数已知∠P ＝90°根据三角形内角和定理易求∠PBC ＋∠PCB 的度数进而得到∠1＋∠2的度数
【详解】∵∠A ＝52°∴∠ABC ＋∠ACB ＝18
解析：38°
【分析】
根据三角形内角和定理易求∠ABC ＋∠ACB 的度数．已知∠P ＝90°，根据三角形内角和定理易求∠PBC ＋∠PCB 的度数，进而得到∠1＋∠2的度数．
【详解】
∵∠A ＝52°，
∴∠ABC ＋∠ACB ＝180°−52°＝128°，
∵∠P ＝90°，
∴∠PBC ＋∠PCB ＝90°，
∴∠ABP ＋∠ACP ＝128°−90°＝38°，
即∠1＋∠2＝38°．
故答案为：38°．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理以及直角三角形的性质等知识，注意运用整体法计算，解决问题的关键是求出∠ABC ＋∠ACB ，∠PBC ＋∠PCB 的度数．
14．18【分析】连接BG 根据重心的性质得到△BGC 的面积再根据D 点是BC 的四等分点得到△GDC 的面积故可求解【详解】连接BG ∵G 为纸片的重心∴S △BGC=S △ABC=8∵D 为边上的一个四等分点（）∴S △
【分析】
连接BG ，根据重心的性质得到△BGC 的面积，再根据D 点是BC 的四等分点得到△GDC 的面积，故可求解．
【详解】
连接BG ，∵G 为ABC 纸片的重心，
∴S △BGC =13S △ABC =8 ∵D 为BC 边上的一个四等分点（BD CD <） ∴S △DGC =
34
S △BGC =6 ∴剪去GDC ，则剩下纸片的面积为24-6=18 故答案为：18．
【点睛】
此题主要考查重心的性质，解题的关键是熟知重心的性质及面积的换算关系．
15．30【分析】根据部分三角形的高相等由这些三角形面积与底边的比例关系可求三角形ABC 的面积【详解】解：在和中∵∴∴∵点是的中点∴∴∴故答案为：【点睛】本题中由于部分三角形的高相等可根据这些三角形面积的 解析：30
【分析】 根据部分三角形的高相等，由这些三角形面积与底边的比例关系可求三角形ABC 的面积．
【详解】
解：在BDG 和GDC 中，
∵2BD DC =,
∴2BDG GDC S
S =，8BGD S =△， ∴4GDC S =, ∵点E 是AC 的中点，3AGE S
= ∴ 3.GEC AGE S
S == ∴84315BEC BDG GDC GEC S
S S S =++=++=， ∴230.ABC BEC S S ==
故答案为：30．
本题中由于部分三角形的高相等，可根据这些三角形面积的比等于底边的比例关系来求三角形ABC 的面积是解题关键．
16．2或6【分析】利用面积法求出BD 即可求得CD 再分AE 在内部和外部求出DE 即可【详解】解：为的高△ABD 的面积为14AE=7∴∵为的中线∴CD=BD=4当AE 在内部时∵CE=2∴DE=CD-CE=2当
解析：2或6
【分析】
利用面积法求出BD ，即可求得CD ，再分AE 在ABC 内部和外部，求出DE 即可．
【详解】
解：AE 为ABC 的高，△ABD 的面积为14，AE=7， 1142∴⋅⋅=BD AE ， ∴2828=4,B 7
D ==A
E ∵AD 为ABC 的中线，
∴CD=BD=4， 当AE 在ABC 内部时
∵CE=2，
∴DE=CD-CE=2，
当AE 在ABC 外部时
∵CE=2，
∴DE=CD+CE=6，
故答案为：2或6
【点睛】
本题考查三角形的高、中线和面积，注意高可在三角形的内部和外部是解题的关键． 17．74°【分析】先根据三角形的内角和定理求得∠ACB 的度数再根据CE 平分
∠ACB求得∠ACE的度数则根据三角形的外角的性质就可求得∠CED＝
∠A+∠ACE再结合CD⊥ABDF⊥CE就可求解【详解】解：
解析：74°
【分析】
先根据三角形的内角和定理求得∠ACB的度数，再根据CE平分∠ACB求得∠ACE的度数，则根据三角形的外角的性质就可求得∠CED＝∠A+∠ACE，再结合CD⊥AB，DF⊥CE就可求解．
【详解】
解：∵∠A＝40°，∠B＝72°，
∴∠ACB＝180°﹣40°﹣72°＝68°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE＝34°，
∴∠CED＝∠A+∠ACE＝74°，
∵CD⊥AB，DF⊥CE，
∴∠CDF+∠ECD＝∠ECD+∠CED＝90°，
∴∠CDF＝∠CED＝74°，
故答案为：74°．
【点睛】
此题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质、以及角平分线定义和垂直定义．
18．10【分析】依据AE是△ABC的边BC上的中线可得CE=BE再根据
AE=AE△ACE的周长比△AEB的周长多2cm即可得到AC的长【详解】解：∵AE 是△ABC的边BC上的中线∴CE=BE又∵AE=A
解析：10
【分析】
依据AE是△ABC的边BC上的中线，可得CE=BE，再根据AE=AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，即可得到AC的长．
【详解】
解：∵AE是△ABC的边BC上的中线，
∴CE=BE，
又∵AE=AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，
∴AC-AB=2cm，
即AC-8=2cm，
∴AC=10cm，
故答案为：10；
【点睛】
本题考查了三角形的角平分线、中线和高，求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键．
19．15°【分析】先根据直角三角板的性质得出∠B及∠CDE的度数再由补角的定义得出∠BDF的度数根据三角形内角和定理即可得出结论【详解】解：∵图中是一副直角三角板∴∠B=45°∠CDE=60°∴∠BDF
解析：15°
【分析】
先根据直角三角板的性质得出∠B及∠CDE的度数，再由补角的定义得出∠BDF的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】
解：∵图中是一副直角三角板，
∴∠B=45°，∠CDE=60°，
∴∠BDF=180°-60°=120°，
∴∠BFD=180°-45°-120°=15°．
故答案为：15°．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．20．210【分析】由题意得：∠1=∠D+∠DGA∠2=∠F+∠FHB然后由对顶角相等的性质得∠1=∠D+CGH∠2=∠F+∠CHG最后由直角三角形两锐角互余的性质可以算出∠1+∠2的值【详解】解：如图给
解析：210
【分析】
由题意得：∠1=∠D+∠DGA，∠2=∠F+∠FHB，然后由对顶角相等的性质得∠1=∠D+CGH，∠2=∠F+∠CHG，最后由直角三角形两锐角互余的性质可以算出∠1+∠2的值．
【详解】
解：如图，给两三角板的两个交点标上G、H符号，
则∠1=∠D+∠DGA=∠D+CGH，∠2=∠F+∠FHB=∠F+∠CHG，
∴∠1+∠2=∠D+CGH+∠F+∠CHG
=∠D+∠F+（CGH+∠CHG）
=30°+90°+90°
=210°，
故答案为210 ．
【点睛】
本题考查直角三角形的应用，灵活运用直角三角形两锐角互余、三角形的外角性质和对顶角相等的定理求解是解题关键．
三、解答题
21．周长为16或18．
【分析】
利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，再根据第三边BC 的长为偶数求出符合条件的BC 值，即可求出周长．
【详解】 解：在ABC ∆中，3,7AB AC ==，
∴第三边BC 的取值范围是：410,BC <<
∴符合条件的偶数是6或8，
∴当6BC =时，ABC ∆的周长为：36716++=；
当8BC =时，ABC ∆的周长为：37818++=．
ABC ∆∴的周长为16或18．
【点睛】
此题主要考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
22．∠COD ＝70°
【分析】
利用对顶角相等可得∠AOM 的度数，再利用角平分线的定义和垂线定义进行计算即可．
【详解】
解：∵∠BON ＝20°，
∴∠AOM ＝20°，
∵OA 平分∠MOD ，
∴∠AOD ＝∠MOA ＝20°，
∵OC ⊥AB ，
∴∠AOC ＝90°，
∴∠COD ＝90°﹣20°＝70°．
【点睛】
本题考查了垂线，关键是掌握对顶角相等，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．
23．（1）
125
cm ；（2）3cm 2 【分析】
（1）利用“面积法”来求线段AD 的长度；
（2）△AEC 与△ABE 是等底同高的两个三角形，它们的面积相等
【详解】
解：∵∠BAC=90°，AD 是边BC 上的高，
∴12AB•AC=12
BC•AD ， ∴341255
AB AC AD BC ⋅⨯===（cm ），即AD 的长度为125cm ； （2）如图，∵△ABC 是直角三角形，∠BAC=90°，AB=3cm ，AC=4cm ， ∴S △ABC =
12AB•AC=12×3×4=6（cm 2）． 又∵AE 是边BC 的中线，
∴BE=EC ， ∴12BE•AD=12
EC•AD ，即S △ABE =S △AEC ， ∴S △ABE=
12S △ABC =3（cm 2）． ∴△ABE 的面积是3cm 2．
【点睛】
本题考查了中线的性质．解题的关键是利用三角形面积的两个表达式相等，求出AD ． 24．（1）证明见解析；（2）,,B ADE DEF ∠∠∠．
【分析】
（1）先根据角的和差、等量代换可得EFG ADG ∠=∠，再根据平行线的判定可得//EF AB ，然后根据平行线的性质可得ADE DEF ∠=∠，从而可得B ADE ∠=∠，最后根据平行线的判定即可得证；
（2）根据直角三角形的两锐角互余、等量代换即可得．
【详解】
（1）180,180BDG EFG BDG ADG ∠+∠=︒∠+∠=︒，
EFG ADG ∴∠=∠，
//EF AB ∴，
ADE DEF ∴∠=∠，
B DEF ∠=∠，
B ADE ∴∠=∠，
//DE BC ∴；
（2）90A ∠=︒，
90B C ∴∠+∠=︒，
B DEF ∠=∠，
90DEF C ∴∠+∠=︒，
由（1）可知，B ADE ∠=∠，
90ADE C ∴∠+∠=︒，
综上，与C ∠互余的角有,,B ADE DEF ∠∠∠．
【点睛】
本题考查了直角三角形的两锐角互余、平行线的判定与性质等知识点，熟练掌握平行线的
判定与性质是解题关键．
25．能摆放出5种形状不同的三角形，它们的三边长分别是1,1,1、1,2,2、2,2,2、1,3,3、2,2,3．
【分析】
根据三角形的三边关系定理逐一摆放出来即可．
【详解】
由题意，根据选取牙签的根数，分以下五种情况：
（1）当选取3根牙签时，
三边长只能是1,1,1，满足三角形的三边关系定理，能摆出三角形；
（2）当选取4根牙签时，
三边长只能是1,1,2，不满足三角形的三边关系定理，不能摆出三角形；
（3）当选取5根牙签时，
三边长可以是1,1,3或1,2,2，
其中，1,1,3不满足三角形的三边关系定理，不能摆出三角形，
1,2,2满足三角形的三边关系定理，能摆出三角形；
（4）当选取6根牙签时，
三边长可以是1,1,4或1,2,3或2,2,2，
其中，1,1,4和1,2,3均不满足三角形的三边关系定理，均不能摆出三角形，
2,2,2满足三角形的三边关系定理，能摆出三角形；
（5）当选取7根牙签时，
三边长可以是1,1,5或1,2,4或1,3,3或2,2,3，
其中，1,1,5和1,2,4均不满足三角形的三边关系定理，均不能摆出三角形，
1,3,3和2,2,3均满足三角形的三边关系定理，均能摆出三角形；
综上，能摆放出5种形状不同的三角形，它们的三边长分别是1,1,1、1,2,2、2,2,2、1,3,3、2,2,3．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系定理的应用，依据题意，正确分情况讨论是解题关键．26．（1）十二边形；（2）五边形
【分析】
（1）n边形的内角和可以表示成（n−2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数；
（2）根据多边形外角的性质进行计算即可．
【详解】
解：（1）设这个多边形是n边形，根据题意得：
n⨯︒=︒
﹣，
)80
(10
2180
n=．
解得:12
故这个多边形是十二边形；
︒-︒=︒，
（2）18010872
÷=．
多边形的边数是:360725
则这个多边形是五边形．
故这个多边形的边数为5．
【点睛】
此题考查了多边形的内角和定理和多边形外角和，注意多边形的内角和为：（n−2）×180°．。