甘肃省定西市高一下学期期中数学试题(解析版)

一、单选题 1．已知，则等于（ ） 2
sin 3
α=cos 2α
A ．
B
C ．
D ．
19
19
-【答案】C
【分析】利用二倍角的余弦公式可求得的值.
cos 2α【详解】因为，则.
2sin 3α=2
2
21cos 212sin 1239
αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭故选：C.
2．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是
A ．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体
B ．该几何体有12条棱、6个顶点
C ．该几何体有8个面，并且各面均为三角形
D ．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形 【答案】D
【分析】根据几何体的直观图，得出该几何体的结构特征，由此判断选项A 、B 、C 正确，选项D 错误．
【详解】根据几何体的直观图，得
该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体，
且有棱MA 、MB 、MC 、MD 、AB 、BC 、CD 、DA 、NA 、NB 、NC 和ND ，共12条； 顶点是M 、A 、B 、C 、D 和N 共6个；
且有面MAB 、面MBC 、面MCD 、面MDA 、面NAB 、面NBC 、面NCD 和面NDA 共个，且每个面都是三角形．
所以选项A 、B 、C 正确，选项D 错误． 故选D ．
【点睛】本题考查了利用空间几何体的直观图判断几何体结构特征的应用问题，是基础题目．
3．已知复数，为z 的共轭复数，则
（ ） 34i z =-z z
z
=A ．
B ．
724i 55
-24
1i 25
+C ． D ．
724i 2525-
+724i 55
-+【答案】C
【分析】求出复数，再利用复数除法运算计算作答. z 【详解】因，则，
34i z =-i 34z =+所以. 234i (34i)724i 724
i 34i (34i)(34i)252525z z ++-+=
===-+--+故选：C
4．正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是O A B C ''''1cm （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8cm 6cm (2cm +(2cm +【答案】A
【分析】由三视图得原图形的形状，结构，得边长后可得周长． 【详解】作出原图形如下图所示：
由三视图知原图形是平行四边形，如图，，，
OABC 1cm OA O A ''==OB OA ⊥
，，
2OB O B ''==3cm AB ==所以平行四边形的周长是． OABC 8cm 故选：A ．
5．已知，，且与的夹角为，则 ）
1a = 2b = a b π
6
a -
A
B ．
C D
【答案】A
【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得.
a - 【详解】因为，，且与的夹角为，
1a = 2b = a b π
6
由平面向量数量积的定义可得
πcos 126a b a b ⋅=⋅=⨯=
因此，a -== 故选：A.
6．函数的定义域是 22()lg(sin cos )f x x x =-A ． B ． 3|22,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭
5|22,44x k x k k Z ππππ⎧⎫
+<<+
∈⎨⎬⎩⎭C ．
D ． |,44x k x k k Z ππππ⎧⎫
-<<+∈⎨⎬⎩⎭
3|,44x k x k k Z ππππ⎧⎫
+<<+
∈⎨⎬⎩⎭
【答案】D
【详解】根据题意，由于， 22
3sin cos cos 202(2,2)2
2
x x x x k k π
π
ππ>⇔<⇔∈++
分析求解可知x 得取值范围是，故选D. 3{|,}4
4
x k x k k Z π
π
ππ+
<<+
∈点评：解决的关键是利用三角函数的函数值域来得到变量的取值范围，结合图像来得到，属于基础题．
7．设点P 为内一点，且，则（ ） ABC ∆220PA PB PC ++=
:ABP ABC S S ∆∆=A ．
B ．
C ．
D ．
15
25
1413
【答案】A
【分析】设AB 的中点是点D ，由题得，所以点P 是CD 上靠近点D 的五等分点，即
14PD PC =- 得解.
【详解】设AB 的中点是点D ，
∵，
122
PA PB PD PC +==- ∴，
14
PD PC =- ∴点P 是CD 上靠近点D 的五等分点，
∴的面积为的面积的.
ABP ∆ABC ∆1
5
故选：A
【点睛】本题主要考查向量的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
8．如图，某人在一条水平公路旁的山顶P 处测得小车在A 处的俯角为，该小车在公路上由东30 向西匀速行驶分钟后，到达B 处，此时测得俯角为．已知小车的速度是，且7.545 20km/h
，则此山的高（ ） cos AOB ∠=PO =
A ．
B
C D
1 km 【答案】A
【解析】由题意作图可得，，设，在，中 60APO ∠= 45BPO ∠= PO h =Rt POA △Rt POB A
求出，，在中，由余弦定理列方程即可求解.
AO =BO h =AOB A 【详解】
由题意可知：平面，，， PO ⊥AOB 903060APO ∠=-= 904545BPO ∠=-= ， 7.5
20 2.560
AB =⨯
=km
设，在中，，，所以，
PO h =POA A tan AO APO PO
∠=tan 60AO h =
AO =在中，，，所以， POB A tan BO BPO PO ∠=
tan 45BO h
=
BO h =在中，由余弦定理可得：， AOB A 2222cos AB AO BO AO A BO OB =∠+-⨯
所以，即，解得：， )
2
2
22.5h h =
+-⨯⎛ ⎝⨯22525
44h =1h =所以山的高，
1PO =
故选：A.
二、多选题
9．已知函数，则（ ） ()sin cos f x x x =+
A ． ()f x
B ．的最小正周期为
()f x πC ．是偶函数
4
f x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭
D ．将图象上所有点向左平移个单位，得到的图象
()y f x =2
π()sin cos g x x x =-【答案】AC
【分析】先将原式整理，得到，进而可得最大值，判定A 正确；得出最小正
()4f x x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭周期，判定B 错；根据函数奇偶性，判定C 正确；根据函数图象平移原则，判定D 错.
【详解】，
()sin cos 4f x x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭
因为，所以，因此，则，故A 正确；
x R ∈4x R π
+
∈[]sin 1,14x π⎛
⎫+∈- ⎪⎝
⎭()max f x =最小正周期为，故B 错；
2T π=
，所以
是偶函数，即C 正确；
42f x x x ππ⎛⎫⎛
⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭4f x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭将图象上所有点向左平移个单位，得到，故D
()y f x =2π
sin cos cos sin 22y x x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=+++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭错误. 故选：AC.
【点睛】本题主要考查求三角函数的最值，最小正周期，判定三角函数的奇偶性，求平移后的解析式，属于常考题型.
10．下列关于平面向量的说法中不正确的是（ ） A ．，,若,则
9,2a k ⎛⎫= ⎪⎝⎭
(),8b k = //a b r r
6k =B ．单位向量，，则 ()1,0i =
()0,1f = 345i f -= C ．若且，则
a c
b
c ⋅=⋅ 0c ≠ a b =
D ．若点为的重心，则
G ABC A 0GA GB GC ++=
【答案】AC
【解析】利用向量共线的坐标表示即可判断A ，将展开后结合
()
2
23434i f i f -=- 即可判断B ，向量数量积不满足消去律，可判断选项C ，根据向量的线性运算及1,1,0i j i j ==⋅=
三角形重心的性质可判断选项D.
【详解】对于选项A ：因为，则，解得：，故选项A 不正确；
//a b r r 2
982
k ⨯=6k =±对于选项B ：，所以
()
2222343491624916025i f i f i j i j -=-=+-⋅=+-=
，故选项B 正确；
345i f -=
对于选项C ：根据向量的几何意义可知若且，则不一定成立，故选项C 不正
a c
b
c ⋅=⋅ 0c ≠ a b =
确；
对于选项D ：若点为的重心，取的中点，则 G ABC A AB O GA GB GC ++
，故选项D 正确，
20GO GC =+=
故选：AC
11．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的有S ABCD -ABCD SD ⊥ABCD （ ）
A ． AC S
B ⊥B ．平面
//AB SCD C ．与平面所成角是
SA ABCD SAD ∠D ．与所成的角等于与所成的角 AB BC DC SC 【答案】ABC
【分析】利用线面垂直的性质可判断A 选项；利用线面平行的判定定理可判断B 选项；利用线面角的定义可判断C 选项；利用线线角的定义可判断D 选项. 【详解】对于A 选项，因为四边形为正方形，则， ABCD AC BD ⊥因为平面，平面，所以，， SD ⊥ABCD AC ⊂ABCD AC SD ⊥因为，、平面，所以，平面， SD BD D = SD BD ⊂SBD AC ⊥SBD 因为平面，所以，，A 对；
SB ⊂SBD AC SB ⊥对于B 选项，因为四边形为正方形，则，
ABCD //AB CD
又因为平面，平面，所以，平面，B 对；
AB ⊄SCD CD ⊂SCD //AB SCD 对于C 选项，因为平面，所以，与平面所成角是，C 对； SD ⊥ABCD SA ABCD SAD ∠对于D 选项，因为，平面，平面， AB BC ⊥SD ⊥ABCD CD ⊂ABCD 所以，，所以，为锐角，
SD CD ⊥SCD ∠所以，与所成的角为直角，与所成的角为锐角， AB BC DC SC 故与所成的角不等于与所成的角，D 错. AB BC DC SC 故选：ABC.
12．如图，△ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的三条边长分别是a ，b ，c ，∠ABC 为钝角，BD ⊥AB ，
，c =2，则下列结论正确的有（ ） 7225cos ABC ∠=-
b
A ．
B ．BD =2
sin A =
C ．
D ．△CBD 的面积为
53CD DA =
4
5
【答案】AC
【解析】由已知利用二倍角的余弦函数公式可求的值，利用余弦定理求得的值，再计cos ABC ∠c 算，由同角的三角函数关系求出，根据直角三角形边角关系求出，，的值，sin A cos A AD BD CD 再计算的面积从而得解． BCD ∆【详解】解：由，得：，
7cos 225
ABC ∠=-2
72cos 125ABC ∠-=-又角为钝角， ABC ∠解得：，
3
cos 5
ABC ∠=-由余弦定理，得：
， 2222cos c a c ac ABC =+-∠2643
44()55
a a =+--解得，可知为等腰三角形，即， 2a =ABC ∆A C =所以，
()2
3cos cos 212sin 5
ABC A A ∠=-=--=-
解得正确， sin A =
A
可得 cos A =
在中，
，得，故错误，
Rt ABD ∆cos c
A AD
=AD =1BD ===B
，可得，可得，故正确， CD b AD =-=35CD DA == 53CD DA = C
所以的面积为，故错误． BCD ∆113
sin 2225
BCD S a CD C ∆=⨯=⨯=D 故选：AC ．
【点睛】利用正弦、余弦定理解三角形，利用求三角形的面积． 1
sin 2
BCD S a CD C ∆=
⨯⨯
三、填空题
13．如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图，图中的四条线段､､和在原正方AB CD EF GH 体中相互异面的有___________对
【答案】3
【分析】还原正方体，标记出各点所处的位置，观察图象可得结果.
【详解】如图，将各点在原图中标记出来，观察发现，在、、和四条线中， AB CD EF GH 相互异面的只有3对：和、和、和.
EF GH AB CD GH AB
故答案为：3.
14．如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与1111ABCD A B C D -M N CD 1CC 1A M 所成角的大小是____________．
DN
【答案】
2
π【详解】试题分析：分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，
1,,DA DC DD ,,x y z 2DA =则，
()()()112,0,2,0,1,0,2,1,2A M A M =--
()()()()1112,1,20,2,10,2,1,0,2,1cos ,0A M DN N DN AM DN A M DN A M DN --⋅=∴〈〉===
，即异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是
1A M DN ⊥ 2
π
【解析】异面直线所成的角
15．化简
______．
)
cos1012sin 20-⋅=
【答案】
1-【分析】利用切化弦结合辅助角公式可求得所求代数式的值
.
【详解】原式. ()2sin 1030cos102sin 2012sin 202sin 202sin 20
-===-=- 故答案为：.
1-16．已知内角，，所对的边分别为，，，线段上的点满足，
ABC A A B C a b c BC D AD CD =，，，则______． 12
tan 5B =
14c =13BD =tan C =【答案】
47
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，由余弦定理求得的值，进cos ,sin B B AD 而可求得的值，在中，由余弦定理可得，再由正弦定理可得的值，进而根据同角,a c ABC A b sin C 三角函数基本关系式，即可求解.
【详解】在中，，
ABD △14,13AB BD ==
因为，为锐角，所以， 12
tan 05B =
>B 512cos ,sin 1213
B B ==由余弦定理得，
2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅可得，可得， 222
5
14132141322513
AD =+-⨯⋅⨯
=15AD =又由,
28,14AD CD c AB ====
在中，由余弦定理可得， ABC A b ==
在中，由正弦定理可得，可得 ABC A sin sin b c
B C =sin sin c B C b ==又，可得，所以，可得，
c b <C B ∠<∠(0,)2
C π
∈cos 0C >
可得， sin 4cos tan cos 7C C C C ==
==故答案为：
. 4
7
四、解答题
17．如图，四边形OADB 是以向量，为边的平行四边形，且OD ，AB 相交于C 点，
OA a = OB b =
又，，试用，表示，，．
13BM BC = 13
CN CD = a b
OM ON MN
【答案】，，.
1566OM a b =+u u u r r r 2233ON a b =+ 1126
MN a b =-
【分析】根据题意，由平面向量基本定理，分别表示出，即可表示出.
,OM ON MN
【详解】因为，，所以，
13BM BC = BC CA =
()()
111666
BM BA OA OB a b ==-=- 所以，
()
115666
OM OB BM b a b a b =+=+-=+ 因为，，
13
CN CD = OC CD =
所以， ()
22223333
ON OC CN OD OA OB a b =+==+=+ 所以. 221511336626MN ON OM a b a b a b =-=+--=- 18．如图所示，为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M,N 分别为AB,PC 的中点，平面PAD P 平面PBC ＝. l
(1)求证：BC ∥；
l (2)MN 与平面PAD 是否平行？试证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】试题分析：证明线线平行的方法；1，向量法，2.垂直于同一平面的两条直线平行，3平行于同一直线的两条直线平行，4一个平面与另外两个平行平面相交,那么两条交线也平行．线面平行，1平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行，2若一条直线与一个平面同时平行于另一个平面且这条直线不属于这个平面，则这条直线与这个平面平行，3若一条直线与两平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面平行，4，最好用的还是向量法． 试题解析：(1)证明 因为BC ∥AD ，AD ⊂平面PAD ，
BC ⊄平面PAD ，所以BC ∥平面PAD.
又平面PAD∩平面PBC ＝l ，BC ⊂平面PBC ，所以BC ∥l.
(2)解 MN ∥平面PAD.证明如下：
如图所示，取PD 中点E ，连结AE ，EN.
又∵N 为PC 的中点，∴ //12EN CD =
又∵ //12AM CD =
∴
//AM EN =即四边形AMNE 为平行四边形．
∴AE ∥MN ，又MN ⊄平面PAD ，AE ⊂平面PAD
.∴MN ∥平面PAD.
【解析】线面平行的性质定理及判断定理
19．已知函数. 2()2sin sin sin cos 23f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
（1）求的最小正周期；
()f x （2）当时，若，求的值.
[0,]απ∈()1f α=α【答案】（1）；（2）或. π4π
1112
π【分析】（1）先将函数解析式化简整理，得到，即可求出最小正周期； 2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭（2）先由，得到，再由，即可确定结果. [0,]απ∈72333πππα≤+≤1sin 232πα⎛⎫+= ⎪⎝
⎭
【详解】（1） 211()2cos sin sin 222f x x x x x x ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭
2211sin 2sin 222
x x x x =++
sin 222sin 23x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝
⎭所以最小正周期为
π（3）因为，所以， 0απ≤≤72333
π
π
πα≤+≤又因为，即， ()1f α=1sin 232πα⎛⎫+= ⎪⎝
⎭所以或，则或. 5236ππα+=136π4
πα=1112π【点睛】本题主要考查求三角函数的最小正周期，以及由三角函数值求角的问题，熟记三角函数的图像和性质即可，属于常考题型.
20．设复数（其中，），，（其中）．
i z b a =+a b ∈R 1i z z k =+2i z z k =⋅R k ∈（1）设，若，求出实数的值； 12
a b ==12=z z k （2）若复数满足条件：存在实数，使得与是某个实系数一元二次方程的两个虚数根，求符z k 1z 2z 合条件的复数的模的取值范围．
z 【答案】（1）；（2）.
1-()0,1【分析】(1)用k 表示出复数，再根据给定条件列式计算即可；
12,z z (2)利用实系数一元二次方程的两个虚根的关系列式分类讨论即可求解.
【详解】（1），， 11i 22z =
+11111i i i 2222z k k ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭21111i i 222
2z k i k k ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭
因，则，解得， 12=z z =22221111()()()()2222k k k ++=+1k =-所以实数的值为；
k 1-(2)，，
()1i z a b k =++2i z bk ak =+
因与是某个实系数一元二次方程的两个虚数根，则，互为共轭复数，即， 1z 2z 1z 2z a bk b k ak =⎧⎨+=-⎩
若时，则有，此时，为零，不合题意，
0b =0a k ==1z 2z 若时，则，，整理得，由，得 0b ≠a k b =
a a
b a b b +=-⋅22b a a =--20b >()1,0a ∈-而，即，，
222z a b a =+=-20||1z <<0||1z <<所以复数的模的取值范围是.
z ()0,121．如图，四棱锥中，平面，底面是边长为的正方形，，P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD 1PA AD =为的中点，为的中点．
E PA
F PD
(1)求证：平面；
AF ⊥PDC (2)求异面直线与所成角的余弦值．
BE PD 【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）证明出平面，可得出，利用等腰三角形三线合一的性质可得出CD ⊥PAD AF CD ⊥，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； AF PD ⊥（2）取的中点，连接、，分析可知异面直线与所成角为或其补角，计AD G EG BG BE PD BEG ∠算出三边边长，即可求得的余弦值，即为所求.
BEG A BEG ∠【详解】（1）证明：因为四边形为正方形，则，
ABCD CD AD ⊥因为平面，平面，所以，，
PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD CD PA ⊥因为，、平面，所以，平面，
PA AD A ⋂=PA AD ⊂PAD CD ⊥PAD 因为平面，所以，，
AF ⊂PAD AF CD ⊥因为，为的中点，所以，，
PA AD =F PD AF PD ⊥因为，、平面，所以，平面.
CD PD D = CD PD ⊂PCD AF ⊥PCD （2）解：取的中点，连接、，
AD G EG BG
因为、分别为、的中点，所以，且， E G PA AD //EG PD 12
EG PD =
所以，异面直线与所成角为或其补角， BE PD BEG ∠因为，四边形是边长为的正方形，且平面，
1PA AD ==ABCD 1PA ⊥ABCD 且平面，所以，，则
， AD ⊂ABCD PA AD
⊥PD =
=12
EG PD ==因为，同理可得
， BG
===BE =取
的中点，连接，则，故
EG H BH BH EG ⊥1
2cos EG EH BEG BE BG ∠===因此，异面直线与BE PD 22．在中，设角的对边分别为，已知. ABC ∆,,A B C ,,a b c 222cos sin cos sin
sin A B C A B =++（1）求角的大小；
C （2）若求
周长的取值范围
. c =ABC ∆【答案】（1）；（2） 23π(
2【分析】（1）由三角函数的平方关系及余弦定理即可得出（2）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性转化为三角函数求值域即可得出.
【详解】（1）由题意知，
2221sin sin 1sin sin sin A B C A B -=+-+即，
222sin sin sin sin sin A B C A B +-=-由正弦定理得
222a b c ab +-=-由余弦定理得， 2221cos 222
a b c ab C ab ab +--===-又
. 20,3
C C ππ<<∴= （2）， 2,2sin ,2sin sin sin sin a b c a A b B A B C ====∴== 则的周长
ABC ∆
()2sin sin 2sin sin 2sin 33L a b c A B A A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦
， 20,,sin 133333A A A π
π
π
ππ⎛⎫<<∴<+<<+≤ ⎪⎝⎭
2sin 23A π⎛⎫∴<+≤+ ⎪⎝
⎭
周长的取值范围是.
ABC ∴∆(
2【点睛】本题主要考查了三角函数的平方关系，正余弦定理，两角和差的正弦公式，三角函数的单调性，属于中档题.。