七年级上册宜兴市丰义中学数学期末试卷综合测试(Word版 含答案)

七年级上册宜兴市丰义中学数学期末试卷综合测试（Word版含答
案）
一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选（难）
1．如图，数轴上点 A、B 到表示-2 的点的距离都为 6，P 为线段 AB 上任一点，C，D 两点分别从 P，B 同时向 A 点移动，且 C 点运动速度为每秒 2 个单位长度，D 点运动速度为每秒 3 个单位长度，运动时间为 t 秒.
（1）A 点表示数为________，B 点表示的数为________，AB=________.
（2）若 P 点表示的数是 0，
①运动 1 秒后，求 CD 的长度；
②当 D 在 BP 上运动时，求线段 AC、CD 之间的数量关系式.
（3）若 t=2 秒时，CD=1，请直接写出 P 点表示的数.
【答案】（1）-8；4；12
（2）解：①运动一秒后，C点为-2，D点为1，所以CD=3；
②当点D在BP上运动时， ,此时C在线段AP上，AC=8-2t，
CD=2t+4-3t=4-t，所以AC=2CD
（3）解：若 t=2秒时，D点为-2，若 CD=1，则 C=-3 或-1，
①当 C=-3 时，CP=4，此时 P=1；
②当 C=-1 时，P=3.
【解析】【解答】解：⑴
故答案为：-8;4;12；
【分析】（1）由已知数轴上点 A、B 到表示-2 的点的距离都为 6 ，且点A在点B的左边，就可求出点A和点B表示的数，再利用两点间的距离公式求出AB的长。

（2）①由点A、B表示的数及点C、D的运动速度和方向，可得出运动1秒后点C、D分别表示的数，再求出CD的长；②当点D在BP上时，根据t的取值范围，分别用含t的代数式表示出AC、CD的长，就可得出AC、CD的数量关系。

（3）根据t的值及CD的长，就可得出点C表示的数，从而就可求出点P所表示的数。

2．已知：O是直线AB上的一点，是直角，OE平分．
（1）如图1．若．求的度数；
（2）在图1中，，直接写出的度数（用含a的代数式表示）；
（3）
将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，探究和的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由．
【答案】（1）解：∵是直角，，
，
，
∵OE平分，
，
．
（2）解：是直角，，
，
，
∵OE平分，
，
（3）解：，
理由是：，OE平分，
，
，
，
，
即
【解析】【分析】（1）根据平角的定义得出∠BOD，∠COB的度数，根据角平分线的定义
得出∠BOE=∠BOC=75°，根据角的和差，由∠DOE=∠BOE−∠BOD即可算出答案；
（2）根据平角的定义得出∠BOD90°−a ，∠COB180°−a ，根据角平分线的定义得出
∠BOE=∠BOC=90°−a，根据角的和差，由∠DOE=∠BOE−∠BOD即可算出答案；
（3）∠AOC=2∠DOE ，根据平角的定义得出∠BOC=180°−∠AOC，根据角平分线的定义得
出∠BOE=∠BOC=90°−∠AOC ，根据角的和差得出∠BOD=90°−∠BOC=90°−(180°−∠AOC)=∠AOC−90° ，∠DOE=∠BOD+∠BOE，再整体替换即可得出答案。

3．如图，O是直线AB上一点，OD平分∠AOC．
（1）若∠AOC=60°，请求出∠AOD和∠BOC的度数.
（2）若∠AOD和∠DOE互余，且∠AOD= ∠AOE，请求出∠AOD和∠COE的度数．
【答案】（1）解：∠AOD= ×∠AOC= ×60°=30°，∠BOC=180°﹣∠AOC=180°﹣60°=120°（2）解：∵∠AOD和∠DOE互余，
∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=90°，
∴∠AOD= ∠AOE= ×90°=30°，
∴∠AOC=2∠AOD=60°，
∴∠COE=90°﹣∠AOC=30°
【解析】【分析】（1）①由角平分线的定义可得：∠AOD=∠COD= ∠AOC即可求解；
②由邻补角的定义可得：∠BOC+∠AOC= 180°，所以∠BOC= 180° -∠AOC即可求解；
（2）①由互为余角的定义和图形可得∠AOE=∠AOD+∠DOE= 90°，所以∠AOD= ∠AOE 可求解；②由①可得∠AOD的度数，由角平分线的定义可得∠AOC=2∠AOD，所以∠COE=∠AOE-∠AOC，把∠AOE和∠AOC的度数代入计算即可求解。

4．如图，在数轴上有两点A、B，点A表示的数是8，点B在点A的左侧，且AB=14，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）写出数轴上点B表示的数：________ ；点P表示的数用含t的代数式表示为________ ．
（2）动点Q从点B出发沿数轴向左匀速运动，速度是点P速度的一半，动点P、Q同时出发，问点P运动多少秒后与点Q的距离为2个单位？
（3）若点M为线段AP的中点，点N为线段BP的中点，在点P的运动过程中，线段MN 的长度是否会发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段MN的长．
【答案】（1）点B表示的数－6；点P表示的数8－4t
（2）解：设点P运动x秒时，点P与点Q的距离是2个单位长度，则AP=4x，BQ=2x，
如图1时，AP+2=14+BQ，即4x+2=14+2x，解得：x=6，
如图2时，AP=14+BQ+2，即4x=14+2x+2，解得：x=8，
综上，当点P运动6秒或8秒后与点Q的距离为2个单位
（3）解：线段MN的长度不发生变化，都等于7；理由如下：
∵①当点P在点A、B两点之间运动时：
MN=MP+NP= AP+ BP= （AP+BP）= AB= ×14=7，
②当点P运动到点B的左侧时：
MN=MP-NP= AP- BP= （AP-BP）= AB=7，
∴线段MN的长度不发生变化，其值为7．
【解析】【解答】解：（1）∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=14，
∴点B表示的数是8-14=-6，
∵动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t （t＞0）秒，
∴点P表示的数是8-4t．
故答案为：-6，8-4t；
【分析】（1）根据题意由点A表示的数为8，B在A点左边，AB=14，得到点B表示的数，求出动点P表示的数的代数式；（2）由点P与点Q的距离是2个单位长度，得到AP+2=14+BQ和AP=14+BQ+2，求出点P运的时间；（3）当点P在点A、B两点之间运动时，MN=MP+NP，再由中点定义求出MN的值，当点P运动到点B的左侧时，MN=MP-NP，再由中点定义求出MN的值.
5．（探究）如图①，∠AFH和∠CHF的平分线交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别
与AB、CD交于点E、G．
（1）若∠AFH＝60°，∠CHF＝50°，求∠EOF与∠FOH的度数．
（2）若∠AFH+∠CHF＝100°，求∠FOH的度数．
（3）如图②，∠AFH和∠CHI的平分线交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与AB、CD交于点E、G．若∠AFH+∠CHF＝α，直接写出∠FOH的度数．(用含a的代数式表示) 【答案】（1）解：∵∠AFH＝60°，OF平分∠AFH，
∴∠OFH＝30°，
又∵EG∥FH，
∴∠EOF＝∠OFH＝30°（两直线平行内错角相等）；
∵∠CHF＝50°，OH平分∠CHF，
∴∠FHO＝25°，
∴△FOH中，∠FOH＝180°﹣∠OFH﹣∠OHF＝125°（三角形的内角和定理）；
故答案为：30，125；
（2）解：∵FO平分∠AFH，HO平分∠CHF，
∴∠OFH＝∠AFH，∠OHF＝∠CHF．
∵∠AFH+∠CHF＝100°，
∴∠OFH+∠OHF＝（∠AFH+∠CHF）＝ ×100°＝50°．
∵EG∥FH，
∴∠EOF＝∠OFH，∠GOH＝∠OHF（两直线平行内错角相等）.
∴∠EOF+∠GOH＝∠OFH+∠OHF＝50°．
∵∠EOF+∠GOH+∠FOH＝180°（三角形的内角和定理），
∴∠FOH＝180°﹣（∠EOF+∠GOH）＝180°﹣50°＝130°．
（3）解：∵∠AFH和∠CHI的平分线交于点O，
∴∠OFH＝∠AFH，∠OHI＝∠CHI，
∴∠FOH＝∠OHI﹣∠OFH
＝（∠CHI﹣∠AFH）
＝（180°﹣∠CHF﹣∠AFH）
＝（180°﹣α）
＝90°﹣α．
【解析】【分析】（1）先根据角平分线的定义求出∠OFH ，∠FHO的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠FOH的度数；（2）先根据角平分线的定义求出∠OFH+∠FHO的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠FOH的度数；（3）先根据角平分线的定义求出
∠OFH＝∠AFH，∠OHI＝∠CHI＝（180°-∠CHF），再根据两直线平行内错角相等得∠FOH＝∠OHI﹣∠OFH即可。

6．
如图1，在四边形ABCD中，点E为AB延长线上一点，连接并延长交AD延长线于点，， .
（1）求证：；
（2）如图2，连接交于点，连接，若为的角平分线，为
的角平分线，过点作交于点，求证：；（3）在（2）的条件下，若，，求的度数.
【答案】（1）证明：
，
，
，
，
，
；
（2）证明：过点作
为的角平分线，为的角平分线
，
设
由（1）问可知，，，
，，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：由（2）得，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
过点作
，
【解析】【分析】（1）先根据平行线的判定证明AF∥BC，可得∠FDC=∠DCB，由已知可得∠CBE=∠DCB，由平行线的判定可得结论；（2）先根据垂直得∠HBC=90°=∠CBE+∠ABH，设，则∠ABH ，由平行线和角平分线的定义可推出，；
，即可得结论；（3）根据第（2）的结论
，可得，由三角形的内角和得
，根据已知可得，
过点作，由平行线的性质及已知条件可得∠BFE=30°．
7．如图（1），将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起．
（1）试判断∠ACE与∠BCD的大小关系，并说明理由；
（2）若∠DCE=30°，求∠ACB的度数；
（3）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；
（4）若改变其中一个三角板的位置，如图（2），则第（3）小题的结论还成立吗？（不需说明理由）
【答案】（1）解：∠ACE=∠BCD，理由如下：
∵∠ACD=∠BCE=90°，∠ACE+∠ECD=∠ECB+∠ECD=90°，
∴∠ACE=∠BCD
（2）解：若∠DCE=30°，∠ACD=90°，
∴∠ACE=∠ACD﹣∠DCE=90°﹣30°=60°，
∵∠BCE=90°且∠ACB=∠ACE+∠BCE，
∠ACB=90°+60°=150°
（3）解：猜想∠ACB+∠DCE=180°．理由如下：
∵∠ACD=90°=∠ECB，∠ACD+∠ECB+∠ACB+∠DCE=360°，
∴∠ECD+∠ACB=360°﹣（∠ACD+∠ECB）=360°﹣180°=180°
（4）解：成立
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等即可求证；
（2）根据余角的定义可先求得∠ACE=∠ACD-∠DCE，再由图可得∠ACB=∠ACE+∠BCE，把∠ACE和∠BCE 的度数代入计算即可求解；
（3）由图知，∠ACB=∠ACD+∠BCE-∠ECD，则∠ACB+∠ECD=∠ACD+∠BCE，把∠ACD和∠BCE的度数代入计算即可求解；
（4）根据重叠的部分实质是两个角的重叠可得。

8．如图，直线m与直线n互相垂直，垂足为O,A、B两点同时从点O出发，点A沿直线m向左运动，点B沿直线n向上运动.
（1）若∠BAO和∠ABO的平分线相交于点P，在点A、B的运动过程中，∠APB的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；
（2）若△ABO的两个外角的平分线AQ、BQ相交于点Q，AP的延长线交QB的延长线于点C，在点A、B的运动过程中，∠Q和∠C的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出∠Q和∠C的度数；若发生变化，请说明理由.
【答案】（1）解：不变化.理由：∵AP和BP分别是∠BAO和∠ABO的平分线，∠AOB=90°，∴∠APB=180°（∠OAB+∠ABO）=180° ×90°=135°
（2）解：都不变.
理由：∵AQ和BQ分别是∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线，AP和BP分别是∠BAO和∠ABO的平分线，
∴∠CAQ=∠QBP=90°，又∠APB=135°，
∴∠Q=45°，∴∠C=45°
【解析】【分析】根据角平分线定义和三角形内角和定理得到∠APB=180° −（∠OAB+∠ABO）；根据邻补角的平分线互相垂直，得到∠CAQ=∠QBP=90°，由∠APB的度数，求出∠Q和∠C的度数.
9．已知如图，∠COD=90°，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE与射线AF交于点G.
（1）若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA=42°，则∠OGA=________；
（2）若∠GOA= ∠BOA，∠GAD= ∠BAD，∠OBA=42°，则∠OGA=________；
（3）将（2）中的“∠OBA=42°”改为“∠OBA= ”，其它条件不变，求∠OGA的度数.（用含的代数式表示）
（4）若OE将∠BOA分成1︰2两部分，AF平分∠BAD，∠ABO= （30°< α <90°），求∠OGA的度数.（用含的代数式表示）
【答案】（1）21°
（2）14°
（3）解：∵∠BOA=90°，∠OBA=α，
∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=90°+α，
∵∠BOA=90°，∠GOA= ∠BOA,∠GAD= ∠BAD
∴∠GAD=30°+ α，∠EOA=30°，
∴∠OGA=∠GAD−∠EOA= α.
（4）解：当∠EOD:∠COE=1:2时，
∴∠EOD=30°，
∵∠BAD=∠ABO+∠BOA=α+90°，
∵AF平分∠BAD，
∴∠FAD= ∠BAD，
∵∠FAD=∠EOD+∠OGA，
∴2×30°+2∠OGA=α+90°，
∴∠OGA= α+15°；
当∠EOD:∠COE=2:1时,则∠EOD=60°，
同理得到∠OGA= α−15°，
即∠OGA的度数为α+15°或α−15°.
【解析】解：(1)∵∠BOA=90°,∠OBA=42°，
∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=132°，
∵AF平分∠BAD,OE平分∠BOA,∠BOA=90°，
∴∠GAD= ∠BAD=66°，∠EOA= ∠BOA=45°，
∴∠OGA=∠GAD−∠EOA=66°−45°=21°；
故答案为21°；
⑵∵∠BOA=90°,∠OBA=42°，
∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=132°，
∵∠BOA=90°,∠GOA= ∠BOA,∠GAD= ∠BAD,
∴∠GAD=44°，∠EOA=30°，
∴∠OGA=∠GAD−∠EOA=44°−30°=14°；
故答案为14°；
【分析】（1）根据三角形外角的性质求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，根据三角形外角性质求出即可；
（2）根据三角形外角的性质求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，根据三角形外角性质求出即可；
（3）根据三角形外角的性质求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，根据三角形外角性质求出即可；
（4）讨论：当∠EOD：∠COE=1：2时，利用∠BAD=∠ABO+∠BOA=α+90°，∠FAD=∠EOD+∠OGA得到2×30°+2∠OGA=α+90°，
则∠OGA= α+15°；当∠EOD：∠COE=2：1时，则∠EOD=60°，同理得∠OGA= α-15°.
10．如图，点C在∠AOB的边OA上，过点C的直线DE∥OB，CF平分∠ACD，CG⊥CF 于C.
（1）若∠O＝40°，求∠ECF的度数；
（2）试说明CG平分∠OCD；
（3）当∠O为多少度时，CD平分∠OCF？并说明理由．
【答案】（1）解：∵DE//OB ，∴∠O=∠ACE，（两直线平行，同位角相等）
∵∠O =40°，
∴∠ACE =40°，∵∠ACD+∠ACE= (平角定义)∴∠ACD=
又∵CF平分∠ACD ，
∴ (角平分线定义)
∴∠ECF=
（2）证明：∵CG⊥CF，
∴ .
∴
又∵）
∴
∵
∴ (等角的余角相等）
即CG平分∠OCD
（3）解：结论：当∠O=60°时，CD平分∠OCF ．
当∠O=60°时
∵DE//OB，
∴∠DCO=∠O=60°.
∴∠ACD=120°.
又∵CF平分∠ACD
∴∠DCF=60°，
∴
即CD平分∠OCF
【解析】【分析】（1）根据平行线“两直线平行，同位角相等”，求得∠ACE＝40°，根据平角的定义以及CF平分∠ACD ，可得到∠ACF＝70°，然后求出∠ECF的度数；
（2）根据∠DCG＋∠DCF＝90°，∠GCO＋∠FCA＝90°，以及∠ACF＝∠DCF，可得到∠GCO ＝∠GCD，即可证明CG平分∠OCD；
（3）根据两直线平行，内错角相等得出∠DCO＝∠O＝60°，根据角平分线可得到∠DCF＝60°，以此可得∠DCO＝∠DCF，即CD平分∠OCF．
11．如图，点C在线段AB上，AC=8 cm，CB=6 cm，点M、N分别是AC、BC的中点．
（1）求线段MN的长；
（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB=a cm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由；
（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC=bcm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由；
（4）你能用一句简洁的话，描述你发现的结论吗？
【答案】（1）MN=MC+NC= AC+ BC= （AC+BC）= ×（8+6）= ×14=7
（2）MN=MC+NC= （AC+BC）= a
（3）MN=MC-NC= AC- BC= (AC-BC)= b
（4）如图，只要满足点C在线段AB所在直线上，点M、N分别是AC、BC的中点．那么MN就等于AB的一半．
【解析】【分析】（1）根据M、N分别是AC、BC的中点，我们可得出MC、NC分别是AC、BC的一半，那么MC、CN的和就应该是AC、BC和的一半，也就是说MN是AB的一半，有了AC、CB的值，那么就有了AB的值，也就能求出MN的值了；（2）方法同（1）只不过AC、BC的值换成了AC+CB=a cm，其他步骤是一样的；（3）当C在线段AB的延长
线上时，根据M、N分别是AC、BC的中点，我们可得出MC、NC分别是AC、BC的一半．于是，MC、NC的差就应该是AC、BC的差的一半，也就是说MN是AC-BC即AB的一半．有AC-BC的值，MN也就能求出来了；（4）综合上面我们可发现，无论C在线段AB 的什么位置（包括延长线），无论AC、BC的值是多少，MN都恒等于AB的一半．
12．如图，∠AOB＝40°，点C在OA上，点P为OB上一动点，∠CPB的角平分线PD交射线OA于D。

设∠OCP的度数为x°，∠CDP的度数为y°。

小明对x与y之间满足的等量关系进行了探究，
下面是小明的探究过程，请补充完整；
（1）x的取值范围是________；
（2）按照下表中x的值进行取点、画图、计算，分别得到了y与x的几组对应值，补全表格；
（3）在平面直角坐标系xOy中，
①描出表中各组数值所对应的点(x，y)；
②描出当x＝120°时，y的值；
（4）若∠AOB＝ °，题目中的其它条件不变，用含、x的代数式表示y为________。

【答案】（1）40°<x<140°
（2）解：∵∠DPB=∠AOB+∠CDP=40°+ y°，∠DPB= （40°+ x°），∴40°+ y°= （40°+ x°），即y= x-20,
x=60时，y= x-20= ×60-20=10，
x=70时，y= x-20= ×70-20=15，
x=80时，y= x-20= ×80-20=20，
x=90时，y= x-20= ×90-20=25，
补全表格如下：
；（3）解：①②如图：
x=120时，y= x-20= ×120-20=40；
（4）y= （x-a）
【解析】【解答】解：（1）∵∠CPB是△COP的外角，
∴∠CPB=40°+ x°，∠CPB一定小于180°，
即40°+ x°<180°，x<140°，
∵PD平分∠CPB，
∴∠DPB= ∠CPB = （40°+ x°），
∵当∠DPB=40°时，DP∥OA，即∠CPB的角平分线与OA无交点，所以∠DPB一定大于
40°，即（40°+ x°）>40°，解得x>40°，
∴x的取值范围是40°<x<140°；（4）∵∠DPB=∠AOB+∠CDP，∠AOB＝ °，∠CDP的度数为y°，
∴∠DPB= °+ y°，
∵∠CPB=∠AOB+∠OCP，∠AOB＝ °，∠OCP的度数为x°，
∴∠CPB= °+ x°，
∵PD平分∠CPB，
∴∠DPB= ∠CPB= （ °+ x°），
∴ °+ y°= （ °+ x°），即y= （x-a）.
【分析】（1）根据角平分线和三角形外角的性质，可得∠CPB=40°+ x°，∠DPB= （40°+ x°），当∠DPB=40°时，DP∥OA，即∠CPB的角平分线与OA无交点，所以∠DPB一定大于40°，且∠CPB是△COP的外角，一定小于180°，即可得出x的取值范围；
（2）根据角平分线和三角形外角的性质列出y与x的关系式，分别计算求值即可；
（3）在平面直角坐标系xOy中描出各点即可；
（4）根据角平分线和三角形外角的性质即可求解.
13．如图，四边形ABCD的内角∠DCB与外角∠ABE的平分线相交于点F.
（1）若BF∥CD，∠ABC=80°，求∠DCB的度数；
（2）已知四边形ABCD中，∠A=105º，∠D=125º，求∠F的度数；
（3）猜想∠F、∠A、∠D之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）解：∵∠ABC=80°，
∴∠ABE=180°-∠ABC=100°，
∵BF平分∠ABE，
∴∠EBF= ∠ABE=50°，
∵BF∥CD
∴∠BCD=∠EBF=50°
（2）解：∵∠FBE是△EBC的外角，
∴∠F=∠EBF-∠ECF
∵BF平分∠ABE、CF平分∠BCD，
∴∠EBF= ∠ABE=，∠ECF= ∠BCD，
∵∠ABE=180°-∠ABC，
∴∠F= （180°-∠ABC）- ∠BCD= [180°-（∠ABC+∠BCD）]，
∵在四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°-∠A-∠D，
∴∠F= [180°-（360°-∠A-∠D）]，
∴∠F= （∠A+∠D-180°），
∵∠A=105º，∠D=125º，
∴∠F= （105º +125º -180°）=25°
（3）解：结论：∠F= （∠A+∠D-180°）
理由如下：∵∠FBE是△EBC的外角，
∴∠F=∠EBF-∠ECF
∵BF平分∠ABE、CF平分∠BCD，
∴∠EBF= ∠ABE=，∠ECF= ∠BCD，
∵∠ABE=180°-∠ABC，
∴∠F= （180°-∠ABC）- ∠BCD= [180°-（∠ABC+∠BCD）]，
∵在四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°-∠A-∠D，
∴∠F= [180°-（360°-∠A-∠D）]，
∴∠F= （∠A+∠D-180°）
【解析】【分析】（1）由角平分线的性质和邻补角的定义可得：∠FBE=∠FBA= ∠ABE=（180°-∠ABC）；由平行线的性质可得∠BCD=∠FBE可求解；
（2）由平行线的性质可得：∠ABC+∠A=180°；∠BCD+∠D=180°；由已知条件可得：∠ABC=180°-∠A；∠BCD=180°-∠D；由角平分线的性质和邻补角的定义可得：
∠FBE=∠FBA= ∠ABE=（180°-∠ABC）；∠BCF=∠BCD，由三角形外角的性质可得∠FBE=∠F+∠BCF，于是∠F=∠FBE-∠BCF，把求得的∠FBE和∠BCF的度数代入计算即可求解；
（3）结合（1）和（2）的结论可求解：∠F=（∠A+∠D-180°）。

14．如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD=α，∠BCD=β
（1）如图，若α+β=120°，求∠MBC+∠NDC的度数；
（2）如图，若BE与DF相交于点G，∠BGD=30°，请写出α、β所满足的等量关系式；（3）如图，若α=β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由.
【答案】（1）解：在四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，
∴∠ABC+∠ADC=360°-（α+β），
∵∠MBC+∠ABC=180°，∠NDC+∠ADC=180°
∴∠MBC+∠NDC=180°-∠ABC+180°-∠ADC=360°-（∠ABC+∠ADC）=360°-[360°-（α+β）]=α+β，
∵α+β=120°，
∴∠MBC+∠NDC=120°
（2）解：β﹣α=60°
理由：如图1，连接BD，
由（1）得，∠MBC+∠NDC=α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBG= ∠MBC，∠CDG= ∠NDC，
∴∠CBG+∠CDG= ∠MBC+ ∠NDC= (∠MBC+∠NDC)= (α+β)，
在△BCD中，∠BDC+∠CDB=180°﹣∠BCD=180°﹣β，
在△BDG中，∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°，
∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°，
∴(∠CBG+∠CDG)+(∠BDC+∠CDB)+∠BGD=180°，
∴(α+β)+180°﹣β+30°=180°，
∴β﹣α=60°
（3）解：平行，
理由：如图2，延长BC交DF于H，
由（1）有，∠MBC+∠NDC=α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBE= ∠MBC，∠CDH= ∠NDC，
∴∠CBE+∠CDH= ∠MBC+ ∠NDC= (∠MBC+∠NDC)= (α+β)，
∵∠BCD=∠CDH+∠DHB，
∴∠CDH=∠BCD﹣∠DHB=β﹣∠DHB，
∴∠CBE+β﹣∠DHB= (α+β)，
∵α=β，
∴∠CBE+β﹣∠DHB= (β+β)=β，
∴∠CBE=∠DHB，
∴BE∥DF
【解析】【分析】（1）由四边形的内角和等于360°并结合已知条件可求得∠ABC+∠ADC 的度数；再根据邻补角的定义可得：∠MBC+∠NDC=180°-∠ABC+180°-∠ADC=360°-（∠ABC+∠ADC），代入计算即可求解；
（2）由（1）得，∠MBC+∠NDC=α+β，由角平分线的性质可得∠CBG=∠MBC，
∠CDG=∠NDC，所以∠CBG+∠CDG=（∠MBC+∠NDC）=（α+β），分别在三角形BCD 和三角形BDG中，根据三角形内角和定理可得：∠BDC+∠CDB=180°﹣∠BCD=180°﹣β，∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°，即∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°，分别把(∠CBG+∠CDG)、(∠BDC+∠CDB)、∠BGD代入计算即可求解；
（3）延长BC交DF于H，由（1）得，∠MBC+∠NDC=α+β，由角平分线的性质可得：
∠CBE=∠MBC，∠CDH=∠NDC，两式相加整理可得∠CBE+∠CDH=(α+β)；由三角形的外角的性质可得
∠BCD=∠CDH+∠DHB，所以∠CDH=β﹣∠DHB，则∠CBE+β﹣∠DHB=(α+β)，把α=β代入整理可得∠CBE=∠DHB，由内错角相等两直线平行可得BE∥DF。

15．
（1）（问题背景）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B＝∠C+∠D
（2）（简单应用）
如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC＝28°，∠ADC＝20°，求∠P的度数（可直接使用问题（1）中的结论）
（3）（问题探究）
如图3，直线BP平分∠ABC的外角∠FBC，DP平分∠ADC的外角∠ADE，若∠A＝30°，∠C ＝18°，则∠P的度数为________
（4）（拓展延伸）
在图4中，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为________（用x、y表示∠P）
（5）在图5中，BP平分∠ABC，DP平分∠ADC的外角∠ADE，猜想∠P与∠A、∠C的关系，直接写出结论________.
【答案】（1）解：如图1，
∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD=180°
∵∠AOB=∠COD
∴∠A+∠B=∠C+∠D
（2）解：∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD
∴∠BAP=∠PAD，∠BCP=∠PCD，
由（1）的结论得：∠BCP+∠P=∠BAP+∠ABC①，∠PAD+∠P=∠PCD+∠ADC②
①+②，得2∠P+∠PAD+∠BCP=∠BAP+∠ABC +∠PCD+∠ADC
∴∠P= (∠ABC+∠ADC)
∴∠ABC＝28°，∠ADC＝20°
∴∠P= (28°+20°)
∴∠P=24°
故答案为：24°
（3）24°
（4）∠P= x+ y
（5）∠P=
【解析】【解答】解：（3）∵如图3，直线BP平分∠ABC的外角∠FBC，DP平分∠ADC 的外角∠ADE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4
由（1）的结论得：∠C+180°-∠3=∠P+180°-∠1①，∠A+∠4=∠P+∠2②
①+②，得∠C+180°-∠3+∠A+∠4=∠P+180°-∠1+∠P+∠2
∴30°+18°=2∠P
∴∠P=24°
故答案为：24°
（ 4 ）由（1）的结论得：∠CAB+∠C=∠P+ ∠CDB①，∠CAB+∠P=∠B+ ∠CDB②
①×3，得∠CAB+3∠C=3∠P+ ∠CDB③
②-③，得∠P-3x=y-3∠P
∴∠P= x+ y
故答案为：∠P= x+ y
（ 5 ）如图5所示，延长AB交DP于点F
由（1）的结论得：∠A+2∠1=∠C+180°-2∠3
∵∠1=∠PBF=180°-∠BFP-∠P=180°-(∠A+∠3)-∠P
∴∠A+360°-2∠A-2∠3-2∠P=∠C+180°-2∠3
解得：∠P=
故答案为：∠P=
【分析】（1）根据三角形内角和为180°，对顶角相等，即可证得∠A+∠B=∠C+∠D（2）由（1）的结论得：∠BCP+∠P=∠BAP+∠ABC①，∠PAD+∠P=∠PCD+∠ADC②，将两个式子相加，已知AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，可得∠BAP=∠PAD，∠BCP=∠PCD，可证
得∠P= (∠ABC+∠ADC)，即可求出∠P度数.（3）已知直线BP平分∠ABC的外角∠FBC，DP平分∠ADC的外角∠ADE，可得∠1=∠2，∠3=∠4，由（1）的结论得：∠C+180°-∠3=∠P+180°-∠1，∠A+∠4=∠P+∠2，两式相加即可求出∠P的度数.（4）由（1）的结论
得：∠CAB+∠C=∠P+ ∠CDB，∠CAB+∠P=∠B+ ∠CDB，第一个式子乘以3，得到的式子减去第二个式子即可得出用x、y表示∠P（5）延长AB交DP于点F，标注出∠1，∠2，∠3，∠4，由（1）的结论得：∠A+2∠1=∠C+180°-2∠3，其中根据对顶角相等，三角形内角和，以及外角的性质即可得到∠1=∠PBF=180°-∠BFP-∠P=180°-(∠A+∠3)-∠P，代入∠A+2∠1=∠C+180°-2∠3，即可得出∠P与∠A、∠C的关系.。