小题练六 (时间45分钟 分值80分)

小题练六 (时间：45分钟 分值：80分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合A ＝{x |x 2＋4x ＜0}，B ＝{n |n ＝2k －1，k ∈Z }，则A ∩B ＝( ) A ．{－1，1} B ．{1，3} C ．{－3，－1} D ．{－3，－1，1，3} 【答案】C
【解析】由x 2＋4x <0，解得－4<x <0，所以A ＝{x |－4<x <0}．又因为B ＝{n |n ＝2k －1，k ∈Z }，所以A ∩B ＝{－3，－1}，故选C.
2．设m 是实数，复数z 1＝m ＋2i ，z 2＝3－4i.若z 1
z 2
∈R ，则m 的值为( )
A ．－83
B ．－32 C.83 D.32
【答案】B
【解析】∵z 1z 2＝m ＋2i 3－4i ＝（m ＋2i ）（3＋4i ）（3－4i ）（3＋4i ）＝3m －825＋4m ＋6
25
i ∈R ，
∴4m ＋625＝0，解得m ＝－32，故选B.
3．若1a <1
b <0，则下列结论不正确的是( )
A ．a 2<b 2
B ．ab <b 2
C ．a ＋b <0
D ．|a |＋|b |>|a ＋b | 【答案】D
【解析】由1a <1
b
<0，得b <a <0，则|a |＋|b |＝|a ＋b |，故选D.
4．在等差数列{a n }中，若前10项的和S 10＝60，a 7＝7，则a 4＝( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5 【答案】C
【解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪
⎧10a 1＋45d ＝60，a 1＋6d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝23，
所以a 4＝a 1＋3d ＝5，故选C.
5．若a ＝20.5，b ＝log π3，c ＝log 2sin 2π
5
，则( )
A ．a ＞b ＞c
B ．b ＞a ＞c
C ．c ＞a ＞b
D ．b ＞c ＞a 【答案】A
【解析】由指数函数与对函数的图象，可知a ＞1，0＜b ＜1，c ＜0，故选A.
6．已知函数f (x )＝x 2－ln|x |
x
，则函数y ＝f (x )的大致图象是( )
A.
B. C. D.
【答案】A
【解析】函数定义域为{x |x ≠0}，则由f (－x )＝x 2＋ln|x |
x
≠±f (x )知函数f (x )为非奇非偶函
数，排除B ，C 两项．当x ＞0时，对f (x )求导，可知其不是单调函数，排除D ，故选A.
7．若⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x 2n 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中1x 3的系数是( ) A ．7 B ．－7 C ．21 D ．－21 【答案】C
【解析】由题意，得2n ＝128，解得n ＝7，所以⎝
⎛⎭⎪⎫3x －13x 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －
13x 27
展开式的通项
公式为T r ＋1＝C 7r (3x )7－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 2r ＝(－1)r 37－r C 7r x 7－53r .令7－53r ＝－3，解得r ＝6，所以展开
式中1
x
3的系数为(－1)6·3·C 76＝21，故选C.
8．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )
A ．24π
B ．6π
C ．4π
D ．2π
【答案】B
【解析】由三视图可知，该几何体为底面是一个等腰直角三角形、且有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，故可以将其补为一个棱长为2的正方体，该正方体的外接球和该几何体的外接球为同一个球，故2R ＝22＋（2）2＝6，所以外接球的表面积为4πR 2＝6π，故选B.
9．老师为哈六中某位同学的高考成绩x 设计了一个程序框图，执行如图所示的程序．若输出的数码为3112，则这位同学的高考分数x 是( )
A ．682
B ．683
C ．692
D ．693
【答案】C
【解析】由输出数码为3112知，z 0＝2，z 1＝1，z 2＝1，z 3＝3，则由程序框图，得⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫x －26－1÷6－1÷6－3＝0，解得x ＝692，故选C. 10．F 为双曲线Γ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的右焦点，若Γ上存在一点P 使得△OPF 为等
边三角形(O 为坐标原点)，则Γ的离心率e 的值为( )
A ．2 B. 3 C.3＋1
2
D.3＋1
【答案】D
【解析】因为△OPF 为等边三角形，则由等边三角形的性质，得P ⎝⎛⎭⎫c 2
，±3
2c ，将其代
入双曲线方程，有b 2c 24－3a 2c 24
－a 2b 2
＝0，即c 4－8a 2c 2＋4a 4＝0，亦即e 4－8e 2＋4＝0，解得e
＝3＋1，故选D.
11．在▱ABCD 中，AB →·BD →＝0，沿BD 将▱ABCD 折起成直二面角A －BD －C ，且2|AB →
|2＋|BD →
|2＝4，则三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为( )
A.π2
B.π4 C ．4π D ．2π 【答案】C
【解析】因为AB →·BD →
＝0，所以AB ⊥BD .如图所示，▱ABCD 折起后二面角A －BD －C 成直二面角，由面面垂直的性质定理可知AB ⊥平面BCD ，CD ⊥平面ABD ，故△ABC ，△ACD 均为直角三角形，AC 为这两个直角三角形的公共斜边，所以AC 的中点O 到A ，B ，C ，D 四点的距离相等，即O 为三棱锥A －BCD 外接球的球心，AC 为直径．又AC 2＝CD 2＋AD 2
＝CD 2＋AB 2＋BD 2＝2|AB →|2＋|BD →
|2＝4，即(2R )2＝4，所以S ＝4πR 2＝4π，故选C.
12．已知A (x 1，0)，B (x 2，1)在函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象上，|x 1－x 2|的最小值为π
4
，则ω＝( ) A.32 B.43 C ．1 D.23 【答案】D
【解析】由题意将A (x 1，0)，B (x 2，1)代入函数解析式，得sin(ωx 1＋φ)＝0与sin(ωx 2＋φ)
＝1
2，所以ωx 1＋φ＝k 1π，ωx 2＋φ＝π6＋2k 2π或ωx 2＋φ＝5π6
＋2k 2π(k 1，k 2∈Z )，所以ω(x 2
－x 1)＝π6＋(2k 2－k 1)π或ω(x 2－x 1)＝5π6＋(2k 2－k 1)π(k 1，k 2∈Z )．又因为|x 2－x 1|min ＝π
4，
则必有π4ω＝π6，所以ω＝2
3
，故选D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．在区间[－5，5]上随机地抽取一个实数x ，若x 使m －x 2∈R 的概率为4
5
，则实数m
的值为__________．
【答案】16
【解析】由m －x 2≥0，解得－m ≤x ≤m ，则根据题意，得m ＋m 5＋5
＝4
5，解得m ＝16.
14．椭圆x 24
＋y 2
＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，P 为
一个交点，则|PF 2|＝__________.
【答案】7
2
【解析】由题意知c ＝4－1＝ 3.根据椭圆的对称性，不妨设F 1为椭圆的左焦点，所
以当x ＝－3时，|PF 1|＝|y |＝12，而|PF 1|＋|PF 2|＝4，所以|PF 2|＝4－|PF 1|＝7
2
.
15．在矩形ABCD 中，AB ＝3AD ，点Q 为线段CD (含端点)上一个动点，且DQ →＝λQC →
，
BQ 交AC 于P ，且AP →＝μPC →
.若AC ⊥BP ，则λ－μ＝__________.
【答案】－1
【解析】设AD ＝a ，则AB ＝3a ，AC ＝2a ，所以∠CAB ＝30°，CP ＝a 2，AP ＝3a
2
，QC
＝CP cos 30°＝a 3，DQ ＝3a －a 3＝2a 3，所以AP →＝3PC →，DQ →＝2QC →，则λ＝2，μ＝3，所以λ－μ＝－1.
16．某车间小组共有12人，需配置两种型号的机器，A 型机器需2人操作，每天耗电30 kW ·h ，能生产出价值4万元的产品；B 型机器需3人操作，每天耗电20 kW ·h ，能生产出价值3万元的产品．现每天供应车间的电能不多于130 kW ·h ，那么两种型号的机器每天的产值之和最大为__________万元．
【答案】18 【解析】先根据题意设需分配给车间小组A 型、B 型两种型号的机器分别为x 台，y 台，则⎩⎪⎨⎪
⎧x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，2x ＋3y ≤12，30x ＋20y ≤130，即⎩⎪⎨⎪
⎧x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，
2x ＋3y ≤12，3x ＋2y ≤13.
又由题意，得两种型号的机器每天
的产值之和z ＝4x ＋3y .作出可行域(如图所示阴影区域)，平移直线4x ＋3y ＝0，当其经过点
M (3，2)时，目标函数z ＝4x ＋3y 取最大值，即z max ＝4×3＋3×2＝18.。