椭圆的第二定义应用
习题课：椭圆第二定义的应用(精)
人教版高二数学上册§8.2 椭圆第二定义的应用(习题课班级姓名自我学习评价 :优良还需努力【学习目标】1. 进一步加深对椭圆第二定义及其性质的认识，会熟练运用椭圆的几何性质和第二定义解决有关问题；2. 通过对椭圆的第二定义的应用，体会和感悟“方程思想”和“数形结合”，“分类讨论”的数学思想方法。
【学习重点】灵活运用椭圆的第二定义及性质解决有关问题。
【学习过程】一、学习准备（知识准备）请独立完成下列填空：1．椭圆的第一定义为：；其中的两点为椭圆的；常数等于椭圆的；2．椭圆第二定义：若平面内的动点M（x，y）到定点F（c，0）的距离和它到定直线的距离的比是常数，则点M 的轨迹为；定直线叫做，准线与长轴所在直线____，椭圆的准线有条.常数，（）是的离心率。
e1时，椭圆趋于；e0时，椭圆趋向于。
3．由椭圆第二定义我们得到了焦半径公式。
设为椭圆上任意一点，对于标准方程的焦半径；；对于标准方程的焦半径；.椭圆第二定义及其性质在解题中有何价值和作用？你知道吗？通过本节课的学习你就会知道了！●基础练习：试一试，你能根据已知很快独立完成下列问题吗？有困难的题可与小组同学讨论。
1、椭圆的准线方程是（）A.； B.； C.； D.2 椭圆的一个焦点到相应准线的距离为，离心率为，则短轴长为（）A BC. D.3 设点P为椭圆上一点，P到左准线的距离为10，则P到右准线的距离为（）A . 6 ；B .8 ； C.10 ； D.154 已知点A（2，y）是椭圆上的点，F是其右焦点，则∣AF∣=；5．椭圆与椭圆〉0）的形状怎样？它们的离心率有何关系？你能否快速求出与椭圆有相同的离心率且经过点（，）的椭圆的方程？其方程为你是用什么方法求解的？。
二、典型例析【探究一】利用椭圆第二定义解题例1：已知椭圆内有一点，为椭圆的右焦点，在椭圆上找一点,使得取得最小值，求最小值和点的坐标。
（提示：。
）可给于一定的提示！●想一想：解决此类问题的关键是。
椭圆的第二定义及简单几何性质
二、椭圆的简单几何性质一、知识要点椭圆的第二定义：当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<=e ace 时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．e dMF =||∴准线方程：对于椭圆12222=+b y a x ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c a x 2=．根据对称性，相应于焦点)0,(c F ′的准线方程是c a x 2-=．对于椭圆12222=+b x a y 的准线方程是ca y 2±=．焦半径公式：由椭圆的第二定义可得：右焦半径公式为ex a c a x e ed MF -|-|||2===右； 左焦半径公式为ex a ca x e ed MF +===|)-(-|||2左二、典型例题例1、求椭圆1162522=+y x 的右焦点和右准线；左焦点和左准线；练习：椭圆81922=+y x 的长轴长为_________，短轴长为_________，半焦距为_________，离心率为_________，焦点坐标为_________，顶点坐标为__________________，准线方程为____________.例2、已知椭圆方程13610022=+y x ，P 是其上一点，21,F F 分别为左、右焦点，若81=PF ，求P 到右准线的距离.例3、已知点M 为椭圆1162522=+y x 的上任意一点，1F 、2F 分别为左右焦点；且)2,1(A 求||35||1MF MA +的最小值.变式、若椭圆：3 \* MERGEFORMAT 13422=+y x 内有一点3 \* MERGEFORMAT )1-,1(P ，3 \* MERGEFORMAT F 为右焦点，椭圆上有一点3 \* MERGEFORMAT M ，使3 \* MERGEFORMATMF MP 2+值最小，求：点3 \* MERGEFORMAT M 的坐标。
椭圆第二定义及其推论
椭圆第二定义及其推论
椭圆第二定义及其推论
椭圆是几何图形中最常见的一种图形。
它可以作为构造很多飞机，汽车，和各种桥梁等等的外形模型。
椭圆有两个定义：第一定义是“一个以矩形两边中心点连接而成的图形；第二定义是“一个以圆柱截面的曲线”。
根据椭圆的第二定义，我们可以得出一个比较显著的推论：椭圆的性质与其在圆柱上的切割方式有关联。
如果椭圆在不同的圆柱上以不同的切割方式进行切割，它的性质会有所不同。
例如，如果椭圆在一根比较短的圆柱上以比较同心切割的方式切割，它会变成一个椭圆形状的椭圆窗；而如果椭圆在一根比较长的圆柱上以比较异心切割的方式进行切割，它会变成一个椭圆形的球体。
因此可见椭圆的第二定义和椭圆性质之间是密切相关的，我们可以根据椭圆的第二定义和性质来推论它在圆柱上的切割方式。
因此，当我们需要构建一些特定的椭圆外形时，了解它们的椭圆类型以及它们在圆柱上的切割方式非常重要。
怎样利用定义求解与椭圆有关的最值问题
椭圆是一种重要的圆锥曲线，与椭圆有关的最值问题在高中数学试卷中比较常见，定义法是解答此类问题的重要方法.椭圆的定义除了第一定义，还有第二定义、第三定义.下面，我们重点谈一谈如何运用椭圆的这三个定义来解答与椭圆有关的最值问题.一、利用椭圆的第一定义求解椭圆的第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．在运用椭圆的第一定义解题时，要先确定两个定点的位置，然后建立关于动点M的关系式：MF1+MF2=2a.这样便可根据该关系式来寻找取得最小值的点M的位置，进而求得最值.例1.已知P()-2,3,F2为椭圆x225+y216=1的右焦点，点M在椭圆上移动.求MP+MF2的最大值和最小值.分析：所求的最值与MF2有关，可利用椭圆的第一定义建立关系式MF1+MF2=2a，将求MP+MF2的最值转化为求MP-MF1的最值，根据三角形三边之间的关系和性质便可求得问题的答案.解：如图1所示，连接PF1，延长PF1交椭圆于点M1，延长F1P交椭圆于点M2.由椭圆的第一定义知MF1+MF2=2a，所以MP+MF2=MP+2a-MF1，由三角形三边之间的关系知-PF1≤MP-MF1≤PF1，当且仅当M与图中M1合时取右边的等号，M与图中M2重合时取左边的等号.因为2a=10,PF1=2，所以MP+MF2的最大值为12,所以MP+MF2的最小值为8.图1一般地，若椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F1,F2分别是椭圆的左右焦点，P()x0,y0为平面内的一个定点，M为椭圆上的任意一点，当定点在椭圆的内部时，2a-PF1≤MF2+MP≤2a+PF1；当定点在椭圆的外部时，PF2≤MF2+MP≤2a+PF1.二、利用椭圆的第二定义求解圆锥曲线的第二定义：到定点的距离与到定直线的距离的比是e的点的轨迹.在运用椭圆的第二定义解题时，我们先要明确定点（即焦点F）和定直线（准线x=a2c）的位置，然后建立关于动点P(x0,y0)的关系式MP=e||||||x0-a2c，利用其关系或关系式来解题.例2.已知F1是椭圆5x2+9y2=45的左焦点，P是椭圆上动点，点A（1,1）是一个定点，求PA+32PF1的最小值.分析：明确题目中的数量关系后可以发现，所求目标中的32是椭圆离心率的倒数，联系第二定义：椭圆上的点到左焦点和到左准线的距离d之比为离心率e，可得PF1d=23，即d=32PF1，不难得到PA+32PF1=PA+d，所以PA+32PF1的最小值为椭圆上的P点到A点和到左准线的距离和的最小值，只需过点A，D作左准线的垂线即可.解：由题意可知，椭圆5x2+9y2=45的长半轴a=3，短半轴b=5，半焦距c=2，离心率e=23，右焦点F2()2,0,左准线x=-92.如图2所示，过点A，D作左准线的垂线,垂足为D1、D2.设P点到左准线的距离为d.由椭圆的第二定义可知PF1=ed，所以PA+32PF1=PA+32ed=PA+d，则PA+d的最小值就是点A到左准线x=-92的距离AD1=1+92=112,当且仅当点P在P1处PA+d取最小值，故PA+d的最小值为112.图2探索与研究颜琴55当与椭圆有关的最值问题涉及定点、定直线时，就要利用椭圆的第二定义，把与动点有关的最值问题转化为与定点、定直线之间的距离来求解.三、利用椭圆的第三定义求解椭圆的第三定义是指平面内动点到两定点A (a ,0)和B (-a ,0)的斜率的乘积等于常数e 2-1的点的轨迹.这也就是说，A ,B 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0上的两个顶点，P 是椭圆上异于A ,B 的一个动点，若k PA ,k PB 的斜率都存在，则k PA ∙k PB =e 2-1=-b 2a2.运用椭圆的第三定义，可以快速找到过椭圆上两个顶点的直线的斜率之间的关系.例3.已知椭圆C ：x 2a 2+y2b2=1()a >b >0的长轴长，短轴长和焦距成等差数列，若A ，B 是椭圆长轴的两个端点，M ,N 是关于x 轴对称的两点，直线AM ,BN 的斜率分别是k 1,k 2（k 1∙k 2≠0），则||k 1+||k 2的最小值为_______.分析：由长轴长、短轴长和焦距成之间的关系得到椭圆的离心率，由A ，B ，M ，N 的位置可联想到椭圆的第三定义，求得k 1∙k 2的值，再利用基本不等式就可以使问题得解.解：由椭圆的长轴长，短轴长和焦距成等差数列，得2a +2c =4b ，又b 2=a 2-c 2，可得e =c a =35，由椭圆的第三定义可得k 1∙k 2=e 2-1=-1625，而M ,N 是关于x 轴对称的两点，则k 1=-k 2，可得k 1∙k 2=1625，所以||k 1+||k 2≥2k 1k 2=85，当且仅当k 1=k 2时取等号.由以上几个题目可以看出，与椭圆有关的最值问题一般都会涉及椭圆上的定点、定直线.如果问题中的定点为焦点，就要考虑利用椭圆的第一定义来解题；如果问题中涉及的定点、定直线分别为焦点、准线，就要考虑用椭圆的第二定义来解题；如果问题中涉及了椭圆的顶点以及过顶点的直线的斜率，就要考虑采用椭圆的第三定义解题.（作者单位：江西省余干第一中学）探索与研究在学习中，我们经常会遇到抽象函数问题，此类问题一般侧重于考查同学们的直观想象能力和抽象思维能力.抽象函数一般没有具体的函数解析式，与x a 、sin x ()cos x 、ln x 、e x 的乘积构成的函数解析式也不明确，我们很难快速解出.而运用构造法，借助构造的新函数的性质、图象，则能快速破解此类问题.例1.已知定义在R 上的函数f ()x 为奇函数，当x ≤0时，恒有xf ′(x )≥3f ()-x ，则不等式8xf ()2x >()1-3x 3x 2f ()1-3x 的解集为_____.解：∵f ()x 是定义在R 上的奇函数，∴f ()-x =-f ()x ，当x ≤0时，由xf ′()x ≥3f ()-x 可得x 3f ′()x +f ()x ≥0，令g ()x =x 3f ()x ，∴当x ≤0时，g '()x =2x 2f ()x +x 3f ′()x =3x 2éëùûf ()x +x 3f '()x ≥0，∴g ()x 在(]-∞,0上单调递增，∵g ()-x =-x 3f ()-x =x 3f ()x =g ()x ，g ()x 是偶函数，∴g ()x 在[)0,+∞上单调递减，不等式8xf ()2x >()1-3x 3x2f ()1-3x 等价于8x 3f ()2x >()1-3x 3f ()1-3x ，即g ()2x >g ()1-3x ，等价于||2x <||1-3x ，解得x ＜15或x ＞1，∴不等式的解集为æèöø-∞,15⋃()1,+∞.56。
高考数学-椭圆第二定义应用及经典例题解析
高考数学-椭圆第二定义应用一、随圆的第二定义（比值定义）： 若），e e d MF为常数10(,<<=则M 的轨迹是以F 为焦点，L 为准线的椭圆。
注：①其中F 为定点，F （C ，0），d 为M 到定直线L ：ca x 2=的距离 ②F 与L 是对应的，即：左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。
二、第二定义的应用[例1]已知11216,)3,2(22=+-y x F A 是的右焦点，点M 为椭圆的动点，求MF MA 2+的最小值，并求出此时点M 的坐标。
分析：此题主要在于MF 2的转化，由第二定义：21==e d MF ，可得出d MF =2，即为M 到L （右准线）的距离。
再求最小值可较快的求出。
解：作图，过M 作l MN ⊥于N ，L 为右准线：8=x ， 由第二定义，知：21==e d MF，MN d MF ==∴2,2MN MA MF MA +=+Θ 要使MF MA 2+为最小值， 即：MF MA +为“最小”， 由图知：当A 、M 、N 共线，即：l AM ⊥时，MF MA 2+为最小；且最小值为A 到L 的距离=10， 此时，可设)3,(0x M ，代入椭圆方程中，解得：320=x 故当)3,32(M 时， MF MA 2+为的最小值为10[评注]：（1）以上解法是椭圆第二定义的巧用，将问题转化为点到直线的距离去求，可使题目变得简单。
（2）一般地，遇到一个定点到定直线问题应想到椭圆的第二定义。
[例2]：设),(00y x P 为椭圆)0(,12222>>=+b a by a x 的一点，离心率为e ，P 到左焦点F 1和右焦点F 2的距离分别为r 1，r 2 求证：0201,ex a r ex a r -=+=证明：作图， 由第二定义：e c ax PF =+201即：a ex ca x e c a x e PF r +=+=+⋅==0202011)( 又a PF PF 221=+0012)(22ex a ex a a r a r -=+-=-=∴注：①上述结论01ex a r +=，02ex a r -=称为椭圆中的焦半径公式 ②a x a ex a r PF ≤≤-+==0011由 得出c a a e a r c a ea a r -=-⋅+≥+=+≤)(11且 即c a PF c a +≤≤-1 当）a ，（，P c a PF 01--=为时 当）（a，，P c a PF 01为时+=[练习]（1）过1922=+y x 的左焦点F 作倾斜角为300的直线交椭圆于A 、B 两点，则弦AB 的长为 2 分析：是焦点弦AB Θ ）x （x e a ）ex （a ）ex （a BF AF AB B A B A +⋅+=+++=+=∴2只需求?=+B A x x （用联立方程后，韦达定理的方法可解）（2）148642122=+y x 、F F 为的左、右焦点，P 为椭圆上的一点，若,321PF PF =则P 到左准线的距离为 24分析：由焦半径公式，设）y x p 00,(得，x ）ex a ex a 8(3000=-=+即又左准线为：16-=x 则P 到左准线距离为8-（-16）=24[例3] 设椭圆的左焦点为F ，AB 过F 的弦，试分析以AB 为直径的圆与左准线L 的位置关系 解，设M 为弦AB 的中点，（即为“圆心”）作，A L AA 11于⊥ ，B L BB 11于⊥，M L MM 11于⊥由椭圆的第二定义知：)(11BB AA e BF AF AB +=+=10<<e Θ 11BB AA AB +<∴又在直角梯形11A ABB 中，1MM 是中位线1112MM BB AA =+∴ 即：12MM AB < 12MM AB<∴ （2AB为圆M 的半径1MM r ，为圆心M 到左准线的距离d d r <⇒故以AB 为直径的圆与左准线相离椭圆第二定义的应用练习1、椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则此椭圆的离心率e 等于（ ）A ．21 B.31 C.41 D.42 2、椭圆的两个焦点是)3,0(1-F 和)3,0(2F ，一条准线方程是316-=y ，则此椭圆方程是（ ） A ．191622=+y x B.171622=+y x C. 116922=+y x D.116722=+y x 3、由椭圆116922=+y x 的四个顶点组成的菱形的高等于： 。
椭圆的第二定义应用
椭圆的第二定义应用班级 姓名 基础梳理1.椭圆第二定义：___________________________距离之比是常数e c ae M =<<()01的动点的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为 椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。
注意：①对对应于右焦点，的准线称为右准线，x a y ba b F c 22222100+=>>()() 方程是，对应于左焦点，的准线为左准线x a c F c x a c=-=-2120()②e 的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。
自测自评1、椭圆125922=+y x 的准线方程是〔 ) A 、425±=x B 、516±=y C 、516±=x D 、425±=y 2、椭圆的一个焦点到相应的准线的距离为45，离心率为32，那么短轴长为〔 〕 A 、25 B 、5 C 、52 D 、1 3、设P 为椭圆13610022=+y x 上一点，P 到左准线的距离为10，那么P 到右准线的距离为〔 〕A 、6B 、 8C 、 10D 、154、P 是椭圆2100x + 236y =1上的点，P 到右准线的距离是8.5，那么p 到左焦点的距离是______5、动点M 到定点〔3,0〕的距离与到定直线x=253，的距离之比是35，那么动点M 的轨迹方程是_________________。
6、.P 点在椭圆225x +216y =1上，且P 到椭圆左、右焦点距离的比是1:4，那么P 到两准线的距离分别为_________________。
7、求中点在原点、焦点在x 轴上、其长轴端点与最近的焦点相距为1，与相近的一条准线距离是53的椭圆标准方程。
8、 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．9、已知，，是椭圆的右焦点，点在椭圆上移动，当A F x y M ()-+=231612122|MA|＋2|MF|取最小值时，求点M 的坐标。
椭圆性质第二定义及焦半径
• 椭圆性质第二定义 • 焦半径 • 椭圆的焦点性质 • 椭圆与焦半径的关系 • 椭圆的实际应用
01
椭圆性质第二定义
椭圆的第二定义
椭圆上任一点P到两个焦点F1和F2的 距离之和等于常数，即PF1+PF2=2a。
椭圆上任一点P到两个焦点F1和F2的 乘积最小值为0，即PF1*PF2=0。
焦半径的几何意义
01
连接椭圆上任意一点与两个焦点形成的线段即为焦半径。
02
焦半径是确定椭圆形状和大小的重要参数，通过焦半径可 以计算出椭圆的离心率、偏心率等参数。
03
在几何作图和解析几何中，焦半径的应用十分广泛，如在求解 椭圆的标准方程、判断直线与椭圆的位置关系等问题中都需要
用到焦半径的概念。
03
详细描述
在桥梁设计中，桥梁的承重结构常常采用椭圆形截面，这是因为椭圆具有较高的承载能力和稳定性。在建筑结构 分析中，椭圆的性质可用于分析结构的受力情况和稳定性，从而提高建筑的安全性和可靠性。
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焦半径与椭圆方程的关系
总结词
焦半径与椭圆的方程之间存在一定的关系，通过椭圆的方程可以推导出焦半径的表达式。
详细描述
椭圆的方程通常表示为x²/a²+y²/b²=1，其中a和b分别表示长半轴和短半轴的长度。通 过椭圆的方程，我们可以推导出焦半径的表达式。对于椭圆上的任意一点P(x0,y0)，其 到两个焦点的距离PF1和PF2可以通过椭圆的方程计算得出。具体来说，PF1=a+ex0， PF2=a-ex0，其中e为离心率。因此，通过椭圆的方程可以方便地计算出焦半径的值。
VS
椭圆上任一点P到两个焦点的乘积最 小值为0，即PF1*PF2=0。这意味着 在椭圆上任意一点与两焦点形成的角 都是直角，即椭圆上任意一点与两焦 点构成的线段互相垂直。
高中数学 椭圆第二定义教案 新人教A版选修-
椭圆几何性质2（椭圆的第二定义）【教学目标】椭圆第二定义、准线方程；使学生了解椭圆第二定义给出的背景；了解离心率的几何意义；使学生理解椭圆第二定义、椭圆的准线定义；使学生掌握椭圆的准线方程以及准线方程的应用；【重点】椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程；【难点】椭圆的第二定义的运用；【教学过程】1、复习回顾例(1)：椭圆81922=+y x 的长轴长为 ，短轴长为 ，半焦距为 ，离心率为 ，焦点坐标为 ，顶点坐标为(2):短轴长为8，离心率为53的椭圆两焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为2、引入课题例2： 椭圆的方程为221259x y +=，M1，M2为椭圆上的点求点M1（4，2.4）到焦点F （3，0）的距离.若点M2为（4，y0）不求出点M2的纵坐标，你能求出这点到焦点F （3，0）的距离吗？【推广】你能否将椭圆12222=+b y a x 上任一点),(y x M 到焦点)0)(0,(>c c F 的距离表示成点M 横坐标x的函数吗？问题1：你能将所得函数关系叙述成命题吗？（用文字语言表述）问题2：你能写出所得命题的逆命题吗？并判断真假？椭圆的第二定义:3、典型例题例3:求椭圆1162522=+y x 的右焦点和右准线；左焦点和左准线；变式1：求椭圆81922=+y x 方程的准线方程； 例4:椭圆1162522=+y x 上的点M 到左准线的距离是5.2，求M 到左焦点的距离为 .变式2：求M 到右焦点的距离为 .4、椭圆第二定义的应用例5：点P 与定点A （2，0）的距离和它到定直线8=x 的距离的比是1：2，求点P 的轨迹；例6：设AB 是过椭圆右焦点的弦，那么以AB 为直径的圆必与椭圆的右准线（ ）A.相切B.相离C.相交D.相交或相切5：巩固练习1．已知 是椭圆上一点，若 到椭圆右准线的距离是 ，则 到左焦点的距离为_____．2．若椭圆的离心率为 ，则它的长半轴长是______________．5、课堂小结6、课后反思 中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
椭圆第二定义的应用
| FA | = e, | NB | = | A M | . 四 边形 | MA | ABMN 是矩形, 即 AB 2 x 轴, 直线 l 和x 轴 重合, 这与已知矛盾, 故椭 圆中不 存在 被直线 l 垂直平分的弦. 评注 充分挖掘椭圆第二定义的转化功 能, 借助 平 面几 何 知识 是 巧妙 解 决上 述 几例 的关键, 这 一化 归 思想 还 可以 迁 移到 抛 物线 双曲线的同类问题中去.
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高中数学教与学 ∗ 课外测试 ∗
2004 年
高一数学第一学期期末测试
一、 选择题( 本大题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分在每小题给出的 4 个选 项中, 只 有一 项是符合题目要求的. ) 1. 以下 4 个命题: ( 1) 小于 90+ 的角是锐角; ( 2) 钝角是第二象限角; ( 3) 第一象限角一定不是负角; ( 4) 第二象限角一定大于第一象限角, 其中真命题的个数是( ) ( A) 0 ( B) 1 ( C) 3 ( D) 3 2. 设集合 A 和集合B 都是实数集 R, 映射 f : A , B 使得集合 A 中的元素 x 对 应于集合 B 中 的元素 x 3 - x + 2, 则在此映射下, 象 2 的 原象构成的集合是( ) ( A) { 1} ( B) { 0, 1, - 1} ( C) { 0} ( D) { 0, - 1, - 2} 3. 已知集合 A = { 1, 3} , B = { x | mx - 3 = 0} , 则 能使 A − B = A 的 m 值的 集合 为 ( ) ( A) { 1} ( C) { 0, 3} A B 的方程为 3x + y + 2 3 = 0. 六、 解决探索性问题 x 2 y2 2+ 2 = 1( a > b > a b 0), 直 线 l 过 椭圆 的左 焦点 F( l 不 和 x 轴 重 合) . 问椭圆 C 中是否存在被 l 垂直平分的弦? 例6 已知椭圆 C: 若存在, 有几条? ( B) { 1, 3} ( D) { 0, 1, 3} 4. 已 知 各 项均 为 正 数 的数 列 an 满 足: a n+ 1 = 2 an + 1( n = 1, 2, 3, .) , 则( ) ( A) an 为等比数列 ( B) an - 1 为等比数列 ( C) an + 1 为等比数列 ( D) 2a n + 1 为等比数列 5. 以下四组函数: ( 1) y = | x | , y = x ( x > 0) , - x ( x & 0) ; ( 2) y = 3 x + 2( x / R), s = 3 t + 2( t / R) ; ( 3) y = 0, y = x + - x ; x- 1 , y = lg( x - 1) - lg( x + 1) . x+ 1 其中, 两个函数相同的共有( ) ( A) 4 组 ( B) 3 组 ( 4) y = lg ( C) 2 组 ( D) 1 组
高二数学椭圆的第二定义
3）特例：e =0，则 a = b，则 c=0，两个焦点重合，椭 圆方程变为（？） 动画演示
椭圆的第二定义
例1：设M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到直线
l：x a2 的距离的比是常数 c ，求点M的轨迹。
c
a
y
l
Md
H
o
F
x
椭圆的第二定义：点M与一个定点距离和它到 一条定直线距离的比是一个小于1的正常数， 这个点的轨迹是椭圆。定点是椭圆的焦点。
4、椭圆离心率的两种表示方法：
e
c a
椭圆上任意一点P至焦点F的距离 P至与F对应的准线的距离
a 准线方程为：
2
x c
椭圆焦点在x轴
y a2
c
椭圆焦点在y轴
例２．设AB是过椭圆右焦点的弦，那么以 AB为直径的圆必与椭圆的右准线（ ）
A.相切 B.相离 C.相交 D.相交或相切
小结
定直线叫椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。
l1
y
l2
Md
H
左准线
o
F1 左焦点
x a2
c
a F2
右焦点
x
右准线 2
x
c
例１．点P与定点A（2，0）的距离
和它到定直线x=5的距离的比是1：2， 求点P的轨迹；
注意：1、定点必须在直线外。 2、比值必须小于1。 3、符合椭圆第二定义的动点轨迹肯定 是椭圆，但它不一定具有标准方程形式。
复习回顾
y
o
x
一、椭圆的范围
由
x2 a2
y2 b2
1
x2 a2
1和
y2 b2
椭圆的第二定义知识纲要
椭圆的第二定义知识纲要1、椭圆的第二定义：到一定点的距离与它到一定直线的距之比是常数(0)ce a c a=>>的点的轨迹。
定点——焦点；定直线——准线；e ——离心率、说明：①22221(0)x y a b a b +=>>相应焦点F (c , 0)的准线方程是2a x c=（右焦点，右准线）22221(0)x y a b a b +=>>相应焦点F (－c ,0)的准线方程是2a x c =-（左焦点，左准线） 22221(0)y x ab a b +=>>相应焦点F (0,c )的准线方程是2a y c =（上焦点，上准线） 22221(0)y x ab a b +=>>相应焦点F (0, －c )的准线方程是2a y c=-（下焦点，下准线） ②椭圆的离心率是椭圆上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离之比，这就是离心率的几何意义，它反映了椭圆的圆扁程度。
212F MF S=22x例1：已知椭圆的对称轴为坐标轴，中心为坐标原点，2e =，两准线间的距离为4，求该椭圆方程。
例2：（1）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 的横坐标为x 0，F 1，F 2是其左，右焦点，则1PF ＝ ，2PF ＝ 。
（2）已知椭圆2212516x y +=，点M （4，y 0）在椭圆上，求点M 到两焦点的距离。
例3：已知椭圆的焦点12(0,1),(0,1)F F -，直线4y =是它的一条准线，P 是椭圆上一点，211PF PF -=，求12F PF S 。
例4：已知椭圆22143x y +=内有一点P （1，－1），F 是椭圆的右焦点，椭圆上有一点M ，使2M P M F +最小，求M 的坐标。
3、方法：①涉及椭圆上一点到两焦点的距离时，想到第一定义。
②涉及椭圆上一点到一个焦点的距离或已知焦半径长，求椭圆上该点坐标时，想到焦半径公式。
椭圆第二定义及其应用
椭圆第二定义及其应用在新课标课本(人教A 版)《椭圆》中，有这样一道例题“例6 点),(y x M 与定点)0,4(F 的距离和它到直线425:=x l 的距离的比是常数54，求点M 的轨迹”。
我们知道，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆，如果对这道例题进行推广，就得到椭圆的第二定义（比值定义）.定义：平面内与一个定点F 的距离和一条定直线的距离之比为常数)10(<<e e 的点的轨迹是椭圆. 定点F 称为椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数e 是椭圆的离心率.椭圆第二定义的巧妙运用可以使题目化繁为简,下面举例如下: 一、求距离［例1］椭圆的方程为16410022=+y x 上有一点P ，它到椭圆的左准线的距离等于10，求点P 到它的右焦点的距离.解：∵64,10022==b a ，∴66410022=-=-=b ac ，∴a c e ==53106= 依椭圆第二定义，设P 点到椭圆左焦点的距离为d ，则5310=d ,∴6=d ∴点P 到椭圆右焦点距离为2×10－6=14评述：椭圆第二定义的巧妙运用可以使题目化繁为简，熟练掌握椭圆第二定义灵活地将它应用到解题当中，是我们在学习中的重要训练对象.二、求最值［例2］已知定点A （－2，3），点F 为椭圆1121622=+y x 的右焦点，点M 在该椭圆上移动时，求|MA |+2|FM |的最小值，并求出此时点M 的坐标.分析：设M （x ,y ），则有⎪⎩⎪⎨⎧=++-+-++=+11216)2(2)3()2(2222222y x y x y x FM MA 由①可将y 用x 表示出来，将其代入②，则式子|MA |+2|FM |可转化成一个关于x 的一元函数，再求其最小值.以上解法，思路可行，计算量却很繁琐，不妨换一种思考方法.解：∵a =4,b =23,c =2∴e =21 右焦点F （2，0），右准线方程l :x =8设点M 到右准线l 的距离为d ，则21==e dFM 得2|MF |=d ∴|MA |+2|MF |=|MA |+d由于点A 在椭圆内，过A 作A K ⊥l ，K 为垂足，易证|A K|为|MA |+d 的最小值，其值为8+2=10∵M 点的纵坐标为3，得横坐标为23① ②∴|MA |+|2MF |的最小值为10，点M 的坐标为（23，3）评述：（1）以上解法就是椭圆第二定义的巧用，将问题转化成点到直线的距离去求，就可以使题目变得简单易解了.（2）一般地，如果遇到一个定点到定直线问题应联想到椭圆第二定义. 三、推导公式［例3］设P （x 0,y 0）是离心率为e 的椭圆，方程为12222=+by a x 上的一点，P 到左焦点F 1和右焦点F 2的距离分别为1r 和2r .求证：0201,ex a r ex a r -=+=证明：由椭圆第二定义，得e ca x PF =+201∴|PF 1|=e ca x 20+=e )(20c a x +,∴|PF 1|=0ex a +又e cax PF =-202,∴|PF 2|=e ca x 20-=e )(20c a x -, ∴|PF 2|=0ex a -，综上所述0201,ex a r ex a r -=+= 注意：|PF 1|=0ex a +,|PF 2|=0ex a -，称为(00,y x )点椭圆的焦半径，焦半径公式在解题中的作用应引起我们广大师生的注意.［例4］已知椭圆1922=+y x ，过左焦点F 作倾斜角为30°的直线交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长. 解法一：∵a =3,b =1,c =22,∴F (－22,0)∴直线方程为y =)22(31+x 与1922=+y x 联立消元，得4x 2+122x +15=0 ①设A （x 1,y 1）,B (x 2,y 2)则依韦达定理，得x 1+x 2=－32,x 1x 2=415∴|AB |=21221214)(32311x x x x x x -+=-+,∴|AB |=2解法二：由于所求线段AB 是椭圆的“焦点弦”，故也可用“焦半径”公式计算：|AB |=|AF |+|BF |=2a +e (x 1+x 2)=2评述：一般地，遇到点到椭圆焦点的距离问题，可采用“焦半径”公式处理.。
高二数学椭圆的第二定义
( A)
2 11 11
11 ( B) 2
2 (C ) 11
7 ( D) 11
2、椭圆
x2 y2 1 的准线平行于 x轴，则( C ) 2 2 m (m 1)
（A）0 〈 m<1/2 (c) m<1/2 且 m
0
(B) m>1/2 且 m (D) m>0 且 m
1 1
)
3、椭圆的两焦点把两准线间的距离三等分，则这个椭圆的离心率是( C
将上式两边平方，并化简，得
a
设
2
c2 x2 a2 y 2 a2 a2 c2
a2-c2=b2,就可化成
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹 是长轴、短轴分别为2 a,2b 的椭圆
I’
y
l
F’
o
F
x
由例4可知，当点M与一个定点的距离的和它到一条定直 c 0 e 1 e 线的距离 的比是常数 时，这个点的轨 a 迹 就是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线， 常数e是椭圆的离心率。 对于椭圆
A
3
ห้องสมุดไป่ตู้
3 2
C
3 3
D
3 4
x2 y 2 1 上一点P到右焦点F的距离为3/2，则P 到左准线的 4、 （1）若椭圆 4 1 5 3 3 距离是 ______________
（2）已知椭圆 8 距离是 ______________ 5 B 1、若椭圆 这点的坐标是
lpu35hln
全由白色石砖雕砌而成，云气环绕辉煌而不失仙气，走到殿前，十米宽的白玉大门缓缓打开，突然一种沉闷压抑之感充斥着五脏六腑。随 之而来的是身体出现了奇异的狂热，突然暮雨只觉得背后被人使劲拍了一掌，整个人向前飞去。顿时整座宫殿红光四起。10桫椤树妖|终于 再次见到了亲爱的太阳，照在身上暖暖的。可是出来后却来到了一个完全不认识的地方，这里不是我进来时的那个出口，心想这样或许更 好，找到一条公路，我想只要是路就行，然后离开这里，什么山神，什么渡劫者，什么妖魔鬼怪都去一边吧，我要回到我以前的生活，正 常人的生活。这样想着看着周围的地形判断自己所在的位置。这座山的植物极其茂盛。山中弥漫着雾，罩着一片耀眼的新绿。往下走总能 下山，下了山就回到正常的世界，再也不回来。就这样一直往下走，太阳都下山了还没到山下，这山得有多高啊，一刻不停的走居然都没 到山下，别说山下，连下面的影子都看不到，全都笼罩在云雾中，走了那么久干脆休息会吧，这样想着，在歇息的时候环顾着周围的风景， 走了一天除了几只鸟和松鼠蝴蝶外，别的什么大型动物都没看到，还有这座山究竟有多高啊，正午时依然云雾弥漫，丝毫没有退去。这座 山特别陡峭，自己几乎是拉着旁边的树下来的，一不小心估计就得滚下山了吧。经过没有树的地方，地面布满了湿滑的苔藓，几乎是自己 用屁股滑下来的。按照白天行走的速度怎么也应该有二十多公里了吧，再怎么也应该到山中间了，可是越往下云雾越厚，也越发的陡峭。 往山下眺望，突然看见不远处有亮亮的什么东西在动，连忙站起身来，离得越近湿气越重快靠近的时候听到了水的声音，心中一惊，有水。 瀑布的不远处是一片树林，但是只有叶子在往外延伸却不见枝干，估计是太茂盛了吧。水的周围是一片平躺的地方，只有零星的几处灌木 丛，按理说不是越靠近水，植被越茂盛吗，这里却刚好相反。好像还是一个小型的瀑布。几步走到瀑布边眼前的一切令人难以置信，瀑布 在往上流！以为这一切都是幻觉，说不定这里的雾有毒，吸了那么长时间的雾我可能是中毒了。这里是瀑布的源头，大约有五六米宽的湖 在往上流。弯下腰，手伸进水里，冰凉刺骨，河水泛绿，涓涓细流，清澈见底。河的两旁草木青翠。绿色的苔藓布满了河边的石头，潮湿 鲜艳，手按下去就能按出水来。水的确是往上流的，水流沿着河床奔走，冲击着陡峭的岩石，水一缕一缕地倾泻向上。风吹过来，把水吹 成轻雾洒在我脸上，这真的是水。此时的我就像是在倒立着看瀑布。瀑布从下往上冲，宛若游龙在攀爬石壁。又像是一缕白烟不断地往上 冒，瀑布在往上流，真是颠覆了我的三观啊。还是在那么陡峭的山坡上，这是怎么回事，难道是我走错了，其实这里的山
2020 年椭圆的第二定义例题
椭圆第二定义应用一、随圆的第二定义（比值定义）： 若），e e dMF 为常数10(,<<=则M 的轨迹是以F 为焦点，L 为准线的椭圆。
注：①其中F 为定点，F （C ，0），d 为M 到定直线L ：ca x 2=的距离②F 与L 是对应的，即：左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。
二、第二定义的应用[例1]已知11216,)3,2(22=+-y x F A 是的右焦点，点M 为椭圆的动点，求MF MA 2+的最小值，并求出此时点M 的坐标。
分析：此题主要在于MF 2的转化，由第二定义：21==e dMF ，可得出d MF =2，即为M 到L （右准线）的距离。
再求最小值可较快的求出。
解：作图，过M 作l MN ⊥于N ， L 为右准线：8=x ， 由第二定义，知：21==e dMF ，MN d MF ==∴2,2MN MA MF MA +=+Θ要使MF MA 2+为最小值， 即：MF MA +为“最小”， 由图知：当A 、M 、N 共线，即：l AM ⊥时，MF MA 2+为最小； 且最小值为A 到L 的距离=10，此时，可设)3,(0x M ，代入椭圆方程中， 解得：320=x 故：当)3,32(M 时，MF MA 2+为的最小值为10[评注]：（1）以上解法是椭圆第二定义的巧用，将问题转化为点到直线的距离去求，可使题目变得简单。
（2）一般地，遇到一个定点到定直线问题应想到椭圆的第二定义。
[例2]：设),(00y x P 为椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 的一点，离心率为e ，P 到左焦点F 1和右焦点F 2的距离分别为r 1，r 2求证：0201,ex a r ex a r -=+= 证明：作图， 由第二定义：e ca x PF =+201即：a ex ca x e c a x e PF r +=+=+⋅==0202011)(又a PF PF 221=+0012)(22ex a ex a a r a r -=+-=-=∴注：①上述结论01ex a r +=，02ex a r -=称为椭圆中的焦半径公式②a x a ex a r PF ≤≤-+==0011由 得出c a a e a r c a ea a r -=-⋅+≥+=+≤)(11且即c a PF c a +≤≤-1当）a ，（，P c a PF 01--=为时 当）（a，，P c a PF 01为时+= [练习]（1）过1922=+y x 的左焦点F 作倾斜角为300的直线交椭圆于A 、B 两点，则弦AB 的长为 2 分析：是焦点弦AB Θ）x （x e a ）ex （a ）ex （a BF AF AB B AB A +⋅+=+++=+=∴2只需求?=+B A x x （用联立方程后，韦达定理的方法可解）（2）148642122=+y x 、F F 为的左、右焦点，P 为椭圆上的一点，若,321PF PF =则P 到左准线的距离为 24分析：由焦半径公式，设）y x p 00,(得，x ）ex a ex a 8(3000=-=+即又左准线为：16-=x 则P 到左准线距离为8-（-16）=24[例3] 设椭圆的左焦点为F ，AB 过F 的弦，试分析以AB 为直径的圆与左准线L 的位置关系解，设M 为弦AB 的中点，（即为“圆心”） 作，A L AA 11于⊥，B L BB 11于⊥ ，M L MM 11于⊥由椭圆的第二定义知：)(11BB AA e BF AF AB +=+= 10<<e Θ11BB AA AB +<∴又在直角梯形11A ABB 中，1MM 是中位线1112MM BB AA =+∴即：12MM AB < 12MM AB <∴（2AB 为圆M 的半径1MM r ，为圆心M 到左准线的距离d d r <⇒故以AB 为直径的圆与左准线相离 四、小结本节，重点是掌握第二定义的应用方法，特别是焦半径公式的运用（通常在焦点弦中采用）。
椭圆第一二三定义
椭圆第一二三定义全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：椭圆是一种特殊的几何形状，在数学中具有重要的应用价值。
在几何学中，椭圆是一个平面上所有点的集合，这些点到两个给定点的距离之和是一个常数。
在本文中，我们将深入探讨椭圆的定义、性质和应用。
一、椭圆的第一定义椭圆是一个平面上的点集，其定义是所有到两个固定点之和等于常数的所有点的集合。
这两个固定点被称为椭圆的焦点，常数之和称为椭圆的主轴。
椭圆的形状是一个拉长的圆形，其外形类似于椭球体。
在数学中，椭圆可以通过许多方法来定义，比如第二种定义是：椭圆是一个平面上距离给定点的距离之和等于给定常数的点的集合。
第三种定义是：椭圆是一个平面上满足特定方程的点的集合。
椭圆的第二定义是椭圆的一个重要性质，它使得我们能够用数学方法来描述椭圆的形状和性质。
这个定义在几何学和物理学中都具有重要的应用价值，可以帮助我们理解天体运动和粒子运动等现象。
椭圆的第三定义是椭圆是一个平面上满足特定方程的点的集合。
这个方程通常用标准梯度方程表示，形式为：(x-h)^2/a^2 +(y-k)^2/b^2 = 1，其中(h,k)是椭圆的中心点，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
根据这个方程，我们可以确定椭圆的中心点、焦点和主轴等重要参数，从而进一步分析椭圆的形状和特性。
椭圆的第三定义是一种数学工具，可以帮助我们解决实际问题中涉及椭圆的计算和分析。
椭圆是一个重要的几何形状，在数学中具有广泛的应用价值。
通过深入研究椭圆的定义、性质和应用，我们可以更好地理解椭圆的形状和特性，从而应用在各种实际问题中。
希望本文能够帮助读者更深入地了解椭圆，并进一步挖掘椭圆的数学奥秘。
第二篇示例：椭圆是一种非常常见的几何形状，它在数学和几何中具有重要的意义。
椭圆的定义有多种方法，其中比较常见的有三种。
第一种定义是基于焦点和两点之间的距离之和等于常数的椭圆。
在平面几何中，椭圆是一个点集，其到两个给定焦点的距离之和等于常数的所有点的集合。
高二数学椭圆的第二定义
解：设 d是M到直线l 的距离，根据题意，
所求轨迹就是集合
I’
y
l
P={M|
MF c
c a
}
M
F’ o F
x
由此得
x c2 y 2 c
a2 x
a
c
将上式两边平方，并化简，得
25 12
,
3
119 12
x2
y2
2、若椭圆 6m m2 9 1 的焦点到相应准线的距离是12，则m=
(C )
(A)2
(B)6
(C)2 或 6 (D)12
3、若椭圆 x2 y 2 1 上有一点到右焦点的距离是1，则P点的 25 9
坐标是__(_5_,_0_) ______
,
c
所以椭圆有两条准线。
达标训练A：
1、椭圆
x2 y2
11 7
1 上一点到准线
x
11 2 与到焦点（-2，0）的距离
的比是
（B ）
( A) 2 11 11
(B) 11 2
(C) 2 11
(D) 7 11
2、椭圆
x2 m2
y2 (m 1)2
1
的准线平行于
x轴，则(
C
)
（A）0 〈 m<1/2
线的距离 的比是常数 e c 0 e 1
时，这个点的轨
迹 就是椭圆，定点是椭圆的a焦点，定直线叫做椭圆的准线，
常数e是椭圆的离心率。
高中数学椭圆的第二定义应用
椭圆的第二定义应用班级 姓名 基础梳理1.椭圆第二定义：___________________________距离之比是常数e c ae M =<<()01的动点的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为 椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。
注意：①对对应于右焦点，的准线称为右准线，x a y ba b F c 22222100+=>>()() 方程是，对应于左焦点，的准线为左准线x a c F c x a c=-=-2120()②e 的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。
自测自评1、椭圆125922=+y x 的准线方程是（ ) A 、425±=x B 、516±=y C 、516±=x D 、425±=y 2、椭圆的一个焦点到相应的准线的距离为45，离心率为32，则短轴长为（ ） A 、25 B 、5 C 、52 D 、1 3、设P 为椭圆13610022=+y x 上一点，P 到左准线的距离为10，则P 到右准线的距离为（ ）A 、6B 、 8C 、 10D 、154、已知P 是椭圆2100x + 236y =1上的点，P 到右准线的距离是8.5，则p 到左焦点的距离是______5、已知动点M 到定点（3,0）的距离与到定直线x=253，的距离之比是35，则动点M 的轨迹方程是_________________。
6、.已知P 点在椭圆225x +216y =1上，且P 到椭圆左、右焦点距离的比是1:4，则P 到两准线的距离分别为_________________。
7、求中点在原点、焦点在x 轴上、其长轴端点与最近的焦点相距为1，与相近的一条准线距离是53的椭圆标准方程。
8、 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．9、已知，，是椭圆的右焦点，点在椭圆上移动，当A F x y M ()-+=231612122|MA|＋2|MF|取最小值时，求点M 的坐标。
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椭圆的第二定义应用
班级 姓名 基础梳理
1.椭圆第二定义：___________________________距离之比是常数
e c a
e M =<<()01的动点的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为 椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。
注意：
①对对应于右焦点，的准线称为右准线，x a y b
a b F c 22222100+=>>()() 方程是，对应于左焦点，的准线为左准线x a c F c x a c
=-=-212
0()
②e 的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。
自测自评
1、椭圆125
92
2=+y x 的准线方程是（ ) A 、425±
=x B 、516±=y C 、516±=x D 、4
25±=y 2、椭圆的一个焦点到相应的准线的距离为45，离心率为32，则短轴长为（ ） A 、2
5 B 、5 C 、52 D 、1 3、设P 为椭圆136
1002
2=+y x 上一点，P 到左准线的距离为10，则P 到右准线的距
离为（）
A 、6
B 、 8
C 、 10
D 、15
4、已知P 是椭圆2
100
x + 236y =1上的点，P 到右准线的距离是8.5，则p 到左焦点的距离是______
5、已知动点M 到定点（3,0）的距离与到定直线x=
253，的距离之比是35，则动点M 的轨迹方程是_________________。
6、.已知P 点在椭圆225x +216y =1上，且P 到椭圆左、右焦点距离的比是1:4，则P 到两准线的距离分别为_________________。
7、求中点在原点、焦点在x 轴上、其长轴端点与最近的焦点相距为1，与相近的一条准线距离是53
的椭圆标准方程。
8、 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．
9、已知，，是椭圆的右焦点，点在椭圆上移动，当A F x y M ()-+=231612
122
|MA|＋2|MF|取最小值时，求点M 的坐标。
10、已知A,B 是椭圆19252222=+a y a x 上的两点，2F 是右焦点，若a BF AF 5
822=+，AB 的中点P 到左准线的距离为
2
3，求椭圆的方程。
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