【学期】山东省实验中学2020届高三上学期第二次诊断考试数学理试题Word版含答案

【关键字】学期
山东省实验中学2015级高三第二次诊断性考试
数学试题（理科）
2017.11 说明：本试卷满分150分，分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷为第1页至第3页，第II卷为第3页至第6页.试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.
第I卷（共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知全集为R，集合A=,B=,则AB=
A. B. C. D.
2.已知，命题“若”的否命题是
A.若
B. 若
C. 若
D. 若
3.已知函数，则的值为
A.4
B.
C. 3
D.
4. 空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的无量纲指数，空气质量按照AQI大小分为六级：0~50为优，51~100为良。

101~150为轻度污染，151~200为中度污染，201~250为重度污染，251~300为严重污染。

一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图。

利用该样本估计该地本月空气质量状况优良（AQI≤100）的天数（这个月按30计算）
A.15
B.20 D.24
5.曲线若和直线围成的图形面积为
A. B. C. D.
6. 已知函数，则是
A.奇函数，且在上单调递加
B. 偶函数，且在上单调递加
C.奇函数，且在上单调递加
D. 偶函数，且在上单调递加
7. 函数的图像为
8. 奇函数定义域为R，当时，，且函数为偶函数，则的值为
A. B. D.3
9.曲线上的点到直线的最短距离是
A. B. C. D.0
10. 已知命题：命题；命题，且是的充分不必要条件，则的取值范围
A. B. C. D.
11. 某中学学生会为了调查爱好游泳运动与性别是否有关，通过随机询问110名性别不同的高中生是否爱好游泳运动得到如下的列联表：
由
并参照附表，得到的正确结论是
A.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别有关”
B.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别无关”
C.有99.9%的把握认为“爱好游泳运动与性别有关”
D.有99.9%的把握认为“爱好游泳运动与性别无关”
12. .已知是定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 函数的定义域是_______________
14.如果方程的两个实根一个小于1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是____________.
15.若函数函数的零点个数是________.
16. 对于函数，若存在常数，使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准奇函数，给出下列函数
①，②，③，④，⑤，⑥，其中所有准奇函数的序号是_________________。

三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21为必考题，每个试题考
生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）
（一）必考题：60分.
17. 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：“车辆驾驶员血液酒精溶度（单位mg/100ml）/在，属于酒后驾驶；血液浓度不低于80，属于醉酒驾驶。

”2017年“中秋节”晚9点开始，济南市交警队在杆石桥交通岗前设点，对过往的车辆进行检查，经过4个小时，共查处喝过酒的驾驶者60名，下图是用酒精测试仪对这60名驾驶者血液中酒精溶度进行检测后所得结果画出的频率分布直方图。

（1）求这60名驾驶者中属于醉酒驾车的人数（图中每组包括左端点，不包括右端点）
（2）若以各小组的中值为该组的估计值，频率为概率的估计值，求这60名驾驶者血液的酒精浓度
的平均值。

18.（本小题满分12分）已知函数.
（1）若曲线处的切线的倾斜角为，求实数a的值.
（2）若函数上单调递加，求实数a的范围.
19. 某企业为了对新研发的一批产品进行合理定价，将产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据()(),1,2,i i x y i =…6，如表所示：
已知80y = （1）求q 的值
（2）已知变量,x y 具有线性相关性，求产品销量y 关于试销单价x 的线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+ 可供选择的数据
6
6
21
1
3050,271i i
i i i x y
x ====∑∑
（3）用ˆy
表示（2）中所求的线性回归方程得到的与i x 对应的产品销量的估计值。

当销售数据()(),1,2,i i x y i =…，6对应的残差的绝对值
ˆ1i i y
y -≤时，则将销售数据(),i i x y 称为一个“好数据”。

试求这6组销售数据中的 “好数据”。

参考数据：线性回归方程中ˆˆ,b
a 的最小二乘估计分别是()
1
2
2ˆˆˆ,n
i i
i n
i i x y nx y
b a
y bx x n x
==
-==--∑∑ 20.（本小题满分12分）已知函数()2
1=ln 2
f x x a x -. （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）设,0k Z x ∈>当，不等式()()()1ln 1220x x k x +++-+>恒成立，求k 的最大值.
21. （本小题满分12分）已知函数()()2112
x
f x xe a x =-
+. （1）若a e =，求函数()f x 的极值；
（2）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.
(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4，坐标系与参数方程] (10分)
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 3sin x y α
α
=⎧⎪⎨=⎪⎩()α为参数，以坐标原点为极点，
以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 42
πρθ⎛⎫
+
= ⎪
⎝
⎭。

（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程。

（2）设点P 为曲线C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值。

23.[选修4—5：不等式选讲] (10分) 设函数()()3,2f x x g x x =-=- （1）解不等式()()2f x g x +<
（2）对任意的实数,x y ，若()()1,1,f x g y ≤≤求证：213x y -+≤
山东省实验中学2015级高三第二次诊断性考试
理科数学参考答案 （2017．11）
一、选择题 CABBD BDACA AD 二、填空题 13. ]0,2
1
(-
14.)1,2(- 15. 4 16. ②④⑤⑥ 三、解答题
17. .(1)由频率分布直方图可知： 醉酒驾驶的频率为…………………………3分
所以醉酒驾驶的人数为
(人)……………………6分 酒精浓度 25 35 45 55 65 75 85 频率
0.25
0.15
0.2
0.15
0.1
0.1
0.05
………………………9分
所以05.0851.0751.06515.0552.04515.03525.025⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x =47 …12分 18. 解：（1）14
tan
)1(4
2)(,43
1)('
2'23
==+-=∴+-=π
f ax x x f x ax x x f 则
则可得：2=a .-----------------------------------5分
（2）由函数)(x f y =在区间)2
1,0(上单调递增 则042)(2
'≥+-=ax x x f 对一切的)2
1,0(∈x 恒成立.-------6分
即)4
(21x
x a +≤
恒成立， 令)4
(2124)(2x
x x x x g +=+=
-------9分
函数)(x g 在)21
,0(上单调递减，当21=
x 时，4
17)(=x g 所以的取值范围是4
17
≤
a .-------12分 19. （1）668
75808384+++++=
q y
又80=y ，806
68
75808384=+++++∴
q
90=∴q ……………………3分
（2）2
13
6987654=+++++=
x ，……………………4分
42136271213
80630502
-=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-⨯⨯-=
∴∧
b ……………………6分 1062
13
)4(80=⨯
--=∴∧
a ……………………7分 1064+-=∴∧
x y ……………………8分
（3）1064+-=∧
x y
10|9090|||,9010641111<=-=-=+-=∴∧
∧y y x y ，所以()90,4),(11=y x 是好数据； 12|8486|||,8610642222>=-=-=+-=∧
∧y y x y ，所以()84,5),(22=y x 不是好数据 11|8283|||,8210643333==-=-=+-=∧
∧
y y x y ，所以()83,6),(33=y x 是好数据
12|8078|||,7810644444>=-=-=+-=∧
∧y y x y ，所以()80,7),(44=y x 不是好数据 11|7475|||,7410645555==-=-=+-=∧
∧y y x y 所以()75,8),(55=y x 是好数据 12|6870|||,7010646666>=-=-=+-=∧
∧
y y x y 所以()68,9),(66=y x 不是好数据
所以好数据为)75,8)(68,6(),90,4(……………………12分
20. 解:(1)函数)(x f 定义域为),0(+∞，x
a
x x a x x f -=-=2/
)(，------------1分
当0≤a 时，在),0(+∞上，)(,0)(/x f x f >单调递增；------------3分
当0>a 时，在),0(a 上，)(,0)(/x f x f <单调递减；在),(+∞a 上，)(,0)(/
x f x f >单调递增；
综上所述：当0≤a 时，在),0(+∞上，)(x f 单调递增.-
当0>a 时，在),0(a 上，)(x f 单调递减；在),(+∞a 上，)(x f 单调递增.---------5分 （2）02)2()1ln()1(>+-+++x k x x 等价于2)
1ln()1(2++++<
x x x k ---6分
令=
)(x g 2)1ln()1(2++++x x x ，=
)('x g 2)
1ln(2x x x +--
令=)(x h )1ln(2+--x x ，易知01
1
1)(,
>+-
=x x h )(x h 在),0(+∞上单调递增.--------------8分 04ln 1)3(<-=h 05ln 2)4(,>-=h ，
所以存在)4,3(0∈x , 使得0)(0=x h .即0)1ln(200=+--x x .--------------9分 在),0(0x 上, 0)('<x g ,)(x g 单调递减,在),(0+∞x 上, 0)('>x g ,)(x g 单调递增. 所以2)
2)(1(22)1ln()1(2)()(0
000000min +-++=++++=
=x x x x x x x g x g .
求k 的最大值为4.-------------- -------12分 21. 解：（1）函数定义域为),(+∞-∞，
))(1()1()1()(/e e x x e e x x f x x -+=+-+=.----------------1分 ,0)(/=x f 解得,1,121=-=x x ---1分
所以1-=x 时，)(x f 取极大值e
1
-
，当1=x 时，)(x f 取极小值a e 2-.--------4分 （2）))(1()1()1()(/a e x x a e x x f x x -+=+-+=
当0=a 时，易知函数f(x)只有一个零点，不符合题意；---------------5分 当0<a 时，在)1,(--∞上，)(,0)(/x f x f <单调递减； 在),1(+∞-上，)(,0)(/
x f x f >单调递增；
01
)1(<-
=-e
f ，且+∞→-∞→>-=)(,,02)1(x f x a e f 所以函数)(x f 有两个零点.----------------------------------------7分 当e
a 10<
<时，在)ln ,(a -∞和),1(+∞-上)(,0)(/x f x f >单调递增；在)1,(ln -a 和),(ln +∞a 上)(,0)(/x f x f <单调递减；----------------------8分
0)1(ln 2
1
)1(ln 21ln )(ln <-=+-
=a a a a a a a f ，函数)(x f 至多有一个零点，不符合题意.----------------------------------10分 当e
a 1
>
时，在)1,(--∞和),(ln +∞a 上)(,0)(/x f x f >单调递增；在)ln ,1(a -上)(,0)(/x f x f <单调递减；
01
)1(<-
=-e
f ，函数)(x f 至多有一个零点，不符合题意.----------------------11分 综上：实数a 的取值范围是0<a .-----------------------------------------12分 22．解：⑴因为直线l 的极坐标方程为2
64cos =
⎪⎭⎫
⎝
⎛+
πϑρ， 所以26
sin 22cos 22=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-θθρ，即03=--y x …………………………………3分
曲线C 的参数方程为⎩
⎨⎧==ααsin 3cos 3y x （α为参数）
所以13
92
2=+y x ……………………………………………………………………………5分 ⑵设()
ααsin 3,cos 3P ，则P 到直线l 的距离为
2
3
sin 3cos 3--=
ααd …………………………………………………………………6分
=2
3
3sin 32-⎪⎭
⎫
⎝⎛-απ…………………………………………………………………8分
所以当13sin -=⎪⎭
⎫
⎝⎛-απ时，d 取最大值263………………………………………………10分 23．⑴①当2<x 时，原不等式可化为223<-+-x x ，可得23>
x ，所以22
3
<<x 当32≤≤x 时，原不等式可化为223<-+-x x ，恒成立，所以32≤≤x
当3>x 时，原不等式可化为223<-+-x x ，可得27<x ，所以2
7
3<<x
综上，不等式的解集为⎪⎭
⎫
⎝⎛27,23（结果为不等式的扣1分）……………………5分 （2）证明：()()32122322312=+≤-+-≤---=+-y x y x y x ………10分
山东省实验中学2015级高三第二次诊断性考试数学答题卡（理
科）
60分）
学校_____________ 姓名____________ 班级_____________ 座号____________。